小學“數概念”教學的聯結性建構路徑

摘要數學學習過程不是局限于某一知識點的封閉、點狀、線性的學習過程，而是一個縱向重在立序、橫向突出貫通、運用走向實踐的聯結過程。數學教學可通過聯結數學史料，追溯本源；聯結已有認知，深化理解；聯結多元表征，推論內涵；聯結認知斷點，構建體系等實踐路徑，對“數概念”實施聯結性、生長性建構。關鍵詞“數概念”；數學史；認知經驗；多元表征；知識斷點；聯結性建構“數概念”的認識擔負著數學啟蒙、生長認知、扎實根基等重任，可為兒童正確理解和把握現實世界、形成和擴展個人智力結構、提升運算及代數思維水平提供堅實可靠的基礎。鑒于此可見，“數概念”作為小學數學各領域知識的“基石”和學生數學核心素養(yǎng)的重要組成部分，著實重要。然而，小學“數”認識的相關學習內容的分布比較零散，加之現有教材呈現的多是高度凝結的專家結論，使得學生在學習過程中難以體悟數系擴充的邏輯，也難以厘清概念的“前世”、本源及演變過程。毛斯萊曾經指出，聯結包括建立新信息與已有認知之間的聯結、不同數學概念及其表征之間的聯結、數學概念與現實生活相關現象之間的聯結等基本樣態(tài)[1]?；诖?，筆者嘗試把聯結性建構作為教學實踐的核心路徑，將數概念教學置于一個含有不同的認知成分的視野中，促進學生對數概念的理解、運用與遷移。一、聯結數學史料，追溯數概念本源一個數學概念，作為人類千百年思維抽象的結晶，僅僅根據它最終形式化、結構化的表述，普通人很難深入把握其確切的本質意義，只有將之與其產生時復雜、反復、抽象的歷史過程予以關聯、融合，才更容易被后來的學習者調動起全部的經驗積累，支撐他們建構概念的全部含義[2]?？巳R因曾經指出：“數學史是教學的指南?！盚PM視角下的數學教學需要還原復現被教材剝離的“人文元素”，引領學生將新知置于宏大的歷史背景中予以考量，站在歷史的角度看待數學知識、思想與方法的發(fā)生、發(fā)展全程，將知識的歷史序、邏輯序及兒童的認知序高度融合，由此實現對知識本質意義與核心問題的深層次理解[3]。作為跟人類生產實踐、生活與認知需要密切相關的數概念，尤其需要高度關聯與之相關的時代背景、歷史根源，在追溯本源、聚焦本質的建構過程中實現對數學知識的結構化理解。如蘇教版《數學》二年級下冊“認識萬以內的數”的拓展提升課教學。在學生基于直觀模型初步認識、理解數位及十進位值制記數法的基礎上，融入我國古人的算籌記數法，在探究過程中，再度推進對十進位值制基本內涵與數學價值的理解。首先，教師引導學生了解我國古代的算籌記數方法，探究發(fā)現其中蘊含的基本規(guī)律。教學時，教師利用視頻、結合算籌圖片（如圖1），介紹我國古人是怎樣利用算籌記數的，同時以數字12的算籌擺法為例引導學生思考算籌記數存在橫式、縱式兩種形式的內在原因，并以此為基礎，讀懂教師給定的算籌圖片所表示的數字及擺法，為從算籌記數法的了解轉向現代記數法的學習預埋伏筆。接下來，給予學生充分的時間與空間，讓他們以小棒代替算籌用算籌記數法擺出678、4444等數字（如圖2），在作品展示、交流擺法的過程中進一步深化對算籌記數法的認識，同時將之與現代的記數法關聯對比，進而發(fā)現兩者都采用了“十進位值制”，都是在利用不同數位表示個、十、百、千等，區(qū)別在于表示各數位計數單位個數的形式不一樣，前者采用的是算籌，后者采用的是阿拉伯數字，較前者更簡潔、更方便。在上述探究學習過程中，學生追溯現在所學知識的前世和本源，在深化概念認識、豐富認知結構的同時，體會到數學是求真至簡與數學家接力研究的結晶，感受到數學是不斷前進、不斷發(fā)展的。用于與新知聯結的數學史不一定貫穿課堂始終，亦可結合實際教學需求，將數學史料融接于某一教學環(huán)節(jié)，以便學生更好地厘清概念的來龍去脈與本質所在，使他們在“知其所以然”認知層級上獲得更為全面、深刻的認識與理解。