高考數(shù)學一輪復習練案14第二章函數(shù)導數(shù)及其應用第十一講導數(shù)的概念及運算含解析新人教版

一輪復習精品資料(高中)PAGEPAGE1第十一講導數(shù)的概念及運算A組基礎鞏固一、單選題1．y＝lneq\f(1,x)的導函數(shù)為(A)A．y′＝－eq\f(1,x) B．y′＝eq\f(1,x)C．y′＝lnx D．y′＝－ln(－x)〖〖解析〗〗y(tǒng)＝lneq\f(1,x)＝－lnx，∴y′＝－eq\f(1,x).2．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)cosx，則f(π)＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝(C)A．－eq\f(3,π2) B．－eq\f(1,π2)C．－eq\f(3,π) D．－eq\f(1,π)〖〖解析〗〗f(π)＝eq\f(－1,π)，f′(x)＝eq\f(－xsinx－cosx,x2)，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(2,π)，∴f(π)＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(3,π).故選C.3．設函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內可導，且f(ex)＝x＋ex，則f′(2022)＝(D)A．1 B．2C．eq\f(1,2022) D．eq\f(2023,2022)〖〖解析〗〗令ex＝t，則x＝lnt，所以f(t)＝lnt＋t，故f(x)＝lnx＋x.求導得f′(x)＝eq\f(1,x)＋1，故f′(2022)＝eq\f(1,2022)＋1＝eq\f(2023,2022).故選D.4．(2021·廣東深圳模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋(1－a)x＋eq\f(2,x)是奇函數(shù)，則曲線y＝f(x)在x＝1處的切線的傾斜角為(B)A.eq\f(π,4) B．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(2π,3)〖〖解析〗〗由函數(shù)f(x)＝ax2＋(1－a)x＋eq\f(2,x)是奇函數(shù)，得f(－x)＝－f(x)，可得a＝0，則f(x)＝x＋eq\f(2,x)，f′(x)＝1－eq\f(2,x2)，故曲線y＝f(x)在x＝1處的切線斜率k＝1－2＝－1，可得所求切線的傾斜角為eq\f(3π,4)，故選B.5．(2021·湖北黃岡模擬，4)已知直線y＝eq\f(1,m)是曲線y＝xex的一條切線，則實數(shù)m的值為(B)A．－eq\f(1,e) B．－eC．eq\f(1,e) D．e〖〖解析〗〗設切點坐標為(n，eq\f(1,m))，對y＝xex求導得y′＝(xex)′＝ex＋xex，若直線y＝eq\f(1,m)是曲線y＝xex的一條切線，則有y′|x＝n＝en＋nen＝0，解得n＝－1，此時有eq\f(1,m)＝nen＝－eq\f(1,e)，∴m＝－e.故選B.6．(2020·湖南婁底二模，5)已知f(x)是奇函數(shù)，當x>0時，f(x)＝－eq\f(x,x－2)，則函數(shù)圖象在x＝－1處的切線方程是(A)A．2x－y＋1＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y－1＝0 D．x＋2y－2＝0〖〖解析〗〗當x<0時，－x>0，∴f(－x)＝－eq\f(x,x＋2)，∴f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x<0)，又f′(－1)＝2，f(－1)＝－1，∴切線方程為y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.故選A.7．如圖，y＝f(x)是可導函數(shù)，直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導函數(shù)，則g′(3)＝(B)A．－1 B．0C．2 D．4〖〖解析〗〗由題圖可知曲線y＝f(x)在x＝3處切線的斜率為－eq\f(1,3)，即f′(3)＝－eq\f(1,3)，又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由題圖可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝0.二、多選題8．(2021·珠海調考改編)下列求導運算不正確的是(ACD)A．(x＋eq\f(1,x))′＝1＋eq\f(1,x2)B．(log2x)′＝eq\f(1,xln2)C．(3x)′＝3x·log3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx〖〖解析〗〗因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1－eq\f(1,x2)，所以選項A不正確；因為(log2x)′＝eq\f(1,xln2)，所以選項B正確；因為(3x)′＝3xln3，所以選項C不正確；因為(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，所以選項D不正確．故選A、C、D.9．若函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象關于y軸對稱，則f(x)的〖解析〗式可能為(BC)A．f(x)＝3cosx B．f(x)＝x3＋xC．f(x)＝x＋eq\f(1,x) D．