2021-2022學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)第二中學(xué)高考數(shù)學(xué)一模試卷含解析_第1頁(yè)
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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,則,不可能滿(mǎn)足的關(guān)系是()A. B. C. D.2.已知非零向量滿(mǎn)足,若夾角的余弦值為,且,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C.或 D.3.由實(shí)數(shù)組成的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則“a1>0”是“S9>S8”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.設(shè)命題:,,則為A., B.,C., D.,5.設(shè)集合(為實(shí)數(shù)集),,,則()A. B. C. D.6.設(shè),分別為雙曲線(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作圓的切線與雙曲線的左支交于點(diǎn)P,若,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.7.函數(shù)的圖象為C,以下結(jié)論中正確的是()①圖象C關(guān)于直線對(duì)稱(chēng);②圖象C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng);③由y=2sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象C.A.① B.①② C.②③ D.①②③8.已知雙曲線,過(guò)原點(diǎn)作一條傾斜角為直線分別交雙曲線左、右兩支P,Q兩點(diǎn),以線段PQ為直徑的圓過(guò)右焦點(diǎn)F,則雙曲線離心率為A. B. C.2 D.9.一個(gè)超級(jí)斐波那契數(shù)列是一列具有以下性質(zhì)的正整數(shù):從第三項(xiàng)起,每一項(xiàng)都等于前面所有項(xiàng)之和(例如:1,3,4,8,16…).則首項(xiàng)為2,某一項(xiàng)為2020的超級(jí)斐波那契數(shù)列的個(gè)數(shù)為()A.3 B.4 C.5 D.610.《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題:“今有金箠,長(zhǎng)五尺,斬本一尺,重四斤;斬末一尺,重二斤,問(wèn)次一尺各重幾何?”意思是:“現(xiàn)在有一根金箠,長(zhǎng)五尺在粗的一端截下一尺,重斤;在細(xì)的一端截下一尺,重斤,問(wèn)各尺依次重多少?”按這一問(wèn)題的顆設(shè),假設(shè)金箠由粗到細(xì)各尺重量依次成等差數(shù)列,則從粗端開(kāi)始的第二尺的重量是()A.斤 B.斤 C.斤 D.斤11.為實(shí)現(xiàn)國(guó)民經(jīng)濟(jì)新“三步走”的發(fā)展戰(zhàn)略目標(biāo),國(guó)家加大了扶貧攻堅(jiān)的力度.某地區(qū)在2015年以前的年均脫貧率(脫離貧困的戶(hù)數(shù)占當(dāng)年貧困戶(hù)總數(shù)的比)為.2015年開(kāi)始,全面實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策后,扶貧效果明顯提高,其中2019年度實(shí)施的扶貧項(xiàng)目,各項(xiàng)目參加戶(hù)數(shù)占比(參加該項(xiàng)目戶(hù)數(shù)占2019年貧困戶(hù)總數(shù)的比)及該項(xiàng)目的脫貧率見(jiàn)下表:實(shí)施項(xiàng)目種植業(yè)養(yǎng)殖業(yè)工廠就業(yè)服務(wù)業(yè)參加用戶(hù)比脫貧率那么年的年脫貧率是實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策前的年均脫貧率的()A.倍 B.倍 C.倍 D.倍12.已知P是雙曲線漸近線上一點(diǎn),,是雙曲線的左、右焦點(diǎn),,記,PO,的斜率為,k,,若,-2k,成等差數(shù)列,則此雙曲線的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.直線與拋物線交于兩點(diǎn),若,則弦的中點(diǎn)到直線的距離等于________.14.已知二項(xiàng)式ax-1x6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為-16015.?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為,則數(shù)列的前項(xiàng)和_____.16.已知,,,且,則的最小值為_(kāi)__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知是遞增的等比數(shù)列,,且、、成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè),,求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.