新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題1-1 基本不等式歸類（解析版）

專題1-1基本不等式歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01公式基礎(chǔ) 1題型02基礎(chǔ)模型：倒數(shù)型 3題型03常數(shù)代換型 6.題型04積與和型 8題型05積與和互化解不等式型 9題型06構(gòu)造分母和定型 10題型07湊配系數(shù)構(gòu)造分母和定型 12題型08換元構(gòu)造分母和定型 14題型09分子與分母互消型 16題型10“1”代換綜合型 18題型11分子消去型 20題型12消元型 21題型13齊次化構(gòu)造型 23題型14三角換元構(gòu)造型 25題型15因式分解雙換元型 27題型16配方型 28高考練場(chǎng) 30題型01公式基礎(chǔ)【解題攻略】利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.【典例1-1】（2020·廣東·普寧市第二中學(xué)高三階段練習(xí)）下列不等式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】C【分析】應(yīng)用特殊值法，即可判斷A、B、D的正誤，作差法有SKIPIF1<0，即可確定C的正誤.【詳解】A：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，故不等式不一定成立，故A錯(cuò)誤；B：當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，故不等式不一定成立，故B錯(cuò)誤；C：SKIPIF1<0恒成立，故C正確；D：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，故不等式不一定成立，故D錯(cuò)誤；故選：C【典例1-2】（2021秋·山東日照·高三山東省日照實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0SKIPIF1<02【答案】D【分析】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可判斷A；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可判斷B；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可判斷C；利用均值不等式，可判斷D.【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，不成立，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不成立，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，不成立，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由SKIPIF1<0有意義，故SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0由均值不等式，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立故D正確故選：D【變式1-1】（2021·高三階段測(cè)試）下列說(shuō)法不正確的是（

）A．x＋SKIPIF1<0(x>0)的最小值是2 B．SKIPIF1<0的最小值是2C．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0 D．若x>0，則2－3x－SKIPIF1<0的最大值是2－4SKIPIF1<0【答案】B【解析】由二次根式的性質(zhì)及基本不等式成立的條件逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，所以等號(hào)不成立，所以SKIPIF1<0，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.故選：B.【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列不等式證明過(guò)程正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若x＞0，y＞0，則SKIPIF1<0C．若x＜0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0D．若x＜0，則SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用基本不等式成立的條件及特值法，逐一判斷即可．【詳解】∵SKIPIF1<0可能為負(fù)數(shù)，如SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴A錯(cuò)誤；∵SKIPIF1<0可能為負(fù)數(shù)，如SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴B錯(cuò)誤；∵SKIPIF1<0，如SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴C錯(cuò)誤；∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0等號(hào)成立，∴D正確．故選：D．【變式1-3】（2022秋·廣東·高三深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）?？迹┰谙铝泻瘮?shù)中，最小值是SKIPIF1<0的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式，對(duì)選項(xiàng)中依次進(jìn)行求解判斷，特別要注意基本不等式成立的條件“一正、二定、三相等”.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即最小值不是SKIPIF1<0，故選項(xiàng)A不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)B，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，即最小值是2，故選項(xiàng)B不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)C，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，最小值為SKIPIF1<0，故選項(xiàng)C不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)D，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，即最小值是SKIPIF1<0，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D..題型02基礎(chǔ)模型：倒數(shù)型【解題攻略】倒數(shù)型：SKIPIF1<0，或者SKIPIF1<0容易出問(wèn)題的地方，在于能否“取等”,如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【典例1-1】（2022·浙江杭州·杭州高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】首先求得SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的取值范圍，再把SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為關(guān)于SKIPIF1<0的代數(shù)式SKIPIF1<0，利用函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性去求SKIPIF1<0的取值范圍即可解決【詳解】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0單調(diào)遞減SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故選：C【典例1-2】（2020下·浙江衢州·高三統(tǒng)考）已知SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】將原式分離常數(shù)，然后利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，化簡(jiǎn)為對(duì)勾函數(shù)，利用不等式求最值即可.