2021-2022學(xué)年高二年級上冊數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊14課時 空間向量的應(yīng)用 課時練習(xí) 【含答案】 (一)

20212022學(xué)年高二數(shù)學(xué)(人教A版選擇性必修一)

L4課時空間向量的應(yīng)用

一、單選題。本大題共8小題，每小題只有一個選項符合題意。

1.已知向量2二(2,—3,1),5=(-3,2㈤，且￡_L石，則x的值為

A.-14B.10C.12D.14

2.若A(-l,0,2),8(1,4,10)在直線/上，則直線/的一個方向向量為()

A.(1,2,4)B.(1,4,2)C.(2,1,4)D.(4,2,1)

3.在平行六面體ABCD-AMGA中，若離=〃通+力通+3。9，則上的值等于()

1571

A.-B.-C.-D.一一-

6666

4.若向量漏為兩個非零向量，且|〃|=|同=|。一引，則向量￡+B與￡的夾角為

zn2n一5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

5.平面。的一個法向量為?=(1,2,1),平面月的一個法向量E=—(2,4,2),則平面。與平面夕()

A.平行B.垂直C.相交D.不能確定

6.若平面的法向量分別為￡=(g,-l,3)方二(-1,2,-6),則()

A.alipB.a與￡相交但不垂直

C.aLfiD.a//〃或a與￡重合

7.如圖，設(shè)P是正方形A8CO所在平面外一點，且尸4_L平面48c。，則平面Q43與平面P8C、平面

B4Z)所在平面的位置關(guān)系是()

A.平面AA8與平面P3C、平面PAD都垂直

B.它們兩兩垂直

C.平面與平面PBC垂直，與平面PAD不垂直

D.平面Q48與平面P5C、平面24。都不垂直

8.在長方體ABC?！狝MG。中，E,尸，G分別為楂AA，C。,OR的中點,AB=AAi=2ADt

則異面直線所與8G所成角的大小為（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

二、多選題。本大題共4小題，每小題有兩項或以上符合題意。

9.已知A,B,C三點不共線，。為平面ABC外的任一點，則“點M與點A,B,C共面”的充分條件的是

（）

A.OM=2OA-OB-OCB.OM=OA+OB-OC

———1―.1—.---1——1―.1—.

C.OM=OA+-OB+-OCD.OM=-OA+-OB+-OC

23236

10.正方體ABCD-AliG。的棱長為1,E,F,G分別為8C,CG,8凡的中點.則（）

A.直線OQ與直線4”垂直B.直線AiG與平面AE尸平行

9

C.平面AE”截正方體所得的截面面積為三D.點。與點G到平面AEr的距離相等

O

11.三棱錐中，平面與平面的法向量分別為％,質(zhì)，若<%,%>=(,則二面角

A-33—C的大小可能為()

12.將正方形A5CD沿對角線8。折成直二面角A—BO—C,有如下四個結(jié)論：①AC_L5O：②

△ACD是等邊三角形；③A8與平面SCO所成的角為6(?；④A8與。。所成的角為60.其中正確的

結(jié)論有()

A.①B.②C.③D.@

三、填空題。本大題共4小題。

13.如圖所示，A8CD-EFGH為邊長等于1的正方體，若P點在正方體的內(nèi)部且滿足

—2—

AD+-AE,則尸點到直線A8的距離為

14.將邊長為1,A=60。的菱形ABDC沿對角線BC折成直二面角，則二面角A-BD-C的正弦值為.

15.已知5=(0,1,1),6=(1,1,0),干=(1,0,1)分別是平面a,￡,y的法向量，則a,7三個平面中互相

垂直的有________對.

16.已知直線/與平面a垂直，直線/的一個方向向量為〃=(1,-3,z),向量方=(3,—2,1)與平面a

平行，貝l」z=.

四、解答題。本大題共6小題，解答過程必修有必要的文字說明，公式和解題過程。

17.在多面體A8CE陀尸中，正方形ABCO和矩形BDMG相垂直，G、H分別是。七和3c的中點,

AB=BF=2.

(1)求證：￡D_L平面A3CD.

(2)在8C邊所在的直線上存在一點P,使得尸P//平面AGH,求FP的長;

18.如圖所示，平面CDEVJ_平面A8CQ,且四邊形A5co為平行四邊形，2043=45。，四邊形CQE尸

為直角梯形，EF//DC,EDICD,A8=3EF=3,ED=a,AD=?.

