新高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案第56講 立體幾何中的切接問(wèn)題（微專題）（解析版）

第56講立體幾何中的切接問(wèn)題（微專題）題型一、幾何體的外接球解決多面體的外接球問(wèn)題，關(guān)鍵是確定球心的位置，方法是先選擇多面體中的一面，確定此面外接圓的圓心，再過(guò)圓心作垂直此面的垂線，則球心一定在此垂線上，最后根據(jù)其他頂點(diǎn)確定球心的準(zhǔn)確位置．對(duì)于特殊的多面體還可采用補(bǔ)成正方體或長(zhǎng)方體的方法找到球心位置．例1、（2023·安徽·統(tǒng)考一模）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】求得外接球的半徑，進(jìn)而求得外接球的表面積.【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的外接圓半徑SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，所以外接球的半徑SKIPIF1<0，所以外接球的表面積SKIPIF1<0.故選：B.變式1、（2022·江蘇海門·高三期末）已知正四棱錐SKIPIF1<0的底面邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角為45°，頂點(diǎn)P，A，B，C，D在球O的球面上，則球O的體積是（）A．16π B．SKIPIF1<0 C．8π D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】探求正四棱錐SKIPIF1<0的頂點(diǎn)P在底面上射影SKIPIF1<0與球O的球心關(guān)系即可計(jì)算作答.【詳解】在正四棱錐SKIPIF1<0中，連接AC，BD，SKIPIF1<0，連SKIPIF1<0，如圖，則有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角，即SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，因此，頂點(diǎn)P，A，B，C，D在以SKIPIF1<0為球心，2為半徑的球面上，即點(diǎn)O與SKIPIF1<0重合，所以球O的體積是SKIPIF1<0.故選：B變式2、（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)·商功》提及一種稱之為“羨除”的幾何體，劉徽對(duì)此幾何體作注：“羨除，隧道也其所穿地，上平下邪.似兩鱉臑夾一塹堵，即羨除之形.”羨除即為：三個(gè)面為梯形或平行四邊形（至多一個(gè)側(cè)面是平行四邊形），其余兩個(gè)面為三角形的五面幾何體.現(xiàn)有羨除SKIPIF1<0如圖所示，底面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0，其余棱長(zhǎng)為2，則羨除外接球體積與羨除體積之比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】連接AC、BD交于點(diǎn)M，取EF的中點(diǎn)O，連接OM，求出OM的長(zhǎng)，進(jìn)而求出OA的長(zhǎng)，可知SKIPIF1<0，從而可求出羨除外接球體積，由等體積法可求出羨除體積，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】連接AC、BD交于點(diǎn)M，取EF的中點(diǎn)O，連接OM，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.取BC的中點(diǎn)G，連接FG，作SKIPIF1<0，垂足為H，如圖所示，由題意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：這個(gè)羨除的外接球的球心為O，半徑為2，∴這個(gè)羨除的外接球體積為SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，即：點(diǎn)A到面SKIPIF1<0的距離等于點(diǎn)B到面SKIPIF1<0的距離，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴這個(gè)羨除的體積為SKIPIF1<0，∴羨除的外接球體積與羨除體積之比為SKIPIF1<0.故選：A.變式3、（2022·廣東羅湖·高三期末）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若將SKIPIF1<0沿AC邊上的中線BD折起，使得平面SKIPIF1<0平面BCD．點(diǎn)E在由此得到的四面體ABCD的棱AC上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的為（）A．SKIPIF1<0 B．四面體ABCD的體積為SKIPIF1<0C．存在點(diǎn)E使得SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0 D．四面體ABCD的外接球表面積為SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，利用垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化得到SKIPIF1<0判定選項(xiàng)A錯(cuò)誤；過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線，利用直角三角形求出高和底面面積，再利用體積公式求出體積判定選項(xiàng)B正確；求出SKIPIF1<0的面積的最大值和最小值，進(jìn)而判定選項(xiàng)C正確；確定四面體外接球的球心，再通過(guò)直角三角形求出半徑，再求其體積判定選項(xiàng)D正確.【詳解】對(duì)于A：取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面BCD，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，顯然不可能，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：考查三棱錐SKIPIF1<0的體積，易知SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0中，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線，交SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線于點(diǎn)SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0，即三棱錐SKIPIF1<0的高為SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，即四面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：顯然當(dāng)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的面積取得最小值，易知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又四面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，所以存在點(diǎn)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的外心依次為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線SKIPIF1<0，則四面體SKIPIF1<0的外接球球心SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)，則四邊形SKIPIF1<0為矩形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四面體SKIPIF1<0的外接球半徑為SKIPIF1<0，則外接球表面積為SKIPIF1<0，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.