f(x)＝ex＋x〖〖解析〗〗對于A，f(x)＝3cosx，其導數(shù)f′(x)＝－3sinx，其導函數(shù)為奇函數(shù)，圖象不關于y軸對稱，不符合題意；對于B，f(x)＝x3＋x，其導數(shù)f′(x)＝3x2＋1，其導函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，符合題意；對于C，f(x)＝x＋eq\f(1,x)，其導數(shù)f′(x)＝1－eq\f(1,x2)，其導函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，符合題意；對于D，f(x)＝ex＋x，其導數(shù)f′(x)＝ex＋1，其導函數(shù)不是偶函數(shù)，圖象不關于y軸對稱，不符合題意．10．若函數(shù)f(x)＝ex－1與g(x)＝ax的圖象恰有一個公共點，則實數(shù)a的可能取值為(BCD)A．2 B．0C．1 D．－1〖〖解析〗〗本題考查導數(shù)的幾何意義．函數(shù)f(x)＝ex－1與g(x)＝ax的圖象恒過點(0，0)，如圖，當a≤0時，兩函數(shù)圖象恰有一個公共點；當a>0時，若函數(shù)f(x)＝ex－1與g(x)＝ax的圖象恰有一個公共點，則g(x)＝ax為曲線f(x)＝ex－1的切線，且切點為(0，0)，由f′(x)＝ex，得a＝f′(0)＝e0＝1，結合選項可知BCD正確．三、填空題11．(1)(2018·天津，10)已知函數(shù)f(x)＝exlnx，f′(x)為f(x)的導函數(shù)，則f′(1)的值為e；(2)(2021·長春模擬)若函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x)，則f′(2)＝eq\f(1－ln2,4)；(3)函數(shù)y＝x·tanx的導數(shù)為y′＝tan_x＋eq\f(x,cos2x)．〖〖解析〗〗(1)本題主要考查導數(shù)的計算．∵f(x)＝exlnx，∴f′(x)＝exeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(1,x)))，∴f′(1)＝e1×(ln1＋1)＝e.(2)由f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，得f′(2)＝eq\f(1－ln2,4).(3)y′＝(x·tanx)′＝x′tanx＋x(tanx)′＝tanx＋x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)))′＝tanx＋x·eq\f(cos2x＋sin2x,cos2x)＝tanx＋eq\f(x,cos2x).12．(2020·課標Ⅰ)曲線y＝lnx＋x＋1的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為y＝2x．〖〖解析〗〗設該切線的切點坐標為(x0，y0)，由y＝lnx＋x＋1得y′＝eq\f(1,x)＋1，則在該切點處的切線斜率k＝eq\f(1,x0)＋1，即eq\f(1,x0)＋1＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln1＋1＋1＝2，即切點坐標為(1，2)，∴該切線的方程為y－2＝2(x－1)，即y＝2x.13．(2021·上饒模擬)若點P是曲線y＝x2－lnx上任意一點，則點P到直線y＝x－2的最小值為eq\r(2)．〖〖解析〗〗因為定義域為(0，＋∞)，由y′＝2x－eq\f(1,x)＝1，解得x＝1，則在P(1，1)處的切線方程為x－y＝0，所以兩平行線間的距離為d＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).B組能力提升1．(2021·湖南長沙長郡中學模擬)等比數(shù)列{an}中，a2＝2，函數(shù)f(x)＝x(x－a1)(x－a2)(x－a3)，則f′(0)＝(B)A．8 B．－8C．4 D．－4〖〖解析〗〗f′(x)＝(x－a1)(x－a2)(x－a3)＋x〖(x－a1)(x－a2)(x－a3)〗′，∴f′(0)＝－a1a2a3＝－aeq\o\al(3,2)＝－8.2．如圖所示為函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的導函數(shù)的圖象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是(D)〖〖解析〗〗由y＝f′(x)的圖象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上單調遞減，說明函數(shù)y＝f(x)的切線的斜率在(0，＋∞)上也單調遞減，故可排除A，C.又由圖象知y＝f′(x)與y＝g′(x)的圖象在x＝x0處相交，說明y＝f(x)與y＝g(x)的圖象在x＝x0處的切線的斜率相同，故可排除B.3．已知函數(shù)f(x)＝asinx＋bx3＋4(a，b∈R)，f′(x)為f(x)的導函數(shù)，則f(2022)＋f(－2022)＋f′(2023)－f′(－2023)＝(D)A．0 B．2014C．2015 D．8〖〖解析〗〗因為f(x)＝asinx＋bx3＋4(a，b∈R)，所以f′(x)＝acosx＋3bx2，則f(x)－4＝asinx＋bx3是奇函數(shù)，且f′(x)＝acosx＋3bx2為偶函數(shù)，所以f(2022)＋f(－2022)＋f′(2023)－f′(－2023)＝〖f(2022)－4〗＋〖f(－2022)－4〗＋8＝8.4．(2021·四川名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，f′(x)是f(x)的導函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是(C)A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)〖〖解析〗〗設f′(3)，f(3)－f(2)＝eq\f(f（3）－f（2）,3－2)，f′(2)分別表示直線n，m，l的斜率，數(shù)形結合知0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)，故選C.5．