2023蘇教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)同步練習(xí)-4 .4 數(shù)學(xué)歸納法

4.4數(shù)學(xué)歸納法*

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明-1+3-5+…+(-l)M2n-1)=(-1)%,n￡N*成立.那么，“當(dāng)n=l

時(shí),命題成立”是“對(duì)任意n￡N*時(shí),命題成立”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明”5憶7能被3整除”的第二步中，當(dāng)n=k+l時(shí),為了使用歸納

假設(shè)，應(yīng)將5,-2,變形為()

A.5k-2k+4X5k-2k

B.5(5k-2k)+3X2k

C.(5-2)(5k-2k)

D.5(5k-2k)-3X5k

3.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式號(hào)+|++??+嘉＞》(n￡N*,心2)時(shí)，以下說(shuō)法正

確的是()

A.第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng)n=l時(shí)不等式成立

B.從n=k到n=k+l,左邊需要增加的代數(shù)式是專

C.從n=k到n=k+l,左邊需要增加211項(xiàng)

D.從n=k到n=k+l,左邊需要增加的代數(shù)式是號(hào)；+$+???+/

4.平面內(nèi)有n個(gè)圓,其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn),且每三個(gè)圓都無(wú)公共點(diǎn),用f(n)

表示這n個(gè)圓把平面分割成的區(qū)域數(shù),那么f(n+1)與f(n)之間的關(guān)系為()

A.f(n+1)=f(n)+nB.f(n+l)=f(n)+2n

C.f(n+1)=f(n)+n+lD.f(n+l)=f(n)+n-l

5.如圖為一個(gè)類似于楊輝三角的數(shù)陣,則第九行的第二個(gè)數(shù)為.

1

33

565

711117

91822189

6.已知數(shù)列｛bj的通項(xiàng)公式為bn=2n,求證:對(duì)任意的n￡N*,不等式

"?"....Q＞而H都成立.

bib2bn

7.(2020重慶七校聯(lián)盟期末聯(lián)考)數(shù)列｛4｝滿足sn=2n-an(neN*).

(1)計(jì)算aba2,a3,a4,并由此猜想數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

⑵用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想.

能力提升練

題組數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

1.(2020浙江諸暨中學(xué)月考)已知f(n)=(2n+7)?3o+9,若存在自然數(shù)叫使得對(duì)任

意n￡N*,f(n)都能被m整除，則最大的m的值為()

A.30B.9C.36D.6

2.(2020浙江紹興期末)用數(shù)學(xué)歸納法證明，喘+++京…巖("”，

由n=k到n=k+l時(shí),不等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是()

C.-------1-------D.-------1----------------

2/c+l2/c+22/c+l2/c+2k+1

3.已知數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn,首項(xiàng)ai=-|,且Sn+-^-+2=an(n^2),貝ljS2018=()

3Sn

八20192018r2017「2016

?2020'2019'2018'2017

4.觀察下列等式：

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

按照以上式子的規(guī)律：

⑴寫(xiě)出第5個(gè)等式,并猜想第n(n￡N*)個(gè)等式；

⑵用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第n(neN*)個(gè)等式成立.

5.各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列｛aj滿足aFl,成+1-W=2.

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

⑵求證:對(duì)一切n￡N*,—+向+…+工恒成立.

@1。2

6.已知數(shù)列E｝的前n項(xiàng)和為S.a2=14,且an=Q+部/2.(neN*).

⑴求M今、7:

⑵由⑴猜想數(shù)列僚｝的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

答案全解全析

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.B"當(dāng)n=l時(shí),命題成立”不能推出“對(duì)任意nGN*時(shí),命題成立”，

“對(duì)任意nGN*時(shí),命題成立”可以推出“當(dāng)n=l時(shí),命題成立”，

所以“當(dāng)n=l時(shí)，命題成立”是“對(duì)任意nGN*時(shí)，命題成立”的必要不充分條件，故選B.

2.B根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)n=k+l時(shí),應(yīng)將5k變形為5(5k-2k)+3X2k,故選B.

3.D第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng)n=2時(shí)不等式成立,所以A不正確；因?yàn)榭?1++諱-(|+|+；+-+^)=

4+豕七+…+去,所以從n=k到n=k+l,左邊需要增加的代數(shù)式是豕七+于七+…+玄,增加了21項(xiàng),所以

B,C不正確,D正確.故選D.

4.B依題意得，由n個(gè)圓增加到(n+1)個(gè)圓時(shí)，增加了2n個(gè)交點(diǎn)，這2n個(gè)交點(diǎn)將新增的圓分成2n段弧，而每

一段弧都將原來(lái)的一塊區(qū)域分成了2塊,故增加了2n塊區(qū)域，因此f(n+l)=f(n)+2n.

5.答案66

解析設(shè)第n(n\2且nGN*)行的第二個(gè)數(shù)為a。，由題圖可知a?=3,a3-aZ=3,a4-a3=5,........,a?-an-i=2n-3(n^2),

2

累加可得a?=n-2n+3,所以第九行的第二個(gè)數(shù)a9=81-18+3=66.

6.證明由b?=2n,得宇=竽i,

bn2n

匕匕、/

所以^—?—2+1....—n—+1=-3X-5X-7X.,???X--2-7-1-+-1-.

