新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題培優(yōu)練習(xí)專題19 立體幾何客觀題中的角度與截面問題（解析版）

專題19立體幾何中的角度與截面問題一、單選題1．（2024屆】四川省仁壽高三上學(xué)期模擬）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0夾角的余弦值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0互相垂直，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0所在的直線為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0.故選C.

2．（2024屆內(nèi)蒙古呼和浩特市高三第一次質(zhì)量監(jiān)測）在四面體ABCD中，已知SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0為等腰直角三角形，斜邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則二面角SKIPIF1<0的大小為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】

如圖，取AB中點(diǎn)M，連接CM，DM因?yàn)镾KIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0為等腰直角三角形所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0即為二面角SKIPIF1<0的平面角.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0即二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0.故選D.3．（2023屆山西省百師聯(lián)盟高三下學(xué)期聯(lián)考）在棱長為2的正方體SKIPIF1<0中，E為CD1上的動(dòng)點(diǎn)，則AE與平面SKIPIF1<0所成角的正切值不可能為（

）

A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如圖，

在SKIPIF1<0上取點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可知四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．顯然SKIPIF1<0，故D不可能．故選D4．（2024屆湖南省衡陽市高三上學(xué)期階段性測試）如圖所示，圓錐底面半徑為2，SKIPIF1<0為底面圓心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為底面圓SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】連接SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，

則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（或其補(bǔ)角）為直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則由余弦定理得：SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0，故選A.5．（2023屆河南省五市高三下學(xué)期第二次聯(lián)考）已知底面邊長為1的正三棱柱既有外接球也有內(nèi)切球，圓錐SKIPIF1<0是三棱柱的外接圓錐，且三棱柱的一個(gè)底面在該圓錐的底面上，則該外接圓錐的軸截面面積的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】正三棱柱內(nèi)切球半徑即為SKIPIF1<0內(nèi)切圓半徑SKIPIF1<0，

由等面積法可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0外接圓的圓心，則SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，圓錐軸截面面積SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)等號成立，即軸截面面積的最小值是SKIPIF1<0.故選C6．（2023屆江西省景德鎮(zhèn)市高三第三次質(zhì)量檢測）某地舉辦數(shù)學(xué)建模大賽，本次大賽的冠軍獎(jiǎng)杯由一個(gè)銅球和一個(gè)托盤組成，如圖①，已知球的表面積為SKIPIF1<0，托盤由邊長為8的等邊三角形銅片沿各邊中點(diǎn)的連線垂直向上折疊形成，即面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0都與面SKIPIF1<0垂直，如圖②，則經(jīng)過三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的球的截面圓的面積為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設(shè)三點(diǎn)SKIPIF1<0在底面上的射影分別為SKIPIF1<0，因?yàn)槊鍿KIPIF1<0，面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0都與面SKIPIF1<0垂直，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0三邊中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0全等，且所在平面互相平行，所以經(jīng)過三個(gè)頂點(diǎn)SKIPIF1<0的球的截面圓與SKIPIF1<0的外接圓相同，由題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的外接圓的半徑為SKIPIF1<0，則經(jīng)過三個(gè)頂點(diǎn)SKIPIF1<0的球的截面圓的面積為SKIPIF1<0.故選B.

7．（2024屆廣東省陽江市高三上學(xué)期調(diào)研）三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】取SKIPIF1<0中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0.故選A.8．（2023屆陜西省西安市高三高考綜合測試）在三棱錐SKIPIF1<0中，側(cè)面PAC是等邊三角形，底面ABC是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)M，N，E分別是棱PA，PC，AB的中點(diǎn)，過M，N，E三點(diǎn)的平面SKIPIF1<0截三棱錐SKIPIF1<0所得截面為SKIPIF1<0，給出下列結(jié)論：①截面SKIPIF1<0的形狀為正方形；②截面SKIPIF1<0的面積等于SKIPIF1<0；③異面直線PA與BC所成角的余弦值為SKIPIF1<0；④三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積等于SKIPIF1<0．其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④【答案】C【解析】取SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0四點(diǎn)共面，且四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，如下圖所示：

易知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；易知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為正方形，即截面SKIPIF1<0的形狀為正方形，所以①正確；由正方形面積公式可知，四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，即②錯(cuò)誤；設(shè)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，所以異面直線PA與BC所成角的余弦值為SKIPIF1<0，即③正確；易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；所以可得外接球球心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，設(shè)SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；所以三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積等于SKIPIF1<0，即④正確；所有正確結(jié)論的序號是①③④.故選C9．（2023屆河南省TOP二十名校高三下學(xué)期3月調(diào)研）正方體SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成銳二面角相等，則點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的最短距離是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】先證明一個(gè)結(jié)論：若平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成二面角為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.證明：作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，連SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.