變式4、（2022·河北張家口·高三期末）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑（biēnào）.如圖，三棱錐SKIPIF1<0為一個(gè)鱉臑，其中SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為垂足，則（）A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0的外接球的直徑C．三棱錐SKIPIF1<0的外接球體積為SKIPIF1<0D．三棱錐SKIPIF1<0的外接球體積與三棱錐SKIPIF1<0的外接球體積相等【答案】BC【分析】利用線面垂直的判定可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用直角三角形的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)的正誤；確定球心的位置，求出三棱錐SKIPIF1<0的外接球的半徑，利用球體的體積公式可判斷C選項(xiàng)的正誤；求出三棱錐SKIPIF1<0的外接球半徑，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，如下圖，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0向SKIPIF1<0引垂線，垂足為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，這與SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0矛盾，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的中點(diǎn)到SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的距離相等，所以SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0的外接球的直徑，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，分別取SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的外心為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故三棱錐SKIPIF1<0的外接球球心在直線SKIPIF1<0上，即該球球心在平面SKIPIF1<0內(nèi)，所以SKIPIF1<0的外接圓直徑SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0的外接球直徑，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0的外接球體積為SKIPIF1<0，故C正確；因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0的外接球的直徑，且SKIPIF1<0，而三棱錐SKIPIF1<0的外接球直徑為SKIPIF1<0，故D錯(cuò)誤.故選：BC.變式5、（2022·江蘇如皋·高三期末）已知三棱錐D－ABC中，AB＝AC＝AD＝1，∠DAB＝∠DAC＝SKIPIF1<0，∠BAC＝SKIPIF1<0，則點(diǎn)A到平面BCD的距離為_(kāi)________，該三棱錐的外接球的體積為_(kāi)________.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【分析】①SKIPIF1<0，等積法計(jì)算頂點(diǎn)到底面的距離；②求三棱錐外接球球心，然后再求體積.【詳解】①如下圖所示，SKIPIF1<0設(shè)點(diǎn)A到平面BCD的距離為h，取BC中點(diǎn)E，連AE、DE，因?yàn)锳B=AC=AD=1，SKIPIF1<0，所以BC=1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0②取AB中點(diǎn)F，連CF交AE于G，則G是SKIPIF1<0的外心，過(guò)G作SKIPIF1<0，O為三棱錐外接球的球心，過(guò)O作SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0設(shè)球的半徑為R，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故答案為：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0變式6、（2022·廣東潮州·高三期末）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑A-BCD中，ABSKIPIF1<0平面BCD，CDSKIPIF1<0AD，AB=BD=SKIPIF1<0，已知?jiǎng)狱c(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)，沿外表面經(jīng)過(guò)棱AD上一點(diǎn)到點(diǎn)B的最短距離為SKIPIF1<0，則該棱錐的外接球的表面積為_(kāi)________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】如圖所示：設(shè)CD=x，由題意得：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），如圖所示：該棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，則外接球的半徑為：SKIPIF1<0，所以外接球的表面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0變式7、（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）已知四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則其外接球的體積為_(kāi)_____.【答案】SKIPIF1<0【分析】由題意可采用割補(bǔ)法，構(gòu)造長(zhǎng)寬高分別x，y，z的長(zhǎng)方體，其面對(duì)角線分別為SKIPIF1<0解出x，y，z,求長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即可.