專(zhuān)題132將軍飲馬模型【原卷版】

第十三章專(zhuān)題2將軍飲馬模型1將軍飲馬如下圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，在直線l上取一點(diǎn)P，使得PA+PB最小.作法作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接A'B與直線l交于點(diǎn)P.簡(jiǎn)證PA+PB=PA'+PB=A'B，P'A+P'B=P'A'+P'B，因?yàn)镻'A'所以點(diǎn)P為所求點(diǎn).2變形模型（1）如下圖，點(diǎn)A，B在直線l的異側(cè)，在直線l上取一點(diǎn)P，使得PA+PB最小.直接連接AB，交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB最小.（2）如下圖，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，分別在OM，ON上做點(diǎn)A，B，使得?PAB的周長(zhǎng)最小.作點(diǎn)P關(guān)于OM，ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1,P2,連接P1P2，交OM，ON于點(diǎn)A，（3）如下圖，點(diǎn)P，Q是∠MON內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在OM，ON上做點(diǎn)A，B，使得四邊形PAQB的周長(zhǎng)最小.作點(diǎn)P關(guān)于OM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'，作點(diǎn)Q關(guān)于ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q'，連接P'Q'，交OM，ON于點(diǎn)A，B，此時(shí)四邊形PAQB的周長(zhǎng)最小.【題型1】將軍飲馬模型【典題1】如圖，A，B兩個(gè)村莊獨(dú)自從河流l上安裝了兩條灌溉管道AD，BE，AD⊥l于點(diǎn)D，BE⊥l于點(diǎn)E．某水務(wù)局準(zhǔn)備為兩村莊在河流l上重新安裝一臺(tái)大型的抽水設(shè)備灌溉農(nóng)田．通過(guò)測(cè)量，確定在河流l的點(diǎn)P處安裝抽水設(shè)備，則到兩個(gè)村莊鋪設(shè)的管道AP+BP的長(zhǎng)度最短，此時(shí)測(cè)得∠PBE＝30°，DE＝150米，則AP+BP的最小值為()A．180米 B．210米 C．240米 D．300米【典題2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠CAB交BC于D點(diǎn)，E、F分別是AD，AC上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EF的最小值為()A．152 B．5 C．3 D．【典題3】如圖，點(diǎn)E在等邊△ABC的邊BC上，BE＝4，射線CD⊥BC，垂足為點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線CD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)EP+FP的值最小時(shí)，BF＝5，則AB的長(zhǎng)為()A．10 B．8 C．7 D．9【鞏固練習(xí)】1.如圖，直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，點(diǎn)P是直線m上一動(dòng)點(diǎn)，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，則△APC周長(zhǎng)的最小值是()A．13 B．14 C．15 D．2.如圖，△ABC是等腰三角形，底邊BC的長(zhǎng)為6，面積是30，腰AC的垂直平分線EF分別交AC、AB于點(diǎn)E、F．若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM周長(zhǎng)的最小值是()A．11 B．13 C．18 D．243.如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE＝2，當(dāng)EF+CF取得最小值時(shí)，則∠ECF的度數(shù)為()A．15° B．° C．30° D．45°4.如圖，等腰△ABC的底邊BC長(zhǎng)為6，面積是24，E為腰AB的垂直平分線MN上一動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，則△BDE的周長(zhǎng)的最小值為.5.如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的頂點(diǎn)C作直線l⊥BC，然后作△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的△A'B'C，P為線段A'C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，PB，則AP+6.如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為邊在△ABC外作等邊三角形ACD，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線，垂足為F，與AB相交于點(diǎn)E，連接CE．(1)說(shuō)明：AE＝CE＝BE；(2)若DA⊥AB，BC＝6，P是直線DE上的一點(diǎn)，則當(dāng)P在何處時(shí)，PB+PC最小，并求出此時(shí)PB+PC的值．【題型2】將軍飲馬的變形模型【典題1】如圖，∠AOB＝60°，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在OA、OB上，當(dāng)△PMN周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MPN的度數(shù)是()A．120° B．60° C．30° D．90°【典題2】如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝72°，∠B＝∠D＝90°，M，N分別是BC，DC上的點(diǎn)，當(dāng)△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MAN的度數(shù)為()A．72° B．36° C．108° D．38°【鞏固練習(xí)】1.已知∠MON＝40°，P為∠MON內(nèi)一定點(diǎn)，OM上有一點(diǎn)A，ON上有一點(diǎn)B，當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，∠APB的度數(shù)是()A．40° B．100° C．140° D．50°2.如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB=5，D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則DE+EF+FD的最小值是()A． B． C． D．63.如圖，△ABD是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，E，F(xiàn)分別是邊AD，AB上的動(dòng)點(diǎn)，若∠ADC＝∠ABC＝90°，則△CEF周長(zhǎng)的最小值為．4.已知點(diǎn)P在∠MON內(nèi)．(1)如圖1，點(diǎn)P關(guān)于射線OM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是G，點(diǎn)P關(guān)于射線ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是H，連接OG、OH、OP．①若∠MON＝50°，則∠GOH＝；②若PO＝5，連接GH，請(qǐng)說(shuō)明當(dāng)∠MON為多少度時(shí)，GH＝10；(2)如圖2，若∠MON＝60°，A、B分別是射線OM、ON上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)最小時(shí)，求∠APB的度數(shù)．【A組基礎(chǔ)題】1.如圖，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝，BC的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)D，P是直線MN上的任意一點(diǎn)，則PA+PC的最小值是()A．2 B．3 C． D．2.如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果M、N分別為BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，那么CM+MN的最小值是()A． B．3 C．4 D．3.如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+PE最小時(shí)，∠PCD的度數(shù)是()A．90° B．60° C．45° D．30°4.如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)D是它內(nèi)部一點(diǎn)，OD＝m．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是OA，OB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△DEF周長(zhǎng)的最小值為()A．m B．m C．m D．2m5.如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，M，N分別是邊AB，AD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△MCN的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MCN的大小是()A．50° B．70° C．90° D．100°6.如圖，點(diǎn)E在等邊△ABC的邊BC上，BE＝6，射線CD⊥BC于點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線CD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)EP+PF的值最小時(shí)，BF＝7，則AC為．7.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD＝4，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是．8.如圖，∠AOB＝15°，M是邊OA上的一個(gè)定點(diǎn)，且OM＝12cm，N，P分別是邊OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，則PM+PN的最小值是．9.如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)若∠BAD＝37°，求∠ACB的度數(shù)；(2)若BC＝6，AD＝4，AB＝5，且CE⊥AB時(shí)，求CE的長(zhǎng)；(3)在(2)的條件下，請(qǐng)直接寫(xiě)出BP+EP的最小值．【B組提高題】1.如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E