高等數(shù)學(xué)(本科)第十一章課后習(xí)題解答

習(xí)題11.1

1.回答下列問(wèn)題.

⑴何謂級(jí)數(shù)￡>“的前〃項(xiàng)部分和？何謂級(jí)數(shù)￡>"的收斂和發(fā)散？何謂收斂級(jí)

〃=1"=1

數(shù)的和?

【答】(1)的前〃項(xiàng)部分和是指S〃=Z%(〃=12…)；

n=\k=\

(2)收斂是指limS.=s存在，這時(shí)并稱s為的和；

W=1〃T°°tl=\

京“發(fā)散是指limS,不存在.

rt=l

⑵當(dāng)公比q取何值時(shí)，等比級(jí)數(shù)￡>(/一收斂？當(dāng)公比q取何值時(shí)，等比級(jí)數(shù)

M=1

發(fā)散？寫出收斂時(shí)的和數(shù).

n=\

【答】(1)當(dāng)|司<1時(shí)，收斂，且其和數(shù)為s=，；

n=l1-q

(2)當(dāng)時(shí)21時(shí)，￡做〃7發(fā)散.

H=1

(3)級(jí)數(shù)￡>“收斂的必要條件是什么？它是否也是充分條件.請(qǐng)舉例說(shuō)明.

n=l

8

【答】(1)收斂的必要條件是lim〃“=O；

/?=!

⑵lim”“=0不是支““收斂的充分條件.比如，limLo,但,:發(fā)散.

n—>00〃=]n—>coM11M〃=]，<?

2.若級(jí)數(shù)(q+4)+(%+%)+…+(*+〃,)+…收斂，去掉括號(hào)之后的級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)

%+仇+a2+h2+...+an+bn+...是否還收斂？它說(shuō)明了什么？

8

【答】未必，比如￡(—l)"T=l+(—1)+1+(-1)+....

M=I

3.把下列級(jí)數(shù)寫成級(jí)數(shù)“2”的形式.

(1)ln5+ln25+ln35+...；

【解】ln5+ln25+ln35+...=^lnH5；

II-1

(2)++

248

【解】++…這㈠丫擊；

248n=l乙

(3)0.001+Vo.ooi+Vo.ooi+...；

【解】0.001+Vo.ooi+Vo.ooi+...=^(0.00if；

n=l

(4)，+，+—..

1x33x55x7

111J2L

【解】」一+」一+'+…=61

1x33x55x7占(2n-1X2/1+1)-

4.根據(jù)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義，判別下列級(jí)數(shù)的斂、散性.

(1)-+-+-+-+

2468

【解】_1+l+工+,+...=之_1，發(fā)散.

2468￡2〃

⑵Jlnfl

n=2\

【解】記〃“=Infl一-=In=In￡zl+(n=2,...)

In)nnn

貝|JS“=42+〃3+〃4+…+

雪?+'2+0+伉。島+...+2+13

22八33八44)I〃n

+12〃+l

In—+In—+In—+In—+ln—+...+In----t+ln----

2I23{34)[n-1nn

=ln；+ln[l+，)(〃=1,2,...)

因?yàn)椋∫啊岸辏?/p>

所以收斂.

"=2\

00ln〃21

⑶E2〃+不

產(chǎn)]n〃.獸第罰K閡"均收斂盟(野撲斂?

【解】因

?=1乙

111

(4)-+1+-+—+…4----1---F...

3923nn

【解】因?yàn)椤諗浚?+工+…+,+...發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散.

393"2n

小123

(5)—I--1----F...;

234

【解】級(jí)數(shù)的通項(xiàng)為明='-(〃=1,2,…)，因?yàn)閘im〃,=l=0，故工+2+』+...

"72+1-”234

發(fā)散.

7C717C

(6)COS71+COS------FCOS------F...4-COS------F...

