實(shí)驗(yàn)九　用單擺測量重力加速度的大小-2025屆高中物理

第八章機(jī)械振動和機(jī)械波實(shí)驗(yàn)九用單擺測量重力加速度的大小隨著新高考的實(shí)施，選擇性必修一的內(nèi)容在高考中的占比有所增加，因此用單擺測量重力加速度的實(shí)驗(yàn)地位也隨之提升，其中在2023年新課標(biāo)卷T23、2020年海南卷T14中均對該實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了考查，該實(shí)驗(yàn)的考查方向主要是測量儀器的讀數(shù)、實(shí)驗(yàn)原理以及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理.預(yù)計(jì)2025年高考對該實(shí)驗(yàn)的考查力度會有所加大.1.實(shí)驗(yàn)原理在偏角很小時(shí)單擺做簡諧運(yùn)動，其固有周期為T＝2πl(wèi)g，由此可得g＝[1]4π2lT22.實(shí)驗(yàn)器材鐵架臺及鐵夾、中心有小孔的金屬小球、約1m長的細(xì)線、停表、刻度尺、游標(biāo)卡尺.3.實(shí)驗(yàn)步驟（1）制作單擺：如圖所示.（2）測量擺長：用刻度尺測出擺線長L，用游標(biāo)卡尺測出小球直徑d，然后計(jì)算出懸點(diǎn)到球心的距離l＝L＋d2（3）測量周期：把單擺從平衡位置拉開一個(gè)很小的角度（小于[2]5°），然后放開小球讓它擺動，用停表測出單擺完成30～50次全振動的時(shí)間，計(jì)算出完成一次全振動的時(shí)間，這個(gè)時(shí)間就是單擺的振動周期.（4）重復(fù)實(shí)驗(yàn)：改變擺長，重做幾次實(shí)驗(yàn).4.數(shù)據(jù)處理（1）平均值法：根據(jù)單擺的周期公式，計(jì)算出每次實(shí)驗(yàn)的重力加速度，求出幾次實(shí)驗(yàn)得到的重力加速度的平均值，即本地的重力加速度的值.（2）圖像法：由T＝2πl(wèi)g得T2＝4π2gl，以T2為縱軸，以l為橫軸，作出T2－l圖像如圖所示，其斜率為k＝5.注意事項(xiàng)制作單擺①選擇材料時(shí)應(yīng)選擇細(xì)、輕又不易伸長的線，長度一般在1m左右，小球應(yīng)選用密度較大、直徑較小的金屬球②單擺懸線的上端不可隨意卷在鐵架臺的桿上，應(yīng)用鐵夾夾緊，以免擺球擺動時(shí)擺線滑動，引起擺長改變單擺擺動①注意擺動時(shí)控制擺線偏離豎直方向的偏角小于5°，可通過估算振幅的辦法加以控制②擺球擺動時(shí)，要使之保持在同一個(gè)豎直平面內(nèi)，不要形成圓錐擺測量擺長擺長應(yīng)是懸點(diǎn)到球心的距離，等于擺線長加上小球的半徑.測擺長時(shí)，應(yīng)將擺球懸掛好后再測，不能錯(cuò)誤地認(rèn)為擺線長就是擺長測量周期①應(yīng)從擺球通過平衡位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，并且采用倒數(shù)到0開始計(jì)時(shí)的方法，即“4、3、2、1、0、1、2、3、…”，在數(shù)“0”的同時(shí)按下停表開始計(jì)時(shí)計(jì)數(shù)②應(yīng)測量多次全振動的時(shí)間后計(jì)算出振動周期誤差分析單擺的振動不符合簡諧運(yùn)動的要求引起的系統(tǒng)誤差①單擺不在同一豎直平面內(nèi)振動，成為圓錐擺，測得的g值偏大（圓錐擺周期T＝2πl(wèi)c②振幅過大，擺角超過5°，擺角越大，擺球的實(shí)際周期T也越大，測得的g＝4π測定擺長l時(shí)引起的誤差①在未懸掛擺球前測定擺長或漏加擺球半徑d2，測得的擺長l測＝l0＜l，則g測＜g②測擺長時(shí)擺線拉得過緊或以擺球的直徑與擺線長之和作為擺長，測得的擺長l測＞l，則g測＞g；③懸點(diǎn)未固定好，擺球擺動時(shí)出現(xiàn)松動，測得的擺長l測＜l，則g測＜g測定周期時(shí)引起的誤差①開始計(jì)時(shí)時(shí)，停表過遲按下，會使所測時(shí)間t偏小，g值偏大；②計(jì)算單擺的全振動次數(shù)時(shí)，不從擺球通過最低點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，容易產(chǎn)生誤差命題點(diǎn)1教材基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)1.