2024年廣東省廣州113中中考數學四模試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024年廣東省廣州113中中考數學四模試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.赤道長約為40000000m，用科學記數法可以把數字40000000表示為(

)A.4×107 B.40×106 C.2.下列各數：?4，?2.5，0，|?1|，其中比?3小的數是(

)A.?2.5 B.|?1| C.?4 D.03.下列幾何體的主視圖既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(

)A. B. C. D.4.下列運算正確的是(

)A.9=±3 B.C.3ab?ab=2 D.(?2x5.如圖，在△ABC中，點D是邊BC的中點，點F在AB邊上，AE⊥CF且AE平分∠BAC，已知DE=1，AC=4，則AB的長為(

)A.5 B.6 C.7 D.86.在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形(a>b)(如圖甲)，把余下的部分拼成一個矩形(如圖乙)，根據兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證等式(

)A.(a+b)2=a2+2ab+b2 7.?ABCD中，AB，BC的長分別等于一元二次方程x2?5x+6=0兩根之和與兩根之積，則對角線AC長的取值范圍是(

)A.AC>1B.1<AC<6C.AC>5或AC<11D.1<AC<118.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，將△ABC繞點C順時針旋轉得到△A′B′C，其中點A′與點A是對應點，點B′與點B是對應點.若點B′恰好落在AB邊上，則點A到直線A′C的距離等于(

)A.33 B.23 C.9.規(guī)定”△”為有序實數對的運算，如果(a,b)△(c,d)=(ac+bd,ad+bc).如果對任意實數a，b都有(a,b)△(x,y)=(a,b)，則(x,y)為(

)A.(0,1) B.(1,0) C.(?1,0) D.(0,?1)10.如圖，在直角坐標系中，矩形ABCD的邊AB=4，BC=6，不改變矩形的形狀和大小，當頂點A在x軸正半軸上左右移動時，另一頂點D始終在y軸正半軸上隨之上下移動.則下列說法：①當ODOA=23時，對角線BD//x軸；②在矩形運動過程中，C、O兩點有最大距離8；③M為AD中點，當△ODM的面積是92時，△OAD是等腰三角形.A.①② B.②③ C.①③ D.①②③二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.因式分解：ax2?2ax+a=12.分式方程2x?1=1的解為______．13.代數式1x?8有意義時，x應滿足的條件是

．14.如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，以點B為圓心，以AB為半徑畫弧，交對角線BD于點E，則圖中陰影部分的面積是____(結果保留π)．

15.如圖，線段AB表示連通A、B兩市之間的公路，兩市相距150km，分別從A、B處測得國家級風景區(qū)中心C處的方位角如圖所示，tanα=1.6，tanβ=1.4.則C處到公路AB的距離為______km．16.如圖，△ABC中，∠B=60°，AD為BC邊上的中線，則ACAD的最小值為______．

三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題4分)

解方程組3x?y=63x?5y=6．18.(本小題4分)

如圖，點E、F在線段BC上，AB//CD，∠A=∠D，BE=CF，證明：AE=DF．

19.(本小題6分)

已知H=(1b?1a)÷a2?2ab+b22ab(a≠0,b≠0，且a≠b)．

(1)化簡H；

(2)若數軸上點20.(本小題6分)

廣州市某中學響應國家政策，減輕家長負擔，為學生提供優(yōu)質午托.食堂為參加午托的960名同學提供了A、B、C、D四種套餐，為了解同學對這四種套餐的喜好情況，學校隨機抽取了240名進行“你最喜歡哪一種套餐(必選且只選一種)”問卷調查，根據調查結果繪制了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，部分信息如下：

(1)在抽取的240人中最喜歡A套餐的人數為______，扇形統(tǒng)計圖中“C”對應扇形的圓心角的大小為______；

(2)依據本次調查的結果，估計所有午托同學中最喜歡B套餐的人數；

(3)如果你是學生會主席，你決定從甲、乙、丙、丁四名學生會干部中隨機選兩人擔任食堂“食品安全監(jiān)督員”，求甲被選到的概率．21.(本小題8分)

史載偉大詩人屈原之弟子宋玉與楚懷王對話，贊美東家之子“增之一分則太長，減之一分則太短，著粉則太白，施朱而太赤…”．

(1)據考據，當時一分約為現在的0.3厘米，若東家之子增十分后的身高是減十分后身高的1.03倍，求其身高是多少厘米？

(2)楚時好華服，東家之子欲買絹與錦共12匹制成裳，絹價每匹15錢，錦價每匹20錢，若錦的數量不少于絹數量的2倍，請你為他設計一種購買方案，使所需總費用最低．22.(本小題10分)

如圖，點P是⊙O直徑AB延長線上一點．

(1)尺規(guī)作圖：在⊙O外作點M，使PM=PQ，MO=AB；(只需作一種情況，不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)連接PM，OM，OM交⊙O于點N．

①求證：PN⊥ON；

②若AB=6，PB=2，求sin∠APM．23.(本小題10分)

如圖，等邊△OAB和等邊△AFE的一邊都在x軸上，雙曲線y=kx(k>0)經過邊OB的中點C和AE的中點D.已知等邊△OAB的邊長為4．

(1)求該雙曲線所表示的函數解析式；

(2)求等邊△AEF的邊長．24.(本小題12分)