23n

【解】級(jí)數(shù)的通項(xiàng)為w?=cos—(n=1,2,...)因?yàn)閘imwn=cosO=1w0，故

nn—>8

COS7t+COS------FCOS------F...+COS------F...發(fā)散

23n

⑺打

1,2,...),因?yàn)?/p>

00

工0,故￡ln發(fā)散.

n=l

882

9+9?-F+-"

【解】-號(hào)+Z?-雪+…=￡]-燈是等比級(jí)數(shù)，且公比-目的絕對(duì)值小于1,故

992939J9

882父3

一彳+…收斂.

992

5.已知級(jí)數(shù)X%的部分和S,,=/,當(dāng)〃22H寸，求明.

n=I

32

【解[uH=Sn-Sn_}=n_(〃-1)'=3〃—3〃+1(〃=2,...).

6,若級(jí)數(shù)收斂，記S〃=f%,則（B）

n=l/=!

A.lirnS,,=0；B.limS,,存在；

n—>oon->oo

C.limS,可能不存在;D.{S,}是單調(diào)數(shù)列.

7.若級(jí)數(shù)收斂，則下列級(jí)數(shù)中收斂的是（A）

n=l

B.Z(〃,+10);

”=1

C.泮;D.￡(%-10).

〃=111n〃=1

8.設(shè)￡>,,=50,￡>,,=100,則石(2%+3匕)(D)

n=ln=ln=l

A.發(fā)散；B.收斂，和為100；

C.收斂，和為50；D.收斂，和為400.

9.下列條件中，使級(jí)數(shù)￡（““+匕,）一定發(fā)散的是（A）

n=\

發(fā)散且￡匕,收斂;

A.B.發(fā)散；

n=[〃=1n=l

c.￡叱發(fā)散；D.和￡匕,都發(fā)散

?:=1n=\n=l

10.設(shè)級(jí)數(shù)￡(1-M)收斂，求limn“.

"T8

n=l

【解】因?yàn)椤?1-〃“)收斂，故根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件知

n=l

lim(l-wz;)=0,

“T8

所以lim〃〃=lim[l-(l-wzi)]=1-lim(l-)=1-0=1.

〃T871->COW—>00

11.將下列循環(huán)小數(shù)表示為分?jǐn)?shù)

⑴0.3；

【解】()4=0.3+0.03+0.003+…是公比為q=0.1的等比級(jí)數(shù)，故0.3=-^-=L

1-0.13

⑵0.073.

【解】0.038=0.073+0.00073+0.0000073+…是公比為q=0.01的等比級(jí)數(shù)，故

??007373

0.073=

1-0.01990

12.設(shè)級(jí)數(shù)￡>“滿足條件：(1)!如〃“=0；⑵f(%.T+，，2.)收斂，證明級(jí)數(shù)

/1=1n=ln=l

收斂.

【解】記￡>“的前〃次部分和數(shù)列為{S,,}.又記￡。,1+〃2.)的前"次部分和數(shù)

n=\n=l

列為{3}.則有5,=52“(〃=1,2,...).因?yàn)橐阎?〃2,1+〃2.)，故根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的定

n=\

義知limcr〃=limS)〃=s①存在；又已知lim〃=0,故lim〃2〃+]=0，從而

〃T8"TOO"TOO"TOO

=lim(〃,；IM+S,“)=O+s=s②也存在.綜合①、②式知limS“=s存在，所

Zt—>007J—>CO"TOO

以級(jí)數(shù)￡>“收斂.

n=l

13.小球從1米高處自由落下，每次彈起的高度均為前一次高度的一半，問(wèn)小球

會(huì)在自由下落約多少秒后停止運(yùn)動(dòng)？

【解】小球?yàn)樽杂陕潴w運(yùn)動(dòng)，即s=：g/。記小球首次落下為第0次運(yùn)動(dòng)，所需

時(shí)間為t=以后每次都是往返運(yùn)動(dòng)，第〃次的高度為(3)，即(；)=；gf2,

n-1n-1

fir廠/甲

故，=烏?o所以小球自由下落至停止后所需總時(shí)間為J2+=

y]8?=iJg

1

習(xí)題11.2

i.￡>,為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，下列命題中錯(cuò)誤的是（C）.

n=l

A.若lim上-=夕<1,則收斂；

“Too11

”=1

B.若lim^-=x7>l,貝“發(fā)散；

Unn=I

c.若如<1,則收斂；

u.，1

D.若殳乜〉1,則發(fā)散

Un〃=1

【解】取明=乙〃=1,2,…），則如=-^<1,但受工發(fā)散；

nu?n+1普”

若以包〉i,則“的通項(xiàng)極限不為零，故￡〃“發(fā)散.