(1)求證：ADJ_BF；

CM

(2)若線段C/上存在一點M,滿足AE〃平面BOM,求一的值;

CF

19.如圖，在四棱錐S-ABC。中，已知AB〃OC,ABJLAQ,△SAO是正三角形，且平面SAO_L平面A8CZ),

AD=AB=2DC=2f尸為SB的中點

s

(1)求異面直線SA與尸。所成角的大小;

(2)在棱SB上是否存在點。，使平面SAC與平面QAC所成的銳二面角為g?若存在，求出注的大小;

3SB

若不存在，請說明理由.

20.如圖所示，在直三棱柱中，ABLBC,AB=BC=2t=E為的中點，證明:

平面AEG_L平面AA]GC

21.如圖，在四棱錐P—A8CO中，PQ_L底面A8CQ,底面ABC。為正方形，PD=DC,E,尸分別是48,

P8的中點.

(1)求證：EF工CD；

(2)在平面布。內(nèi)求一點G,使Gr_L平面尸C8,并證明你的結(jié)論.

22.在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD,ABEF的邊長都是1,且它們所在的平面互相垂直.活

動彈子M,N分別在正方形對角線AC和8尸上移動，且CM和8N的長度保持相等，記CM=BN=a

(1)求MN的長；

(2)。為何值時，MN的長最小?

(3)當(dāng)?shù)拈L最小時求平面MNA與平面MN8夾角的余弦值.

答案

1.c

由題意，向量2=(2,-3,1),力=(一3,2,力，且皿,

則白石=2x(-3)+(-3)x2+lxx=0,解得x=12,故選C.

則x的值為()

2.A

由已知得AB=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4)，

故選項A中的向量與通共線，是直線/的一個方向向量.

故選：A.

3.A

可知在平行六面體A8CO—48cl0中，BC=AD,CC^=X\f

?.Aq=A§+5c+cq=AB+AB+^A,

又花=aO+?而+3。電，

故選：A.

4.A

作風(fēng)=￡,而=B，以O(shè)A,OB為鄰邊作平行四邊形OACB,

則麗=￡一反花=2+九NAOC為向量［與￡+坂的夾角.

因為|￡|二|加=|￡一加,

所以AOAB是等邊三角形，平行四邊形OACB是菱形，

所以NAOB=工,ZAOC=L^AOB=三.選A.

326

5.A

解：因為平面。的一個法向量為7二(121),平面￡的一個法向量云=一(2,4,2),

所以為=—2匕，所以匕〃為

所以?！ㄊ?

故選：A

6.D

由題意，向量a=（］,-L3）,坂=（一1,2,-6）,可得〃=一手，

所以平面a,月的法向量共線，故a〃Q或a與夕重合.

故選：D.

7.A

???B4_L平面48CD,8。（=平面48。。，APALBC.

又???BC_LAB,Q4P|AB=A，???3C_L平面Q45.

VBCu平面PBC,平面PBC_L平面PAB.

???AO八PA,AD^AB.PA?ABA,JA。_L平面.

???4）＜=平面尸4），，平面小。_1平面~鉆.

由已知易得平面PBC與平面PAO不垂直，故選A.

8.C

以。為坐標(biāo)原點，分別以萬田，DC，西的方向為x軸、y軸、

Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。-AJ2,如圖

設(shè)AD=1，則夙1,0,1),尸(0J2),G(0,0,l),8(120),

所以麗=(-1,1,1),BG=(-1,-2,1),EF=

所以及;JL旃，所以異面直線即與BG所成角的大小為90°,

故選：C

9.BD

當(dāng)硒=6區(qū)5+〃碇時，可知點M與點A,3,C共面,

所以說(而+誨)+〃(9+反),

所以(x+y-l)OM=-OA+xOB+yOC,

所以兩=-OA+mOB+nOC‘一秋+」一而+」一反，

m+n-iw+n-lm+n-1m+n-l

不妨令---------=x,--------=y,------------=z,且此時x+y+z=1,

fn+n—Im+n—Im+n—\

111

因為2+(—1)+(—1)=0A1,l+l+(-l)=l,i+g+L=\工—+—十—

236

由上可知：BD滿足要求.

故選：BD.