(2021·山東濰坊模擬)閱讀材料：求函數(shù)y＝ex的導函數(shù)．解：因為y＝ex，所以x＝lny，所以x′＝(lny)′，所以1＝eq\f(1,y)·y′，所以y′＝y(tǒng)＝ex.借助上述思路，曲線y＝(2x－1)x＋1，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))在點(1，1)處的切線方程為(A)A．y＝4x－3 B．y＝4x＋3C．y＝2x－3 D．y＝2x＋3〖〖解析〗〗因為y＝(2x－1)x＋1，所以lny＝(x＋1)·ln(2x－1)，所以eq\f(1,y)·y′＝ln(2x－1)＋eq\f(2（x＋1）,2x－1)，所以y′＝〖ln(2x－1)＋eq\f(2（x＋1）,2x－1)〗·(2x－1)x＋1，當x＝1時，y′＝4，所以曲線y＝(2x－1)x＋1，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))在點(1，1)處的切線方程為y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.第十一講導數(shù)的概念及運算A組基礎鞏固一、單選題1．y＝lneq\f(1,x)的導函數(shù)為(A)A．y′＝－eq\f(1,x) B．y′＝eq\f(1,x)C．y′＝lnx D．y′＝－ln(－x)〖〖解析〗〗y(tǒng)＝lneq\f(1,x)＝－lnx，∴y′＝－eq\f(1,x).2．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)cosx，則f(π)＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝(C)A．－eq\f(3,π2) B．－eq\f(1,π2)C．－eq\f(3,π) D．－eq\f(1,π)〖〖解析〗〗f(π)＝eq\f(－1,π)，f′(x)＝eq\f(－xsinx－cosx,x2)，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(2,π)，∴f(π)＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(3,π).故選C.3．設函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內可導，且f(ex)＝x＋ex，則f′(2022)＝(D)A．1 B．2C．eq\f(1,2022) D．eq\f(2023,2022)〖〖解析〗〗令ex＝t，則x＝lnt，所以f(t)＝lnt＋t，故f(x)＝lnx＋x.求導得f′(x)＝eq\f(1,x)＋1，故f′(2022)＝eq\f(1,2022)＋1＝eq\f(2023,2022).故選D.4．(2021·廣東深圳模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋(1－a)x＋eq\f(2,x)是奇函數(shù)，則曲線y＝f(x)在x＝1處的切線的傾斜角為(B)A.eq\f(π,4) B．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(2π,3)〖〖解析〗〗由函數(shù)f(x)＝ax2＋(1－a)x＋eq\f(2,x)是奇函數(shù)，得f(－x)＝－f(x)，可得a＝0，則f(x)＝x＋eq\f(2,x)，f′(x)＝1－eq\f(2,x2)，故曲線y＝f(x)在x＝1處的切線斜率k＝1－2＝－1，可得所求切線的傾斜角為eq\f(3π,4)，故選B.5．(2021·湖北黃岡模擬，4)已知直線y＝eq\f(1,m)是曲線y＝xex的一條切線，則實數(shù)m的值為(B)A．－eq\f(1,e) B．－eC．eq\f(1,e) D．e〖〖解析〗〗設切點坐標為(n，eq\f(1,m))，對y＝xex求導得y′＝(xex)′＝ex＋xex，若直線y＝eq\f(1,m)是曲線y＝xex的一條切線，則有y′|x＝n＝en＋nen＝0，解得n＝－1，此時有eq\f(1,m)＝nen＝－eq\f(1,e)，∴m＝－e.故選B.6．(2020·湖南婁底二模，5)已知f(x)是奇函數(shù)，當x>0時，f(x)＝－eq\f(x,x－2)，則函數(shù)圖象在x＝－1處的切線方程是(A)A．2x－y＋1＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y－1＝0 D．x＋2y－2＝0〖〖解析〗〗當x<0時，－x>0，∴f(－x)＝－eq\f(x,x＋2)，∴f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x<0)，又f′(－1)＝2，f(－1)＝－1，∴切線方程為y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.故選A.7．如圖，y＝f(x)是可導函數(shù)，直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導函數(shù)，則g′(3)＝(B)A．－1 B．0C．2 D．4〖〖解析〗〗由題圖可知曲線y＝f(x)在x＝3處切線的斜率為－eq\f(1,3)，即f′(3)＝－eq\f(1,3)，又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由題圖可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝0.二、多選題8．(2021·珠海調考改編)下列求導運算不正確的是(ACD)A．(x＋eq\f(1,x))′＝1＋eq\f(1,x2)B．