5.4數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入答案

5.4數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入課標(biāo)要求精細(xì)考點(diǎn)素養(yǎng)達(dá)成1.通過方程的解,認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù);理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義,理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義2.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的四則運(yùn)算,了解復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義3.通過復(fù)數(shù)的幾何意義,了解復(fù)數(shù)的三角表示,了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的關(guān)系,了解復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義復(fù)數(shù)的概念通過對(duì)復(fù)數(shù)概念的理解,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算通過復(fù)數(shù)的幾何意義,培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)復(fù)數(shù)的幾何意義通過復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)1.(概念辨析)關(guān)于復(fù)數(shù)z,下列敘述正確的有().①若zi=1,則z=i;②任何兩個(gè)復(fù)數(shù)都不能比較大小;③實(shí)數(shù)沒有共軛復(fù)數(shù);④復(fù)數(shù)32i的實(shí)部是3,虛部是2.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)答案A解析對(duì)于①,因?yàn)閦i=1,所以z=1i=ii對(duì)于②,當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)時(shí),這兩個(gè)復(fù)數(shù)可以比較大小,故②不正確;對(duì)于③,實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身,故③不正確;對(duì)于④,復(fù)數(shù)32i的實(shí)部是3,虛部是2,故④不正確.所以正確的命題個(gè)數(shù)為1.2.(對(duì)接教材)計(jì)算-1+2iA.1232i B.12+32iC.3212i答案B3.(對(duì)接教材)在復(fù)平面內(nèi),一個(gè)正方形的3個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+2i,2+i,0,則第4個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為().A.1+2i B.1+3iC.3i D.12答案B解析復(fù)數(shù)1+2i,2+i,0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A(1,2),B(2,1),O(0,0),由題意可知OA⊥OB,正方形以O(shè)A,OB為鄰邊.設(shè)另一點(diǎn)為D(x,y),則OA=(1,2),BD=(x+2,y1),OA=BD,所以x+2=1,y-1=2,解得4.(易錯(cuò)自糾)已知復(fù)數(shù)z=(2sinα1)+i(i為虛數(shù)單位),則“z為純虛數(shù)”是“α=π6A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案B解析當(dāng)α=π6時(shí),z=2sin若z為純虛數(shù),則2sinα1=0,所以sinα=12,所以α=π6+2kπ或α=5π65.(真題演練)(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知z=1?i2+2i,則zzA.i B.iC.0 D.1答案A解析因?yàn)閦=1?i2+2i=(1-i)(1-i)2(1+i)(1-i)=-2i復(fù)數(shù)的概念典例1(1)(多選)(2024·江蘇揚(yáng)州期初模擬)已知復(fù)數(shù)z=12i,則下列說法正確的是().A.復(fù)數(shù)z的實(shí)部是1,虛部是2B.復(fù)數(shù)z的模為5C.復(fù)數(shù)z·z=5iD.復(fù)數(shù)z是方程x22x+5=0的一個(gè)根(2)(多選)(2023·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)調(diào)研)設(shè)z1,z2是復(fù)數(shù),則下列命題中為真命題是().A.若|z1z2|=0,則z1=z2 B.若z1=z2,則C.若|z1|=|z2|,則z1·z1=z2·z2 D.若|z1|=|z2|,則z答案(1)BD(2)ABC解析(1)因?yàn)閺?fù)數(shù)z=12i,所以復(fù)數(shù)z的實(shí)部是1,虛部是2,A錯(cuò)誤;|z|=12+(-2)z·z=(12i)·(1+2i)=1+4=5,C錯(cuò)誤;因?yàn)?12i)22(12i)+5=14i42+4i+5=0,即復(fù)數(shù)z是方程x22x+5=0的一個(gè)根,D正確.(2)對(duì)于A,若|z1z2|=0,則z1z2=0,即z1=z2,所以z1=z對(duì)于B,若z1=z2,則z1和z2互為共軛復(fù)數(shù),所以z1=z對(duì)于C,設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,a1,a2,b1,b2∈R,若|z1|=|z2|,則a12+b12=a22+b22,z1z1=a12+對(duì)于D,若z1=1,z2=i,則|z1|=|z2|為真,而z12=1,z22=1,所以解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(xiàng)(1)復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題,只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式,列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.