10.BC

根據(jù)題意.假設(shè)直線D.D與直線AF垂直.又DD、A.AE.AEr\AF=A.AE.AFu平面AEF.所以DDX_L

jr

平面AER所以。R_LE/，又O"〃CC”所以CG尸，與NE〃C=-矛盾，所以直線。。與直線4尸

4

不垂直，所以選項A錯誤；

因為AiG〃dF,AiGU平面AEFOi,2/<=平面AEF。，所以4G〃平面4EFA,故選項B正確.

平面AE尸截正方體所得截面為等腰梯形AEFU,由題得該等腰梯形的上底即=也，下底A。=J5,腰

2

R9

長為父，所以梯形面積為故選項C正確;

28

假設(shè)C與G到平面AM的距離相等，即平面AEF將CG平分，則平面AEF必過CG的中點，連接CG交

EF于H，而“不是CG中點，則假設(shè)不成立，故選項D錯誤.

故選：BC.

11.BC

???二面角的大小與法向量的夾角相等或互補，

二面角A—BD—C的大小可能為二或九一二=.

333

故選：BC.

12.ABD

解：取5。中點0,由正方形的性質(zhì)得：AO工BD,CO上BD,

所以/AOC為二面角A—加一C的平面角，

因為二面角A-3￡)—C是直二面角A-BD-C,

所以如圖所示，建立空間宜角坐標(biāo)系Ox)z

設(shè)正方形ABC。的邊長為正,

則0(1,0,0),5(-1,0,0),C(0,0,1),40,1,0)

—>—?—?—?—>

所以AC=(O,T,l)，50=(2,0,0)，CD=(1,O,-1)*AD=(1,-1,O)?AB=(-1,-1,O)?

因為1S?后3=0=°，故AC_L5。，①正確.

又尺C=近,CD=yf2,AD=V2,

所以△4CD為等邊三角形，②正確.

對于③，以為平面3c。的一個法向量，O、=(OJO)

—>—>

cos!OA,AB)=OAA8

OA-AB

因為直線與平面所成的角的取值范圍是[O”,90],

所以A8與平面BC。所成的角為45°，故③錯誤.

—>—>

乂co{CD,ABCDAB_1

CDAB'

因為異面直線所成的角為銳角或直角，所以48與C力所成的角為6(1，故④正確.

故選：ABD

5

13.

6

解析：過P作PMJ_平面48co于M,過M作MALL48于N,連接PN,則尸N即為所求，如圖所示.

—3—1—2—

因為AP=匚A8+—AO+—A片,

423

312

所以AN=—,NM=-，PM=—

423

所以PN=y/PM2+MN2=2丫5

3>6

即尸點到直線AS的距離為3

6

故答案為尚

6

取8C中點O,連接AO,DO,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,等)，B(O,-g,O),D吟,0,"

所以函二（o,o,^-），麗=（。，5，+），麗=,g,0).

由于0A=（0,0,左）為平面BCD的一個法向量,

2

設(shè)平面ABO的，個法向量方二（x,y,z）,

1上6

5y+才=0n,

萬?麗=0,

則《所以

n-BD=0,冬+9=。,

取x=l,則）=一退，z=l,

所以;；=（1,-0,1）是平面的一個法向量,

一一B

所以cosG，麗=-=與,

\7H-M舊X小5

2

所以二面角A-BD-C的正弦值為乎.

15.(I

因為鼠萬=(0,1,1)?(1,1,0)=1。0,

ac=(0,l,l)(l,0,l)=1^0,

=(1,1,0)(1,0,1)=1^0.

所以qb,^中任意兩個向量都小垂直，即。，Ay中任意兩個半曲都小垂直?

故0.

16.-9

因為/_La,所以"_1_為，所以(1,—3,辦(3,-2,1)=0,即3+6+z=0,所以z=-9.

故一9

17.(1)證明見解析；(2)2逐.

(1)因為四邊形8DE尸為矩形，則EDJLbD,

因為平面或陀〃_L平面48c。，平面瓦無五c平面A3CD=3。，EDu平面3￡)所，

所以，E￡>_L平面A8CZ)；

(2)因為EOJ_平面A8CO,四邊形ABCO為正方形，

以點D為坐標(biāo)原點，DA.DC、OE所在直線分別為工、>、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z,

