湖南省衡陽市衡陽縣第二中學2024-2025學年高三上學期開學摸底考試數(shù)學試卷（解析版）

第二中學2024-2025學年高三上學期開學摸底考試數(shù)學【滿分：150分】注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后.用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號徐照.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選徐其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結東后，將本試巻和答題卡一并收回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設全集，集合，，則（）A. B.C. D.x0≤【答案】C【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，根據對數(shù)函數(shù)的性質求出集合，再根據補集、交集的定義計算可得.【詳解】由，即，解得或，所以或，所以，又，所以.故選：C2.在中，為的重心，滿足，則（）A. B. C.0 D.【答案】C【解析】【分析】由題意作圖，根據重心的幾何性質，得到線段的比例關系，利用平面向量的運算，可得答案.【詳解】設相交于點，為的重心，可得為中點，，，所以，所以.故選：C.3.第14屆國際數(shù)學教育大會在上海華東師范大學舉行，如圖是本次大會的會標，會標中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，這是中國古代八進制計數(shù)符號，換算成現(xiàn)代十進制是，正是會議計劃召開的年份，那么八進制數(shù)換算成十進制數(shù)，則換算后這個數(shù)的末位數(shù)字是（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】C【解析】【分析】根據題意，由進位制的換算方法代入計算，再由二項式展開式代入計算，即可得到結果.【詳解】由進位制的換算方法可知，八進制換算成十進制得：，因為是10的倍數(shù)，所以，換算后這個數(shù)的末位數(shù)字即為的末尾數(shù)字，由可得，末尾數(shù)字為5.故選：C4.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，所得到的函數(shù)的圖象關于原點對稱，則的值可能為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用圖象求出函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)圖象變換可得出函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的對稱性可求得的表達式，即可得出結果.【詳解】由圖可得，函數(shù)的最小正周期為，則，因為，可得，因為且函數(shù)在附近單調遞增，故，所以，，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，可得到函數(shù)的圖象，則，因為函數(shù)的圖象關于原點對稱，則，解得，當時，，故選：B.5.已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點P，使得過點P所作的圓的兩條切線，切點為A，B，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由切線長定理可知，根據得，設點，由根據的范圍可得答案.【詳解】連接、、，則，，由切線長定理可知，，又因為，所以，，所以，，則，設點，則，且，所以，，所以，，故.故選：B.6.已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.若函數(shù)至少有兩個不同的零點，則實數(shù)b的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據導數(shù)的幾何意義求，再求函數(shù)的極大值和極小值，根據零點的個數(shù)，列不等式，即可求解.【詳解】由題意，得，，，.令，得，.當或時，，在，上單調遞增；當時，，上單調遞減當時，有極大值；當時，有極小值.若要使至少有兩個不同的零點，只需（等號不同時成立），解得.故選：B7.已知A，B，C，D四點都在表面積為的球O的表面上，若球O的直徑，且，則三棱錐體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設△ABC的外接圓半徑為r，圓心為，根據正弦定理可求r，根據幾何關系可求D到平面ABC的距離為定值，當△ABC面積最大時，三棱錐A－BCD體積最大，利用余弦定理、基本不等式、三角形面積公式可求△ABC面積的最大值，即得.【詳解】設球O的半徑為R，因為球O的表面積為，故，即，∵，，設△ABC的外接圓半徑為r，圓心為，∴根據正弦定理知，，即，∴，∵AD是直徑，O是AD中點，故D到平面ABC的距離為，在△ABC中，根據余弦定理得，，即，∴，當且僅當時，等號成立，∴△ABC面積的最大值為，∴三棱錐A－BCD體積的最大值.故選：D.8.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對不等式作等價變形，構造函數(shù)并探討函數(shù)的性質，利用性質解不等式作答.【詳解】函數(shù)，則，因，則不等式成立必有，即，令，求導得，當時，，當時，，因此，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，又，當時，，于得，即，令，當時，，函數(shù)在上單調遞減，，，因此，無解，當時，，于是得，即，此時，函數(shù)在上單調遞增，，，不等式解集為，所以不等式的解集為.故選：B【點睛】思路點睛：求某些函數(shù)不等式解集，將不等式等價轉化，利用同構思想，構造新函數(shù)，借助函數(shù)的單調性分析求解.二、選擇題：本題共3小題.每小題6分.共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分.部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下面四個命題中真命題為（）A.若復數(shù)滿足，則B.若復數(shù)滿足，則C.若復數(shù)，滿足，則D.若復數(shù)，則【答案】AD【解析】【分析】A選項，設，，根據得到，從而；BC選項，可舉出反例；D選項，由，得到，D正確.【詳解】A選項，設，，則，故，則，故A為真命題；B選項，復數(shù)滿足，但，故命題B為假命題；C選項，若復數(shù)，滿足，但，故命題C為假命題；D選項，若復數(shù)，則，故D真命題.故選：AD10.已知函數(shù)與的定義域均為，，，且，為偶函數(shù)，則下列選項正確的是（）A.