(2)解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a+bi(a,b∈R)的形式,以確定實(shí)部和虛部.訓(xùn)練1(1)(多選)下列四個(gè)命題中正確的是().A.若x,y∈C,則“x+yi=1+i”的充要條件是“x=y=1”B.(a2+1)i(a∈R)是純虛數(shù)C.若z12+z22=0,則zD.當(dāng)m=4時(shí),復(fù)數(shù)lg(m22m7)+(m2+5m+6)i是純虛數(shù)(2)(多選)(2023·江蘇贛榆中學(xué)月考)下列命題中,真命題有().A.若復(fù)數(shù)z1=z2,則z1z2B.若復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|=|z2|,則z1=z2或z1=C.若復(fù)數(shù)z1=z2,則|z1|=|z2D.若復(fù)數(shù)z1,z2滿足z1+z2∈R,則z1∈R且z2∈R答案(1)BD(2)AC解析(1)取x=i,y=i,則x+yi=1+i,但不滿足x=y=1,故A錯(cuò)誤;?a∈R,a2+1>0恒成立,所以(a2+1)i是純虛數(shù),故B正確;取z1=i,z2=1,則z12+z22=0,但z1=z2=0不成立,故C錯(cuò)誤;當(dāng)m=4時(shí),復(fù)數(shù)lg(m2(2)對(duì)于A,設(shè)z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,所以z2=cdi,由于復(fù)數(shù)z1=z2,則a=c,b=d,所以z2=abi,則z1·z2=(a+bi)(abi)=a2+b對(duì)于B,若z1=z2或z1=z2,則滿足|z1|=|z對(duì)于C,設(shè)z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,復(fù)數(shù)z1=z2,則a=c,b=d,則|z1|=|z2對(duì)于D,設(shè)z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,復(fù)數(shù)z1,z2滿足z1+z2∈R,故b+d=0,所以z1∈R且z2∈R不一定成立,故D錯(cuò)誤.復(fù)數(shù)的幾何意義典例2(1)(2024·福建第一次質(zhì)量檢測(cè))已知復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z2i=3,則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于().A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)(2023·江蘇通州中學(xué)質(zhì)檢)已知復(fù)數(shù)z滿足|z+i|=|zi|,則|z+1+2i|的最小值為().A.1 B.2C.3 D.5答案(1)A(2)B解析(1)因?yàn)?1+i)z2i=3,則z=3+2i1+i=(3+2i)(1-i)(1+i)(1-i)因此,z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.(2)設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足|z+i|=|zi|,所以由復(fù)數(shù)的幾何意義可知,點(diǎn)Z到點(diǎn)(0,1)和(0,1)的距離相等,所以在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z的軌跡為x軸,又|z+1+2i|表示點(diǎn)Z到點(diǎn)(1,2)的距離,所以問題轉(zhuǎn)化為x軸上的動(dòng)點(diǎn)Z到定點(diǎn)(1,2)距離的最小值,所以|z+1+2i|的最小值為2.由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起,解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法,使問題的解決更加直觀.訓(xùn)練2(1)已知向量OZ1對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是54i,向量OZ2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5+4i,則OZ1A.10+8i B.108iC.0 D.10+8i(2)已知復(fù)數(shù)z滿足|z+i|+|zi|=2,那么|z3|的取值范圍為.

答案(1)C(2)[3,10]解析(1)因?yàn)橄蛄縊Z1對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是54i,向量OZ2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5+4i,所以O(shè)Z1=(5,4),OZ2=(5,4),所以O(shè)Z1+OZ2=(5,(2)設(shè)z=x+yi(x,y∈R),由|z+i|+|zi|=2可得|x+(y+1)i|+|x+(y1)i|=2,即x2+(y又點(diǎn)(0,1),(0,1)之間的距離為2,所以|z+i|+|zi|=2表示z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以(0,1),(0,1)為端點(diǎn)的線段.|z3|=(x-3)2+y2故|z3|的取值范圍為[3,10].復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算典例3已知復(fù)數(shù)z1=(ia)2,z2=43i,其中a是實(shí)數(shù).