(log2x)′＝eq\f(1,xln2)C．(3x)′＝3x·log3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx〖〖解析〗〗因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1－eq\f(1,x2)，所以選項A不正確；因為(log2x)′＝eq\f(1,xln2)，所以選項B正確；因為(3x)′＝3xln3，所以選項C不正確；因為(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，所以選項D不正確．故選A、C、D.9．若函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象關于y軸對稱，則f(x)的〖解析〗式可能為(BC)A．f(x)＝3cosx B．f(x)＝x3＋xC．f(x)＝x＋eq\f(1,x) D．f(x)＝ex＋x〖〖解析〗〗對于A，f(x)＝3cosx，其導數(shù)f′(x)＝－3sinx，其導函數(shù)為奇函數(shù)，圖象不關于y軸對稱，不符合題意；對于B，f(x)＝x3＋x，其導數(shù)f′(x)＝3x2＋1，其導函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，符合題意；對于C，f(x)＝x＋eq\f(1,x)，其導數(shù)f′(x)＝1－eq\f(1,x2)，其導函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，符合題意；對于D，f(x)＝ex＋x，其導數(shù)f′(x)＝ex＋1，其導函數(shù)不是偶函數(shù)，圖象不關于y軸對稱，不符合題意．10．若函數(shù)f(x)＝ex－1與g(x)＝ax的圖象恰有一個公共點，則實數(shù)a的可能取值為(BCD)A．2 B．0C．1 D．－1〖〖解析〗〗本題考查導數(shù)的幾何意義．函數(shù)f(x)＝ex－1與g(x)＝ax的圖象恒過點(0，0)，如圖，當a≤0時，兩函數(shù)圖象恰有一個公共點；當a>0時，若函數(shù)f(x)＝ex－1與g(x)＝ax的圖象恰有一個公共點，則g(x)＝ax為曲線f(x)＝ex－1的切線，且切點為(0，0)，由f′(x)＝ex，得a＝f′(0)＝e0＝1，結合選項可知BCD正確．三、填空題11．(1)(2018·天津，10)已知函數(shù)f(x)＝exlnx，f′(x)為f(x)的導函數(shù)，則f′(1)的值為e；(2)(2021·長春模擬)若函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x)，則f′(2)＝eq\f(1－ln2,4)；(3)函數(shù)y＝x·tanx的導數(shù)為y′＝tan_x＋eq\f(x,cos2x)．〖〖解析〗〗(1)本題主要考查導數(shù)的計算．∵f(x)＝exlnx，∴f′(x)＝exeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(1,x)))，∴f′(1)＝e1×(ln1＋1)＝e.(2)由f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，得f′(2)＝eq\f(1－ln2,4).(3)y′＝(x·tanx)′＝x′tanx＋x(tanx)′＝tanx＋x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)))′＝tanx＋x·eq\f(cos2x＋sin2x,cos2x)＝tanx＋eq\f(x,cos2x).12．(2020·課標Ⅰ)曲線y＝lnx＋x＋1的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為y＝2x．〖〖解析〗〗設該切線的切點坐標為(x0，y0)，由y＝lnx＋x＋1得y′＝eq\f(1,x)＋1，則在該切點處的切線斜率k＝eq\f(1,x0)＋1，即eq\f(1,x0)＋1＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln1＋1＋1＝2，即切點坐標為(1，2)，∴該切線的方程為y－2＝2(x－1)，即y＝2x.13．(2021·上饒模擬)若點P是曲線y＝x2－lnx上任意一點，則點P到直線y＝x－2的最小值為eq\r(2)．〖〖解析〗〗因為定義域為(0，＋∞)，由y′＝2x－eq\f(1,x)＝1，解得x＝1，則在P(1，1)處的切線方程為x－y＝0，所以兩平行線間的距離為d＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).B組能力提升1．(2021·湖南長沙長郡中學模擬)等比數(shù)列{an}中，a2＝2，函數(shù)f(x)＝x(x－a1)(x－a2)(x－a3)，則f′(0)＝(B)A．8 B．－8C．4 D．－4〖〖解析〗〗f′(x)＝(x－a1)(x－a2)(x－a3)＋x〖(x－a1)(x－a2)(x－a3)〗′，∴f′(0)＝－a1a2a3＝－aeq\o\al(3,2)＝－8.2．如圖所示為函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的導函數(shù)的圖象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是(D)〖〖解析〗〗由y＝f′(x)的圖象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上單調遞減，說明函數(shù)y＝f(x)的切線的斜率在(0，＋∞)上也單調遞減，故可排除A，C.又由圖象知y＝f′(x)與y＝g′(x)的圖象在x＝x0處相交，說明y＝f(x)與y＝g(x)的圖象在x＝x0處的切線的斜率相同，故可排除B.3．已知函數(shù)f(x)＝asinx＋