2023版新教材高中數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)測評卷一空間向量與立體幾何新人教A版選擇性必修第一冊

單元素養(yǎng)測評卷(一)空間向量與立體幾何

時(shí)間：120分鐘滿分：150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若直線/的方向向量為a=(l,0,2),平面a的法向量為A=(—2,1,1),則()

A.1//aB.aC.Jua或/〃aD./與a斜交

2.若直線/的方向向量與平面a的法向量的夾角等于130。，則直線/與平面a所

成的角等于()

A.130°B.60°C.40°D.50°

3]]

3.A,B,C三點(diǎn)不共線，對空間內(nèi)任意一點(diǎn)。，若鬲彳應(yīng)+?應(yīng)龍，則尸，A,B,C

4oo

四點(diǎn)()

A.肯定不共面B.肯定共面C.不肯定共面D.無法推斷是否共面

4.已知4(2,0,0),B(Q,2,0),C(0,0,2),則平面A6C的一個(gè)單位法向量是()

A.(1,1,1)B.(平,坐,當(dāng))C.(|.*,f)D.吟,—乎,f)

5.在四棱錐戶-26切中，荔=(4,-2,3),茄=(一4,1,0),辦=(-6,2,-8),

則這個(gè)四棱錐的高人等于()

A.1B.2C.13D.26

6.已知向量H=(4,—2,6),b=(—2,1,x),則使a〃6成立的x分別為()

510510

A.-,-3B.—,—3C.3D.—,3

7.

如圖所示，反尸分別是四周體力回的棱OA,比的中點(diǎn)，〃是線段環(huán)的一個(gè)四等分點(diǎn)(靠

近￡點(diǎn))，設(shè)如=a,OB=b,OC=c,則勿=()

111111

B+6十

-一--a--

A.633363

311111

---D-a+-6十-

C.888636

8.在矩形2閱9中，AB=1,BC=y^,/^_L平面2頗，PA=\,則尸。與平面所成

的角為()

A.30°B.45°C.60°D.120°

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.關(guān)于點(diǎn)尸(1,-1,2),下列說法正確的是()

A.點(diǎn)戶關(guān)于平面的對稱點(diǎn)a的坐標(biāo)為(1,-1,-2)

B.點(diǎn)戶關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)8的坐標(biāo)為(-1,-1,2)

C.點(diǎn)戶關(guān)于在z平面的對稱點(diǎn)只的坐標(biāo)為(-1,-1,2)

D.點(diǎn)戶關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)月的坐標(biāo)為(-1,-1,-2)

10.下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有()

A.若非零向量a,b,c滿足a_LZ),bLc,則有a〃c

B.若向量a,6與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則2〃6

C.空間向量a=(—2,-1,1),6=(3,4,5)夾角的余弦值為一個(gè)

o

3

D.已知a=(—l,1,2),b=(0,2,3),若如+6與2a垂直，則

11.已知匕，股分別為直線工，心的方向向量(Z,心不重合)，A,2分別為平面a,

￡的法向量(a,￡不重合)，則下列說法正確的是()

A.v\HB.vi±R2<=^-/I±12C.m=a工BD_Ai_l_A2=a_L￡

12.如圖，已知正方體/6切-46K4的棱長為2,E,F,G分別為A。，AB,6K的中

點(diǎn)，以下說法正確的是()

A.三棱錐〃心的體積為1

B.4aL平面EFG

C.過點(diǎn)￡,F,G作正方體的截面，所得截面的面積是

、回

D.平面反節(jié)與平面48切夾角的余弦值為七

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.空間中任意四個(gè)點(diǎn)4B,C,D,則成+應(yīng)一而+2崩=.

14.已知直線/過定點(diǎn)4(3,2,1),且A=(1,0,1)為其一個(gè)方向向量，則點(diǎn)戶(3,3,

2)到直線1的距離為.

15.已知向量。=(一2,1,1),點(diǎn)/(一3,-1,4),6(—2,-2,2).在直線46上，

存在一點(diǎn)￡,使得班a,則點(diǎn)￡的坐標(biāo)為.

16.在棱長為1的正方體46切-/B'CD'中，已知點(diǎn)戶是正方形A4'D'，內(nèi)部(不

含邊界)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線/戶與平面B'6所成角的正弦值和異面直線4戶與園'所

成角的余弦值相等，則線段如長度的最小值是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分10分)已知：d=(x,4,1),6=(—2,y,—1),c=(3,—2,z),a//b,

b_Lc,求：

(1)a,b,c；

(2)a+c與b+c所成角的余弦值.