[2023新課標(biāo)]一學(xué)生小組做“用單擺測量重力加速度的大小”實(shí)驗(yàn).（1）用實(shí)驗(yàn)室提供的螺旋測微器測量擺球直徑.首先，調(diào)節(jié)螺旋測微器，擰動微調(diào)旋鈕使測微螺桿和測砧相觸時(shí)，發(fā)現(xiàn)固定刻度的橫線與可動刻度上的零刻度線未對齊，如圖（a）所示，該示數(shù)為0.008（0.007～0.009均可）mm；螺旋測微器在夾有擺球時(shí)示數(shù)如圖（b）所示，該示數(shù)為20.035（20.034～20.036均可）mm，則擺球的直徑為20.027（20.025～20.029均可）mm.（2）單擺實(shí)驗(yàn)的裝置示意圖如圖（c）所示，其中角度盤需要固定在桿上的確定點(diǎn)O處，擺線在角度盤上所指的示數(shù)為擺角的大小.若將角度盤固定在O點(diǎn)上方，則擺線在角度盤上所指的示數(shù)為5°時(shí)，實(shí)際擺角大于5°（填“大于”或“小于”）.（3）某次實(shí)驗(yàn)所用單擺的擺線長度為81.50cm，則擺長為82.5cm.實(shí)驗(yàn)中觀測到從擺球第1次經(jīng)過最低點(diǎn)到第61次經(jīng)過最低點(diǎn)的時(shí)間間隔為54.60s，則此單擺周期為1.82s，該小組測得的重力加速度大小為9.83m/s2.（結(jié)果均保留3位有效數(shù)字，π2取9.870）解析（1）題圖（a）中，螺旋測微器固定刻度讀數(shù)為0.0mm，可動刻度部分讀數(shù)為0.8×0.01mm＝0.008mm，所以讀數(shù)為0.008mm；題圖（b）中，螺旋測微器固定刻度讀數(shù)為20.0mm，可動刻度部分讀數(shù)為3.5×0.01mm＝0.035mm，所以讀數(shù)為20.035mm；擺球的直徑d＝20.035mm－0.008mm＝20.027mm.（2）角度盤固定在O點(diǎn)時(shí)，擺線在角度盤上所指角度為擺角大小，若將角度盤固定在O點(diǎn)上方，由幾何知識可知，擺線在角度盤上所指的示數(shù)為5°時(shí)，實(shí)際擺角大于5°.（3）單擺的擺長L等于擺線長l與擺球半徑之和，即L＝l＋d2＝82.5cm；從擺球第1次經(jīng)過最低點(diǎn)到第61次經(jīng)過最低點(diǎn)，單擺完成30次全振動，故單擺的周期T＝54.630s＝1.82s；由單擺的周期公式T＝2πLg可得g＝4π命題點(diǎn)2創(chuàng)新設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)2.[實(shí)驗(yàn)器材創(chuàng)新]在探究單擺運(yùn)動的實(shí)驗(yàn)中：（1）圖（a）是用力傳感器對單擺運(yùn)動過程進(jìn)行測量的裝置圖，圖（b）是與力傳感器連接的計(jì)算機(jī)屏幕所顯示的F－t圖像，根據(jù)圖（b）的信息可得，從t＝0時(shí)刻開始擺球第一次擺到最低點(diǎn)的時(shí)刻為0.5s，擺長為0.64m（取π2＝10，重力加速度大小g＝10m/s2）.（2）單擺運(yùn)動的回復(fù)力是B.A.擺球所受的重力B.擺球重力在垂直擺線方向上的分力C.擺線對擺球的拉力D.擺球所受重力和擺線對擺球拉力的合力（3）某同學(xué)的操作步驟如下，其中正確的是AC.A.