【詳解】解：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立.故選：B.【變式1-1】（2021上·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由SKIPIF1<0，根據(jù)基本不等式得SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，構(gòu)造對(duì)勾函數(shù)，然后利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性判斷最值.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)取得最小值SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)取得最大值SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.【變式1-2】（2020上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】先化簡(jiǎn)函數(shù)為SKIPIF1<0，再進(jìn)行換元SKIPIF1<0，結(jié)合t的范圍，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求SKIPIF1<0的最小值即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，定義域?yàn)镾KIPIF1<0.令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，驗(yàn)證可知利用基本不等式求最值時(shí)等號(hào)不成立.故根據(jù)對(duì)勾函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，所以SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，故函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：C.【變式1-3】（2022上·上海徐匯·高三上海市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若SKIPIF1<0(x,SKIPIF1<0)最大值記為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的最小值為A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設(shè)SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,由對(duì)勾函數(shù)可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增,則SKIPIF1<0,討論SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關(guān)系,進(jìn)而求解即可【詳解】設(shè)SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0(x,SKIPIF1<0)最大值記為SKIPIF1<0,所以當(dāng)SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0故選:D.題型03常數(shù)代換型【解題攻略】利用常數(shù)SKIPIF1<0代換法，可以代通過(guò)“分子分母相約和相乘”，相約去或者構(gòu)造出“倒數(shù)”關(guān)系。多稱之為“1”的代換條件和結(jié)論有“分子分母”特征；（2）可以乘積出現(xiàn)對(duì)構(gòu)型，再用均值不等式。注意取等條件結(jié)構(gòu)形式：（1）SKIPIF1<0求SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0求SKIPIF1<0【典例1-1】（2023·江西·校聯(lián)考一模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正實(shí)數(shù)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0最小值為.【答案】SKIPIF1<0【分析】由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正實(shí)數(shù)，且SKIPIF1<0，所以先結(jié)合基本不等式“1”的代換求SKIPIF1<0的最小值，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，再根據(jù)基本不等式湊項(xiàng)法求SKIPIF1<0的最小值，即可求得SKIPIF1<0的最小值.【詳解】解：SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正實(shí)數(shù)，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，則SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，則SKIPIF1<0最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例1-2】（2019上·山東濰坊·壽光現(xiàn)代中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．10 B．11 C．13 D．21【答案】B【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．【詳解】解：正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，所以SKIPIF1<0的最小值為11.故選：B.【變式1-1】（2023上·上海徐匯·高三上海市第二中學(xué)校考期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為．【答案】SKIPIF1<0【分析】將SKIPIF1<0化為SKIPIF1<0后與SKIPIF1<0相乘，化簡(jiǎn)后再利用基本不等式求解.【詳解】由題意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以得：SKIPIF1<0，所以：SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào).故最小值為：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式1-2】（2023下·湖南株洲·統(tǒng)考）設(shè)正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】由題知SKIPIF1<0，再根據(jù)基本不等式“1”的用法求解即可.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，所以，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【變式1-3】（2023上·上海松江·高三?？迹┮阎猄KIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0取得最小值時(shí)SKIPIF1<0的值是.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】變換SKIPIF1<0，展開(kāi)利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立.故答案為：SKIPIF1<0題型04積與和型【解題攻略】積與和型，如果滿足有和有積無(wú)常數(shù)，則可以轉(zhuǎn)化為常數(shù)代換型。形如SKIPIF1<0，可以通過(guò)同除ab，化為SKIPIF1<0構(gòu)造“1”的代換求解【典例1-1】（2021·全國(guó)·高三測(cè)試）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0取得最小值時(shí)，SKIPIF1<0（