U,.?=|?=|

2.判斷下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂、散性.

00〃+6

⑴E

3

71=1n+〃2-4724-5

〃+6〃+6

【解】因?yàn)閘im=1且收斂，所以Z收斂;

3

〃3+〃2-472+5n=\〃n=ln+〃2-An+5

77

⑵z/f,

n=l+1)

【解】因?yàn)閘im/手I/口=1且￡二發(fā)散,所以￡f發(fā)散;

…廝刁/〃I￡麻y刁

S1

⑶ysin—；

“=】〃

【解】因?yàn)閘imsin，/，=l且Z上1發(fā)散，所以￡sin上1發(fā)散;

M

〃fgn!nnn=ln

(4)￥2"sin—

n=13

【解】因?yàn)榘?"sin'/j|j=1且發(fā)散，所以￡2"sin￡收斂;

n=l3

2222324

⑸----1------1------1------F

1x22x33x44x5

2〃

【解】記孫而可(〃=1'2...)，因夕=lim"=21im/一=2>l,故級(jí)數(shù)發(fā)散.

"f"un，T8〃+2

【解】記%=亡(〃=1,2…)，因夕=lim-=1limk+』Y=，<l,故之日收斂.

2"28%2?XnJ2念2"

⑺00裝;

2"u1故￡二收斂.

【解】記〃“=—(/?=1,2...),因/?=lim—=21im----=0<1

n\〃f0°u?+l,1〃！

⑻ETn\

n=ln"

2"n!17n'

【解】記〃“=i(〃=l,2…)，因夕=lium-=21imi=』<1,故?￡j2"

n"-8MZ8(1Yen"

收斂.

⑼E8n

n=l5n+2

【解】記/=(--—](n=1,2...),因夕=lim板7=lim---=一<1,故

15/z+2J〃T8vn->oc5〃+25

00n

E收斂.

n=\5/1+2

產(chǎn)一1

(io)y?

tr[ln(n+l)]n

【解】記〃“=7------^-(〃=1,2…)，因夕=lim^7=lim—^^=0<1,故

[ln(n+1)]H…、38in(〃+l)

收斂.

￡[ln(n+1)]"

n/r

x〃cos2—

(ii)y------

n=\乙

nji

ncos2——②

【解】記%=------>(“=1,2...)，則W=(〃=1,2...),又因￡二收斂

22)?=|2

n.+1,n兀

1?7JCOS--

[p=lim^—=-<1],所以由比較判別法知1------上也收斂.

…JL12￡2"

2"

(12)卦Y)；

、22

—工，,又因

(In)2n2

”)_21x/\

￡土收斂，所以￡1-cos工也收斂.

,12n-?=1<nJ

(13)V—?—；

￡1+/

【解】記〃“=—-—(〃=1,2…).

\+a

(1)當(dāng)0<。<1時(shí)，因?yàn)閘im”“=l*0,所以￡」—發(fā)散;

28￡1+屋

1]產(chǎn)[

(2)當(dāng)a=l時(shí),u=—(n=1,2...),因?yàn)閘im〃=—。0,所以￡----發(fā)散;

2…2念1+。"

(3)當(dāng)時(shí)，因?yàn)橄?lim%包=lim上上二■=liml^---=—<1,所以

goo〃TS1+Q"〃-"]、〃a

1;備收斂

(14)￡〃K(￡2O)；

n=l

【解】記明=〃R"5=1,2…)，則°=lim—=lim|l+l||3^p.

