高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)梯級練四十九立體幾何的綜合應(yīng)用課時(shí)作業(yè)理含解析新人教A版

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGE1-課時(shí)作業(yè)梯級練四十九立體幾何的綜合應(yīng)用1.(2020·新高考全國Ⅰ卷)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD,設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明:l⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q為l上的點(diǎn),求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.〖命題意圖〗本題主要考查空間線面垂直關(guān)系及線面角的求解,考查空間想象力與基本計(jì)算能力,體現(xiàn)了直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).〖解析〗(1)因?yàn)镻D⊥底面ABCD,AD?平面ABCD,所以PD⊥AD.又底面ABCD為正方形,所以AD⊥DC,又DC∩PD=D,DC,PD?平面PDC,所以AD⊥平面PDC.因?yàn)锳D∥BC,AD?平面PBC,BC?平面PBC,所以AD∥平面PBC,由平面PAD與平面PBC的交線為l,可得l∥AD.因此l⊥平面PDC.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),=(0,1,0),=(1,1,-1).由(1)可設(shè)Q(a,0,1),則=(a,0,1),設(shè)n=(x,y,z)是平面QCD的一個(gè)法向量,則即QUOTE可取n=(-1,0,a).所以cosn,==QUOTE.設(shè)PB與平面QCD所成角為θ,則sinθ=QUOTE×QUOTE=QUOTE.因?yàn)镼UOTE≤QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)等號成立,所以PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為QUOTE.2.已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=QUOTE,BC=2AD=2,E為CD的中點(diǎn),PB⊥AE.(1)證明:平面PBD⊥平面ABCD;(2)若PB=PD,PC與平面ABCD所成的角為QUOTE,試問“在側(cè)面PCD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N,使得BN⊥平面PCD?”若存在,求出點(diǎn)N到平面ABCD的距離;若不存在,請說明理由.〖解析〗(1)由四邊形ABCD是直角梯形,AB=QUOTE,BC=2AD=2,AB⊥BC,可得DC=2,∠BCD=QUOTE,從而△BCD是等邊三角形,BD=2,BD平分∠ADC.因?yàn)镋為CD的中點(diǎn),所以DE=AD=1,所以BD⊥AE,又因?yàn)镻B⊥AE,PB∩BD=B,所以AE⊥平面PBD.又因?yàn)锳E?平面ABCD,所以平面PBD⊥平面ABCD.(2)在平面PBD內(nèi)作PO⊥BD于O,連接OC,又因?yàn)槠矫鍼BD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,所以PO⊥平面ABCD.所以∠PCO為PC與平面ABCD所成的角,則∠PCO=QUOTE,所以由題意得OP=OC=QUOTE,因?yàn)镻B=PD,PO⊥BD,所以O(shè)為BD的中點(diǎn),所以O(shè)C⊥BD.以O(shè)為原點(diǎn),分別以O(shè)B,OC,OP所在的直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),C(0,QUOTE,0),D(-1,0,0),P(0,0,QUOTE),假設(shè)在側(cè)面PCD內(nèi)存在點(diǎn)N,使得BN⊥平面PCD成立,設(shè)=λ+μ(λ,μ≥0,λ+μ≤1),由題意得N(-λ,QUOTEμ,-QUOTE(λ+μ-1)),=(-λ-1,QUOTEμ,-QUOTE(λ+μ-1)),=(0,QUOTE,-QUOTE),=(-1,0,-QUOTE),由,得QUOTE解得λ=QUOTE,μ=QUOTE,滿足題意,即存在點(diǎn)N,使得BN⊥平面PCD,所以點(diǎn)N到平面ABCD的距離為-QUOTE(λ+μ-1)=QUOTE.3.等邊△ABC的邊長為3,點(diǎn)D,E分別是AB,AC上的點(diǎn),且滿足QUOTE=QUOTE=QUOTE(如圖(1)),將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使二面角A1-DE-B成直二面角,連接A1B,A1C(如圖(2)).(1)求證:A1D⊥平面BCED;(2)在線段BC上是否存在點(diǎn)P,使直線PA1與平面A1BD所成的角為60°?若存在,求出PB的長;若不存在,請說明理由.