18.（本小題滿分12分）如圖所示，在四棱錐丘265中，底面力6切是邊長為2的正方

形，側(cè)棱/〃的長為3,且/〃和皿的夾角都是60°,“是。/的中點(diǎn)，設(shè)且=茄，6=花,

c—AM,試以a,b,c為基向量表示出向量眺并求新的長.

M

19.（本小題滿分12分）在如圖所示的平行六面體（底面是平行四邊形的四棱柱）/6切-

4AG"中，26=/。=附1=1,ZBAD^ZBAAi=ZDAAi=60°.

⑴證明：/6U平面4破

⑵若。是陽的中點(diǎn)，求力。長.

20.（本小題滿分12分）如圖，已知正方形/題的邊長為1,4小平面被力，且如=1,

M,E,6分別為AGAB,6。的中點(diǎn).

p

(1)求證："〃平面用"

⑵求直線4C到平面PEF的距離.

21.(本小題滿分12分)如圖，在正三棱柱A6C-4AG中，A8=44=2,0為比7的中

點(diǎn).

⑴求證：平面/密，平面6S&

(2)求直線CG與平面題W所成角的正弦值.

22.(本小題滿分12分)已知在長方形力63中，"=2/6=2/，點(diǎn)￡是膽的中點(diǎn)，沿

龐折起平面/陽使平面/施文平面區(qū)期

⑴求證：在四棱錐力-BCDE中,ABLAC-,

(2)在線段4c上是否存在點(diǎn)“使二面角力-BE-6的余弦值為邛若存在，找出

1,J

點(diǎn)尸的位置；若不存在，請說明理由.

單元素養(yǎng)測評卷(一)

1.答案：C

解析：?.，a=(l,0,2),n—(—2,1,1),

'.a,72=0,即a_l_/2,/〃?；騄ua.故選C.

2.答案：C

解析：由于直線)的方向向量與平面。的法向量的夾角等于130。，

所以它們所在直線的夾角為50°,

則直線，與平面。所成的角等于90°-50°=40°.故選C.

3.答案：B

―3—]—]—

解析：由于牝=彳勿+[神

4OO

則~OP~OA=—J應(yīng)+!而+《龍，

4oo

即~OP-應(yīng)=!VoB-~OA)(oc-OA),

oo

即其(初+標(biāo)

由空間向量共面定理可知，崩，AB，龍共面，則一，A,B,C四點(diǎn)肯定共面.故選B.

4.答案：B

解析：由于2(2,0,0),6(0,2,0),C(0,0,2),

所以崩=(-2,2,0),而=(-2,0,2).

令平面4%的一個(gè)法向量為z?=(x,y,z),

n,AB=0[―2^+2y=0

可得＜，即｛,,令x=l,則y=z=l,所以〃=(1,1,1),

[入E―2X+2Z=0

故平面/及7的單位法向量是土即(坐，*'，*或(一乎，一坐，一坐),故選

B.

5.答案：B

解析：設(shè)平面力8切的法向量為A=(x,y,z),

n?逾=Q,4x—2y+3z=0,

則,.即

—4x+y=0.

、n,A￡)=0,

不妨令x=3,則尸12,z=4,

可得〃=(3,12,4),

四棱錐的高A=|jf，,/?l=1|=2.

I川13

6.答案：A

5

解析：當(dāng)日_16時(shí)，a?6=4X(—2)—2Xl+6x=-10+6x=0,解得才=可；

o

x—21

當(dāng)a〃6時(shí)，則有￡=一7=-解得x=-3.故選A.

64—2

7.答案：C

解析：如圖所示，連接第

O

ob=應(yīng)+逾=義應(yīng)+；赤=/應(yīng)+；(蘇一ok)

311

+6十

=3澇+；由0+應(yīng))一白澇］=^OA+^dB+^dc=8-a8-

Z4ZZooo

8.答案：A8-

解析：以點(diǎn)力為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD,46,2戶所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系，

則戶(0,0,1),。他,1,0),1=(隹，1,-1),

平面力及/的一個(gè)法向量為〃=(0,0,1),

—?FL?ni

所以cos〈PC,ri)=-----------

\PC\\n\2

又由于■n)e[0,JI],所以Be,n)=120。，

所以斜線/T與平面A6切的法向量所在的直線所成的角為60°,

所以斜線AC與平面265所成的角為30°.