如蘇教版《數學》三年級下冊“小數的初步認識”。教學時，教師首先出示用不同面值的人民幣表示的某種商品單價的圖片，讓學生用小數表示商品的單價，接著以問題“這種商品的價錢不是整數元，怎么辦呢”適時介入，告訴學生其實前人也遇到過類似的問題，那他們又是如何解決的，順勢引出不同國家、不同時期對非整數元的表達方式（如圖3）。學生逐一解讀各自的表達方法，初步感受這些方法雖有所不同，但都是用相應的符號將整數元部分與非整數元部分分隔開來[4]。然后，帶領學生以14世紀中國小朋友的身份穿越到1427年的阿拉伯等國家，看能否真正讀懂其表達方式所蘊含的意義，讓學生體會到統(tǒng)一分界號的必要性與必然性。最后，融入小數點產生的史料，由此了解到小數點是由德國數學家克拉維斯在其著作《星盤》一書中率先提出來的。基于此，引領學生深刻感悟到一個不起眼的小數點，卻經歷了從無到有、從繁到簡的漫長、曲折的過程，進而將學生探究從簡單了解轉向深入理解。教師帶領學生經歷數概念演變、誕生的歷史過程，是重建學生數學學習內在秩序的過程，不僅可以利用清晰有序的知識脈絡及概念產生的關鍵節(jié)點提供核心概念的意義與作用，還可以豐富課堂文化意蘊及學生的認知結構，進一步提升學生數學核心素養(yǎng)及求真求簡的人文底蘊。二、聯結已有認知，深化數概念理解數學知識不是孤立、割裂存在的，而是具有突出的關聯性、整體性特點，學生對數學新知識的理解與個人已有知識經驗是密切關聯的，新知的獲得往往是對已知進行擴充、改造與再建的過程。學生是帶著已有經驗進入課堂的，這是學生數學概念學習的認知基礎、理解前提與思維背景。在數概念教學中，教師要站在兒童立場，對已有認知結構進行挖掘、整理與加工，充分挖掘新舊知識之間的內在聯系，充分發(fā)揮他們已有知識與經驗的遷移價值，引導學生從抽象地認識到形象地理解，從記憶性存儲到意義性建構，從而幫助學生深化概念理解，在把握數學本質與認知生長的過程中，實現整體建構與自身認知結構的重組[5]。又如“小數的初步認識”的教學。小數既有整數的形式，又兼具分數的內涵，如何讓小數的認識與整數、分數等已有知識實現有效關聯，在經驗生長過程中形成完整的結構性認知，同時為五年級“小數的意義與性質”的教學預留認知結構與思維結構的接口，成為“小數的初步認識”教學的基本指向。為此，筆者“溯源而上”，尋找生長點，探尋知識源頭與發(fā)展脈絡，同時“順流而下”，厘清知識的發(fā)展走向，解決學習“要到哪兒去”的問題，嘗試把對小數的認識與十進分數、整數進制等已有認知整體關聯，由此促進學生系統(tǒng)理解一位小數的意義，為整體把握小數概念的本質奠定基礎，引導學生實現自身認知結構的重組與再構。1.在前后銜接中構建整數的數位順序表教師引領學生回憶整數的認數過程，引導學生以從右往左與從左往右兩個不同維度觀察，思考相鄰計數單位間的關系，深度理解十進制計數原則，再聚焦“從左往右看，你能創(chuàng)造出比‘一更小的計數單位嗎？”這一問題，由此激活學生的創(chuàng)造欲望與認知生長點。2.在與十進分數關聯中構建零點幾及其模型教師放手讓學生借助正方形模型自主探究，在與十進分數關聯的過程中初步建構0.1，知道0.1=；以此為基礎，引導學生以長度單位、人民幣單位模型再次構建0.1，以“圖形不同，物體不同，為什么都可以用0.1表示”引發(fā)學生深度思考，只要把“1”平均分成10份，其中1份就是，也就是0.1；接著引導學生從剛才的學習資源中選擇一種，自主構建出0.3、0.6等小數，同時思考這些小數與0.1的關系，基于數學推理、認知歸納獲得“零點幾就是十分之幾”的基本結論，并引導學生構建出一般模型：=0.□。