〖解析〗(1)題圖(1)中,由已知可得:AE=2,AD=1,A=60°.從而DE=QUOTE=QUOTE.故得AD2+DE2=AE2,所以AD⊥DE,BD⊥DE.所以題圖(2)中,A1D⊥DE,BD⊥DE,所以∠A1DB為二面角A1-DE-B的平面角,又二面角A1-DE-B為直二面角,所以∠A1DB=90°,即A1D⊥DB,因?yàn)镈E∩DB=D且DE,DB?平面BCED,所以A1D⊥平面BCED.(2)存在.由(1)知ED⊥DB,A1D⊥平面BCED.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以射線DB,DE,DA1為x軸,y軸,z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,過P作PH∥DE交BD于點(diǎn)H,設(shè)PB=2a(0≤2a≤3),則BH=a,PH=QUOTEa,DH=2-a,易知A1(0,0,1),P(2-a,QUOTEa,0),E(0,QUOTE,0),所以=(a-2,-QUOTEa,1).因?yàn)镋D⊥平面A1BD,所以平面A1BD的一個(gè)法向量為=(0,QUOTE,0).因?yàn)橹本€PA1與平面A1BD所成的角為60°,所以sin60°==QUOTE=QUOTE,解得a=QUOTE.所以PB=2a=QUOTE,滿足0≤2a≤3,符合題意.所以在線段BC上存在點(diǎn)P,使直線PA1與平面A1BD所成的角為60°,此時(shí)PB=QUOTE.4.如圖,在等腰梯形ABCD中,∠ABC=60°,CD=2,AB=4,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),現(xiàn)將該梯形中的三角形EBC沿線段EC折起,形成四棱錐B-AECD.(1)在四棱錐B-AECD中,求證:AD⊥BD;(2)若平面BEC與平面AECD所成二面角的平面角為120°,求直線AE與平面ABD所成角的正弦值.〖解析〗(1)由三角形BEC沿線段EC折起前,∠ABC=60°,CD=2,AB=4,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),得三角形BEC沿線段EC折起后,四邊形AECD為菱形,邊長為2,∠DAE=60°,如圖,取EC的中點(diǎn)F,連接DF,BF,DE,因?yàn)椤鰾EC和△DEC均為正三角形,所以EC⊥BF,EC⊥DF,又BF∩DF=F,所以EC⊥平面BFD,因?yàn)锳D∥EC,所以AD⊥平面BFD,因?yàn)锽D?平面BFD,所以AD⊥BD.(2)以F為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由EC⊥平面BFD,知z軸在平面BFD內(nèi),因?yàn)锽F⊥EC,DF⊥EC,所以∠BFD為平面BEC與平面AECD所成二面角的平面角,所以∠BFD=120°,所以∠BFz=30°,又因?yàn)锽F=QUOTE,所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-QUOTE,點(diǎn)B的豎坐標(biāo)為QUOTE.因?yàn)镈(QUOTE,0,0),E(0,1,0),A(QUOTE,2,0),BQUOTE,故=(-QUOTE,-1,0),=QUOTE,=(0,-2,0).設(shè)平面ABD的法向量為n=(x,y,z),所以得QUOTE令x=1,得y=0,z=QUOTE,所以平面ABD的一個(gè)法向量為n=(1,0,QUOTE),所以cos<,n>==QUOTE=-QUOTE.因?yàn)橹本€AE與平面ABD所成角為銳角,所以直線AE與平面ABD所成角的正弦值為QUOTE.課時(shí)作業(yè)梯級練四十九立體幾何的綜合應(yīng)用1.(2020·新高考全國Ⅰ卷)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD,設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明:l⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q為l上的點(diǎn),求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.〖命題意圖〗本題主要考查空間線面垂直關(guān)系及線面角的求解,考查空間想象力與基本計(jì)算能力,體現(xiàn)了直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).〖解析〗(1)因?yàn)镻D⊥底面ABCD,AD?平面ABCD,所以PD⊥AD.又底面ABCD為正方形,所以AD⊥DC,又DC∩PD=D,DC,PD?平面PDC,所以AD⊥平面PDC.因?yàn)锳D∥BC,AD?平面PBC,BC?平面PBC,所以AD∥平面PBC,由平面PAD與平面PBC的交線為l,可得l∥AD.因此l⊥平面PDC.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),=(0,1,0),=(1,1,-1).由(1)可設(shè)Q(a,0,1),則=(a,0,1),設(shè)n=(x,y,z)是平面QCD的一個(gè)法向量,則即QUOTE可取n=(-1,0,a).