"Too〃〃一鞏flJ

(1)當(dāng)￡<1時(shí)，z〃力"收斂；

n=l

(2)當(dāng)月>1時(shí)，￡〃/"發(fā)散；

W=1

(3)當(dāng)夕=1時(shí)，即為￡相=￡」7

n=lM=IM=1〃

1

(i)當(dāng)-a〉l,即a<-l時(shí)，工一7收斂；

n=l〃

81

(ii)當(dāng)一aQ,即a11時(shí)，之二發(fā)散.

n=l〃

/“、白8arctan〃

(15)>-------

￡l+〃2

I8arctanti.ic、ni11/8式11-r-7m

【■解】】己〃“=----；—(n=1,2...),則----7.—=4A].----，又A因

1+〃21+〃22l+n2〃2

?*收斂’所以￡筌詈也收斂

9\

(⑹[枷〃)收斂

【解】記??=—^―(〃=1,2...)顯然un>〃“+](〃=1,2,…).

〃ln~n

且￡29,,=力k1J-J—=f是p—級(jí)數(shù).

白白2A(ln2A)'白傘也2)2￡皿2公

S]0cli8]

故由柯西定理知，級(jí)數(shù)￡7一與P-級(jí)數(shù)工一一.占同斂散.因此￡7二7

n=\n[\nn)~&=iIn2k~,l=in(ln〃)-

收斂.

3.若正項(xiàng)級(jí)數(shù)￡>“，”均收斂，證明下列級(jí)數(shù)都收斂.

n=l〃=1

⑴￡一;

?=|1+%

【證明】因?yàn)橐蝗?%("=1,2...),且收斂，故由比較判別法知之一仁也

1+%?=i,>=i1+??

收斂.

【證明】因?yàn)槠?向.34%+與伽=1,2...),且次氏及均收斂【從

幾〃21n)?=i〃=]〃

而￡斗氏+與也收斂】，所以由比較判別法知y叵收斂.

“=121n)n

⑶%：；

n=\

/8

【證明】因?yàn)閘imM=lim%=0,且收斂，所以由比較判別法的極限形式

M—>oocn—￥<x>

"=1

8

知收斂.

ZJ=1

O)_________

⑷Z』a.a“+i；

ZJ=1

0081

【證明】因?yàn)镸a吁、<；(%+%_),且收斂【從而f(氏+%)也收斂工

〃=in=i2

所以￡夜區(qū)「收斂?

M=1

⑸E/M；

rt=l

100X

【證明】因?yàn)槊髁Α?(4+匯)〃=1,2...),且及》>“均收斂【從而利用已

2n=i〃=1

證明的(3)知，及也收斂；進(jìn)而由級(jí)數(shù)的性質(zhì)知f(a,；+匯)收斂工

M=1n=lM=12

所以由比較判別法知〃收斂.

n=\

⑹￡(%+〃廣

〃=】

【證明】因?yàn)?%+6j=d+照+26仇，且由已證明的(3)、⑸知Ybn

n=ln=l

及￡2。,均收斂，所以由級(jí)數(shù)的性質(zhì)知%2)2收斂

n=ln=l

4.討論級(jí)數(shù)￡>I(x〉0)的斂、散性.

”=|

【解】記““(X)=￡'(〃=1,2,…)

(―)當(dāng)x=0時(shí)，級(jí)數(shù)顯然收斂；

n+1

(二)當(dāng)xwO時(shí)，p(x)=lim-lim---X=X

…8(x)”78n

(1)當(dāng)0cx<1時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂；

(2)當(dāng)x>l時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散.

00

(3)當(dāng)x=l時(shí)，又分兩種小情況來(lái)討論:原級(jí)數(shù)變成z〃發(fā)散.

?=1

5.討論下列級(jí)數(shù)的斂、散性.

(1)卦用；

sin-

二丫與￡二同斂、散.

【解】因?yàn)閘im，=/,故￡sin?