(1)若z1=iz2,求實(shí)數(shù)a的值;(2)若z1z2是純虛數(shù),a是正實(shí)數(shù),求4z1z2解析(1)因?yàn)閦1=(ia)2,z2=43i,z1=iz2,所以(ia)2=a212ai=3+4i,從而a2-1=3,-2(2)依題意得z1z2==(=4=(4a因?yàn)閦1z2是純虛數(shù),所以4a又因?yàn)閍是正實(shí)數(shù),所以a=12當(dāng)a=12時(shí),z1=i-122=34因?yàn)閕1=i,i2=1,i3=i,i4=1,…,i4n+1=i,i4n+2=1,i4n+3=i,i4n=1(n∈N),所以4z1z2+4=(i)+(i)2+(i)3+(i)4+…+(i)1003=(i1+i+1)+[(i)5+(i)6+(i)7+(i)8]+…+[(i)1001+(i)1002+(i)1003]=0+0+…+(i1+i)=1,所以4z1z2+4z1復(fù)數(shù)的乘法:復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.復(fù)數(shù)的除法:除法的關(guān)鍵是分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù).訓(xùn)練3已知復(fù)數(shù)z=(1+i(1)求復(fù)數(shù)z的模|z|;(2)若z2+az+b=1+i(a,b∈R),求a+b的值.解析(1)z=(1+i)2+3(1?i(2)因?yàn)閦2+az+b=1+i,所以(1i)2+a(1i)+b=1+i,所以(a+b1)(a+3)i=0,所以a+b=1.實(shí)系數(shù)方程在復(fù)數(shù)中的運(yùn)用實(shí)系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)集C中解的情況:設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R且a≠0).(1)當(dāng)Δ=b24ac>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,x=-b(2)當(dāng)Δ=b24ac=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,x=-b(3)當(dāng)Δ=b24ac<0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的虛數(shù)根,x=-b注意:(1)實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)在復(fù)數(shù)集中恒有解;(2)若實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)在復(fù)數(shù)集中有虛根,則虛根成對(duì)出現(xiàn)(互為共軛虛數(shù));(3)根與系數(shù)的關(guān)系依然適用,即不論Δ的正負(fù),恒有x1+x2=ba,x1x2=c(4)對(duì)于任意二次三項(xiàng)式都有ax2+bx+c=a(xx1)(xx2)(a≠0),其中x1,x2是方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)復(fù)數(shù)根;(5)兩個(gè)虛數(shù)共軛的充要條件是兩個(gè)虛數(shù)的和、積都是實(shí)數(shù);(6)復(fù)系數(shù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系依然適用,但不能根據(jù)判別式判斷解的情況,且虛根通常也不是成對(duì)出現(xiàn)(非共軛),通常利用復(fù)數(shù)相等的方法來求解.典例已知方程x2+x+p=0(p∈R)的兩個(gè)根是x1,x2,若|x1|+|x2|=3,求p的值.解析當(dāng)p≤14時(shí),方程x2則x1+x2=1,又|x1|+|x2|=3,則兩個(gè)實(shí)數(shù)根為異號(hào)根,則|x1x2|=3,x1x2=p,則(x即(-1)2-4當(dāng)p>14時(shí),方程x2令x1=-1+4p-1i2,x2=-1-又|x1|+|x2|=3,所以|x1|=32則-122+4p-1綜上,p的值為94或求解復(fù)數(shù)集上的方程的方法(1)設(shè)z=x+yi(x,y∈R),化歸為實(shí)數(shù)方程來解決(化歸思想).(2)把z看成一個(gè)未知數(shù)(而不是實(shí)部和虛部?jī)蓚€(gè)未知數(shù)),用復(fù)數(shù)的性質(zhì)來變形求解(整體思想).(3)對(duì)二次方程,直接用一元二次方程的求根公式(求解公式法).訓(xùn)練若1+2i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根,則c=.

答案3解析因?yàn)閷?shí)系數(shù)一元二次方程x2+bx+c=0的一個(gè)虛根為1+2i,所以其共軛復(fù)數(shù)12i也是方程的根.由根與系數(shù)的關(guān)系知,(1+所以b一、單選題1.若復(fù)數(shù)(a+i)(1ai)=2,a∈R,則a=().A.2 B.1C.1 D.2答案C解析因?yàn)?a+i)(1ai)=aa2i+i+a=2a+(1a2)i=2,所以2a2.在復(fù)平面內(nèi),(1+3i)(3i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于().A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案A解析因?yàn)?1+3i)(3i)=3+8i3i2=6+8i,所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(6,8),位于第一象限.3.(2024·江蘇海安期初質(zhì)量檢測(cè))設(shè)z=2?4iA.3i B.3+iC.13i D.1+3i答案A4.(2023·江蘇淮安中學(xué)質(zhì)檢)下列命題正確的是().①若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R,則z∈R;②若復(fù)數(shù)z滿足iz∈R,則z是純虛數(shù);③若復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|=|z2|,則z1=±z2;④若復(fù)數(shù)z1,z2滿足z1z2=|z1|2且z1A.