(12分)為了解網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)的發(fā)展情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)從全國(guó)各城市中抽取了100個(gè)相同等級(jí)地城市,分別調(diào)查了甲乙兩家網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)平臺(tái)(以下簡(jiǎn)稱(chēng)外賣(mài)甲、外賣(mài)乙)在今年3月的訂單情況,得到外賣(mài)甲該月訂單的頻率分布直方圖,外賣(mài)乙該月訂單的頻數(shù)分布表,如下圖表所示.訂單:(單位:萬(wàn)件)頻數(shù)1223訂單:(單位:萬(wàn)件)頻數(shù)402020102(1)現(xiàn)規(guī)定,月訂單不低于13萬(wàn)件的城市為“業(yè)績(jī)突出城市”,填寫(xiě)下面的列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績(jī)突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)平臺(tái)”有關(guān).業(yè)績(jī)突出城市業(yè)績(jī)不突出城市總計(jì)外賣(mài)甲外賣(mài)乙總計(jì)(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,外賣(mài)甲今年3月在全國(guó)各城市的訂單數(shù)(單位:萬(wàn)件)近似地服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表),的值已求出,約為3.64,現(xiàn)把頻率視為概率,解決下列問(wèn)題:①?gòu)娜珖?guó)各城市中隨機(jī)抽取6個(gè)城市,記為外賣(mài)甲在今年3月訂單數(shù)位于區(qū)間的城市個(gè)數(shù),求的數(shù)學(xué)期望;②外賣(mài)甲決定在今年3月訂單數(shù)低于7萬(wàn)件的城市開(kāi)展“訂外賣(mài),搶紅包”的營(yíng)銷(xiāo)活動(dòng)來(lái)提升業(yè)績(jī),據(jù)統(tǒng)計(jì),開(kāi)展此活動(dòng)后城市每月外賣(mài)訂單數(shù)將提高到平均每月9萬(wàn)件的水平,現(xiàn)從全國(guó)各月訂單數(shù)不超過(guò)7萬(wàn)件的城市中采用分層抽樣的方法選出100個(gè)城市不開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng),若每按一件外賣(mài)訂單平均可獲純利潤(rùn)5元,但每件外賣(mài)平均需送出紅包2元,則外賣(mài)甲在這100個(gè)城市中開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng)將比不開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng)每月多盈利多少萬(wàn)元?附:①參考公式:,其中.參考數(shù)據(jù):0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若,則,.19.(12分)某學(xué)生為了測(cè)試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問(wèn)題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn),并獲得了煤氣開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與燒開(kāi)一壺水所用時(shí)間y的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如表),得到了散點(diǎn)圖(如圖).表中,.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間y關(guān)于開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x的回歸方程類(lèi)型?(不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;(3)若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量t成正比,那么x為多少時(shí),燒開(kāi)一壺水最省煤氣?附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,.20.(12分)已知函數(shù),(1)證明:在區(qū)間單調(diào)遞減;(2)證明:對(duì)任意的有.21.(12分)過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線與曲線(為參數(shù))相交于M、N兩點(diǎn).(1)寫(xiě)出曲線C的一般方程;(2)求的最小值.22.(10分)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足條件,且an+2=(﹣1)n(an﹣1)+2an+1,n∈N*.(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè)bn=,Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求證:Sn.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】

