河南省2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2023~2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考考試數(shù)學(xué)全卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.垃圾分類(lèi)是保護(hù)環(huán)境、改善人居環(huán)境、促進(jìn)城市精細(xì)化管理、保障可持續(xù)發(fā)展的重要舉措，現(xiàn)將3袋垃圾隨機(jī)投入4個(gè)不同的垃圾桶，則不同的投法有（）A.7種 B.12種 C.64種 D.81種【答案】C【解析】【分析】因?yàn)槊看?個(gè)垃圾桶可以選擇，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)槊看?個(gè)垃圾桶可以選擇，不同的投法有種.故選：C.2.若函數(shù)，則（）A.3 B. C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)可得，即可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：，所以.故選：A.3.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則公差（）A.-1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到方程組，求出公差.【詳解】由等差數(shù)列求和公式得，解得.故選：A4.小明騎自行車(chē)上學(xué)，從家到學(xué)校需要經(jīng)過(guò)三個(gè)十字路口，已知在十字路口遇到紅燈的概率均為，每次紅燈需要等待一分鐘且在每個(gè)路口是否遇到紅燈相互獨(dú)立，則紅燈等待時(shí)間不少于兩分鐘的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可知：小明遇到2個(gè)或3個(gè)紅綠燈，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)事件概率公式運(yùn)算求解.【詳解】記“紅燈等待時(shí)間不少于兩分鐘的概率”為事件A，由題意可知：事件A：小明遇到2個(gè)或3個(gè)紅綠燈，所以.故選：C.5.王華有張不同的郵票要分給、、三個(gè)好朋友，其中分得張，、每人至少分得一張，則不同的分法有（）A.120種 B.210種 C.240種 D.360種【答案】B【解析】【分析】分兩種情況討論，、各分得張與、兩人一人得張、另外一人得張，按照分步、分類(lèi)計(jì)數(shù)原理及組合數(shù)公式計(jì)算可得.【詳解】依題意，若、各分得張，則有種不同的分法；若、兩人一人得張、另外一人得張，則有種不同的分法；綜上可得一共有種不同的分法.故選：B6.某養(yǎng)豬場(chǎng)圈養(yǎng)了1000頭小豬，計(jì)劃半年后出欄，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，該品種的豬生長(zhǎng)半年后達(dá)到的重量（kg）服從正態(tài)分布，當(dāng)豬的重量大于90kg時(shí)，即可出欄，則半年后即可出欄的豬的數(shù)量約為（）（參考數(shù)據(jù)：若，則，）A.683 B.841 C.977 D.955【答案】C【解析】【分析】由題意可知：，則，結(jié)合正態(tài)分布的原則分析求解.【詳解】由題意可知：，則，可得，所以半年后即可出欄的豬的數(shù)量約為.故選：C.7.已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】由題可得，，成等比數(shù)列，從而求出，進(jìn)一步求出答案.【詳解】∵為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，∴，，成等比數(shù)列，∴，，∴，∴.故選：B.8.已知為雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為雙曲線(xiàn)上兩點(diǎn)，且，直線(xiàn)，的斜率分別為3和，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，可知兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，設(shè)出的坐標(biāo)，可得直線(xiàn)的斜率，利用點(diǎn)差法求得，進(jìn)而求得雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】因?yàn)?，則，可知是中點(diǎn)，即兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由題意可知：，設(shè)，則，則，可得，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在的展開(kāi)式中，下列命題正確的是（）A.二項(xiàng)式系數(shù)之和為64 B.所有項(xiàng)系數(shù)之和為C.常數(shù)項(xiàng)為60 D.第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A(yíng)：根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和為分析判斷；對(duì)于B：令，可得所有項(xiàng)系數(shù)之和；對(duì)于C：結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)分析求解；對(duì)于D：根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的最值分析求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋芍?xiàng)式系數(shù)之和為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：令，可得所有項(xiàng)系數(shù)之和為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)為，令，可得，所以常數(shù)項(xiàng)為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋芍?xiàng)式系數(shù)最大值為，為第4項(xiàng)，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10.已知圓，，則下列結(jié)論正確的有（）A.若圓和圓相交，則B.若圓和圓外切，則C.當(dāng)時(shí)，圓和圓有且僅有一條公切線(xiàn)D.當(dāng)時(shí)，圓和圓相交弦長(zhǎng)為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意求圓心和半徑.對(duì)于A(yíng)B：根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系分析求解；對(duì)于C：結(jié)合選項(xiàng)A分析判斷；對(duì)于D：先兩圓方程作差求公共弦所在直線(xiàn)的方程，結(jié)合垂徑定理求弦長(zhǎng).【詳解】由題意可知：圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑；則，對(duì)于選項(xiàng)A：若圓和圓相交，則，即，解得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若和外切，則，即，解得，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，由選項(xiàng)A可知：圓和圓相交，所以圓和圓有且僅有2條公切線(xiàn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，由選項(xiàng)A可知：圓和圓相交，且圓，，兩圓方程作差得，即公共弦所在直線(xiàn)的方程為，圓心到直線(xiàn)的距離，所以公共弦長(zhǎng)為，故D正確.故選：ABD11.已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，下列說(shuō)法正確的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】構(gòu)建，求導(dǎo)，結(jié)合題意分析可知在上單調(diào)遞增，結(jié)合單調(diào)性分析判斷.【詳解】構(gòu)建，可知的定義域?yàn)?，則，由題意可知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以在上單調(diào)遞增，則，即，可得，，，，故BCD正確，A錯(cuò)誤.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則__________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)可得，且，運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，則，且，整理得：，解得或（舍去）.故答案：3.13.已知甲射擊命中的概率為，且每次射擊命中得分，未命中得分，每次射擊相互獨(dú)立，設(shè)甲次射擊的總得分為隨機(jī)變量，則__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)命中的次數(shù)為，則，，根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式及方差的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】設(shè)命中的次數(shù)為，則，所以，又，所以.