①③ B.②④C.①④ D.②③答案B解析對(duì)于①,令z=i,滿足z2=1∈R,而z?R,故①不正確;對(duì)于②,令復(fù)數(shù)iz=a,a∈R,則z=1對(duì)于③,令z1=2+i,z2=2i,滿足|z1|=|z2|=5,顯然z1≠z2且z1≠z2,故③不正確;對(duì)于④,令復(fù)數(shù)z1=c+di,c,d∈R,c2+d2≠0,由z1z2=|z1|2,得z2=|z1|2z1=c2+二、多選題5.(2023·山東德州一中質(zhì)檢)設(shè)i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z=(a+i)(1+2i),則下列命題正確的是().A.若z為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為2B.若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是-C.實(shí)數(shù)a=12是z=z(zD.若z+|z|=x+5i(x∈R),則實(shí)數(shù)a的值為2答案ACD解析復(fù)數(shù)z=(a+i)(1+2i)=(a2)+(2a+1)i.對(duì)于A,當(dāng)a=2時(shí),z為純虛數(shù),故A正確;對(duì)于B,由z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限,可得a-2<0,2a對(duì)于C,共軛復(fù)數(shù)z=(a2)(2a+1)i,若z=z,需滿足2a+1=2a1,可得a=12對(duì)于D,由z+|z|=x+5i,即2a+1=5,可得a=2,故D正確.6.(2024·江蘇南通期初質(zhì)量檢測(cè))任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi(其中a,b∈R)都可以表示成:z=r(cosθ+isinθ)的形式.法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn):zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈N*),我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理.根據(jù)以上信息,下列說法正確的是().A.|z2|=|z|2B.當(dāng)r=1,θ=π3時(shí),z3C.當(dāng)r=1,θ=π3時(shí),z=12D.當(dāng)r=1,θ=π4,且n為偶數(shù)時(shí),復(fù)數(shù)zn答案AC解析對(duì)于A,z2=(a+bi)2=a2b2+2abi,故|z2|=(a2-b2)2又因?yàn)閨z|2=(a2+b2)2=a2對(duì)于B,當(dāng)r=1,θ=π3時(shí),由棣莫弗定理得,z3=cosπ所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng)r=1,θ=π3時(shí),由棣莫弗定理得,z=cosπ3+isinπ3=1所以z=123對(duì)于D,當(dāng)r=1,θ=π4時(shí),由棣莫弗定理得,zn=cosπ4+isinπ當(dāng)n=4時(shí),z4=cosπ+isinπ=1,此時(shí)不為純虛數(shù),所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),復(fù)數(shù)zn不一定為純虛數(shù),所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.三、填空題7.(2023·廣東梅州檢測(cè))寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件的復(fù)數(shù):z=.①|(zhì)z|=5;②復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.

答案z=34i(答案不唯一)解析不妨令z=34i,則|z|=32+(-4)8.如果復(fù)數(shù)z滿足|z+i|+|zi|=2,那么|z+4+2i|的最大值是.

答案5解析設(shè)z=x+yi,x,y∈R,則x2+(變形為x2+(y+1)2兩邊平方后得x=0,將x=0代入x2+(得|y+1|+|y1|=2,故1≤y≤1,則|z+4+2i|=(=16+(當(dāng)y=1時(shí),|z+4+2i|=16+(注:也可用幾何法.四、解答題9.已知復(fù)數(shù)z1=1i,z2=4+6i,i為虛數(shù)單位.(1)求z1(2)若復(fù)數(shù)z=1+bi(b∈R)滿足z+z1為實(shí)數(shù),求|z|.解析(1)因?yàn)閺?fù)數(shù)z1=1i,z2=4+6i,所以z1z2=1?i4+6i=(1-(2)因?yàn)閺?fù)數(shù)z=1+bi(b∈R),z1=1i,所以z+z1=2+(b1)i(b∈R),因?yàn)閦+z1為實(shí)數(shù),所以b=1,所以z=1+i,則|z|=2.10.已知復(fù)數(shù)z1=a+i,z2=1ai(a∈R,i是虛數(shù)單位).(1)若z1z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第一象限,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若z1是實(shí)系數(shù)一元二次方程x22x+2=0的根,求實(shí)數(shù)a的值.解析(1)因?yàn)閦1z2=a1+(1+a)i,所以z1z2在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a1,1+a),又因?yàn)閦1z2在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第一象限,所以a-1>0,(2)因?yàn)閦1=a+i是方程x22x+2=0的根,所以(a+i)22(a+i)+2=0,即(a22a+1)+(2a2)i=0,所以a211.歐拉公式exi=cosx+isinx由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立,該公式將指數(shù)函數(shù)