斯

夕1S(

(i)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)皂為發(fā)散，從而牛卜足工發(fā)散；

念I(lǐng)n)

51Q0/7F、P

(ii)當(dāng)p>l時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，從而￡卜皿生收斂.

n=l〃w=l\〃J

⑵"(a>0)；

n=l

11

【解】夕=lim^7=lim。""=。"=1[lim—In—=limxlnx

n—>ooY〃TOOn—>oo〃〃,v—>04

1

=lim=limx.=-limx=0].

xwr1io+1io+

8〃〃川

(3)￡—^(a>0,aWe)；

?=i幾

.々八1-Un+\1-6Z/，+1(/l+l)!n〃].1

【解】p=lim—=lim——'.---=ahm--------

00

〃-8un〃-②(〃+1)”優(yōu)〃！"T.1

In

(i)當(dāng)0<Q<e時(shí)，夕<1,￡幺;收斂；

n=l〃

產(chǎn)〃“川

(ii)當(dāng)a>e時(shí)，p>\,發(fā)散.

?:=1〃

⑷:、“(”。)；

【解】=lim-^-=—.

〃T8"TOO1a

a+

n

(i)當(dāng)0<。<1時(shí)，p>\,y-J發(fā)散；

1^(1Y

Q+—

In)

(ii)當(dāng)。>1時(shí)，p<\,X-------收斂；

1Y

(iii)當(dāng)。=1時(shí)，原級(jí)數(shù)即為之一-—發(fā)散.【因?yàn)?/p>

I用

M,一丫〃一、

lim------=lim—1+—=Oxe=O,故lim-------=oo,所以￡-------發(fā)

,18nnJ[1+)

散】.

6.設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，且a,用4%(〃=1,2,...),證明：

71=1

(1)宜〃(?！耙籥.+i)收斂;(2)limnafl=0.

〃=1

【證明】設(shè)級(jí)數(shù)￡〃(%--),￡%的前〃次部分和數(shù)列分別為熾｝和憶｝,

〃=1n=l

(-)

1.因?yàn)?+照冊(cè)("=1,2,...),故￡>(凡一%)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，故熾｝單調(diào)增加.

n=l

2.S“=(%-。2)+2(。2-。3)+3(。3-。4)+…+(〃-lX%T—%)+"(%

=%+“2+%+…+%一"*+1=T加一〃%+1?①

即S?=T?-/7?n+l<T?.(^l,2,...)②

又根據(jù)題意，已知以“收斂，故有l(wèi)imT.=f存在，且7；0(〃=1,2,…)，因此由

n=\"“Too

②式知S,<t(n=l,2,...).

綜合1、2知｛SJ單調(diào)增加且有上界，所以吧S“=s存在，即￡〃&-%)收斂.

?=1

(二)由②式知〃。，川=(,—S“，因此lim〃％+|=lim，—limS“=f-s也存在。

n->00ZJ—>00"T8

我們說(shuō)，必有l(wèi)im〃勺=0。

〃一>8

否則，若=f-s工0,即lim?=l-s③

n—>oon-?co1

n

則由比較判別法的極限形式知，定a“應(yīng)與￡二,即“應(yīng)是發(fā)散的，這與已

w=ln=\〃〃=】

知收斂相矛盾！

n=l

習(xí)題11.3

1.討論下列正交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂、散性.

⑴￡業(yè)；

倒〃一In〃

(解】記un=————(n=1,2,...).

n-ln/7

(i)令/(x)=————,xe[l,+oo).

x-Inx

貝U/'(x)=—~^—r<0,xe(l,+oo),因此'/(x)=——!——,xe1,+8)單減,

x(x-Inx)x-lnx

故：/(n)>/(/i+l)^>zz?>M?+I(n=1,...)；

(ii)又lim〃“=lim——!——=lim—4—=0,故由萊布尼茲審斂法知—收

“Too…8n-jnn?->?>inn狀〃一Inn

n

斂.

(2)f(-1)"(J〃+1-〃')；

n=\

【解】原級(jí)數(shù)即為2s(-串丁1*—/.

記““=刀=^—尸(w=1,2,...),則顯然｛“"｝單調(diào)減少；又

J〃+1+J〃

=01)"

lim〃〃=㈣赤缶.故由萊布尼茲審斂法知昉訐-㈤收斂.

〃T8

⑶2』

M

【解】記u=-------(〃=1,2,...).