已知一次函數y1=4x?12的圖象與x軸相交于點A，二次函數y2=ax2+bx+c的圖象過點A與B(?1,0)．

(1)求c與a之間的等量關系式；

(2)若對于任意實數x，總有y2?y1≥0，求二次函數的解析式；

(3)記(2)25.(本小題12分)

如圖，點A是圓中優(yōu)弧DC上一動點，CB平分∠ACD，AG平分∠DAC交BC于點G，AD交BC于E．

(1)求證：∠AGC=90°+12∠D；

(2)若BE?BC=25，求BG的長；

(3)記CGAG=k，BG=a，∠DAC=n°，求在點A運動過程中，點G運動路徑長(用含n，a

參考答案1.A

2.C

3.B

4.D

5.B

6.C

7.D

8.D

9.B

10.D

11.a(x?1)12.x=3

13.x>8

14.8?2π

15.50

16.2117.解：3x?y=6①3x?5y=6②，

①?②得：y=0，

把y=0代入①得：x=2，

∴方程組的解為：x=2y=018.證明：∵AB//CD，

∴∠B=∠C．

在△ABE和△DCF中，

∠A=∠D∠B=∠CBE=CF,

∴△ABE≌△DCF(AAS)．

19.解(1)H=(1b?1a)÷a2?2ab+b22ab

=a?bab÷(a?b)22ab

=a?bab?2ab(a?b20.(1)在抽取的240人中最喜歡A套餐的人數為：240×25%=60，

扇形統(tǒng)計圖中“C”對應扇形的圓心角的大小為：360°×240?60?84?24240=108°，

故答案為：60，108°；

(2)960×84240=336(人)，

答：估計所有午托同學中最喜歡B套餐的有336人；

(3)樹狀圖如下所示，

由上可得，一共有12種等可能性，其中甲被選到的可能性有6種，21.解：(1)設東家之子的身高是x厘米，

根據題意得：x+0.3×10=1.03(x?0.3×10)，

解得：x=203．

答：東家之子的身高是203厘米；

(2)設購買m匹絹，則購買(12?m)匹錦，

根據題意得：12?m≥2m，

解得：m≤4．

設所需總費用為w錢，則w=15m+20(12?m)，

即w=?5m+240，

∵?5<0，

∴w隨m的增大而減小，

∴當m=4時，w取得最小值，此時12?m=12?4=8．

答：當購買4匹絹，8匹錦時，所需總費用最低．

22.(1)解：圖形如圖所示：

(2)①證明：∵OM=AM.AO=OB=ON，

∴ON=MN，

∵PO=PM，

∴PN⊥OM；

②過點M作MH⊥AP于點H．

∵ON=12AB=3，OP=AB+PB?AO=6+2?3=5，

∵PN⊥OM，

∴PN=OP2?ON2=23.解：(1)過點C作CG⊥OA于點G，

∵點C是等邊△OAB的邊OB的中點，

∴OC=2，∠AOB=60°，

∴OG=1，CG=OG?tan60°=1?3=3，

∴點C的坐標是(1,3)，

由3=k1，得：k=3，

∴該雙曲線所表示的函數解析式為y=3x；

(2)過點D作DH⊥AF于點H，設AH=a，則DH=3a.

∴點D的坐標為(4+a,3a)，

∵點D是雙曲線y=3x上的點，

24.解：(1)一次函數y1=4x?12的圖象與x軸相交于點A，則點A(3,0)，

由題意得，拋物線的表達式為：y=a(x+1)(x?3)=a(x2?2x?3)，

即c=?3a；

(2)由對于任意實數x，總有y2?y1≥0知，拋物線和一次函數只有一個交點A，

聯(lián)立兩個函數表達式得：a(x2?2x?3)=4x?12，

則Δ=(2a+4)2?4a(12?3a)=0，

解得：a=1，

則拋物線的表達式為：y=x2?2x?3；

(3)作△ABC的外接圓E，根據函數和圓的對稱性點E在拋物線的對稱軸上，設拋物線的對稱軸交圓于點P、P′，

∵∠CAB=45°=∠BPC=∠BP′C，

故當點Q在P、P′之間時，∠BQC>45°，

設點E(1,m)，

由AE=CE得：(1?3)2+m2=1+(m+3)2，

解得：m=?1，

25.(1)證明：∵CB平分∠ACD，

∴∠ACG=12∠ACD．

∵AG平分∠DAC，

∴∠CAG=12∠DAC，

∵∠AGC=180°?∠ACG?∠CAG，

∴∠AGC=180°?12(∠ACD+∠DAC)，

∵∠D+∠DAC+∠ACD=180°，

∴∠ACD+∠DAC=180°?∠D，

∴∠AGC=180°?12(180°?∠D)．

∴∠AGC=90°+12∠D；

(2)解：連接AB，如圖，

∵CB平分∠ACD，

∴∠ACB=∠DCB，

∴BD=AB，

∴∠BAD=∠ACB．

∵∠B=∠B，

∴△ABE∽△CBA，

∴ABBE=BCAB，

∴AB2=BE?BC=25，

∴AB=5．

∵AG平分∠DAC，

∴∠GAC=∠GAD，

∵∠AGB=∠GAC+∠GCA，∠BAG=∠GAD+∠BAD，

∴∠AGB=∠BAG，

∴BG=AB=5；