取一根細(xì)線，下端系住直徑為d的金屬小球，上端固定在鐵架臺上B.用米尺量得細(xì)線長度l，即擺長為lC.在擺線偏離豎直方向5°位置由靜止釋放小球D.讓小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，測得周期，再根據(jù)公式計(jì)算重力加速度解析（1）擺球擺到最低點(diǎn)時(shí)力傳感器顯示的力最大，根據(jù)題圖（b）的信息可得，所對應(yīng)的時(shí)刻為t＝0.5s.根據(jù)題圖（b）的信息可得，單擺周期T＝1.6s，由單擺周期公式T＝2πl(wèi)g，解得擺長為l＝（2）單擺運(yùn)動的回復(fù)力是擺球重力在垂直擺線方向上的分力，而擺球所受重力和擺線對擺球拉力的合力在徑向上的分力提供向心力，B正確.（3）測得擺長應(yīng)為l＋d2，B錯(cuò)誤；若讓小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，則為圓錐擺運(yùn)動，測得的擺動周期不是單擺的周期，D錯(cuò)誤；A、C說法正確1.實(shí)驗(yàn)小組的同學(xué)們用如圖甲所示的裝置做“用單擺測量重力加速度的大小”的實(shí)驗(yàn).圖甲（1）測出懸點(diǎn)到小球球心的距離（擺長）l及單擺完成n次全振動所用的時(shí)間t，則重力加速度g＝4π2n2lt2（用（2）實(shí)驗(yàn)時(shí)除用到停表、刻度尺外，還應(yīng)該用到下列器材中的AC（填選項(xiàng)前的字母）.A.長約1m的細(xì)線B.長約1m的橡皮繩C.直徑約1cm的均勻鐵球D.直徑約10cm的均勻木球（3）選擇好器材，將符合實(shí)驗(yàn)要求的單擺懸掛在鐵架臺上，應(yīng)采用圖丙中所示的固定方式.（4）某實(shí)驗(yàn)小組組裝單擺時(shí)，在擺線上端的懸點(diǎn)處，用一塊開有狹縫的橡皮夾牢擺線，再用鐵架臺的鐵夾將橡皮夾緊，如圖丁所示，這樣做的目的是AC（填選項(xiàng)前的字母）.圖丁A.保持?jǐn)[動過程中擺長不變B.可使周期測量得更加準(zhǔn)確C.需要改變擺長時(shí)便于調(diào)節(jié)D.保證擺球在同一豎直平面內(nèi)擺動（5）他們組裝好單擺后在擺球自然懸垂的情況下，用毫米刻度尺測得從懸點(diǎn)到擺球的最低端的長度L＝0.9990m，再用游標(biāo)卡尺測量擺球直徑，結(jié)果如圖戊所示，則該擺球的直徑為12.0mm.圖戊（6）將單擺正確懸掛后進(jìn)行如下操作，其中正確的是BC（填選項(xiàng)前的字母）.A.測出擺線長作為單擺的擺長B.把單擺從平衡位置拉開一個(gè)很小的角度釋放，使之做簡諧運(yùn)動C.在擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)開始計(jì)時(shí)D.用停表測量擺球完成一次全振動所用的時(shí)間并作為單擺的周期（7）甲同學(xué)多次改變單擺的擺長并測得相應(yīng)的周期，他根據(jù)測量數(shù)據(jù)作出了如圖己所示的圖像，但忘記在圖中標(biāo)明橫軸表示的物理量.你認(rèn)為橫軸表示的物理量是l（選填“l(fā)2”“l(fā)”或“l(fā)”）；若圖線斜率為k，則重力加速度g＝4π2k2圖己（8）乙同學(xué)測得的重力加速度數(shù)值大于當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣鹊膶?shí)際值，造成這一情況的原因可能是CD（填選項(xiàng)前的字母）.A.開始擺動時(shí)振幅較小B.開始計(jì)時(shí)時(shí)，過早按下停表C.測量周期時(shí)，誤將擺球（n－1）次全振動的時(shí)間記為n次全振動的時(shí)間D.