新高考數(shù)學(xué)二輪考點(diǎn)培優(yōu)專(zhuān)題（精講+精練）15 平面向量中的最值（范圍）問(wèn)題（原卷版）

素養(yǎng)拓展15平面向量中的最值（范圍）問(wèn)題（精講+精練）一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、平面向量中的最值（范圍）問(wèn)題平面向量中的范圍、最值問(wèn)題是熱點(diǎn)問(wèn)題，也是難點(diǎn)問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了知識(shí)的交匯組合．其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等，解題思路通常有兩種：一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義，先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；二是“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，先把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程的有解等問(wèn)題，然后利用函數(shù)、不等式、方程有關(guān)知識(shí)來(lái)解決．二、極化恒等式設(shè)a，b是平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有SKIPIF1<0證明：SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，②將兩式相減可得SKIPIF1<0，這個(gè)等式在數(shù)學(xué)上我們稱(chēng)為極化恒等式．①幾何解釋1（平行四邊形模型）以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為一組鄰邊構(gòu)造平行四邊形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．即“從平行四邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)邊向量的數(shù)量積是和對(duì)角線長(zhǎng)與差對(duì)角線長(zhǎng)平方差的SKIPIF1<0”．②幾何解釋2（三角形模型）在平行四邊形模型結(jié)論的基礎(chǔ)上，若設(shè)M為對(duì)角線的交點(diǎn)，則由SKIPIF1<0變形為SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，該等式即是極化恒等式在三角形中的體現(xiàn)，也是我們最常用的極化恒等式的幾何模型．注：具有三角幾何背景的數(shù)學(xué)問(wèn)題利用極化恒等式考慮尤為簡(jiǎn)單，讓“秒殺”向量成為另一種可能；我們從極化恒等式看到向量的數(shù)量積可轉(zhuǎn)化為中線長(zhǎng)與半底邊長(zhǎng)的平方差，此恒等式的精妙之處在于建立向量與幾何長(zhǎng)度(數(shù)量)之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合．二、題型精講精練二、題型精講精練【典例1】（極化恒等式的應(yīng)用）已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)，求SKIPIF1<0的最小值．【典例2】（數(shù)量積的最值（范圍））已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若點(diǎn)M是SKIPIF1<0所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（模的最值（范圍））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，最小值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．1【典例4】（夾角的最值（范圍））平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的余弦值的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型訓(xùn)練-刷模擬】1.極化恒等式的應(yīng)用1．如圖，BC、DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，，則SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如圖，在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)是線段SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn).若以SKIPIF1<0為圓心?半徑為1的圓與線段SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，且，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則的值是A． B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．34．已知SKIPIF1<0的斜邊SKIPIF1<0的長(zhǎng)為4，設(shè)SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為圓心，1為半徑的圓上的任意一點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）．A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<05．已知圖中正六邊形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為6，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，若點(diǎn)P在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，SKIPIF1<0為圓O的直徑，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD內(nèi)接于圓O，點(diǎn)P是正方形ABCD四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，MN是圓O的一條直徑，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為鈍角，SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．8．如圖，圓SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)切圓，已知SKIPIF1<0，過(guò)圓心SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍是_________．2.數(shù)量積的最值（范圍）問(wèn)題一、單選題1．已知菱形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為菱形的中心，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如圖，已知SKIPIF1<0是半徑為2，圓心角為SKIPIF1<0的扇形，點(diǎn)SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是圓弧SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則SKIPIF1<0的最小值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知半徑為1的圓O上有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，C，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知△ABC是單位圓O的內(nèi)接三角形，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<06．已知邊長(zhǎng)為2的菱形SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，SKIPIF1<0，點(diǎn)E在邊BC上，SKIPIF1<0，若G為線段DC上的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．2 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．48．圓SKIPIF1<0為銳角SKIPIF1<0的外接圓，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題9．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是.10．如圖所示，△ABC是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，點(diǎn)P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，長(zhǎng)度為6的線段EF的中點(diǎn)為點(diǎn)B，則SKIPIF1<0的取值范圍是.11．如圖，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0為圓心為SKIPIF1<0、半徑為1的圓的動(dòng)直徑，則SKIPIF1<0的取值范圍是.12．如圖，在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，點(diǎn)F為線段DE上的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍是．13．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是其外心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上分別有兩動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0恰好將SKIPIF1<0分為面積相等的兩部分.則SKIPIF1<0的最大值為.14．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形SKIPIF1<0中．以SKIPIF1<0為圓心，1為半徑的圓分別交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在劣弧SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)時(shí)，SKIPIF1<0的最小值為．3.模的最值（范圍）問(wèn)題一、單選題1．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（θ為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角），則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．23．已知SKIPIF1<0為單位向量，向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．44．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是單位向量，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知平面向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知在三角形ABC中，SKIPIF1<0，點(diǎn)M，N分別為邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，點(diǎn)P，Q分別為MN，BC的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．在長(zhǎng)方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，且保持SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知平面向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知單位向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0垂直，若向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知SKIPIF1<0均為單位向量，且?jiàn)A角為SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題11．已知向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為．12．已知SKIPIF1<0是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是．13．平面向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的最小值是．14．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為.15．已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為平面單位向量，則SKIPIF1<0的最大值16．已知SKIPIF1<0為正交基底，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為.17．已知SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是4.夾角的最值（范圍）問(wèn)題一、單選題1．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角是銳角，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則夾角SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為單位向量，其夾角為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知單位向量SKIPIF1<0，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，SKIPIF1<0恒成立，則向量SKIPIF1<0的夾角的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知平面向量SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的正弦值的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．若平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0夾角的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．平面向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角最大值時(shí)SKIPIF1<0為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知不共線的平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0