9.答案：ACD

解析：求點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，其規(guī)律是“關(guān)于誰對稱，誰不變”，

如點(diǎn)(x,y,z)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(一筋y,一z),關(guān)于平面。yz的對稱點(diǎn)是(一x,y,z),

點(diǎn)(x,y,z)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為(x,—y,—z),關(guān)于平面。ry的對稱點(diǎn)是(x,y,—z),

故A選項(xiàng)點(diǎn)戶關(guān)于平面的對稱點(diǎn)4的坐標(biāo)為(1,-1,-2),故A正確；B選項(xiàng)點(diǎn)

P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)總的坐標(biāo)為(1,1,-2),故B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)點(diǎn)戶關(guān)于2yz平面的對稱點(diǎn)R的坐標(biāo)為(一1,-1,2),故C正確；

D選項(xiàng)點(diǎn)戶關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)月的坐標(biāo)為(-1,-1,-2),故D正確.故選ACD.

10.答案：BCD

解析：對于A,若非零向量a,b,c滿足a_L6,bLe,則a與c的位置關(guān)系不確定，也

有可能平行，故A錯(cuò)誤；

對于B,若向量a,6與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則只能兩個(gè)向量是共線向量，

故a〃b,故B正確；

對于C,由于a=(—2,—1,1),6=(3,4,5),所以㈤=7(-2)，+(—1)、+12

二/,|引=將針不亭=5/，a?b=-2X3—lX4+lX5=-5,設(shè)a與8的夾角為9,

則c°s"=孝勺=6焉=一乎'故C正確；

對于D：由于3=(—1,1,2),b=(0,2,3),所以而+6=瓜一1,1,2)+(0,2,

3)=(一4，k+2,2A+3),2a—6=2(—1,1,2)-(0,2,3)=(—2,0,1),由于ka+b

與2a—6垂直，所以(Aa+Z?)?(2a—6)=0,即一4X(—2)+0X(A+2)+1X(2A+3)=0,

3

解得k=故D正確.故選BCD.

11.答案：BD

解析：由于。1,切分別為直線11,，2的方向向量(Z,4不重合)，

則Vi//切=，〃故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

則％_L皈=/I_L，2,故選項(xiàng)B正確；

由于〃1,刀2分別為平面a,￡的法向量(。，￡不重合)，

則4〃￡,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

則m_L〃2<=>q_L￡,故選項(xiàng)D正確.故選BD.

12.答案：ABC

113

9

解析：對于A,Vc-EFG=--S^ECFCG=-X-X2=1,故A正確；

o。乙

對于B,以加為x軸，如為了軸，加為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，C(0,2,0),4⑵

0,2),￡(1,0,0),尸(2,1,0),6(1,2,2),

ACAC

貝心1c=(—2,2,-2),>=(1,1,0),丘=(0,2,2),i?>=0,1?EG=0,

則4cL平面加5,B正確；

對于C,作G”的中點(diǎn)從做的中點(diǎn)必窈的中點(diǎn)7,連接如GM,FM,TN,ET,則正

六邊形的儂7為對應(yīng)截面面積，正六邊形邊長為鏡，則截面面積為5=6X^X(^2)2=

3(,故C正確;

對于D,平面力及力的一個(gè)法向量為。=(0,0,1),

平面陟的一個(gè)法向量為A，=(—2,2,-2),設(shè)兩個(gè)平面夾角為9,

In?A。

cos，=|"|天而』3=坐，故D錯(cuò)誤.故選ABC.

2小3

13.答案：AD

解析：或+應(yīng)一為+2詼=赤+應(yīng)+2茄=成一筋+2詼=萬+2礪=花.

14.答案：*

解析：設(shè)@=蘇=(0,1,1),?=訝=(￥，0，坐)，則a?u=坐,

則點(diǎn)P到直線1的距離d=q>??〃)2=\2—(曰)2=乎.

62

15.答案:5)一百5

解析：設(shè)范'=△誦，由于4(-3,-1,4),夙一2,-2,2),所以罰=(1,-1,-2),

AE—(9—4,—2幾)，A0=(3,1,—4),0E=AE-A0=(—3,一4一1,—2幾+4),

一9

由于應(yīng)LLa,所以一2(4—3)+(一4一1)+(—2幾+4)=0,解得X=三，又/(—3,一

5

L4),AE=(A,—A,—24),所以點(diǎn)￡的坐標(biāo)為(一段，一”，芻.

