等比數(shù)列概念及通項(xiàng)公式經(jīng)典教案

等比數(shù)列概念及通項(xiàng)公式經(jīng)典教案PAGE3PAGE1等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．準(zhǔn)確理解等比數(shù)列、等比中項(xiàng)的概念，掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法，能夠熟練應(yīng)用通項(xiàng)公式解決等比數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題.2．通項(xiàng)對(duì)等比數(shù)列概念的探究和通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、歸納思想，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的觀察、分析、概括和歸納的能力.3．激情參與、惜時(shí)高效，利用數(shù)列知識(shí)解決具體問(wèn)題，感受數(shù)列的應(yīng)用價(jià)值.【重點(diǎn)】：等比數(shù)列的概念及等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.【難點(diǎn)】：對(duì)等比數(shù)列中“等比”特征的理解、把握和應(yīng)用.【學(xué)法指導(dǎo)】1.閱讀探究課本上的基礎(chǔ)知識(shí)，初步掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法;2.完成教材助讀設(shè)置的問(wèn)題，然后結(jié)合課本的基礎(chǔ)知識(shí)和例題，完成預(yù)習(xí)自測(cè)；3.將預(yù)習(xí)中不能解決的問(wèn)題標(biāo)出來(lái)，并寫(xiě)到后面“我的疑惑”處.一、知識(shí)溫故1.數(shù)列有幾種表示方法？2.數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)有什么關(guān)系？3函數(shù)與數(shù)列之間有什么關(guān)系？教材助讀1．等比數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）。注:1“從第二項(xiàng)起”與“前一項(xiàng)”之比為常數(shù)q｛｝成等比數(shù)列=q（,q≠0）2隱含：任一項(xiàng)3q=1時(shí)，{an}為常數(shù)列.2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式①②3．既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列．4.等比中項(xiàng)的定義：如果a、G、b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).且5．證明數(shù)列為等比數(shù)列：①定義：證明=常數(shù)，②中項(xiàng)性質(zhì)：；6.等比數(shù)列的性質(zhì)：（1）（）；(2）對(duì)于k、l、m、n∈N*，若，則akal=aman.；（3）每隔項(xiàng)（）取出一項(xiàng)，按原來(lái)順序排列，所得的新數(shù)列為等比數(shù)列；（4）在等比數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是與它等距離的前后兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)。7.(1)若{an}為等比數(shù)列，公比為q，則{a2n}也是等比數(shù)列，公比為q2.(2)若{an}為等比數(shù)列，公比為q(q≠－1),則{a2n－1+a2n}也是等比數(shù)列，公比為q2.(3)若{an}、{bn}是等比數(shù)列，則{anbn}也是等比數(shù)列.(4)三個(gè)數(shù)a、b、c成等比數(shù)列的，則8．等比數(shù)列的遞增和遞減性.在等比數(shù)列{an}中(1)若a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1則數(shù)列遞增，(2)若a1＞0,0＜q＜1,或a1＜0，q＞1,則數(shù)列遞減；(3)若q=1，則數(shù)列為常數(shù)列；(4)若q＜0，則數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列.【預(yù)習(xí)自測(cè)】1.在等比數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝64，，則公比q為()（A）2 （B）3 （C）4 （D）82.數(shù)列m,m,m,…m,()A.一定是等比數(shù)列 B.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列C.一定是等差數(shù)列不一定是等比數(shù)列 D.既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列3．已知等比數(shù)列中，表示前n項(xiàng)的積，若＝1，則（）.A、＝1B、＝1C、＝1D、＝14．與，兩數(shù)的等比中項(xiàng)是（）ABCD5．等比數(shù)列中，4，2，成等差數(shù)列。若=1，則公比6．已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)依次為則。