所以cosn,==QUOTE.設(shè)PB與平面QCD所成角為θ,則sinθ=QUOTE×QUOTE=QUOTE.因?yàn)镼UOTE≤QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)等號成立,所以PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為QUOTE.2.已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=QUOTE,BC=2AD=2,E為CD的中點(diǎn),PB⊥AE.(1)證明:平面PBD⊥平面ABCD;(2)若PB=PD,PC與平面ABCD所成的角為QUOTE,試問“在側(cè)面PCD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N,使得BN⊥平面PCD?”若存在,求出點(diǎn)N到平面ABCD的距離;若不存在,請說明理由.〖解析〗(1)由四邊形ABCD是直角梯形,AB=QUOTE,BC=2AD=2,AB⊥BC,可得DC=2,∠BCD=QUOTE,從而△BCD是等邊三角形,BD=2,BD平分∠ADC.因?yàn)镋為CD的中點(diǎn),所以DE=AD=1,所以BD⊥AE,又因?yàn)镻B⊥AE,PB∩BD=B,所以AE⊥平面PBD.又因?yàn)锳E?平面ABCD,所以平面PBD⊥平面ABCD.(2)在平面PBD內(nèi)作PO⊥BD于O,連接OC,又因?yàn)槠矫鍼BD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,所以PO⊥平面ABCD.所以∠PCO為PC與平面ABCD所成的角,則∠PCO=QUOTE,所以由題意得OP=OC=QUOTE,因?yàn)镻B=PD,PO⊥BD,所以O(shè)為BD的中點(diǎn),所以O(shè)C⊥BD.以O(shè)為原點(diǎn),分別以O(shè)B,OC,OP所在的直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),C(0,QUOTE,0),D(-1,0,0),P(0,0,QUOTE),假設(shè)在側(cè)面PCD內(nèi)存在點(diǎn)N,使得BN⊥平面PCD成立,設(shè)=λ+μ(λ,μ≥0,λ+μ≤1),由題意得N(-λ,QUOTEμ,-QUOTE(λ+μ-1)),=(-λ-1,QUOTEμ,-QUOTE(λ+μ-1)),=(0,QUOTE,-QUOTE),=(-1,0,-QUOTE),由,得QUOTE解得λ=QUOTE,μ=QUOTE,滿足題意,即存在點(diǎn)N,使得BN⊥平面PCD,所以點(diǎn)N到平面ABCD的距離為-QUOTE(λ+μ-1)=QUOTE.3.等邊△ABC的邊長為3,點(diǎn)D,E分別是AB,AC上的點(diǎn),且滿足QUOTE=QUOTE=QUOTE(如圖(1)),將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使二面角A1-DE-B成直二面角,連接A1B,A1C(如圖(2)).(1)求證:A1D⊥平面BCED;(2)在線段BC上是否存在點(diǎn)P,使直線PA1與平面A1BD所成的角為60°?若存在,求出PB的長;若不存在,請說明理由.〖解析〗(1)題圖(1)中,由已知可得:AE=2,AD=1,A=60°.從而DE=QUOTE=QUOTE.故得AD2+DE2=AE2,所以AD⊥DE,BD⊥DE.所以題圖(2)中,A1D⊥DE,BD⊥DE,所以∠A1DB為二面角A1-DE-B的平面角,又二面角A1-DE-B為直二面角,所以∠A1DB=90°,即A1D⊥DB,因?yàn)镈E∩DB=D且DE,DB?平面BCED,所以A1D⊥平面BCED.(2)存在.由(1)知ED⊥DB,A1D⊥平面BCED.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以射線DB,DE,DA1為x軸,y軸,z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,過P作PH∥DE交BD于點(diǎn)H,設(shè)PB=2a(0≤2a≤3),則BH=a,PH=QUOTEa,DH=2-a,易知A1(0,0,1),P(2-a,QUOTEa,0),E(0,QUOTE,0),所以=(a-2,-QUOTEa,1).因?yàn)镋D⊥平面A1BD,所以平面A1BD的一個(gè)法向量為=(0,QUOTE,0).因?yàn)橹本€PA1與平面A1BD所成的角為60°,所以sin60°==QUOTE=QUOTE,解得a=QUOTE.所以PB=2a=QUOTE,滿足0≤2a≤3,符合題意.所以在線段BC上存在點(diǎn)P,使直線PA1與平面A1BD所成的角為60°,此時(shí)PB=QUOTE.4.如圖,在等腰梯形ABCD中,∠ABC=60°,CD=2,AB=4,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),現(xiàn)將該梯形中的三角形EBC沿線段EC折起,形成四棱錐B-AECD.(1)在四棱錐B-AECD中,求證:AD⊥BD;(2)若平面BEC與平面AECD所成二面角的平面角為120°,求直線AE與平面ABD所成角的正弦值.〖解析〗(1)由三角形BEC沿線