根據(jù)即可得出,,根據(jù),,即可判斷出結(jié)果.【詳解】∵;∴,;∴,,故正確;,故C錯(cuò)誤;∵,故D正確故C.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化,對(duì)數(shù)的運(yùn)算,以及基本不等式:和不等式的應(yīng)用,屬于中檔題2.D【解析】

根據(jù)向量垂直則數(shù)量積為零,結(jié)合以及夾角的余弦值,即可求得參數(shù)值.【詳解】依題意,得,即.將代入可得,,解得(舍去).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用,涉及由向量垂直求參數(shù)值,屬基礎(chǔ)題.3.C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:若{an}是等比數(shù)列,則,

若,則,即成立,

若成立,則,即,

故“”是“”的充要條件,

故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵.4.D【解析】

直接利用全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題寫(xiě)出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)槿Q(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題,所以,命題:,,則為:,.故本題答案為D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的否定,特稱(chēng)命題與全稱(chēng)命題的否定關(guān)系,是基礎(chǔ)題.5.A【解析】

根據(jù)集合交集與補(bǔ)集運(yùn)算,即可求得.【詳解】集合,,所以所以故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】

設(shè)過(guò)點(diǎn)作圓的切線的切點(diǎn)為,根據(jù)切線的性質(zhì)可得,且,再由和雙曲線的定義可得,得出為中點(diǎn),則有,得到,即可求解.【詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)作圓的切線的切點(diǎn)為,,所以是中點(diǎn),,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)、雙曲線定義、圓的切線性質(zhì),意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于中檔題.7.B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心和圖象變換的知識(shí),判斷出正確的結(jié)論.【詳解】因?yàn)?,又,所以①正確.,所以②正確.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得,所以③錯(cuò)誤.所以①②正確,③錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心,考查三角函數(shù)圖象變換,屬于基礎(chǔ)題.8.B【解析】

求得直線的方程,聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程,求得兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,根據(jù)列方程,化簡(jiǎn)后求得離心率.【詳解】設(shè),依題意直線的方程為,代入雙曲線方程并化簡(jiǎn)得,故,設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,由于以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),故,即,即,即,兩邊除以得,解得.故,故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和雙曲線的交點(diǎn),考查圓的直徑有關(guān)的幾何性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.9.A【解析】

根據(jù)定義,表示出數(shù)列的通項(xiàng)并等于2020.結(jié)合的正整數(shù)性質(zhì)即可確定解的個(gè)數(shù).【詳解】由題意可知首項(xiàng)為2,設(shè)第二項(xiàng)為,則第三項(xiàng)為,第四項(xiàng)為,第五項(xiàng)為第n項(xiàng)為且,則,因?yàn)?,?dāng)?shù)闹悼梢詾?;即?個(gè)這種超級(jí)斐波那契數(shù)列,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列新定義的應(yīng)用,注意自變量的取值范圍,對(duì)題意理解要準(zhǔn)確,屬于中檔題.10.B【解析】

依題意,金箠由粗到細(xì)各尺重量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,則,由此利用等差數(shù)列性質(zhì)求出結(jié)果.【詳解】設(shè)金箠由粗到細(xì)各尺重量依次所成得等差數(shù)列為,設(shè)首項(xiàng),則,公差,.故選B【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11.B【解析】

設(shè)貧困戶(hù)總數(shù)為,利用表中數(shù)據(jù)可得脫貧率,進(jìn)而可求解.【詳解】設(shè)貧困戶(hù)總數(shù)為,脫貧率,所以.故年的年脫貧率是實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策前的年均脫貧率的倍.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了概率與統(tǒng)計(jì),考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】

求得雙曲線的一條漸近線方程,設(shè)出的坐標(biāo),由題意求得,運(yùn)用直線的斜率公式可得,,,再由等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)和離心率公式,計(jì)算可得所求值.【詳解】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為,且,由,可得以為圓心,為半徑的圓與漸近線交于,可得,可取,則,設(shè),,則,,,由,,成等差數(shù)列,可得,化為,即,可得,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì),主要是漸近線方程和離心率,考查方程思想和運(yùn)算能力,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由已知可知直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn),求出弦的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離,進(jìn)一步得到弦的中點(diǎn)到直線的距離.【詳解】解:如圖,直線過(guò)定點(diǎn),,而拋物線的焦點(diǎn)為,,弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,則弦的中點(diǎn)到直線的距離等于.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,屬于中檔題.14.2【解析】

在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中,令x的冪指數(shù)等于0,求出r的值,即可求得常數(shù)項(xiàng),再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)等于-160求得實(shí)數(shù)a的值.【詳解】∵二項(xiàng)式(ax-1x)令6-2r=0,求得r=3,可得常數(shù)項(xiàng)為-C63故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】

解:兩式作差,得,經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)得出數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式,裂項(xiàng)相消求和即可.【詳解】解:兩式作差,得化簡(jiǎn)得,檢驗(yàn):當(dāng)n=1時(shí),,所以數(shù)列是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列;,,令故填:.【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式,裂項(xiàng)相消求數(shù)列的前n項(xiàng)和,解題過(guò)程中需要注意n的范圍以及對(duì)特殊項(xiàng)的討論,側(cè)重考查運(yùn)算能力.16.【解析】