測量擺長時(shí)，以懸點(diǎn)到小球最低端的距離為擺長解析（1）單擺的周期T＝tn，由單擺周期公式T＝2πl(wèi)g得重力加速度g＝4π（2）為了便于測量周期和減小空氣阻力，擺線選擇較細(xì)且結(jié)實(shí)、無彈性的線，故選A；為了減小空氣阻力的影響，擺球選擇質(zhì)量大、體積小的，故選C.（3）為了避免擺動過程中擺長發(fā)生變化，懸點(diǎn)要固定，不能松動，則選圖丙所示的固定方式.（4）這樣做的目的是便于調(diào)節(jié)擺長，把擺線夾得更緊一些，使擺動過程中擺長不變，故選A、C.（5）擺球的直徑為d＝12.0mm.（6）擺長等于擺線的長度加上擺球的半徑，A錯(cuò)誤；用停表測量擺球完成一次全振動所用的時(shí)間并作為單擺的周期，誤差較大，應(yīng)采用累積法測量周期，D錯(cuò)誤；B、C正確.（7）根據(jù)單擺周期公式T＝2πl(wèi)g＝2πg(shù)l，可知T－l圖像為過原點(diǎn)的直線，故橫軸表示的物理量是l，斜率k＝2πg(shù)，解得（8）由單擺周期公式T＝2πl(wèi)g，得g＝4π2lT2，g與單擺振幅大小無關(guān)；開始計(jì)時(shí)時(shí)，過早按下停表，測得的周期偏大，則g的測量值比實(shí)際值偏?。粶y量周期時(shí)，誤將擺球（n－1）次全振動的時(shí)間記為n次全振動的時(shí)間，測得的周期偏小，則g的測量值比實(shí)際值偏大；擺長等于擺線的長度加上擺球的半徑，若測量擺長時(shí)以懸點(diǎn)到小球最低端的距離為擺長，測得的擺長偏大，則g2.[2024浙江名校聯(lián)考]在“用單擺測定重力加速度”的實(shí)驗(yàn)中：（1）先用游標(biāo)卡尺測小球的直徑D，如圖1所示，則小球的直徑D＝19.00mm. 圖1圖2（2）調(diào)節(jié)好裝置，用毫米刻度尺測得擺線長為l，拉開一個(gè)小角度（小于5°）釋放小球開始擺動，記小球某次經(jīng)過最低點(diǎn)為“1”并按下停表開始計(jì)時(shí)，再次經(jīng)過最低點(diǎn)記為“2”，一直數(shù)到“n”時(shí)停止計(jì)時(shí)，停表記錄時(shí)間為t，請寫出重力加速度的字母表達(dá)式g＝π2（n－1）2（l＋D（3）為了提高實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確度，在實(shí)驗(yàn)中可改變幾次擺長L并測出相應(yīng)的周期T，從而得出幾組對應(yīng)的L和T的數(shù)值，以L為橫坐標(biāo)、T2為縱坐標(biāo)作出T2－L圖線，但同學(xué)們不小心每次都把小球直徑當(dāng)作半徑來計(jì)算擺長，由此得到的T2－L圖像是圖2中的a（選填“a”“b”或“c”）.解析（1）根據(jù)游標(biāo)卡尺的讀數(shù)規(guī)則可知，該小球的直徑為D＝19mm＋0.05mm×0＝19.00mm.（2）設(shè)單擺的周期為T，根據(jù)計(jì)時(shí)過程有t＝（n－1）T2，擺長為L＝l＋D2，根據(jù)單擺周期公式T＝2πLg，解得g（3）由于把小球直徑當(dāng)作半徑來計(jì)算擺長，則實(shí)際擺長為L－D2，則有T＝2πL－D2g，解得T2＝4π2gL－2π23.某同學(xué)在“用單擺測量重力加速度的大小”的實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行了如下的操作：（1）用游標(biāo)尺為10分度（測量值可精確到0.1mm）的游標(biāo)卡尺測量擺球直徑d，游標(biāo)卡尺的示數(shù)如圖甲所示，則擺球直徑為2.06cm.把擺球用細(xì)線懸掛在鐵架臺上，測量擺線長為l0，通過計(jì)算得到擺長L. 圖甲圖乙（2）用停表測量單擺的周期.當(dāng)單擺擺動穩(wěn)定且到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)并計(jì)數(shù)為0，單擺每經(jīng)過最低點(diǎn)一次計(jì)數(shù)一次，當(dāng)數(shù)到n＝60時(shí)按下停表，停表的示數(shù)如圖乙所示，該單擺的周期T＝2.25s（結(jié)果保留3位有效數(shù)字）.