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文檔簡介
2021-2022高考數學模擬試卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.復數滿足,則()A. B. C. D.2.已知等差數列的前n項和為,且,則()A.4 B.8 C.16 D.23.“”是“函數的圖象關于直線對稱”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知f(x),g(x)都是偶函數,且在[0,+∞)上單調遞增,設函數F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|,若a>0,則()A.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)B.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)C.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)D.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)5.生活中人們常用“通五經貫六藝”形容一個人才識技藝過人,這里的“六藝”其實源于中國周朝的貴族教育體系,具體包括“禮、樂、射、御、書、數”.為弘揚中國傳統(tǒng)文化,某校在周末學生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),則滿足“數”必須排在前兩節(jié),“禮”和“樂”必須分開安排的概率為()A. B. C. D.6.已知雙曲線:,,為其左、右焦點,直線過右焦點,與雙曲線的右支交于,兩點,且點在軸上方,若,則直線的斜率為()A. B. C. D.7.已知的內角的對邊分別是且,若為最大邊,則的取值范圍是()A. B. C. D.8.費馬素數是法國大數學家費馬命名的,形如的素數(如:)為費馬索數,在不超過30的正偶數中隨機選取一數,則它能表示為兩個不同費馬素數的和的概率是()A. B. C. D.9.設,點,,,,設對一切都有不等式成立,則正整數的最小值為()A. B. C. D.10.已知若(1-ai)(3+2i)為純虛數,則a的值為()A. B. C. D.11.如圖所示程序框圖,若判斷框內為“”,則輸出()A.2 B.10 C.34 D.9812.集合,,則=()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,是圓的直徑,弦的延長線相交于點垂直的延長線于點.求證:14.《易經》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓,如圖是易經八卦(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每一卦由三根線組成(""表示一根陽線,""表示一根陰線),從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有兩根陽線,四根陰線的概率為_______.15.棱長為的正四面體與正三棱錐的底面重合,若由它們構成的多面體的頂點均在一球的球面上,則正三棱錐的內切球半徑為______.16.已知雙曲線的左、右焦點和點為某個等腰三角形的三個頂點,則雙曲線C的離心率為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四邊形中,,,.(1)求的長;(2)若的面積為6,求的值.18.(12分)如圖,兩座建筑物AB,CD的底部都在同一個水平面上,且均與水平面垂直,它們的高度分別是10m和20m,從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角∠CAD=60°.(1)求BC的長度;(2)在線段BC上取一點P(點P與點B,C不重合),從點P看這兩座建筑物的視角分別為∠APB=α,∠DPC=β,問點P在何處時,α+β最?。?9.(12分)如圖,在四棱錐中,,,,底面為正方形,、分別為、的中點.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)已知數列的前項和和通項滿足.(1)求數列的通項公式;(2)已知數列中,,,求數列的前項和.21.(12分)已知函數,(其中,).(1)求函數的最小值.(2)若,求證:.22.(10分)在中,角所對的邊分別為,,的面積.(1)求角C;(2)求周長的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
利用復數模與除法運算即可得到結果.【詳解】解:,故選:C【點睛】本題考查復數除法運算,考查復數的模,考查計算能力,屬于基礎題.2.A【解析】