設(shè)平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成銳二面角為SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，則三角形SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)的射影是三角形SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0內(nèi)的射影是三角形SKIPIF1<0，根據(jù)以上結(jié)論得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，設(shè)SKIPIF1<0邊上高為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0點(diǎn)軌跡為與SKIPIF1<0平行且距離為SKIPIF1<0的兩條直線，所以SKIPIF1<0點(diǎn)到SKIPIF1<0的最短距離為SKIPIF1<0.

故選C10．（2023屆四川省成都市玉林中學(xué)高三適應(yīng)性考試）如圖，圓臺SKIPIF1<0的上、下底面圓半徑分別為1、2，高SKIPIF1<0，點(diǎn)S、A分別為其上、下底面圓周上一點(diǎn)，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）

A．該圓臺的體積為SKIPIF1<0B．直線SA與直線SKIPIF1<0所成角最大值為SKIPIF1<0C．該圓臺有內(nèi)切球，且半徑為SKIPIF1<0D．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角正切值的最大值為SKIPIF1<0【答案】B【解析】對于A選項(xiàng)，SKIPIF1<0，則A選項(xiàng)正確．對于B選項(xiàng)，如圖（1），過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直于下底面于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角即為直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角，即SKIPIF1<0為所求，而SKIPIF1<0，由圓的性質(zhì)得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則B選項(xiàng)錯(cuò)誤．

對于C選，設(shè)上底面半徑為SKIPIF1<0，下底面半徑為SKIPIF1<0，若圓臺存在內(nèi)切球，則必有軸截面的等腰梯形存在內(nèi)切圓，如圖（2）所示，梯形的上底和下底分別為2，4，高為SKIPIF1<0，易得等腰梯形的腰為SKIPIF1<0，假設(shè)等腰梯形有內(nèi)切圓，由內(nèi)切圓的性質(zhì)以及切線長定理，可得腰長為SKIPIF1<0，所以圓臺存在內(nèi)切球，且內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，則C選項(xiàng)正確；

對于D選項(xiàng)，如圖（3），平面SKIPIF1<0即平面SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0做SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0垂直于下底面，而SKIPIF1<0含于下底面，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角即為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0有最大值，最大值為SKIPIF1<0，所以D選項(xiàng)正確．

故選B.11．（2024屆遼寧省十校聯(lián)合體高三上學(xué)期調(diào)研）已知一個(gè)棱長為2的正方體，點(diǎn)SKIPIF1<0是其內(nèi)切球上兩點(diǎn)，SKIPIF1<0是其外接球上兩點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，且線段SKIPIF1<0均不穿過內(nèi)切球內(nèi)部，當(dāng)四面體SKIPIF1<0的體積取得最大值時(shí)，異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角的余弦值為（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由正方體棱長為2，知其內(nèi)切球的半徑為1，外接球的半徑SKIPIF1<0，依題意知，SKIPIF1<0最長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最長為內(nèi)切球的直徑2，由三角形面積公式SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為定值時(shí)，SKIPIF1<0時(shí)面積最大，畫出圖形如圖所示，其中SKIPIF1<0分別是所在正方形的中心，SKIPIF1<0是內(nèi)切球與外接球的球心，