匕1匕2b九2462n

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式:XJX…x竽>4I成立,證明如下：

2462n

①當(dāng)n=l時(shí),左邊號(hào),右邊=&,因?yàn)閨>V2,所以不等式成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k(k>l,kGN*)時(shí)不等式成立,即三X§X2X…X”〉麻在成立,

2462k

、、/、/(2義+3)2'4/c2+12k+9〉4H+12k+8

則Mil當(dāng)i,n=1k+tln時(shí)I，-3x-5x-7X---X-2-f-c-+-lx--2-Z-t-+-3>Vfrcj+:1~rx--2-f-c-+-3=

2462k2k+22k+24(fc+l)4(k+l)4(k+l)

%(H+3k+2)/華=際=4+1)+1,

4(k+l)

所以當(dāng)n=k+l時(shí),不等式也成立.

由①②可得對(duì)任意的nGN*,不等式三x-X-X-X^tl>SE都成立,即原不等式成立.

2462n

7.解析(l)?.,Sn=2n-an,

當(dāng)n=l時(shí)，Si=2Xl-ai=^>ai=l,

:

當(dāng)n=2日寸，S2=2X2-a2=>a2=|,

當(dāng)n=3時(shí)，Ss=2X3-as=>a=-,

34

當(dāng)n=4時(shí),S=2X4-a=>a=—,

4448

由此猜想an=工(nGN*).

(2)證明：①當(dāng)n=l時(shí),ai=l,猜想成立.

②假設(shè)當(dāng)n二k(kNl,k￡N*)吐猜想成立，即a拳,

則當(dāng)n=k+l時(shí)，

—

&k+i—Sk+i—SR—2(k+1)ak+i—2k+ak—2+ak—ak+i,

??2a.k+i—2+ak,

2匕1

?_2+a2+說(shuō)2k+1-l

??ak+i---k=—

/.當(dāng)n=k+1時(shí),猜想也成立.

綜上所述,a.=|^(neN*)成立.

能力提升練

1.C由f(n)=(2n+7)?3n+9,得C⑴=36,

f(2)=3X36,f(3)=10X36,f(4)=34X36,

由此猜想m的最大值為36.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

⑴當(dāng)n=l時(shí),顯然成立.

⑵假設(shè)當(dāng)n=k(k》l,kdN*)時(shí),f(k)能被36整除，即f(k)=(2k+7)?3卜+9能被36整除,

那么，當(dāng)n=k+l時(shí),

[2(k+1)+7]?3k+1+9

=3[(2k+7)?3k+9]-18+2X3k+1

=3[(2k+7)?3k+9]+18(3w-l).

V3k-1-1能被2整除，

.?.18(3衿T)能被36整除,

當(dāng)n=k+l時(shí)，f(n)也能被36整除.

由(1)(2)可知對(duì)任意nGN*,都有f(n)=(2n+7)?3"+9能被36整除.

故m的最大值為36.故選C.

2.D當(dāng)n=k(k，l,kGN*)時(shí),不等式左邊為工+-^―+-^―+--+-^,

k+1k+2k+32k

當(dāng)n=k+l時(shí),不等式左邊為七+京+a+~+表+高+康=擊+￡+京+…+表+羨+康一擊

即由n=k到n=k+l時(shí),不等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是羨+康一擊，故選D.

3.A由題意得,Sn+^+2=S「Sn-i(n22),

sn

所以SLl^(n22).

Sn-1+2

當(dāng)n=l時(shí),Si=ai=-|,

當(dāng)DF2時(shí),S2=一---=-

S1+24

當(dāng)n=3時(shí),Ss---

十Zb

猜想:S十黑(nCN*).

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:

①當(dāng)n=l時(shí),左邊為Si=ai=-|,右邊=-|,猜想成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k(k2l,kdN*)時(shí)猜想成立,即Sk=M，

則當(dāng)n=k+l時(shí),Sk+F-2=——』=—會(huì)照,所以當(dāng)n=k+l時(shí)猜想也成立.

3k十乙2-十_LJ十N

k+2

由①②知對(duì)任意nWN*都成立.

n+2

二匚、

所i以lc“。2一2而018訴+1=一丁20―19

故選A.

4.解析(1)第5個(gè)等式為5+6+7+8+9+10+11+12+13=92.

猜想第n個(gè)等式為n+(n+1)+(n+2)+,,,+(3n-2)=(2n-l)2,nGN*.

(2)證明：①當(dāng)n=l時(shí),等式左邊=1,等式右邊=(2-1)Jl,所以等式成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k(k，l,kGN*)時(shí),等式成立，

即k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)=(2k-l)2,

則當(dāng)n=k+l時(shí),

(k+1)+[(k+l)+l]+[(k+l)+2]+…+[3(k+l)-2]=(k+1)+(k+2)+(k+3)+…+(3k+l)=k+(k+1)+(k+2)+—+(3k-2)+

(3k-l)+3k+(3k+l)-k=(2k-l)2+8k=4k2-4k+l+8k=(2k+l)2=[2(k+1)-l]2,即n=k+l時(shí)等式也成立.

根據(jù)①②，可知對(duì)任意nGN*,等式都成立.

5.解析(1)因?yàn)閍"]—說(shuō)=2,ai=l,

所以數(shù)列｛a分是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列，

所以忌=l+(nT)X2=2n-1,

又an>0,所以an=V2n-l.

⑵證明:①當(dāng)n=l時(shí),左邊=1,右邊=1,所以不等式成立；

②假設(shè)當(dāng)n二k(k》l,k￡N*)時(shí)不等式成立，

即1+專+…+^W/

那么當(dāng)n=k+l時(shí),

左邊=1+后+…+質(zhì)i<-+V2kTi+V2FT

=