3.在與整數計數器關聯中生成十分位教師引導學生思考：這么多一位小數中哪個最具代表性，由此明確0.1是一位小數的計數單位，它可以幫助我們數出其他的一位小數；接著要求學生利用依次增加的方法數出0.9，隨后繼續(xù)思考，如果再增加一個0.1是多少，進而得知10個0.1就是1；基于此，放手讓學生在計數器上表示出0.1，引領學生在思辨、體悟中得知0.1這個新計數單位比1小，不能在原計數器上直接表示出來，需要在個位右邊增加一個新的數位，教師順勢在計數器圖示中增加十分位。4.在與整數進制關聯中理解小數的十進、十分特征教師引導學生在十分位上撥出數珠，撥出1顆表示0.1，2顆數珠表示0.2，直至撥滿10顆數珠，由此體會十分位滿10要向個位進1，厘清10個0.1就是1個一，1個一可以分成10個0.1，再結合其他數位進一步思考滿十進一，幫助學生理解小數與整數一樣都是十進制數，都是滿10進1?！读x務教育數學課程標準（2022年版）》指出，在數學教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來有支撐意義的結構化數學知識體系[6]。上述關聯設計深刻而立體、全面而豐富，使得學生在數學認知中跳躍而出，發(fā)展他們的整體性、結構化數學思維，形成從理解到遷移的結構化策略，實現小數概念自我認知的突圍，同時為學生后續(xù)學習中的意義建構留下伏線。三、聯結多元表征，推論數概念內涵萊什等人提出了數學概念的五種外在表征系統(tǒng)：圖像、操作模式、現實生活情境、口語符號和文字符號。多元表征實際上就是這五種表征之間的轉換、聯結與轉譯，特別有助于數概念的深度理解與整體建構。心理學相關研究指明，人腦對形成性、同化型、符號化、約定式等不同類型概念本質屬性的思維方式是有差異的。小學階段的整數、分數、小數、負數、百分數等都屬于符號化概念，這類概念是對一類具有數學基本特征的操作活動進行多元表征及高度符號化抽象的結果。因此，在數概念教學實踐過程中，需要引導學生深度挖掘概念蘊含的核心元素與關鍵要義，經歷“多元表征符號—提煉表征共性—推論概念內涵”的過程，在體現知識結構化的同時實現思維的結構化[7]。如蘇教版《數學》三年級“分數的初步認識（一）”與“分數的初步認識（二）”整合課課例，特別注重對數學操作活動進行多元表征與本質屬性的提煉，在符號與活動的互譯中理解與建構數概念。1.多元表征操作活動，抽象典型符號兒童所處學段特征、具體運算階段的認知規(guī)律及思維特點，決定了他們對符號化概念一定要經歷從特殊到一般、從具體到抽象的認識學習過程。教學時，教師首先創(chuàng)設“人間四月，踏向詩和遠方”的春游教學情境，同時提供4根香蕉、2瓶礦泉水、1個月餅的實物圖等相關學習材料，以啟思性問題“兩人平均分享這些食物，應該怎樣做”驅動學生開展分一分活動，激活學生頭腦中的“半個餅”這一概念原型，并在此過程中認識典型符號的外部特征、讀法、寫法等。然后，再以關鍵性問題“分數究竟是怎么產生的”引領學生以圓形紙片代替月餅，利用折一折、畫一畫、說一說等多元表征活動感受、經歷的產生過程，同時揭示“平均分”“總份數”“表示份數”等認識分數的三個關鍵要素。最后，以關聯性問題“老師剛剛提到的三個關鍵要素在分數中是如何體現的”引發(fā)學生將表征活動與抽象出來的數學符號勾連，由此得知“總份數”用分母表示，“表示份數”用分子表示，分數線表示“平均分”。認識的過程，實質上是以“怎樣均分”“如何產生”“有何關聯”三個問題構成的問題鏈引導學生經歷把多元表征操作活動抽象成數學符號的過程，這是符號化概念理解學習的關鍵一步。2.