）A．16 B．6 C．18 D．12【答案】B【分析】根據(jù)已知條件可得SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0展開(kāi)利用基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)SKIPIF1<0取得最小值時(shí)，SKIPIF1<0故選：B.【典例1-2】（2021·湖南岳陽(yáng)·高三聯(lián)考）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由已知條件變形可得SKIPIF1<0，將代數(shù)式SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得SKIPIF1<0的最小值.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，故SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故選：C.【變式1-1】（2020·重慶市暨華中學(xué)校高三階段）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】將已知等式變形為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得SKIPIF1<0的最小值.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，因此，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：C.【變式1-2】（2021·山東威?！じ呷？迹┤鬝KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．18 B．15 C．20 D．13【答案】A【分析】變形條件為SKIPIF1<0，利用“1”的技巧變形待求式，運(yùn)用均值不等式即可求解.【詳解】由題意可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故選：A【變式1-3】（2022·全國(guó)·高三一專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．2 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】根據(jù)題意，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，∴SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故選：D．題型05積與和互化解不等式型【解題攻略】積與和型，如果滿足有和有積有常數(shù)，則可以轉(zhuǎn)化為解不等式型。形形如SKIPIF1<0求SKIPIF1<0型，可以對(duì)“積pxy”部分用均值，再解不等式，注意湊配對(duì)應(yīng)的“和”的系數(shù)系數(shù)，如下：SKIPIF1<0【典例1-1】（2022秋·云南·校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用基本不等式可得出關(guān)于SKIPIF1<0的不等式，即可解得SKIPIF1<0的最大值.【詳解】由題意得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立.因此，SKIPIF1<0的最大值為為SKIPIF1<0.故選：C.【典例1-2】（2023春·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】D【分析】先化簡(jiǎn)把SKIPIF1<0單獨(dú)放在一側(cè),再應(yīng)用重要不等式把未知數(shù)都轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0,計(jì)算求解即可.【詳解】SKIPIF1<0可變形為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取到最大值4.故選:D．【變式1-1】（2022秋·廣東深圳·高三深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┮阎€SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用SKIPIF1<0，可求SKIPIF1<0的最大值．【詳解】SKIPIF1<0曲線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．【變式1-2】（2021·重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則ab的最小值是（

）A．4 B．9 C．16 D．25【答案】D【分析】利用均值不等式，把方程轉(zhuǎn)化為不等式，解之即可.【詳解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立.故選：D【變式1-3】（2021·安徽·霍邱縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】化簡(jiǎn)整理式子可得SKIPIF1<0，再利用基本不等式即可求解.【詳解】由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由基本不等式可得SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：D題型06構(gòu)造分母和定型【解題攻略】對(duì)于分?jǐn)?shù)型求最值，如果復(fù)合a+b=t，求SKIPIF1<0型，則可以湊配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代換來(lái)求解?！镜淅?-1】（2022上·福建福州·高三福建省福州第一中學(xué)?？迹┤羧齻€(gè)正數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意SKIPIF1<0為正數(shù)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立.故答案為：SKIPIF1<0【典例1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】C【分析】由題意可得SKIPIF1<0，再由基本不等式求解即可求出答案.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時(shí)取等.故選：C.【變式1-1】（2022秋·安徽蕪湖·高三?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意，將所求式子進(jìn)行整理變形，再利用基本不等式即可求解.【詳解】SKIPIF1<0，等式SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào).SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值為1.故選：SKIPIF1<0.【變式1-2】（2023·浙江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.【詳解】由題可得，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，取得等號(hào)，故選:C.【變式1-3】（2022上·山東·高三利津縣高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為.【答案】SKIPIF1<0【分析】由SKIPIF1<0，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為正實(shí)數(shù)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，即SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.題型07湊配系數(shù)構(gòu)造分母和定型【解題攻略】對(duì)于分?jǐn)?shù)型求最值，如果復(fù)合pa+qb=t，求SKIPIF1<0型，則可以湊配（a+m）+（b+n）=h，再利用“1”的代換來(lái)求解。其中結(jié)合所給與所求a、b的系數(shù)，可以任意調(diào)換，來(lái)進(jìn)行變換湊配?！镜淅?-1】（2023·全國(guó)·高三題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為.【答案】12【分析】SKIPIF1<0，展開(kāi)后利用基本不等式可求．【詳解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，故SKIPIF1<0的最小值為12．故答案為：12．【典例1-2】（2023秋·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的范圍是．【答案】SKIPIF1<0【分析】依題意得SKIPIF1<0，利用基本不等式“1”的代換求出SKIPIF1<0的最小值，即可得解.