故答案為：14.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交軸的正半軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，與軸平行，則__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，結(jié)合已知條件，求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)表示，由三點(diǎn)共線(xiàn)求出的值，再結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式求出結(jié)果.【詳解】由拋物線(xiàn)的方程，可得焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，直線(xiàn)：，令，得，即，設(shè)，由，，三點(diǎn)共線(xiàn)，得，整理得，解得或(舍)，所以，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟；15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意分和兩種情況，分析可知數(shù)列等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列分析求解；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法分析求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，若，可得，解得；若，可得，，兩式相減得，整理得，且，可得，可知數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得：，則，所以.16.如圖，在四棱錐中，平面，，，是等邊三角形，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若，求平面與平面夾角正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）【解析】【分析】（1）先證明，，然后利用線(xiàn)面垂直的判定定理證明垂直于平面；（2）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法即可求出兩平面夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】由于是等邊三角形，為的中點(diǎn)．故是等邊的中線(xiàn)，則，又因?yàn)槠矫?，平面?nèi)，可得，且，平面，可得平面，由平面，所以.【小問(wèn)2詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，可知是三角形的中位線(xiàn)，故∥.因?yàn)槠矫?，∥，所以平面，即三線(xiàn)兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由，，，，則，可得，，，則，．設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，故．由題意可知：平面的一個(gè)法向量為.可得，所以平面與平面夾角的余弦值為．17.已知橢圓過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)的上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，的傾斜角為，且滿(mǎn)足.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)兩點(diǎn)為橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)（異于左、右頂點(diǎn)）為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率分別為，，求證：為定值.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)詳解【解析】【分析】（1）先利用倍角公式結(jié)合，結(jié)合橢圓的性質(zhì)列式求，即可得方程；（2）設(shè)，可得，結(jié)合斜率公式分析證明.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋深}意可知：，則，可得，解得或（舍去），即的斜率為，由題意可知：，解得，所以橢圓方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，設(shè)，由可得，則，所以為定值.18.智能制造離不開(kāi)精密的零件，某車(chē)間生產(chǎn)精密零件，按照包裝每箱10個(gè)，某工廠(chǎng)質(zhì)檢人員需要開(kāi)箱隨機(jī)檢查零件質(zhì)量.（1）已知某箱零件中有2個(gè)次品，從中隨機(jī)抽取3個(gè)零件檢查，設(shè)隨機(jī)變量為次品個(gè)數(shù)，求；（2）根據(jù)歷年數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)該車(chē)間生產(chǎn)的零件中，每箱有0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)次品的概率分別為0.6，0.3，0.1，每箱隨機(jī)檢查3個(gè)零件，若發(fā)現(xiàn)有次品，則質(zhì)檢不合格，從某批次的產(chǎn)品中，任選一箱，求檢測(cè)合格的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可知：隨機(jī)變量的可能取值有0，1，2，結(jié)合超幾何分步求相應(yīng)的概率，進(jìn)而可求期望；（2）記抽到0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)次品的箱子分別為事件，檢測(cè)合格為事件，由題意可得，，利用全概率公式分析求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可知：隨機(jī)變量的可能取值有0，1，2，則：，可知.【小問(wèn)2詳解】記抽到0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)次品的箱子分別為事件，檢測(cè)合格為事件，則，且，由全概率公式可得：.所以檢測(cè)合格的概率為.19.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).（1）求取值范圍；（2）函數(shù)，若與有相同的值域，求的值，并證明：，恒成立.【答案】（1）（2），證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得時(shí)，為增函數(shù)，可得的最小值，從而可得，求解即可；（2）利用放縮法可得利用導(dǎo)數(shù)可證，再利用放縮法可得,進(jìn)而可證結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋x域?yàn)椋?所以函