"M2+100

(i)令/(8)=丁3——[1,+00),

V7x2+100L7

則/'(x)=zlOO—Xp<Oxw(10,+oo)，因此,/(x)=——-——,xw[10,+8)單減,

(x2+100fx-\nx

故：當(dāng)〃>10時(shí)，/(n)>/(?+1)=>??>M?+I(H=1,...);

又lim〃"=lim-Q"[00=0,故由萊布尼茲審斂法知＞(-1)"佑H-〃)收斂.

(4)y(_i)?->JL

士〃+i

【解】令u.=E-,(n=1,…

n+l

(1)令/(x)=----,x€[1,+co).

x+1

<0,xe(l,+oo),因此，/(x)=-^pxe[,+oo)單減,

則尸(x)=,

2>/x(l+x)

故：/(n)>/(n+l)=>t/?>M?+1(?=1,...);

1

(2)1淞〃,,=1而立=0.所以，之(一廣正收斂.

200“T8]+煞〃+]

n

2.判斷下列級(jí)數(shù)中哪些是絕對(duì)收斂，哪些是條件收斂，并說(shuō)明理由.

(1)------—+-------+...；

In2In3In4In5

1

【解】原級(jí)數(shù)即為￡(-i)z系交錯(cuò)級(jí)數(shù)，旦滿足萊布尼茲定理的條件,

n=Iln(/?+1)

故￡(1)(、收政.乂因?yàn)閘im-、/=lim(=+oo,且停發(fā)

普l(shuí)n(n+l)+n2+°°皿〃+1)

散’所以全島發(fā)散.

81

綜上分析知，條件收斂.

ln(n+1)

〃=1

⑵Z(-r^r；

/:=!3

【解】因?yàn)橄?則—=!吧所以，t|“』收斂，從而

un|"is3\nJ3w=i

￡(-1產(chǎn)右絕對(duì)收斂.

M=13

(3)￡當(dāng)q(a是常數(shù));

〃=|幾

【解】因?yàn)?/1=1當(dāng)4&I，而之二收斂，所以，￡當(dāng)竺絕對(duì)收斂.

〃幾念n

(4)￡(-1)巫；

〃=|〃

【解】令〃〃=如"("=1,2,…)

n

(1)令=￡[l,+oo).

x

則/'(x)=-—坐<O,XG(3,4-00),因此，/(X)=,X€[3,+8)單減,

XX+1

故：當(dāng)又>3時(shí),/(n)>/(n+l),即｛與｝單調(diào)減少;

(2)lim〃“==limlim—=0.

"TOO〃T8YlXT+<?XXT+00X

所以，由萊布尼茲審斂法知，￡(—葉?也收斂.

(3)因?yàn)閘im---/—=limInn=+oo,且改;，發(fā)散，所以右皿發(fā)散.

〃foon—>+co“=]〃〃=]〃

綜上分析知，￡(—1)"皿條件收斂.

z,=in

〃=】乙

【解】因?yàn)槟恳詰舳?￡*收斂，所以名

，絕對(duì)收斂.

?=1n=l?=1乙n=l乙M=1

3.證明￡二對(duì)任何V。G(-8,+00)都是絕對(duì)收斂的.

“=1〃?

Unl18

【解】因?yàn)镻=lim+lim|a|.-----=0<1,所以，ZWJ收斂，從而

“T8

Un""+1”=i

身Q絕對(duì)收斂.

￡〃！

4.證明8￡(-lyi1—在0<〃41時(shí)為條件收斂；而在0>1為絕對(duì)收斂的.

n=l幾

【解】

5.討論￡(-1廣￡的斂、散性.

“1"

【解】(一)當(dāng)x=0時(shí)，級(jí)數(shù)顯然收斂，且為絕對(duì)收斂；

(二)當(dāng)xwO時(shí)，p[x}=lim=lim—Ixl=1x1

?,18%⑴…n+1日11

(1)當(dāng)lxl<l時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；

(2)當(dāng)1%|>1時(shí),原級(jí)數(shù)發(fā)散；

(3)當(dāng)1x1=1時(shí)，又分兩種小情況來(lái)討論:

CC1

(i)x=-l時(shí)，原級(jí)數(shù)變成￡(-1)上發(fā)散;

?=1〃

(ii)X=1時(shí)，原級(jí)數(shù)變成之(-1)"”條件收斂.