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，所以SKIPIF1<0，即實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【變式1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的范圍是．【答案】SKIPIF1<0【分析】依題意可得SKIPIF1<0，利用乘“1”法及基本不等式求出SKIPIF1<0的最小值，即可得解.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，SKIPIF1<0，即實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若三個(gè)正數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意SKIPIF1<0為正數(shù)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立.故答案為：SKIPIF1<0【變式1-3】（2021·三課時(shí)練習(xí)）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為.【答案】SKIPIF1<0【分析】首先利用“1”的等價(jià)變形，SKIPIF1<0，再利用基本不等式求最小值.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0是等號(hào)成立，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0題型08換元構(gòu)造分母和定型【解題攻略】換元型構(gòu)造分母和定型：形如SKIPIF1<0型，則可以通過(guò)換元分母，再利用“1”的代換來(lái)求解?！镜淅?-1】（2023·吉林·長(zhǎng)春十一高校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的小值為．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用待定系數(shù)法可得出SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得SKIPIF1<0的最小值.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0等號(hào)成立，則SKIPIF1<0的小值為SKIPIF1<0.故答案為：9.【典例1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為.【答案】SKIPIF1<0【分析】令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將已知條件簡(jiǎn)化為SKIPIF1<0；將SKIPIF1<0用SKIPIF1<0表示，分離常數(shù)，再使用“乘1法”轉(zhuǎn)化后利用基本不等式即可求得最小值．【詳解】解：令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)取“SKIPIF1<0”，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是.【答案】SKIPIF1<0【分析】將SKIPIF1<0用SKIPIF1<0與SKIPIF1<0表示，湊配常數(shù)1，使用“1”的代換與基本不等式求解.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)可取到.故答案為：SKIPIF1<0【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為.【答案】SKIPIF1<0【分析】換元SKIPIF1<0后可得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0及“1”的技巧化簡(jiǎn)，利用均值不等式求解.【詳解】令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，解得SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，故SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0題型09分子與分母互消型【解題攻略】滿足SKIPIF1<0一般情況下可以通過(guò)“萬(wàn)能K法”轉(zhuǎn)化求解設(shè)K法的三個(gè)步驟：⑴、問(wèn)誰(shuí)設(shè)誰(shuí)：求誰(shuí)，誰(shuí)就是K；⑵、代入整理：整理成某個(gè)變量的一元二次方程（或不等式）；⑶、確認(rèn)最值：方程有解（或不等式用均值放縮），≥0確定最值【典例1-1】（2021秋·高三單元測(cè)試）已知正數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是.【答案】SKIPIF1<0【分析】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，計(jì)算SKIPIF1<0利用基本不等式可得最小值，即可得SKIPIF1<0的最小值，解不等式可得SKIPIF1<0的最小值，即SKIPIF1<0的最小值.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，由SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.【典例1-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是.【答案】SKIPIF1<0【分析】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，同時(shí)根據(jù)SKIPIF1<0均為正數(shù)確定SKIPIF1<0的取值范圍，利用基本不等式可求得SKIPIF1<0，解不等式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為正數(shù)，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；則SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)），又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故答案為：9【變式1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0為正數(shù)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為．【答案】SKIPIF1<0【分析】等式化為SKIPIF1<0，兩邊平方，令SKIPIF1<0，由基本不等式可得SKIPIF1<0，即可求出.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值為8.故答案為：SKIPIF1<0．【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【分析】設(shè)SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0變形整理，用含k的式子表示，這樣會(huì)出現(xiàn)互為倒數(shù)的形式，再利用基本不等式即可求解.【詳解】解：設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取“=”.∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）,即當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值8，故選：A.【變式1-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．2 D．9【答案】D【分析】利用基本不等式以及一元二次不等式求解.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0有最大值為9.故選:D.題型10“1”代換綜合型【典例1-1】（2022上·遼寧大連·大連二十四中?？迹┮阎猄KIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值等于.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，等號(hào)成立，故SKIPIF1<0的最小值等于SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例1-2】（2021上·重慶沙坪壩·高三重慶市第七中學(xué)校?？迹┤魧?shí)數(shù)SKIPIF