【我的疑惑】________________________________________二、經(jīng)典范例題型一等比數(shù)列的基本量a1，q【例1】已知等比數(shù)列{an}中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求題型二數(shù)列問(wèn)題的設(shè)元方法【例1】已知四個(gè)數(shù)前3個(gè)成等差，后三個(gè)成等比，中間兩數(shù)之積為16，前后兩數(shù)之積為－128，求這四個(gè)數(shù).問(wèn)題探究等比數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題如果等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，你能用兩種方法給出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式嗎？解方法一(歸納法)根據(jù)等比數(shù)列的定義知：a1＝a1q0，a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，a5＝a4q＝a1q4，…，一般地，有an＝a1qn－1.方法二(疊乘法)根據(jù)等比數(shù)列的定義得：eq\f(a2,a1)＝q，eq\f(a3,a2)＝q，eq\f(a4,a3)＝q，…，eq\f(an,an－1)＝q.將上面n－1個(gè)等式的左、右兩邊分別相乘，得eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·…·eq\f(an,an－1)＝qn－1，化簡(jiǎn)得eq\f(an,a1)＝qn－1，即an＝a1qn－1.當(dāng)n＝1時(shí)，上面的等式也成立．∴an＝a1qn－1(n∈N*)．題型三等比數(shù)列的證明【例2】若a、b、c成等比數(shù)列，試證：a2＋b2，ab＋bc，b2＋c2也成等比數(shù)列.備選題【例3】在中，，試求的通項(xiàng)題型四等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題【例4】成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)之和為15，若這三個(gè)數(shù)分別加上1，3，9后又成等比數(shù)列，求這三個(gè)數(shù).備選題【例5】已知數(shù)列｛an｝滿足：lgan＝3n＋5，試用定義證明｛an｝是等比數(shù)列.【歸納總結(jié)】1.等比數(shù)列的概念是的主要依據(jù).2.推導(dǎo)通項(xiàng)公式時(shí)不要忘記檢驗(yàn)的情況（特別是疊乘法）.3.通項(xiàng)公式的說(shuō)明：（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1qn－1中有四個(gè)量a1，q，n，an.已知其中三個(gè)量可求得第四個(gè)，簡(jiǎn)稱“知三求一”．（方程思想）.（2）求通項(xiàng)公式時(shí)要學(xué)會(huì)運(yùn)用“基本量法”，即Ⅱ.我的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖概念概念等比等比數(shù)列判斷方法判斷方法三、過(guò)關(guān)測(cè)試一、基礎(chǔ)鞏固把簡(jiǎn)單的事做好就叫不簡(jiǎn)單！1．在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，A．9 B．10C．11 D．122．已知a，b，c，d成等比數(shù)列，且曲線y＝x2－2x＋3的頂點(diǎn)是(b，c)，則ad等于()A．3 B．2 C．1 D．－23．如果－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，那么 ()A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－94．一個(gè)數(shù)分別加上20,50,100后得到的三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其公比為 ()A.eq\f(5,3) B.eq\f(4,3) C.eq\f(3,2) D.eq\f(1,2)5．若a，b，c成等比數(shù)列，m是a，b的等差中項(xiàng)，n是b，c的等差中項(xiàng)，則eq\f(a,m)＋eq\f(c,n)等于()A．4 B．3 C．2 D．6．若正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差數(shù)列，則eq\f(a3＋a5,a4＋a6)等于 ()A.eq\f(\r(5)－1,2) B.eq\f(\r(5)＋1,2)C.eq\f(1,2) D．不確定綜合應(yīng)用挑戰(zhàn)高手，我能行！7．已知等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為a－1，a＋1，a＋4，則an＝________.8．已知數(shù)列－1，a1，a2，－4成等差數(shù)列，－1，b1，b2，b3，－4成等比數(shù)列，則eq\f(a2－a1,b2)的值是________．9．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{－53，－23,19,37,82}中，則6q＝________.拓展探究題戰(zhàn)勝自我，成就自我！10．已知等比數(shù)列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求11．在四個(gè)正數(shù)中，前三個(gè)成等差數(shù)列，和為48，后三個(gè)成等比數(shù)列，積為8000，求此四個(gè)數(shù)．