廣東省惠州市2025屆高三數(shù)學(xué)第二次調(diào)研考試試題文含解析

PAGE20-廣東省惠州市2025屆高三數(shù)學(xué)其次次調(diào)研考試試題文（含解析）留意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)、學(xué)校、班級(jí)等考生信息填寫在答題卡上。2.作答選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案信息點(diǎn)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫在本試卷上無效。3.非選擇題必需用黑色字跡簽字筆作答，答案必需寫在答題卡各題指定的位置上，寫在本試卷上無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，，那么（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先解出集合所含的元素，再由集合的交集運(yùn)算的定義求解?！驹斀狻?，又即，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查交集及其運(yùn)算，嫻熟駕馭交集的定義是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。2.已知復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由共軛復(fù)數(shù)的概念解答?！驹斀狻浚?，，即的共軛復(fù)數(shù)為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題。3.若，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式可得，再依據(jù)平方關(guān)系計(jì)算出，之后利用二倍角的正弦公式即可得到答案?！驹斀狻坑深}意，依據(jù)誘導(dǎo)公式得，又因?yàn)榍遥?，依?jù)可得，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題。4.我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)探討成果，其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，有豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)．這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期．某中學(xué)擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用列舉法，從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，基本領(lǐng)件有10種狀況，所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的基本領(lǐng)件有9種狀況，由古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期．記這5部專著分別為，其中產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期．從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，基本領(lǐng)件有共10種狀況，所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的基本領(lǐng)件有，共9種狀況，所以所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的概率為．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，利用古典概型概率公式求概率時(shí)，找準(zhǔn)基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，基本亊件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的；(2)樹狀圖法：適合于較為困難的問題中的基本亊件的探求.在找基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)時(shí)，肯定要按依次逐個(gè)寫出：先，….，再，…..依次….…這樣才能避開多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.5.某工廠為了解產(chǎn)品的生產(chǎn)狀況，隨機(jī)抽取了100個(gè)樣本。若樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為8，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為（）A.8 B.15 C.16 D.32【答案】D【解析】分析】利用方差的性質(zhì)，若的方差為，則的方差為，干脆求解．【詳解】樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為8，所以數(shù)據(jù)，，…，的方差為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查方差的性質(zhì)應(yīng)用，若的方差為，則的方差為，屬于基礎(chǔ)題。6.以下三個(gè)命題：①“”是“”的充分不必要條件；②若為假命題，則，均為假命題；③對(duì)于命題：，使得；則是：，均有.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】【分析】①求出不等式的解集然后再推斷兩集合的關(guān)系，從而得出結(jié)論.②用聯(lián)結(jié)的兩個(gè)命題，只要有一個(gè)為假則這個(gè)復(fù)合命題即為假.③依據(jù)特稱命題的否定為全稱命題推斷.【詳解】①不等式，解得或，所以，，“”是“”的充分不必要條件.①正確；②若為假命題，則，至少有一個(gè)為假，故②錯(cuò)誤；③命題：使得的否定為，均有.③正確，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的推斷，簡(jiǎn)潔邏輯聯(lián)結(jié)詞及含有一個(gè)量詞的命題的否定，屬于基礎(chǔ)題。7.某幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖，左視圖均是由三角形與半圓構(gòu)成，俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】該幾何體是一個(gè)半球上面有一個(gè)三棱錐，體積為，故選A.8.已知雙曲線，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,M是雙曲線C2的一條漸近線上的點(diǎn)，且OM⊥MF2,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且雙曲線C1,C2的離心率相同，則雙曲線C2的實(shí)軸長是（）A.32 B.4 C.8 D.16【答案】D【解析】【分析】求得雙曲線C1的離心率，求得雙曲線C2一條漸近線方程為y=x，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合勾股定理和三角形的面積公式，化簡(jiǎn)整理解方程可得a=8，進(jìn)而得到雙曲線的實(shí)軸長．【詳解】雙曲線的離心率為，設(shè)F2（c，0），雙曲線C2一條漸近線方程為y=x，可得|F2M|==b，即有|OM|==a，由，可得ab=16，即ab=32，又a2+b2=c2，且=，解得a=8，b=4，c=4，即有雙曲線的實(shí)軸長為16．