聯結解讀多元表征，提煉表征共性教學時，教師先引導學生借助在平均分月餅找到的過程中積累起來的操作經驗，讓其自主找到4根香蕉、2瓶礦泉水的，并結合操作過程予以口語化釋意，再以核心問題“2根香蕉、1瓶礦泉水、半個月餅表示的數量不同，為什么都可以用表示”引導學生初步感悟分數跟用來平均分的物體的數量、大小等沒有關系，而跟平均分的總份數與表示的份數密切相關。隨后，教師以學生剛剛積累的經驗為基點，給予學生充分的時間與空間，讓他們利用剪一剪、折一折、畫一畫、涂一涂等表征手段認識等分數，引導學生把抽象的符號化概念還原成具體的操作活動，在數學符號與操作活動之間建立關聯，同時選擇部分代表作品由學生對自己的表征方式、建構過程及分數表示的意義進行口語化解讀與外在呈現，由此實現概念符號與操作活動、抽象意義與具象認知之間的自由轉化。接著，教師引導學生結合對學生作品的解釋，對它們予以關聯性思考，以研究這些作品間的異同為驅動，同時以核心問題“作品陰影部分的形狀、大小都不同，為什么都可以用表示”啟發(fā)學生對其共性的提煉與把握，由此明確：只要把單位“1”平均分成4份，表示這樣的1份就可以抽象為。最后，教師對抽象數學符號的操作表征活動，以及把數學符號還原成操作活動的認知過程進行高度凝煉，進一步梳理、感受這兩類操作活動的共性：無論是生活實物，還是幾何圖形；無論是多個，還是一個；無論是大小、形狀不同，還是顏色各異，分數符號只跟平均分成的總份數與表示的份數有關，而跟其他因素無關。3.由“點”拓展到“面”，實現概念類化在符號化概念認知建構的過程中，一次操作活動往往只能對應一個具體的符號概念，認識與的過程就是如此。如果僅僅依靠這兩個具體的符號化概念去上升到理解“分數”這一類概念的本質屬性是不現實的，教師還需要在學生認識不斷遞進的過程中拓寬概念外延，讓學生真正認識感悟到與一類符號化概念關聯的所有操作活動都是有共性的，進而在提煉共性、認知躍升的過程中實現概念類化。教學時，先以與為類推點，引導學生通過畫一畫、折一折、寫一寫、說一說等表征方式認識更多的分數，經歷對多個具體符號化概念的表征過程，展示對不同分數意義的理解，為深入體會和歸納分數的本質屬性提供更多資源。查閱、分析相關文獻會發(fā)現：分數具有“量”“份數”“商”“測量”“運算”“倍比”等多層意義[8]。教學需要突破“份數”意義的窠臼，借助豐富多元的素材，引領學生找一找其中的分數，說一說各自蘊含的意義及產生，由此拓展豐富分數的意義，實現對分數內涵認知、理解的進階。四、聯結認知斷點，構建數概念體系布魯納認為，掌握事物的結構，就是以允許許多別的東西與它有意義地聯系起來的方式去理解它，學習知識結構就是學習事物是怎樣相互關聯的[9]?；跀迪导皵迪禂U展的角度思考，發(fā)現小數、分數、整數等數概念同樣有著緊密的關聯，需要通過計數單位間的“十進”“十分”將三者間的認知斷點有機地聯系起來，進而構建完整的數概念體系，實現數概念意義的結構化、集約型整體建構。如蘇教版《數學》五年級上冊“小數的意義”教學，教師通常借助直觀圖示，溝通小數與十進分數的內在關系，將小數意義的理解與建構建立在十進分數的基礎之上。教學到此結束，這無疑會給學生留下諸多認知斷點，使他們對小數意義及價值的認識與體會只能停留在膚淺與表面。教師需要從知識聯結、思維聯結、方法聯結的角度出發(fā)，將教學再向前推進一步，逐步強化、完善對小數意義的理解，進而建構起可遷移運用且極具生長力的概念體系。1.溝通小數與整數、分數的內在聯系教學時，教師引導學生梳理回顧整個學習過程，得知小數是以“1”為基礎，是對“1”的不斷細分，每次都平均分成10份，不斷產生新的計數單位，從左往右計數單位越來越小，沒有最小的計數單位，但相鄰計數單位間的進率都是10。順勢而導，教師讓學生從“1”開始，依次乘10，向左可以建立“十”“百”“千”等越來越大的計數單位，而且可以無限延申，但相鄰計數單位間的