12.已知(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz＝0.(1)若a，b，c依次成等差數(shù)列且公差不為0，求證：x，y，z成等比數(shù)列；(2)若正數(shù)x，y，z依次成等比數(shù)列且公比不為1，求證：a，b，c成等差數(shù)列．四、探究與拓展13．互不相等的三個(gè)數(shù)之積為－8，這三個(gè)數(shù)適當(dāng)排列后可成為等比數(shù)列，也可排成等差數(shù)列，求這三個(gè)數(shù)排成的等差數(shù)列．四、課后練習(xí)一、選擇題1．在等比數(shù)列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，則a4＋a5的值為 ()A．16 B．27 C．36 D．2．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7等于 ()A．64 B．81 C．128 D．3．已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，則a4A．5eq\r(2) B．7C．6 D．4eq\r(2)4．在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a4a5a6＝3，log3a1＋log3a2＋log3a8＋A.eq\f(4,3) B.eq\f(3,4) C．2 D．3eq\f(4,3)5．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，則eq\f(a5,a7)等于 ()A.eq\f(5,6) B.eq\f(6,5) C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,2)6．已知等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，eq\f(1,2)a3,2a2成等差數(shù)列，則eq\f(a9＋a10,a7＋a8)等于()A．1＋eq\r(2) B．1－eq\r(2)C．3＋2eq\r(2) D．3－2eq\r(2)二、填空題7．設(shè)數(shù)列{an}為公比q>1的等比數(shù)列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的兩根，則a6＋a7＝________.8．首項(xiàng)為3的等比數(shù)列的第n項(xiàng)是48，第2n－3項(xiàng)是192，則n＝________.9．已知等差數(shù)列{an}的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2＝________.三、解答題10．已知數(shù)列{an}成等比數(shù)列．(1)若a2＝4，a5＝－eq\f(1,2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若a3a4a5＝8，求a211．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a412.等比數(shù)列{an}同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①a1＋a6＝11②a3·a4＝eq\f(32,9)③三個(gè)數(shù)eq\f(2,3)a2，a23，a4＋eq\f(4,9)依次成等差數(shù)列，試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．四、探究與拓展13．從盛滿a(a>1)升純酒精的容器里倒出1升然后添滿水搖勻，再倒出1升混合溶液后又用水添滿搖勻，如此繼續(xù)下去，問(wèn)：第n次操作后溶液的濃度是多少？若a＝2時(shí)，至少應(yīng)倒幾次后才能使酒精的濃度低于10%?過(guò)關(guān)測(cè)試答案：1．C2.B3.B4.A5.C6.A7．4·(eq\f(3,2))n－18.eq\f(1,2)9.－910．a(chǎn)n＝2n－1或an＝23－n11．四個(gè)數(shù)分別為12,16,20,2512．證明(1)∵a，b，c成等差數(shù)列且d≠0，∴b－c＝a－b＝－d，c－a＝2d，d≠0.∴(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)·logmz＝2dlogmy－dlogmx－dlogmz＝d(2logmy－logmx－logmz)＝dlogm(eq\f(y2,xz))＝0.∵d≠0，∴l(xiāng)ogmeq\f(y2,xz)＝0，∴eq\f(y2,xz)＝1.∴y2＝xz，即x，y，z成等比數(shù)列．(2)∵x，y，z成等比數(shù)列，且公比q≠1，∴y＝xq，z＝xq2，∴(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)·logmz＝(b－c)logmx＋(c－a)logm(xq)＋(a－b)logm(xq2)＝(b－c)logmx＋(c－a)logmx＋(c－a)·logmq＋(a－b)logmx＋2(a－b)logmq＝(c－a)logmq＋2(a－b)logmq＝(a＋c－2b)logmq＝0，∵q≠1，∴l(xiāng)ogmq≠0，∴a＋c－2b＝0，即a，b，c成等差數(shù)列．13．三個(gè)數(shù)排成的等差數(shù)列為4,1，－2或－2，1,4課后作業(yè)答案：1．B2.A3.A4.A5.D6.C7．188.59.－610．(1)an＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－2(2)3211．a(chǎn)n＝2n－2或an＝