由正方體性質(zhì)知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故此時(shí)四面體SKIPIF1<0的體積取得最大，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由余弦定理得SKIPIF1<0，故選D12．（2023屆河北省承德市高三下學(xué)期4月高考模擬）如圖，正六棱柱SKIPIF1<0的各棱長均為1，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A．過A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)的平面SKIPIF1<0截該六棱柱的截面面積為SKIPIF1<0B．過A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)的平面SKIPIF1<0將該六棱柱分割成體積相等的兩部分C．以A為球心，1為半徑的球面與該六棱柱的各面的交線總長為SKIPIF1<0D．以A為球心，2為半徑的球面與該六棱柱的各面的交線總長為SKIPIF1<0【答案】B【詳解】對于A：過點(diǎn)A作SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則過A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)的平面SKIPIF1<0截該六棱柱的截面即為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故截面面積SKIPIF1<0，故A正確；對于B：連接CE，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則四棱錐SKIPIF1<0的高為SKIPIF1<0，則其體積SKIPIF1<0，四棱柱SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0，三棱柱SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0下半部分的體積SKIPIF1<0，正六棱柱SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，故B錯(cuò)誤；對于C：因?yàn)榍虻陌霃綖?，則球只與側(cè)面SKIPIF1<0、側(cè)面SKIPIF1<0和底面SKIPIF1<0相交，因?yàn)镾KIPIF1<0，在側(cè)面SKIPIF1<0、側(cè)面SKIPIF1<0的交線為SKIPIF1<0個(gè)圓，在底面SKIPIF1<0的交線為SKIPIF1<0個(gè)圓，半徑均為1，故交線的長為SKIPIF1<0，故C正確；對于D：因?yàn)榍虻陌霃綖?，顯然球不與側(cè)面SKIPIF1<0、側(cè)面SKIPIF1<0相交，由選項(xiàng)A可知：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則球與側(cè)面SKIPIF1<0、側(cè)面SKIPIF1<0分別交于點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則球與側(cè)面SKIPIF1<0的交線為SKIPIF1<0個(gè)圓，且半徑為1，同理可得：球與側(cè)面SKIPIF1<0的交線為SKIPIF1<0個(gè)圓，且半徑為1，又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則球與底面SKIPIF1<0的交線為SKIPIF1<0個(gè)圓，且半徑為SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，則球與底面SKIPIF1<0的交點(diǎn)為D，所以球面與該六棱柱的各面的交線總長為SKIPIF1<0，故D正確；故選B.二、多選題13．（2023屆廣東省惠州市惠東縣高三上學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢測）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為2，E為SKIPIF1<0中點(diǎn)，F(xiàn)為SKIPIF1<0中點(diǎn)，下面說法正確的是（

）A．異面直線SKIPIF1<0與EF所成角的正切值為SKIPIF1<0B．三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0截正方體SKIPIF1<0截得的多邊形是菱形D．點(diǎn)B到直線EF的距離為SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】由題意，在正方體SKIPIF1<0中，棱長為2，E為SKIPIF1<0中點(diǎn)，F(xiàn)為SKIPIF1<0中點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，

∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A項(xiàng)，∴SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0夾角為SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴異面直線SKIPIF1<0與EF所成角的正切值為：SKIPIF1<0，A正確；B項(xiàng)，

由圖及幾何知識得，SKIPIF1<0，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，補(bǔ)全平面SKIPIF1<0截正方體SKIPIF1<0截得的多邊形如下圖所示，

由幾何知識得，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是菱形，故C正確；D項(xiàng)，連接SKIPIF1<0如下圖所示，

設(shè)點(diǎn)B到直線EF的距離為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0夾角為SKIPIF1<0，由幾何知識得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故D正確.故選ACD.14．（2023屆河北省鹽山中學(xué)高三三模）在棱長為6的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．平面SKIPIF1<0截正方體所得截面為梯形B．四面體SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0C．從點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)沿正方體的表面到達(dá)點(diǎn)SKIPIF1<0的最短路徑長為SKIPIF1<0D．若直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】對于選項(xiàng)A，如圖1所示，CE在底面內(nèi)延長與DA的延長線相交，該點(diǎn)在截面內(nèi)，連接該點(diǎn)與F點(diǎn)，與SKIPIF1<0相交于H點(diǎn)，與SKIPIF1<0的延長線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)在后側(cè)面內(nèi)，再次連接該點(diǎn)與C點(diǎn)交SKIPIF1<0于G點(diǎn)，連接SKIPIF1<0,則該截面形狀為五邊形，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，四面體SKIPIF1<0的外接球以SKIPIF1<0為直徑，即SKIPIF1<0，則表面積SKIPIF1<0，故B正確；對于選項(xiàng)C，因該幾何體為正方體，點(diǎn)SKIPIF1<0到點(diǎn)SKIPIF1<0的最短路徑，考察的是側(cè)面展開圖的問題，可以右側(cè)面與上底面展開，是兩個(gè)正方形合一起，可以是下底面與左側(cè)面展開，也是兩個(gè)正方形合一起，只能是左側(cè)面與后側(cè)面的展開圖，為一個(gè)正方形和正方形里的一小部分小矩形，所以其路徑最短如圖2所示，SKIPIF1<0，故C正確；對于選項(xiàng)D，結(jié)合選項(xiàng)A，記平面SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的交點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖3所示，則SKIPIF1<0，故D正確.