則A(2,0,0)、G(0,0,l)、”(1,2,0)、F(2,2,2),設(shè)點P(a,2,0),

而二(〃-2,0,-2),AG=(-2,0,1),4H=(-1,2,0),

設(shè)平面AGH的法向量為7=(x,y,z),

n-AG=-2x+z=0

令x=2,可得3=(2,1,4),

h'AH=-x+2y=0

要使得人尸〃平面AG”,則而_L3,所以，F(xiàn)Pn=2(6Z-2)-8=0,解得。=6,

則就=(4,0,-2),此時，同="2+()2+(一2『=2回

(I)???面COM_L面ABC。，EDICD,EDu面CDEF,面COMfl而ABCQ=CD,

：-EDI面ABC。，AOL面A8CO,即/?力IAD,

過尸作尸G_LOC于G,過G作GH//A。交AB于”，

???。底尸為直角梯形，AB=3EF=3,

AED//FG,即FG_LAO,則/G_LHG,且HG=&,HB=2,NG〃B=45。,

ABG2=HG2+HB2-2HGHB-cosZGHB?得BG?=2，即HG?+BG2="B2,

,HG1BG,而BGCl/GuG,即”G_LiHF8G,又3/u面尸BG,

AHG±BF,故AO_LB尸.

(2)以。為原點，過點。垂直于。C的直線為x軸，0c所在直線為y軸，DE所在直線為z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系，如下圖示：

???A(1,T()),3(L2,0),C(0,3,()),E(0,0M),若方則。尸=(0,—2,Q),

設(shè)CM=ACF=4(0,—2,〃)=(0,—24,。)，則

DM=DC+CA7=(0,3,0)+(0,-22,al)=(0,3-22,^2)，

_n-DB=x.+2y.=0

設(shè)平面BOM的法向量為〃=(x，y,Z1),則｛—,取加=2,則

111z

nDM=(3-2A)yi+aAzi=0

3-22

n=2,-1,

aX

3-22一2-產(chǎn)3

若AE〃平面BDM,則AE?斤=(一2,-1,0,解得A=—,

???線段b上存在一點M,滿足AE〃平面BZW,此時二CA一/=，3

CF5

—

19.(1)90°；(2)存在,

SB5

解：(1)???在四棱錐S-ABC。中，已知AB〃OC,AB±AD,△SAO是正三角形,

平面S4O_L平面ABC。，AD=AB=2DC=2t尸為SB的中點,

???以A為原點，A8為％軸，A。為y軸，過A作平面ABCO的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),S(0,I,也)，C(1,2,0),B(2,0,0),F(1,

SA=(0,-1,一G),FC=(O,-?)?

22

設(shè)異面直線S4與尸C所成角為0(0°<0<90o),

口用

則

cosO=網(wǎng)網(wǎng)一'A0=90°.

???異面直線SA與廣C所成角的大小為90,；

(2)假設(shè)在棱SB上存在點Q(a,b,c),入，(0<X<l),使平面S4c與平面Q4C所成的銳二面角為

n

3

則而=4麗,即(〃.h-1.c-y/3)=入(2.-1,一百).解得4=23h=\-X,c=6-0,

???Q(2X,1-X,百一&),AQ=(21,I-X,6-拒入)，AC=(1，2,0),AS=<0,1,y/3),

設(shè)平面AC。的法向量［=(x,y,z),

n-AC=x+2y=0-52-1、

則《,取x=2,得〃=(2,-1,-^--=),

n-AQ=22x+(l-Z)y+(\/3-V3^)z=013九-<3

設(shè)平面ASC的法向量由二(p,q,r),

th'AC=p+2q=0_

則〈_l，取〃=2,得加=(2,-1,),

m-AS=+>/3r=03

V平面SAC與平面QAC所成的銳二面角為工,

3

._—1.

5+-------

I-----I|比?萬|

?cos<m,n>=------------32-3

TI\m\\n\2'

整理得5M-10入+4=0,解得人=1一逝或4=1+@(舍去).

55

故在棱SB上存在點Q,使平面SAC與平面04c所成的銳二面角為:，此時些=1一且.

3sB5

20.證明見解析

由題意得48,BC,8歸兩兩垂直.以8為原點，84,BC,B辦分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系.

則A(2,0,0),4(2,0,1),C(0,2,0),Ci(0,2,

?_____IILILI|

則A4,=(O.0,1),AC=(-2f2,0).AC,=(-2,2,1),AE=(-2,0,-)

設(shè)平面A41cle的一個法向量為々=(%I,ji,zi).

,n,.AA=0,4=0,

則_J___=

-AC=0-2x1+2y,=0

令xi=l,得yi=l.?'?〃[=(1,1,0).

uu

設(shè)平面AEG的一個法向量為〃2=