555

16.答案：*

解析：如圖，以，為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD'所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，

設(shè)尸(X,0,Z),0<^<1,0<^<1,由2(1,0,0),C(0,1,1),〃(0,0,0),

AP=(x-l,0,z),DC=(0,1,1),而=(1,0,0),

設(shè)直線/戶與平面A4'96所成角為。和異面直線4〃與〃。/所成角為。，

□cosQ——COS〈AP,DC')=-r-/2、2,

yj2-y]z+(x—1)

sin0=|cos〈"，DA)|=/~一方,0<T<1,

yjz+(jr-1)2

由sin9=cosa,可得2=鏡(1—x),

則|DP\=ylx+z=yfx+2(1—^)2

=M(x—|)」|,

當(dāng)x=|時(shí)，線段如長度的最小值為算.

JO

x4]

17.解析：(1”??劉〃6,—o=~=-7，解得萬=2,尸一4,

一乙y—1

故a=(2,4,1),6=(—2,—4,—1).

又由于力_Lc,所以6?。=0,即-6+8—z=0,解得z=2,

故c=(3,-2,2).

(2)由(1)可得a+c=(5,2,3),b+c=(1,—6,1),

設(shè)向量a+c與人+。所成的角為。，?a+°i=q麗，16+°|=q醞，

(a+c)?(6+c)=5—12+3=-4,

.一42

貝Ucose―—I—I———...

738?枷1n9

18.解析：BN=BC+CN=AD+^CM

=AD+^(AM~Ad)

=AD+^[AM-（AD+A3）]

=--^AB+^AD+^AM.

11

所以廝L-|a

2-2-

111

-+--

|麗2=麗;22+-2

=]（/+方2+c~2a?b~2a?c+2b?c）

_17

=~,

所以|麗=華，即m的長為華.

乙乙

>>--------9?

19.解析：（1）證明：連接物和4氏由于ACi=77+詼+4Ai,筋=詼一誦，BA】="AI

-AB,

??.AG.防=（茄+花+/4）?（而-贏）=0,

:.ACILBD,

同理AG.BAi=o,AGLAIB,

旦斷Ai8=B,

所以AG_L平面A.BD.

⑵嚴(yán)11=（誦+通+"1）2=赤+就+4A/+2罰.法+2罰"A/2法.4A]

=1+H-1+3X2X1X1XCOS60°=6.

1AC11=V6.

.?.I初斗甌=坐

20.解析：⑴證明：取物的中點(diǎn)“連接就和刨則JW0C且妙=法，

又底面力及力為正方形，：.MN//AESLMN=AE=^AB,

.??四邊形覦密為平行四邊形，C.AN//ME,

又如t平面PAD,儂平面PAD,

.?.超〃平面PAD.

⑵建立以，為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,而分別為x軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示.

則?(0,0,1),4(1,0,0),<7(0,1,0),￡(1,0),吊1,0),所以礪=(一

1一1一1〃?赤=0

W，0),PE=(1,—1),DE=(1,0),設(shè)平面aF的法向量為n=(x,y,z),貝!J,,

[n?PE=0

f1,1

-pr+l尸0

即I1，

x+~y—z=0

令x=2,則p=2,z=3,所以〃二⑵2,3),

由于反尸分別為28,6。的中點(diǎn)，所以用〃ZC

又ZR平面即：⑸七平面陽；所以平面屋F；

由于港=(0,0),所以點(diǎn)/到平面郎的距離d=羋[=*=本.

2In\71717

A/17

所以直線〃'到平面曲的距離為號.

21.解析：(1)證明：由于三棱柱Z6C-46K為正三棱柱，所以△46C為正三角形，

由于0為%的中點(diǎn)，所以

由于陽_L平面46C平面A6G所以煙_L/0,

由于BBCBC=B,BBC平'面BCG&,平面比Qfi,

所以第，平面BCCB,

又由于/上平面AQG,所以平面NG_L平面BCCB.

(2)設(shè)AC,4G的中點(diǎn)分別為。，a,由三棱柱A8C-4BG為正三棱柱可知，

OBLOC,OBLOa,OO.LOC,以｛/,OC,。。｝為基底建立空間直角坐標(biāo)系⑦xyz.

由于"6=/4=2,所以J(0,-1,0),8($,0,0),<7(0,1,0),為邪,0,2),

G(0,1,2),

由于。為比1的中點(diǎn)，所以。(坐1,0),

所以存(乎，0),AC1=(O,2,2),CC1=(O,0,2),

設(shè)n=(x,y,z)為平面AQG的法向量，

In?AQ=0,