故選BCD.15．（2023屆福建省寧德第一中學(xué)高三一模）如圖，在多面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是正方形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)SKIPIF1<0），則下列說法正確的是（

）A．存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0B．存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0C．三棱錐SKIPIF1<0體積的最大值是SKIPIF1<0D．當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0自SKIPIF1<0向SKIPIF1<0處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角逐漸增大【答案】ACD【解析】以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0正方向?yàn)镾KIPIF1<0軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；對于A，假設(shè)存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合時(shí)，SKIPIF1<0，A正確；對于B，假設(shè)存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，方程無解；所以不存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，B錯(cuò)誤；對于C，連接SKIPIF1<0；設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0重合時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0；又點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，C正確；對于D，由上分析知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是面SKIPIF1<0的法向量，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0自SKIPIF1<0向SKIPIF1<0處運(yùn)動(dòng)時(shí)，SKIPIF1<0的值由SKIPIF1<0到SKIPIF1<0變大，此時(shí)SKIPIF1<0也逐漸增大，因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0為增函數(shù)，所以SKIPIF1<0也逐漸增大，故D正確.故選ACD.16．（2024屆廣東省南粵名校高三上學(xué)期9月聯(lián)考）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，平面SKIPIF1<0過SKIPIF1<0三點(diǎn)，則下列命題正確的是（

）A．三棱錐SKIPIF1<0的體積不變B．平面SKIPIF1<0平面ABEC．當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合時(shí)，SKIPIF1<0截此三棱柱的外接球所得的截面面積為SKIPIF1<0；D．存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得直線BC與平面SKIPIF1<0所成角的大小為SKIPIF1<0．【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)，由于SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，故SKIPIF1<0為定值，又SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為2，故SKIPIF1<0為定值，A正確；

B選項(xiàng)，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；C選項(xiàng)，連接SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故此三棱柱的外接球即為以SKIPIF1<0為長寬高的長方體的外接球，則此點(diǎn)SKIPIF1<0即為外接球球心，其中SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，外接球半徑為SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0截此三棱柱的外接球所得的截面圓的半徑為SKIPIF1<0，故截面面積為SKIPIF1<0.

故當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合時(shí)，SKIPIF1<0截此三棱柱的外接球所得的截面面積為SKIPIF1<0，C正確；D選項(xiàng)，設(shè)SKIPIF1<0，由B選項(xiàng)可知，平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，假設(shè)存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得直線BC與平面SKIPIF1<0所成角的大小為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，方程無解，故直線BC與平面SKIPIF1<0所成角的大小不為SKIPIF1<0，D錯(cuò)誤.故選ABC17．（2024屆江西省紅色十校高三上學(xué)期9月聯(lián)考）如圖，在多面體SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，側(cè)面SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0與四邊形SKIPIF1<0是全等的直角梯形，SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．SKIPIF1<0 B．異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正弦值是SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值是SKIPIF1<0 D．多面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0【答案】AD【解析】對于A，由正方形SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，A正確；對于B，顯然SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即為異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角（或其補(bǔ)角），過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，則SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，B錯(cuò)誤；對于C，以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值不是SKIPIF1<0，C錯(cuò)誤；對于D，由選項(xiàng)C知，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值是SKIPIF1<0，因此點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以多面體SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0SKIPIF1<0，D正確.故選AD三、填空題18．（2024屆湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面SKIPIF1<0所成的角都相等，則平面SKIPIF1<0截此正方體所得截面面積的最大值為.【答案】SKIPIF1<0【解析】根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，可知在正方體SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所成的角是相等的，所以平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0平行，由正方體的對稱性：要求截面面積最大，則截面的位置為過棱的中點(diǎn)的正六邊形（過正方體的中心），邊長為SKIPIF1<0，所以其面積為SKIPIF1<0.19．（2023屆海南省高三全真模擬）如圖，四棱錐SKIPIF1<0內(nèi)接于圓柱，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0為圓柱