利用等差的求和公式和等差數列的性質即可求得.【詳解】.故選:.【點睛】本題考查等差數列的求和公式和等差數列的性質,考查基本量的計算,難度容易.3.A【解析】
先求解函數的圖象關于直線對稱的等價條件,得到,分析即得解.【詳解】若函數的圖象關于直線對稱,則,解得,故“”是“函數的圖象關于直線對稱”的充分不必要條件.故選:A【點睛】本題考查了充分不必要條件的判斷,考查了學生邏輯推理,概念理解,數學運算的能力,屬于基礎題.4.A【解析】試題分析:由題意得,F(x)=2g(1-x),f(x)≥g(1-x)∴F(-a)=2g(1+a),f(a)=f(-a)≥g(1+a)2f(-a),f(a)=f(-a)<g(1+a),∵a>0,∴(a+1)2-(a-1)∴若f(a)>g(1+a):F(-a)=2g(1+a),F(a)=2g(1-a),∴F(-a)>F(a),若g(1-a)≤f(a)≤g(1+a):F(-a)=2f(-a)=2f(a),F(a)=2g(1-a),∴F(-a)≥F(a),若f(a)<g(1-a):F(-a)=2f(-a)=2f(a),F(a)=2f(a),∴F(-a)=F(a),綜上可知F(-a)≥F(a),同理可知F(1+a)≥F(1-a),故選A.考點:1.函數的性質;2.分類討論的數學思想.【思路點睛】本題在在解題過程中抓住偶函數的性質,避免了由于單調性不同導致1-a與1+a大小不明確的討論,從而使解題過程得以優(yōu)化,另外,不要忘記定義域,如果要研究奇函數或者偶函數的值域、最值、單調性等問題,通常先在原點一側的區(qū)間(對奇(偶)函數而言)或某一周期內(對周期函數而言)考慮,然后推廣到整個定義域上.5.C【解析】
分情況討論,由間接法得到“數”必須排在前兩節(jié),“禮”和“樂”必須分開的事件個數,不考慮限制因素,總數有種,進而得到結果.【詳解】當“數”位于第一位時,禮和樂相鄰有4種情況,禮和樂順序有2種,其它剩下的有種情況,由間接法得到滿足條件的情況有當“數”在第二位時,禮和樂相鄰有3種情況,禮和樂順序有2種,其它剩下的有種,由間接法得到滿足條件的情況有共有:種情況,不考慮限制因素,總數有種,故滿足條件的事件的概率為:故答案為:C.【點睛】解排列組合問題要遵循兩個原則:①按元素(或位置)的性質進行分類;②按事情發(fā)生的過程進行分步.具體地說,解排列組合問題常以元素(或位置)為主體,即先滿足特殊元素(或位置),再考慮其他元素(或位置).6.D【解析】
由|AF2|=3|BF2|,可得.設直線l的方程x=my+,m>0,設,,即y1=﹣3y2①,聯立直線l與曲線C,得y1+y2=-②,y1y2=③,求出m的值即可求出直線的斜率.【詳解】雙曲線C:,F1,F2為左、右焦點,則F2(,0),設直線l的方程x=my+,m>0,∵雙曲線的漸近線方程為x=±2y,∴m≠±2,設A(x1,y1),B(x2,y2),且y1>0,由|AF2|=3|BF2|,∴,∴y1=﹣3y2①由,得∴△=(2m)2﹣4(m2﹣4)>0,即m2+4>0恒成立,∴y1+y2=②,y1y2=③,聯立①②得,聯立①③得,,即:,,解得:,直線的斜率為,故選D.【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關系,考查韋達定理的運用,考查向量知識,屬于中檔題.7.C【解析】
由,化簡得到的值,根據余弦定理和基本不等式,即可求解.【詳解】由,可得,可得,通分得,整理得,所以,因為為三角形的最大角,所以,又由余弦定理,當且僅當時,等號成立,所以,即,又由,所以的取值范圍是.故選:C.【點睛】本題主要考查了代數式的化簡,余弦定理,以及基本不等式的綜合應用,試題難度較大,屬于中檔試題,著重考查了推理與運算能力.8.B【解析】
基本事件總數,能表示為兩個不同費馬素數的和只有,,,共有個,根據古典概型求出概率.【詳解】在不超過的正偶數中隨機選取一數,基本事件總數能表示為兩個不同費馬素數的和的只有,,,共有個則它能表示為兩個不同費馬素數的和的概率是本題正確選項:【點睛】本題考查概率的求法,考查列舉法解決古典概型問題,是基礎題.9.A【解析】
先求得,再求得左邊的范圍,只需,利用單調性解得t的范圍.【詳解】由題意知sin,∴,∴,隨n的增大而增大,∴,∴,即,又f(t)=在t上單增,f(2)=-1<0,f(3)=2>0,∴正整數的最小值為3.【點睛】本題考查了數列的通項及求和問題,考查了數列的單調性及不等式的解法,考查了轉化思想,屬于中檔題.10.A【解析】
根據復數的乘法運算法則化簡可得,根據純虛數的概念可得結果.【詳解】由題可知原式為,該復數為純虛數,所以.故選:A【點睛】本題考查復數的運算和復數的分類,屬基礎題.11.C【解析】
由題意,逐步分析循環(huán)中各變量的值的變化情況,即可得解.【詳解】由題意運行程序可得:,,,;,,,;,,,;不成立,此時輸出.故選:C.【點睛】本題考查了程序框圖,只需在理解程序框圖的前提下細心計算即可,屬于基礎題.12.C【解析】