（3）①測量出多組周期T、擺長L的數(shù)值后，作出T2－L圖像如圖丙，造成圖線不過坐標(biāo)原點(diǎn)的原因可能是B（填選項(xiàng)前的字母）.圖丙A.擺球的振幅過小B.將l0計(jì)為擺長LC.將（l0＋d）計(jì)為擺長LD.擺球質(zhì)量過大②根據(jù)圖丙得出的g的測量值不受影響（選填“偏大”或“不受影響”）.（4）在測量過程中，下列操作合理的是C（填選項(xiàng)前的字母）.A.先測量好擺長，再將單擺懸掛到鐵架臺上B.釋放單擺時(shí)，擺角盡量大些，以便觀察C.單擺擺動穩(wěn)定后，擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)開始計(jì)時(shí)D.單擺擺動過程中，若逐漸形成了圓錐擺，可以繼續(xù)測量，不影響單擺的周期（5）甲同學(xué)通過實(shí)驗(yàn)測得：懸點(diǎn)O到小球球心的距離L；計(jì)時(shí)開始后，從小球第一次通過平衡位置到第n次通過平衡位置所用的時(shí)間t，則重力加速度g＝π2（n－1）2t2L（6）該小組的另一位同學(xué)沒有使用游標(biāo)卡尺也測出了重力加速度.他采用的方法是：先測出一擺線較長的單擺的振動周期T1，然后把擺線縮短適當(dāng)?shù)拈L度Δl，再測出其振動周期T2，則該同學(xué)測出的重力加速度的表達(dá)式為g＝4π2Δ（7）本實(shí)驗(yàn)測得的重力加速度一般略微偏小，這是由以下哪些誤差造成的？CD（填選項(xiàng)前的字母）.A.小球經(jīng)過平衡位置時(shí)計(jì)時(shí)，看不準(zhǔn)平衡位置造成周期測量的系統(tǒng)誤差B.小球球心位置較難確定，使擺長測量存在系統(tǒng)誤差C.由于存在空氣阻力，會減慢單擺的速度，使周期測量值比理論值偏大D.單擺擺動過程中，擺線會稍微伸長，造成擺長的測量值比實(shí)際值偏小解析（1）主尺上的讀數(shù)為2.0cm，游標(biāo)尺讀數(shù)為6×0.1mm＝0.6mm＝0.06cm，所以擺球直徑為2.0cm＋0.06cm＝2.06cm.（2）單擺做全振動的次數(shù)為n2＝30，停表讀數(shù)為t＝67.5s，得該單擺的周期T＝2.25s（3）①由T＝2πLg可得T2＝4π2gL，即周期與擺球的質(zhì)量和振幅都無關(guān).由圖丙可知，當(dāng)L＝0時(shí)，T2＞0，所以T2－L圖線不過原點(diǎn)的原因是測得的擺長偏小，可能是將l0計(jì)為擺長L②根據(jù)以上分析可知，T2－L圖像的斜率不受影響，則g的測量值不受影響.（4）先測好擺長，再將單擺懸掛到鐵架臺上，這樣測得的擺長誤差較大，故A不合理；擺角小于5°時(shí)單擺的運(yùn)動才可以看成簡諧運(yùn)動，故B不合理；單擺擺動穩(wěn)定后，擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)開始計(jì)時(shí)誤差比較小，故C合理；單擺擺動過程中，若逐漸形成了圓錐擺，會使單擺周期的測量值偏小，不可以繼續(xù)測量，故D不合理.故選C.（5）由題意可得單擺的周期為T＝tn－12＝2tn－1，可得（6）擺線較長的單擺的振動周期T1＝2πl(wèi)1g，把擺線縮短適當(dāng)?shù)拈L度Δl，其振動周期T2＝2πl(wèi)1－Δ（7）小球經(jīng)過平衡位置時(shí)計(jì)時(shí)，看不準(zhǔn)平衡位置造成周期測量的偶然誤差，這樣測得的重力加速度可能偏大，也可能偏小，故A不符合題意；小球球心位置較難確定，使擺長測量存在偶然誤差，這樣測得的重力加速度可能偏大，也可能偏小，故B不符合題意；由于存在空氣阻力，單擺的速度會減慢，使周期測量值比理論值偏大，根據(jù)T＝2πLg