21.1一元二次方程

第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程

一元二次方程的概念及一般形式1.下列是一元二次方程的是(

C

)A.2

x

＋1＝0B.

y2＋

x

＝1C.

x2＋1＝0D.

＋

x2＝1C123456789101112132.

下列方程：①4

x2－3＝0；②

x3＋

x

＝

x2－1；③

ax2＋

bx

＋

c

＝0；④3

x2－

xy

＋

y2＝0.其中一定是一元二次方程的有(

A

)A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)A易錯(cuò)警示此題主要考查了一元二次方程的定義，等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程.123456789101112133.【教材第4頁(yè)習(xí)題21.1第1題改編】把下列方程化為一元二次方程的一

般形式，并寫(xiě)出其中的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).(1)2

x2＝1－3

x

；

(2)5

x

(

x

－2)＝4

x2－3

x

.解：(1)方程2

x2＝1－3

x

化成一般形式為2

x2＋3

x

－1＝0，二次項(xiàng)系數(shù)

為2，一次項(xiàng)系數(shù)為3，常數(shù)項(xiàng)為－1.(2)方程5

x

(

x

－2)＝4

x2－3

x

化成一般形式為

x2－7

x

＝0，二次項(xiàng)系數(shù)為

1，一次項(xiàng)系數(shù)為－7，常數(shù)項(xiàng)為0.12345678910111213

一元二次方程的根4.下列各數(shù)是一元二次方程

x2＋4

x

＋3＝0的兩個(gè)根的為(

D

)A.

x1＝1，

x2＝3B.

x1＝－1，

x2＝3C.

x1＝1，

x2＝－3D.

x1＝－1，

x2＝－3D123456789101112135.

(2023·石家莊新華區(qū)模擬)若一元二次方程(

k

－1)

x2＋3

x

＋

k2

－1＝0有一個(gè)解為

x

＝0，則

k

為(

C

)A.±1B.1C.－1D.0【解析】把

x

＝0代入方程，得

k2－1＝0，

k

＝±1，∵二次項(xiàng)系數(shù)

k

－1≠0，∴

k

＝－1.

C

此題中二次項(xiàng)系數(shù)不為0是易錯(cuò)點(diǎn).易錯(cuò)警示123456789101112136.若

x

＝1是關(guān)于

x

的一元二次方程

x2＋

ax

＋2

b

＝0的解，則2

a

＋4

b

的

值等于

?.【解析】把

x

＝1代入方程可得

a

＋2

b

＝－1，2

a

＋4

b

＝－2.－2

12345678910111213

根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列一元二次方程7.隨著中考的結(jié)束，初三某畢業(yè)班的每一名同學(xué)都向其他同學(xué)贈(zèng)送一張

自己的照片留作紀(jì)念，全班共送了2862張照片，若該班有

x

名同學(xué)，則

根據(jù)題意可列出方程為(

A

)A.

x

(

x

－1)＝2862B.

x

(

x

＋1)＝2862C.2

x

(

x

－1)＝2862D.

x

(

x

－1)＝2862×2【解析】由題意可知，每名同學(xué)會(huì)送出(

x

－1)張照片，結(jié)果共送出

x

(

x

－1)張照片，則可列方程為

x

(

x

－1)＝2862.A123456789101112138.如圖，在一塊長(zhǎng)12m，寬8m的矩形空地上，修建同樣寬的兩條互相

垂直的道路(兩條道路各與矩形的一條邊平行)，剩余部分栽種花草，且

栽種花草的面積為77m2，設(shè)道路的寬為

xm，則根據(jù)題意，可列方程

為

?.(8－

x

)(12－

x

)＝77

12345678910111213

9.若方程(

k

＋2)

x︱

k︱－3

kx

－1＝0是關(guān)于

x

的一元二次方程，則

k

的值

為(

B

)A.±2B.2C.－2D.0【解析】由題可知｜

k

｜＝2，

k

＝±2，∵

k

＋2≠0，∴

k

≠－2，

k

＝2.10.已知一元二次方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0，若

a

＋

b

＋

c

＝0，則該方程一

定有一個(gè)根為(

C

)A.0B.－1C.1D.2BC1234567891011121311.若

x

＝1是關(guān)于

x

的一元二次方程

x2＋

ax

－2

b

＝0的一個(gè)根，則－3

a

＋6

b

的值為(

D

)A.－6B.－3C.－2D.3D1234567891011121312.某商店如果將進(jìn)貨價(jià)為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售200

件；如果這種商品每件漲價(jià)1元，其銷售量就會(huì)減少10件，若設(shè)每件漲

價(jià)

x

元時(shí)，才能使利潤(rùn)為640元.則根據(jù)題意可列出方程為

?

(要求把方程化為一般形式且不用解).【解析】由題意可知，每件商品的利潤(rùn)為(10＋

x

－8)元，此時(shí)的銷售量

為(200－10

x

)件，則可列方程(10＋

x

－8)·(200－10

x

)＝640.化簡(jiǎn)整理得

出一般形式為

x2－18

x

＋24＝0.x2－18

x

＋

24＝0

12345678910111213

13.

已知關(guān)于

x

的一元二次方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0(

a

≠0).(1)若

a

＋

c

＝－

b

，求證：

x

＝1必是該方程的一個(gè)根；(1)證明：∵

a

＋

c

＝－

b

，∴

a

＋

b

＋

c

＝0.當(dāng)

x

＝1時(shí)，

ax2＋

bx

＋

c

＝

a

＋

b

＋

c

＝0.∴

x

＝1必是方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0的一個(gè)根.12345678910111213(2)當(dāng)

a

，

b

，

c

之間的關(guān)系是什么情況時(shí)，該方程必有一根是

x

＝－1？(2)當(dāng)

a

－

b

＋

c

＝0時(shí)，方程必有一