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，留意運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和離心率公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．9.已知直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，則（）A.B.上單調(diào)遞增C.由的圖象向左平移個(gè)單位可得到的圖象D.由的圖象向左平移個(gè)單位可得到的圖象【答案】D【解析】【分析】由正弦型函數(shù)的對(duì)稱性，我們可以推斷出選項(xiàng)A錯(cuò)誤，由正弦型函數(shù)的單調(diào)性可以推斷出選項(xiàng)B錯(cuò)誤，依據(jù)正弦型函數(shù)的平移變換可以推斷出選項(xiàng)C錯(cuò)誤和選項(xiàng)D正確.【詳解】由題意可得：，據(jù)此可得：，令k=0可得：，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；函數(shù)的解析式為：，若，則，函數(shù)不具有單調(diào)性；由的圖象向左平移個(gè)單位可得到的函數(shù)圖象，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由的圖象向左平移個(gè)單位可得到的圖象，選項(xiàng)D正確.本題選擇D選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，嫻熟駕馭正弦型函數(shù)的對(duì)稱性及平移變換法則是解答本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.10.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)表達(dá)式,把分母設(shè)為新函數(shù),首先計(jì)算函數(shù)定義域,然后求導(dǎo),依據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)推斷函數(shù)單調(diào)性,對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像得到答案.【詳解】設(shè)，，則的定義域?yàn)?，當(dāng)，，單增，當(dāng)，，單減，則.則在上單增，上單減，.選B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的推斷,用到了換元的思想,簡(jiǎn)化了運(yùn)算,同學(xué)們還可以用特別值法等方法進(jìn)行推斷.11.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，，若數(shù)列的前項(xiàng)和為5，則（）A.119 B.121 C.120 D.122【答案】C【解析】依題意有，即數(shù)列是以首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，故.，前項(xiàng)和，所以.點(diǎn)睛：本題主要考查遞推數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)求和法.首先依據(jù)題目所給方程，原方程是分式的形式，先轉(zhuǎn)化為整式，得到兩個(gè)平方的差為常數(shù)的遞推數(shù)列，依據(jù)這個(gè)遞推數(shù)列可以得到數(shù)列是以首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，即求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式，接著利用裂項(xiàng)求和法求得前項(xiàng)和，最終列方程解出的值.12.已知橢圓的短軸長為2，上頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且的面積為，點(diǎn)為橢圓上的隨意一點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由得橢圓的短軸長為，可得，，可得，從而可得結(jié)果.詳解：由得橢圓的短軸長為，，解得，，設(shè)，則，，即，，故選D.點(diǎn)睛：本題考查題意的簡(jiǎn)潔性質(zhì)，題意的定義的有意義，屬于中檔題.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思索時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸、等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第15題第一空3分，其次空2分。13.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解?！驹斀狻坑深}意且，，，得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示若、，則，屬于基礎(chǔ)題。14.設(shè)函數(shù)，則______.【答案】0【解析】【分析】干脆利用分段函數(shù)，由內(nèi)及外求解函數(shù)值?！驹斀狻浚?所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求分段函數(shù)的函數(shù)值，推斷出自變量所屬的段，將自變量的值代入相對(duì)應(yīng)的解析式中求出函數(shù)值。15.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則的大小為__________．【答案】【解析】由，依據(jù)正弦定理得，即，，又因?yàn)椋?，故答案為?6.已知底面邊長為的正三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)在球上，又知球與此正三棱柱的5個(gè)面都相切，則球與球的半徑之比為______，表面積之比為______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】由題意球?yàn)檎庵耐饨忧颍驗(yàn)檎庵膬?nèi)切球，正三棱柱的外接球和內(nèi)切球的球心為同一點(diǎn)，在上下底面中心的連線的中點(diǎn)上，外接球的半徑為球心到各頂點(diǎn)的距離，內(nèi)切球的半徑為球心到各面的距離，即可求出球與球的半徑的關(guān)系?！驹斀狻吭O(shè)球，球的半徑分別為，，由于正三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，所以球心在上下底面中心的連線的中點(diǎn)上，如圖，，，，在中，，由于所以：，，則球與球的半徑比為，所以球與球的表面積之比等于，所以答案應(yīng)填：，.【點(diǎn)睛】正三棱柱的外接球和內(nèi)切球的球心為同一點(diǎn)，在上下底面中心的連線的中點(diǎn)上，外接球的半徑為球心到各頂點(diǎn)的距離，內(nèi)切球的半徑為球心到各面的距離，找出兩球半徑和三棱柱的底邊的關(guān)系再代入球的表面積計(jì)算公式即可。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答。第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明.【答案】(1)，.(2)證明見解析【解析】【分析】（1）利用已知條件構(gòu)造關(guān)于和的方程組，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，即可得證.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，依題意，解得，由，∴，.