由,先將變形為,運(yùn)用基本不等式可得最小值,再求的最小值,運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性即可得到所求值.【詳解】解:因?yàn)?,,,且,所以因?yàn)?,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),所以令,則,令,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以所以則所求最小值為故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查基本不等式的運(yùn)用:求最值,注意變形和滿(mǎn)足的條件:一正二定三相等,考查利用單調(diào)性求最值,考查化簡(jiǎn)和運(yùn)算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題中條件求出的值,結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)求得,然后利用裂項(xiàng)相消法可求得.【詳解】(Ⅰ)設(shè)數(shù)列的公比為,由題意及,知.、、成等差數(shù)列成等差數(shù)列,,,即,解得或(舍去),.數(shù)列的通項(xiàng)公式為;(Ⅱ),.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)的求解,同時(shí)也考查了裂項(xiàng)求和法,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.18.(1)見(jiàn)解析,有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績(jī)突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)平臺(tái)”有關(guān).(2)①4.911②100萬(wàn)元.【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖與頻率分布表,易得兩個(gè)外賣(mài)平臺(tái)中月訂單不低于13萬(wàn)件的城市數(shù)量,即可完善列聯(lián)表.通過(guò)計(jì)算的觀測(cè)值,即可結(jié)合臨界值作出判斷.(2)①先根據(jù)所給數(shù)據(jù)求得樣本平均值,根據(jù)所給今年3月訂單數(shù)區(qū)間,并由及求得,.結(jié)合正態(tài)分布曲線性質(zhì)可求得,再由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望求法求解.②訂單數(shù)低于7萬(wàn)件的城市有和兩組,根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可確定各組抽取樣本數(shù).分別計(jì)算出開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng)與不開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng)的利潤(rùn),比較即可得解.【詳解】(1)對(duì)于外賣(mài)甲:月訂單不低于13萬(wàn)件的城市數(shù)量為,對(duì)于外賣(mài)乙:月訂單不低于13萬(wàn)件的城市數(shù)量為.由以上數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表如下圖,業(yè)績(jī)突出城市業(yè)績(jī)不突出城市總計(jì)外賣(mài)甲4060100外賣(mài)乙5248100總計(jì)92108200且的觀測(cè)值為,∴有90%的把握認(rèn)為“是否為業(yè)績(jī)突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)平臺(tái)”有關(guān).(2)①樣本平均數(shù),故==,,的數(shù)學(xué)期望,②由分層抽樣知,則100個(gè)城市中每月訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的有(個(gè)),每月訂單數(shù)在區(qū)間內(nèi)的有(個(gè)),若不開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng),則一個(gè)月的利潤(rùn)為(萬(wàn)元),若開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng),則一個(gè)月的利潤(rùn)為(萬(wàn)元),這100個(gè)城市中開(kāi)展?fàn)I銷(xiāo)活動(dòng)比不開(kāi)展每月多盈利100萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖與頻率分布表的應(yīng)用,完善列聯(lián)表并計(jì)算的觀測(cè)值作出判斷,分層抽樣的簡(jiǎn)單應(yīng)用,綜合性強(qiáng),屬于中檔題.19.(1)更適宜(2)(3)x為2時(shí),燒開(kāi)一壺水最省煤氣【解析】

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖是否按直線型分布作答;(2)根據(jù)回歸系數(shù)公式得出y關(guān)于的線性回歸方程,再得出y關(guān)于x的回歸方程;(3)利用基本不等式得出煤氣用量的最小值及其成立的條件.【詳解】(1)更適宜作燒水時(shí)間y關(guān)于開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x的回歸方程類(lèi)型.(2)由公式可得:,,所以所求回歸方程為.(3)設(shè),則煤氣用量,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”,即時(shí),煤氣用量最小.故x為2時(shí),燒開(kāi)一壺水最省煤氣.【點(diǎn)睛】本題考查擬合模型的選擇,回歸方程的求解,涉及均值不等式的使用,屬綜合中檔題.20.(1)答案見(jiàn)解析.(2)答案見(jiàn)解析【解析】

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