6.討論geos1+.+g>卜>0)的斂、散性.

因?yàn)閘imK=?！垂N,〃〉N時(shí)，0〈生〈三，故當(dāng)〃〉N時(shí)sinK〉O.

〃T8n'2n2n'

故此級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù).

O77-②0g

令4=sin4，則原級(jí)數(shù)變?yōu)椋簓(-ir'sin74r=￡(-1)??.

〃n=l〃n=l

sin2"

考慮E(-r?J=El(-irsin^l=Esin^,因?yàn)閯t皆=1，所以，

￡sin軍與￡軍同斂、散.

w=l幾n=l"

(1)當(dāng)。</lWl時(shí)，之士發(fā)散，所以，之sin軍也發(fā)散；再用萊布尼茲判別

法討論知，原級(jí)數(shù)收斂，故為條件收斂.

(2)當(dāng)九>1時(shí)，￡之收斂，所以，￡sin軍也收斂；故為絕對(duì)收斂.

7.判斷級(jí)數(shù)￡sin(g/〃2+a2)的斂、散性.

因?yàn)閘im軍=lim/〃兀=工,所以，￡|陶與同斂、散，

-1…曲1+〃2占口

n

故發(fā)散；又因?yàn)閟in-7T—>sin/----------

y/n'+1+n++i+(〃+])

且limsin-7兀-----=0，所以，旦sin(辦//+1)收斂.

-0V77T+ntr'>

所以，￡sin卜J”?+1)條件收斂.

習(xí)題11.4

1.回答下列問(wèn)題.

(1)基級(jí)數(shù)的收斂域有什么樣的特征，為什么？

(2)基級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間端點(diǎn)處的斂、散性有幾種情形？

【答】略。

8

2.若幕級(jí)數(shù)X%(x-3)"在點(diǎn)x=l處發(fā)散，在點(diǎn)x=5處收斂，則在點(diǎn)x=0,x=2,

n=l

x=4,x=6中使該級(jí)數(shù)發(fā)散的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有(C).

A.0個(gè);B.1個(gè);C.2個(gè);D.3個(gè).

【解】因?yàn)?)"在點(diǎn)x=l處發(fā)散，而在點(diǎn)x=5處收斂，故由阿貝爾收斂

00CC

定理知，對(duì)于滿足|x-3|>卜3|=2的X,￡*(X-3)"也發(fā)散；又因?yàn)閆%(X-3)"

?=1"=1

在點(diǎn)x=5處收斂，故由阿貝爾收斂定理知，對(duì)于滿足卜-3|<|5-3|=2的x,

￡>“(x-3)”均收斂。即當(dāng)|x-3|<2nxe(l,5)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；而當(dāng)

卜-3|〉2nx<1或x〉5級(jí)數(shù)發(fā)散。點(diǎn)x=0,x=6滿足卜-3|>2,故都是發(fā)散點(diǎn)。

3.若基級(jí)數(shù)￡%一的收斂半徑為R,則基級(jí)數(shù)2產(chǎn)的收斂區(qū)間為(D)

"=171=1

A.B.(2—R,2+R)；C.(一H,R)；D.(2-V^,2+V^),

【解】令f=(x-2)2,則2產(chǎn)化為

Sop

由題意知，、>/的收斂半徑為R，即當(dāng)fw(-R,R)時(shí)，收斂。所以由

〃=1〃=1

(x-2)2e(—R,R)解出(2+6,2_6)。

00

4.設(shè)基級(jí)數(shù)Z%x"在點(diǎn)x=-2處條件收斂，求它的收斂半徑.

【解】的收斂半徑R=2?理由如下:

(1)由條件收斂的定義知之%x"在x=-2處收斂，根據(jù)阿貝爾收斂定理，對(duì)

于7忖<卜2|=2的x,Z也絕對(duì)收斂;

0000

(2)我們說(shuō)對(duì)于V|x|>2的x,必發(fā)散，否則，假設(shè)在某個(gè)點(diǎn)王,

歸|>2處收斂，則仍然由阿貝爾收斂定理，對(duì)于W|x|<k］的x,

71=1

也絕對(duì)收斂(當(dāng)然也包括點(diǎn)X=-2),這就與已知在點(diǎn)x=-2處條件收

n=\

斂矛盾.