（2），且∴因?yàn)?，所以，得證。【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和轉(zhuǎn)化實(shí)力，屬于中檔題。18.為響應(yīng)國家“精準(zhǔn)扶貧、精準(zhǔn)脫貧”的號(hào)召，某貧困縣在精準(zhǔn)推動(dòng)上下實(shí)功，在在精準(zhǔn)落實(shí)上見實(shí)效現(xiàn)從全縣扶貧對(duì)象中隨機(jī)抽取人對(duì)扶貧工作的滿足度進(jìn)行調(diào)查，以莖葉圖中記錄了他們對(duì)扶貧工作滿足度的分?jǐn)?shù)(滿分分)如圖所示，已知圖中的平均數(shù)與中位數(shù)相同.現(xiàn)將滿足度分為“基本滿足”(分?jǐn)?shù)低于平均分)、“滿足”(分?jǐn)?shù)不低于平均分且低于分)和“很滿足”(分?jǐn)?shù)不低于分)三個(gè)級(jí)別.(1)求莖葉圖中數(shù)據(jù)的平均數(shù)和的值;(2)從“滿足”和“很滿足”的人中隨機(jī)抽取人，求至少有人是“很滿足”的概率.【答案】（1）平均數(shù)；（2）【解析】【詳解】(1)由題意，依據(jù)圖中個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，由平均數(shù)與中位數(shù)相同，得平均數(shù)為，所以，解得；(2)依題意，人中，“基本滿足”有人，“滿足”有人，“很滿足”有人.“滿足”和“很滿足”的人共有人.分別記“滿足”的人為，，，，“很滿足”的人為，，，.從中隨機(jī)抽取人的一切可能結(jié)果所組成的基本領(lǐng)件共個(gè)：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.用事務(wù)表示“人中至少有人是很滿足”這一件事，則事務(wù)由個(gè)基本領(lǐng)件組成：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有22個(gè).故事務(wù)的概率為【點(diǎn)睛】本題主要考查了莖葉圖的應(yīng)用，以及古典概型及其概率的計(jì)算問題，其中解答中熟記莖葉圖的中的平均數(shù)和中位數(shù)的計(jì)算，以及利用列舉法得出基本領(lǐng)件的總數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E、F在圓O上，，矩形ABCD所在平面和圓O所在的平面相互垂直，已知，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)幾何體、的體積分別為、，求.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理得到平面，再利用線面垂直的判定定理得到平面，由面面垂直的判定定理即可得到證明;（2）利用棱錐體積公式計(jì)算求比值即可.【詳解】（1）如圖,矩形中，，∵平面平面，平面平面，∴平面，∵平面，∴.又∵為圓直徑，∴，∵，、平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.另解：也可證明平面.（2）幾何體是四棱錐、是三棱錐，過點(diǎn)作，交于.∵平面平面，∴平面.則，∴【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查棱錐體積公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.20.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率等于，該橢圓的一個(gè)長軸端點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)記為、，其中點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)、是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)、運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足，試問直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)為定值，定值.【解析】【分析】（1）由題意可求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即為的值，再依據(jù)離心率等于，及、、的關(guān)系即可求出。（2）由題意，即直線與直線斜率存在且斜率之和為0，可設(shè)的斜率為，表示出直線與直線的方程，分別聯(lián)立直線方程與橢圓方程，即可用含的式子表示，兩點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可求出直線的斜率?！驹斀狻浚?）因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)為，所以，，∴，又，所以.所以橢圓的方程為.（2）由題意，當(dāng)時(shí)，知與斜率存在且斜率之和為0.設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，記，，直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)、，設(shè)的方程為，聯(lián)立，消得，由已知知恒成立，所以，同理可得所以，，，所以.所以的斜率為定值.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的綜合問題，依據(jù)已知條件計(jì)算出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解答本題的關(guān)鍵。21.已知函數(shù)，，在處的切線方程為.（1）求，；（2）若，證明：.【答案】（1），；（2）見解析【解析】【詳解】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于的方程組，解出即可；（2）由（1）可知，，由，可得，令，利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性可得，從而證明.試題解析：（（1）由題意，所以，又，所以，若，則，與沖突，故，.（2）由（1）可知，，由，可得，令，，令當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；且，所以在上當(dāng)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，故，故.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的切線求參數(shù)的方法，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法，解題時(shí)要仔細(xì)審題，留意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。假如多做，則按所做的第一題計(jì)分。答題時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)并將相應(yīng)信息點(diǎn)涂黑。22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系.（I）求圓的一般方程及其極坐標(biāo)方程；（II）設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為，射線與圓的交點(diǎn)為，與直線的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長.【答案】（I）一般方程為：，極坐標(biāo)方程為：.（II）【解析】【分析】（I）利用消去參數(shù)，求得圓的一般方程，將代入，可