【詳解】如圖，構(gòu)造長(zhǎng)方體，其面對(duì)角線長(zhǎng)分別為SKIPIF1<0，則四面體SKIPIF1<0的外接球即為此長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別x，y，z，外接球半徑為R則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0變式8、（2022·河北保定·高三期末）如圖，SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形SKIPIF1<0的中位線，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則四棱雉SKIPIF1<0外接球的表面積是___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】求出四邊形SKIPIF1<0外接圓的圓半徑，再設(shè)四棱錐SKIPIF1<0外接球的球心為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0求出半徑，代入球的表面積公式即可.【詳解】如圖，分別取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0外接圓的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0.設(shè)四棱錐SKIPIF1<0外接球的球心為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0.易證四邊形SKIPIF1<0是矩形，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)四棱錐SKIPIF1<0外接球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故四棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0題型二、幾何體的內(nèi)切球求解多面體的內(nèi)切球的問(wèn)題，一般是將多面體分割為以球心為頂點(diǎn)，多面體的各面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑．例2、（2021·山東高三其他模擬）如圖所示的由4個(gè)直角三角形組成的各邊長(zhǎng)均為1的六邊形是某棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖，則該棱錐的內(nèi)切球半徑為_(kāi)________．【答案】【解析】將圖形還原得四棱錐，如圖，設(shè)內(nèi)切球的球心為O，半徑為r，則有即，解得.故答案為：.變式1、【2022·廣東省珠海市第二中學(xué)10月月考】已知三棱錐SKIPIF1<0的所有棱長(zhǎng)都相等，現(xiàn)沿SKIPIF1<0三條側(cè)棱剪開(kāi)，將其表面展開(kāi)成一個(gè)平面圖形，若這個(gè)平面圖形外接圓的半徑為SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的內(nèi)切球的體積為_(kāi)______【答案】SKIPIF1<0【解析】：三棱錐SKIPIF1<0展開(kāi)后為一等邊三角形，設(shè)此此三角形的邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．所以三棱錐的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，可得棱長(zhǎng)的高SKIPIF1<0設(shè)內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0變式2、【2022·廣東省珠海市第二中學(xué)10月月考】已知三棱錐SKIPIF1<0的所有棱長(zhǎng)都相等，現(xiàn)沿SKIPIF1<0三條側(cè)棱剪開(kāi)，將其表面展開(kāi)成一個(gè)平面圖形，若這個(gè)平面圖形外接圓的半徑為SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的內(nèi)切球的體積為_(kāi)______【答案】SKIPIF1<0【解析】：三棱錐SKIPIF1<0展開(kāi)后為一等邊三角形，設(shè)此此三角形的邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．所以三棱錐的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，可得棱長(zhǎng)的高SKIPIF1<0設(shè)內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0變式3、（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐內(nèi)切球（與圓錐側(cè)面、底面均相切的球）的半徑為2，當(dāng)該圓錐的表面積最小時(shí)，其外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】作出圖形，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由三角形相似得到SKIPIF1<0，得到圓錐的表面積為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由導(dǎo)函數(shù)得到當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，圓錐的表面積取得最小值，進(jìn)而得到此時(shí)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，作出圓錐的外接球，設(shè)外接球半徑為SKIPIF1<0，由勾股定理列出方程，求出外接球半徑和表面積.【詳解】設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，底面圓的圓心為SKIPIF1<0，內(nèi)切球圓心為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以圓錐的表面積為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時(shí)取得最小值，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)圓錐的外接球球心為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由勾股定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故其外接球的表面積為SKIPIF1<0.故選：A變式4、（2022·湖北武昌·高三期末）已知四面體ABCD的一個(gè)平面展開(kāi)圖如圖所示，其中四邊形AEFD是邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的菱形，B，C分別為AE，F(xiàn)D的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，則在該四面體中（）A．SKIPIF1<0B．BE與平面DCE所成角的余弦值為SKIPIF1