5.求下列事級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間.

/八XX2X3

(1)--1-----1-------F...；

22.42.4.6

【解】記CI-------7--r-----(H—1,2,...)

〃2.4.6…(2〃)2"!

a2"疝11

因?yàn)橐?lim馱=lim;〃?=」而'=0,所以，收斂半徑為

“TZ%〃->82("+lj!2"T8〃+1

R=+00;收斂區(qū)間為(一8,+8).

M=i\n

【解】記”X-5,則原級(jí)數(shù)化為之二.

記an=-^=(n=1,2,...).因?yàn)?=lim%^=limJ"=1,所以，/?=—=1；

isan〃tsV〃+1p

又在1處，收斂；在處，E-r發(fā)散，故的收斂區(qū)

n=\J"n=\J"n=\5/〃

間為[—1,1).

由fe[-1,1),即x-5e[-l,l)解得xw[-4,6),所以￡與式的收斂區(qū)間

n=lYn

為[-4,6).

^2/i+l

⑶E(-iy

n=I2n+l

【解】(一)當(dāng)x=0時(shí)，級(jí)數(shù)顯然收斂，且為絕對(duì)收斂;

|火田(“2〃+1

(二)當(dāng)xwO時(shí)，x?(x)=limlimx2=x2

M->oO2〃+3

(1)當(dāng)夕(X)=，<1時(shí)，即當(dāng)W<1時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；

(2)當(dāng)2(x)=x2>l時(shí)，即當(dāng)lxl>l時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散；

(3)當(dāng)1x1=1時(shí),又分兩種小情況來(lái)討論:

(i)x=-1時(shí)，原級(jí)數(shù)變成￡8(-1)"T—1條件收斂；

念2/1+1

(ii)x=l時(shí)，原級(jí)數(shù)變成寸一1)"」—條件收斂.

,.=|2〃+1

產(chǎn)2/t+l

所以，-的收斂半徑為R=I；收斂區(qū)間為[-1』.

a2〃+1

(4)名汩婢-2；

”=1乙

【解】(一)當(dāng)x=0時(shí)，級(jí)數(shù)顯然收斂，且為絕對(duì)收斂；

(二)當(dāng)xwO時(shí)，p[x)=lim=—lim+x2=—x2.

’18M”(x)2>^2n-\2

(1)當(dāng)0(x)=g/<i時(shí)，即當(dāng)忖<四時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；

(2)當(dāng)P(幻=(/〉1時(shí)，即當(dāng)|x|>血時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散；

(3)當(dāng)1x1=正時(shí)，即當(dāng)x=±右時(shí)，原級(jí)數(shù)變成￡口口發(fā)散.

”=12

所以，￡空口"2的收斂半徑為R=忘；收斂區(qū)間為(-血,血).

n=\2

⑸￡“；

〃=0

【解】(-)當(dāng)x=0時(shí)，級(jí)數(shù)顯然收斂，且為絕對(duì)收斂;

(\[.W"+l(x)|

(二)當(dāng)xwO時(shí),p(x)=hm；(丫=xlim(x2)〃

〃一＞8、/

(1)當(dāng))<1時(shí),即忖<1時(shí)，P(X)=O<1,原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;

(2)當(dāng)一>1時(shí)，即忖>1時(shí)，p(x)=+8>l,原級(jí)數(shù)發(fā)散；

(3)當(dāng)/=1時(shí).

(i)當(dāng)x=—l時(shí)，￡(—1)"發(fā)散；(ii)當(dāng)x=l時(shí),Zi發(fā)散；所以，

n=0n=0

f的收斂半徑為R=1；收斂區(qū)間為

71=0

⑹z(-ir4白Txn

n=l〃M〃-+i

【解】（一）先求￡（-1）"1的收斂區(qū)間［-川；

M=1〃

8Yn