行列式性質(zhì)展開定理

關(guān)于行列式性質(zhì)展開定理行列式的性質(zhì)性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即D=DT.性質(zhì)2

互換行列式的兩行(列)，行列式的值變號.第2頁,共32頁，星期六，2024年，5月3210156201733210例1=_____.3210

156201733210

3210

156201733210

=

3210321032103210推論.

若行列式D中有兩行(列)完全相同,則D=0.

行列式的性質(zhì)0第3頁,共32頁，星期六，2024年，5月

a11a12…a1n

ka21

ka22…ka2n…………an1

an2…anna11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann性質(zhì)3

行列式某一行的公因子可以提取出來.行列式的性質(zhì)=k第4頁,共32頁，星期六，2024年，5月ka11ka12…ka1n

ka21

ka22…ka2n…………kan1

kan2…kanna11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann=___.kn

思考：第5頁,共32頁，星期六，2024年，5月性質(zhì)3行列式某一行或列的公因子可以提取出來.a11…kai1…an1

a12…kai2…an2

a1n…kain…ann

……………=k.a11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………推論1

如果行列式的某一行(列)的元素為零，則D＝0.推論2

如果D中有兩行(列)成比例，則D=0.行列式的性質(zhì)第6頁,共32頁，星期六，2024年，5月性質(zhì)4

若行列式中的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式可以寫成兩個行列式之和.即a11…ai1+bi1…an1a12…ai2+bi2…an2a1n…ain+bin…ann……………a11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………

=+a11…bi1…an1

a12…bi2…an2

a1n…bin…ann

……………

.行列式的性質(zhì)第7頁,共32頁，星期六，2024年，5月a+u

b

+v

c

+

x

d+y

=[].+a

b

c

d

(A)

u

v

x

y

例2.

+u

b

x

d

(B)u

v

x

y

+a

b

c

d

a

v

c

y

+a

b

+vc

d+yu

b+v

x

d+y

B第8頁,共32頁，星期六，2024年，5月行列式的性質(zhì)性質(zhì)5

將行列式的某一行(列)的所有元素同乘以數(shù)k后加到另一行(列)對應(yīng)位置的元素上，行列式的值不變.即a11…ai1…aj1…an1

a12…ai2…aj2…an2

a1n…ain…ajn…ann

……………

……a11…ai1+kaj1…aj1…an1a12…ai2+kaj2…aj2…an2a1n…ain+kajn…ajn…ann…………………=.第9頁,共32頁，星期六，2024年，5月要點：利用性質(zhì)將其化為上三角行列式，再進行計算。為表述方便，引入下列記號(行用r，列用c)：2)以數(shù)k乘以行列式的第i行，用kri表示；3)以數(shù)k乘以行列式的第i行加到第j行，用rj+kri表示.1)交換行列式的第i行與第j行，用rirj表示；行列式的計算row(行)column（列）第10頁,共32頁，星期六，2024年，5月abcda+cb+dcda+cb+d

a

br1+r2abcd

abc

ad

b

cdc

ad

br1+r2r2

r1r2

r1為了不引起混淆,每步最好只進行一個操作.例如:第11頁,共32頁，星期六，2024年，5月例3.

計算行列式解：=-85.第12頁,共32頁，星期六，2024年，5月例4.

計算行列式解：第13頁,共32頁，星期六，2024年，5月例5.

計算行列式解：將各行都加到第一行，從第一行提取[x+(n-1)a],得第14頁,共32頁，星期六，2024年，5月第15頁,共32頁，星期六，2024年，5月解：例6.

計算行列式Oh!Iloveit!第16頁,共32頁，星期六，2024年，5月第17頁,共32頁，星期六，2024年，5月一、余子式與代數(shù)余子式

定義1

在n階行列式D=|aij|中去掉元素a

ij

所在的第i行和第j列后,余下的n-1階行列式，稱為D中元素aij

的余子式，記作Mij.a11a21a31a41

a12a22a32a42

a13a23a33a43

a14a24a34a44

例如，求4階行列式中a32的代數(shù)余子式a11a21a41

a13a23a43

a14a24a44

M32

A32

(-1)3+2M32=-M32令A(yù)ij

(

1)i

jMij，Aij稱為元素aij的代數(shù)余子式.2.2行列式按行(列)展開第18頁,共32頁，星期六，2024年，5月

一、余子式與代數(shù)余子式

定義1

在n階行列式D=|aij|中去掉元素a

ij

所在的第i行和第j列后,余下的n-1階行列式，稱為D中元素aij

的余子式，記作Mij.令A(yù)ij

(

1)i

jMij，Aij稱為元素aij的代數(shù)余子式.a11a21a31a41

a12a22a32a42

a13a23a33a43

a14a24a34a44

再如，求4階行列式中a13的代數(shù)余子式a21a31a41

a22a32a42

a24a34a44

M13

A13

(-1)1+3M13=M13第19頁,共32頁，星期六，2024年，5月

定理1

n階行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和.即

定理2

n階行列式D=|aij|的某一行(列)的元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積的和等于零.即D

ai1Ai1

ai2Ai2

ainAin

(i=1,2,

,n)，D

a1jA1j

a2jA2j

anj

Anj

(j=1,2,

,n).ai1Aj1

ai2Aj2

ainAjn

0(i

j)，a1iA1j

a2iA2j

ani

Anj

0(i

j).二、展開定理第20頁,共32頁，星期六，2024年，5月

例1．分別按第一行與第二列展開行列式11-2013-231D=解：按第一行展開13311-2311-213

a11A11

a12A12

a13A13D=1

(-1)1+1+0

(-1)1+2

(-1)1+3+(-2)=1

(-8)+0+(-2)

5=-18.三、利用展開定理計算行列式第21頁,共32頁，星期六，2024年，5月按第二列展開1-2311-2-2111-23

=0+1

(-3)+3

(-1)

5=-3-15=-18.

例1．分別按第一行與第二列展開行列式11-2013-231D=解：按第一行展開

a11A11

a12A12

a1nA1n

D=1

(-8)+0+(-2)

5=-18.

(-1)3+2+3

(-1)2+2+1

(-1)1+2=0

a12A12

a22A22

a32A32

D第22頁,共32頁，星期六，2024年，5月解：將某行(列)化為僅有一個非零元素后展開例2．計算行列式

1234120

-53

-1

-10

1012D==(-1)(-1)3+2

7147

-2

-5

112

60290

-1

112=1

(-1)2+2

692-1=-6-18=-24.701

470

-2

-53-1

-1

0101

2