函數(shù)的圖象關于對稱 B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對于A，利用偶函數(shù)的性質，結合賦值法即可得解；對于B，利用賦值法即可得解；對于CD，利用抽象函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性得到與的周期均為4，進而求得與，從而得解.【詳解】對于A，為偶函數(shù)，，即有，則的圖象關于對稱，A正確；對于B，，令，可得，又，，B正確；對于C，，，，①，②，將①②式分別與聯(lián)立，化簡得：，，，，，，即與的周期均為4，，，，，又函數(shù)的圖象關于對稱，，，，C錯誤；對于D，又，，，，，，，，D正確.故選：ABD.11.已知拋物線過點，則（）A.拋物線的標準方程可能為B.撻物線的標準方程可能為C.過點與拋物線只有一個公共點的直線有一條D.過點與拋物線只有一個公共點的直線有兩條【答案】ABD【解析】【分析】根據題意設出拋物線的方程，利用點在拋物線上及直線與拋物線的位置關系即可求解.【詳解】對于選項A，當拋物線開口向右時，設拋物線的方程為，將代入拋物線中得，則拋物線的方程為，故A正確；對于選項B，當拋物線開口向下時，設拋物線的方程為，將代入拋物線中得，則拋物線為，故B正確；對于C、D選項，過點與對稱軸平行直線，以及拋物線在點處的切線都與拋物線只有一個公共點，故C錯誤，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的二項展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則該二項展開式中的常數(shù)項等于_____.【答案】112【解析】【分析】由題意可得，再利用二項展開式的通項公式，求得二項展開式常數(shù)項的值．【詳解】的二項展開式的中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，，通項公式為，令，求得，可得二項展開式常數(shù)項等于，故答案為112．【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質，屬于基礎題．13.已知圓，直線為上的動點，過點作圓的切線，切點為，則的最小值為____________.【答案】【解析】【分析】由分析可知，當時，取得最小值，由點到直線的距離公式結合勾股定理即可得出答案.【詳解】將圓化為標準方程為：，所以圓的圓心為，半徑為，因為，所以，所以當時，取得最小值，因為圓心到直線的距離，所以的最小值為.故答案為：.14.某同學次上學途中所花的時間（單位：分鐘）分別為，，，，.已知這組數(shù)據的平均數(shù)為，標準差為，則的值為____________.【答案】【解析】【分析】根據平均數(shù)和方差的計算方法可列出關于和的方程組，解之即可．【詳解】平均數(shù)為，即①，方差為，即②，由①②解得，或，，所以當，時，；當，，故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或者演算步驟.15.為考察某種藥物對預防疾病的效果，進行了動物試驗，根據40個有放回簡單隨機樣本的數(shù)據，得到如下列聯(lián)表：（1）補全下面的列聯(lián)表（單位：只）；藥物疾病B合計未患病患病未服用7服用819合計（2）依據的獨立性檢驗，分析藥物對預防疾病的有效性.參考公式：，其中.參考附表：0.1000.0500.0252.7063.8415.024【答案】（1）列聯(lián)表見解析（2）藥物A對預防疾病B無效【解析】【分析】（1）根據題意和表中的數(shù)據填寫即可；（2）根據公式計算，然后根據臨界值表分析判斷即可.【小問1詳解】解：列聯(lián)表如下：藥物疾病合計未患病患病未服用14721服用81119合計221840【小問2詳解】解：零假設為：藥物對疾病無效.根據列聯(lián)表中的數(shù)據，經計算得到根據小概率值的獨立性檢驗，我們沒有充分證據推斷不成立，所以可以認為成立，即認為藥物對預防疾病無效.16.如圖，在四棱錐中，平面平面，，四邊形為梯形，，，，，，，交于點，點在線段上，且.（1）證明：平面.（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據三角形邊角關系可證明相似，即可得,即可求證，（2）建立空間直角坐標系，利用向量的夾角求解即可.【小問1詳解】平面平面，且兩平面交于，又，平面.在中，，，.且，是等腰直角三角形，，.，，又，為等腰直角三角形，.，，又，所以，平面,平面，平面.【小問2詳解】由（1）得平面，且，所以建立如圖所示空間直角坐標系.可得，，，即，.設平面的法向量為，則，解得.平面的法向量為.設二面角為，所以，則.17.在平面直角坐標系中，橢圓：的左，右頂點分別為、，點是橢圓的右焦點，，．（1）求橢圓的方程；（2）不過點的直線交橢圓于、兩點，記直線、、的斜率分別為、、.若，證明直線過定點，并求出定點的坐標．【答案】（1）；（2）證明見解析，．【解析】【分析】（1）寫出的坐標，求出向量坐標，根據向量的關系即可列出方程組，求得和橢圓的標準方程；（2）設直線的方程為，，．聯(lián)立直線與橢圓方程，根據韋達定理得到根與系數(shù)的關系，求出，根據即可求得和的關系，即可證明直線過定點并求出該定點．【小問1詳解】由題意知，，，，∵，，∴，解得，從而，∴橢圓的方程為.【小問2詳解】設直線的方程為，，．直線不過點，因此．由，得，時，，，∴，由，可得，即，故的方程為，恒過定點．18.已知函數(shù)，.（1）討論的單調性并求極值.（2）設函數(shù)（為的導函數(shù)），若函數(shù)在內有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）在上單調遞減，在上單調遞增，的極小值為，無極大值；（2）.【解析】【分析】（1）求出，然后可得單調性和極值；（2），然后求出當時的單調性，要使函數(shù)在內有兩個不同的零點，則有，解出，然后證明即可.【小問1詳解】因為在上單調遞增，所以當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以的極小值為，無極大值.【小問2詳解】因為，所以，當時，，所以當或時，在上單調，至多只有一個零點，不滿足題意，當時，由可得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以要使函數(shù)在內有兩個不同的零點，則有，由可得，下面證明當時，令，則，所以當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以，所以當時，綜上：實數(shù)的取值范圍為.19.已知函數(shù)（，）在一個周期內的圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象．（1）求的單調遞增區(qū)間；（2）在中，若，，，求．【答案】（1）（2）或．