先化簡集合A,B,結合并集計算方法,求解,即可.【詳解】解得集合,所以,故選C.【點睛】本道題考查了集合的運算,考查了一元二次不等式解法,關鍵化簡集合A,B,難度較小.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.證明見解析.【解析】試題分析:四點共圓,所以,又△∽△,所以,即,得證.試題解析:A.連接,因為為圓的直徑,所以,又,則四點共圓,所以.又△∽△,所以,即,∴.14.【解析】
觀察八卦中陰線和陽線的情況為3線全為陽線或全為陰線各一個,還有6個是1陰2陽和1陽2陰各3個。抽取的兩卦中共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰,或兩卦全是1陽2陰?!驹斀狻堪素灾嘘幘€和陽線的情況為3線全為陽線的一個,全為陰線的一個,1陰2陽的3個,1陽2陰的3個。抽取的兩卦中共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰,或兩卦全是1陽2陰?!鄰?個卦中任取2卦,共有種可能,兩卦中共2陽4陰的情況有,所求概率為。故答案為:?!军c睛】本題考查古典概型,解題關鍵是確定基本事件的個數。本題不能受八卦影響,我們關心的是八卦中陰線和陽線的條數,這樣才能正確地確定基本事件的個數。15.【解析】
由棱長為的正四面體求出外接球的半徑,進而求出正三棱錐的高及側棱長,可得正三棱錐的三條側棱兩兩相互垂直,進而求出體積與表面積,設內切圓的半徑,由等體積,求出內切圓的半徑.【詳解】由題意可知:多面體的外接球即正四面體的外接球作面交于,連接,如圖則,且為外接球的直徑,可得,設三角形的外接圓的半徑為,則,解得,設外接球的半徑為,則可得,即,解得,設正三棱錐的高為,因為,所以,所以,而,所以正三棱錐的三條側棱兩兩相互垂直,所以,設內切球的半徑為,,即解得:.故答案為:.【點睛】本題考查多面體與球的內切和外接問題,考查轉化與化歸思想,考查空間想象能力、運算求解能力,求解時注意借助幾何體的直觀圖進行分析.16.【解析】
由等腰三角形及雙曲線的對稱性可知或,進而利用兩點間距離公式求解即可.【詳解】由題設雙曲線的左、右焦點分別為,,因為左、右焦點和點為某個等腰三角形的三個頂點,當時,,由可得,等式兩邊同除可得,解得(舍);當時,,由可得,等式兩邊同除可得,解得,故答案為:【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,考查雙曲線的幾何性質的應用,考查分類討論思想.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】
(1)利用余弦定理可得的長;(2)利用面積得出,結合正弦定理可得.【詳解】解:(1)由題可知.在中,,所以.(2),則.又,所以.【點睛】本題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形,已知角較多時一般選用正弦定理,已知邊較多時一般選用余弦定理.18.(1);(2)當BP為cm時,α+β取得最小值.【解析】
(1)作AE⊥CD,垂足為E,則CE=10,DE=10,設BC=x,根據得到,解得答案.(2)設BP=t,則,故,設,求導得到函數單調性,得到最值.【詳解】(1)作AE⊥CD,垂足為E,則CE=10,DE=10,設BC=x,則,化簡得,解之得,或(舍),(2)設BP=t,則,,設,,令f'(t)=0,因為,得,當時,f'(t)<0,f(t)是減函數;當時,f'(t)>0,f(t)是增函數,所以,當時,f(t)取得最小值,即tan(α+β)取得最小值,因為恒成立,所以f(t)<0,所以tan(α+β)<0,,因為y=tanx在上是增函數,所以當時,α+β取得最小值.【點睛】本題考查了三角恒等變換,利用導數求最值,意在考查學生的計算能力和應用能力.19.(1)見解析;(2).【解析】
(1)利用中位線的性質得出,然后利用線面平行的判定定理可證明出平面;(2)以點為坐標原點,、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系,設,利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)因為、分別為、的中點,所以.又因為平面,平面,所以平面;(2)以點為坐標原點,、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系,設,則,,,,,,,.設平面的法向量為,則,即,令,則,,所以.設直線與平面所成角為,所以.因此,直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明,同時也考查了利用空間向量法計算直線與平面所成的角,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.20.(1);(2)【解析】
(1)當時,利用可得,故可利用等比數列的通項公式求出的通項.(2)利用分組求和法可求數列的前項和
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