高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與戰(zhàn)法精準(zhǔn)訓(xùn)練(新高考專用)6.4.1數(shù)列與不等式(題型戰(zhàn)法)(原卷版+解析)

第六章數(shù)列6.4.1數(shù)列與不等式（題型戰(zhàn)法）知識梳理一關(guān)于數(shù)列求和的不等式證明對于這類問題我們都需要先求出和的表達(dá)式，所以總的來看分兩種情況：1.可以直接求和：則先求和再通過和的形式或單調(diào)性來證明不等式。2.不能直接求和：則通過放縮，先轉(zhuǎn)換為能求和的形式。關(guān)于放縮：=1\*GB3①考慮放縮的方向；=2\*GB3②放縮后的常見形式：裂項形，等比形，等差形；=3\*GB3③若放縮后超過所證數(shù)，則考慮前幾項不放縮。二數(shù)列的恒成立與能成立問題1.恒成立問題：分參-背口訣2.能成立問題：分參-背口訣三數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：歸納奠基→（1）證明當(dāng)n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立歸納遞推→（2）以當(dāng)“n=k(k≥n0，k∈N*)時命題成立”為條件，推出“當(dāng)n=k+1時命題也成立”只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一直接求和證明不等式典例1．已知數(shù)列滿足a1+a2+?+an?1?(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：23?Tn變式1-1．等差數(shù)列中，前三項分別為，前項和為，且.(1)求和的值；(2)求=(3)證明:變式1-2．已知數(shù)列中，，（，）．設(shè)．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項和為．證明，．變式1-3．設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足，已知等比數(shù)列，，，．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）記，數(shù)列的前項和．證明：對一切正整數(shù)，．變式1-4．已知數(shù)列滿足，且.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，是數(shù)列前n項的和，求證：.題型戰(zhàn)法二先放縮再求和證明不等式典例2．已知數(shù)列中，，數(shù)列的前n項和為，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求證：.變式2-1．已知數(shù)列的前項和為，當(dāng)時，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明:當(dāng)時，變式2-2．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，(1)求和(2)求證：．變式2-3．已知數(shù)列，，，，，為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項和．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和；（3）求證：．變式2-4．已知數(shù)列前n項積為，且．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求證：．題型戰(zhàn)法三數(shù)列的恒成立問題典例3．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，．(1)求數(shù)列、的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．變式3-1．已知數(shù)列的前項和為，且滿足．設(shè)，數(shù)列的前項和為．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．變式3-2．已知等差數(shù)列中，，前12項和.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，若不等式，對所有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.變式3-3．設(shè)數(shù)列的前項和為，，．（1）求數(shù)列的通項公式．（2）設(shè)，是數(shù)列的前項和，求使對所有的都成立的最大正整數(shù)的值．變式3-4．已知數(shù)列的前n項和為，且．（1）求出數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，若對于任意正整數(shù)n都成立，求實數(shù)t的取值范圍．題型戰(zhàn)法四數(shù)列的能成立問題典例4．已知Sn為等差數(shù)列的前n項和，S3＝21，S5＝55．(1)求an、S(2)若數(shù)列的前n項和Tn，求滿足的最小正整數(shù)n．變式4-1．已知數(shù)列的前項和(為常數(shù))，且構(gòu)成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求使不等式成立的的最大值.變式4-2．已知數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.變式4-3．已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的前n項和；（2）若存在,使不等式成立，求實數(shù)t的取值范圍．變式4-4．已知各項均不相等的等差數(shù)列的前五項和，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若為數(shù)列的前項和，且存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.題型戰(zhàn)法五數(shù)學(xué)歸納法典例5．設(shè)數(shù)列滿足．(1)求的值并猜測通項公式；(2)證明上述猜想的通項公式．變式5-1．設(shè)正項數(shù)列的首項為4，滿足．(1)求，，并根據(jù)前3項的規(guī)律猜想該數(shù)列的通項公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．變式5-2．已知數(shù)列滿足，前n項和．(1)求，，的值并猜想的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）的猜想．變式5-3．已知數(shù)列的前項和為，其中且.(1)試求：，的值，并猜想數(shù)列的通項公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.變式5-4．用數(shù)學(xué)歸納法證明．第六章數(shù)列6.4.1數(shù)列與不等式（題型戰(zhàn)法）知識梳理一關(guān)于數(shù)列求和的不等式證明對于這類問題我們都需要先求出和的表達(dá)式，所以總的來看分兩種情況：1.可以直接求和：則先求和再通過和的形式或單調(diào)性來證明不等式。2.不能直接求和：則通過放縮，先轉(zhuǎn)換為能求和的形式。關(guān)于放縮：=1\*GB3①考慮放縮的方向；=2\*GB3②放縮后的常見形式：裂項形，等比形，等差形；=3\*GB3③若放縮后超過所證數(shù)，則考慮前幾項不放縮。二數(shù)列的恒成立與能成立問題1.恒成立問題：分參-背口訣2.能成立問題：分參-背口訣三數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：歸納奠基→（1）證明當(dāng)n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立歸納遞推→（2）以當(dāng)“n=k(k≥n0，k∈N*)時命題成立”為條件，推出“當(dāng)n=k+1時命題也成立”只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一直接求和證明不等式典例1．已知數(shù)列滿足a1+a2+?(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：23?Tn【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）將已知條件與兩式相減，再結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求解；（2）利用裂項相消求和法求出即可證明.（1）解：因為，所以，兩式相減得，當(dāng)時，，又，所以，所以，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以；（2）證明：，所以，由，得，所以，綜上，.變式1-1．等差數(shù)列中，前三項分別為，前項和為，且.(1)求和的值；(2)求=(3)證明:【答案】(1)；.(2)(3)見解析【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列列式求解出與，代入表示，即可求出；（2）由（1）求出，再由裂項相消法求；（3）由（2）知，而，所以，即可證明.(1)∵等差數(shù)列中，前三項分別為，，，∴，解得，∴首項，公差．∵，化為：．解得．(2)由（1）可得：，∴，∴．∴(3)因為，而，所以.變式1-2．已知數(shù)列中，，（，）．設(shè)．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項和為．證明，．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）應(yīng)用作差法，結(jié)合等差數(shù)列的定義證明結(jié)論；（2）由（1）寫出的通項公式，再應(yīng)用裂項相消法求和求，進(jìn)而證明結(jié)論.(1)當(dāng)時，，所以是等差數(shù)列，且首項，公差為1.(2)由（1）可知，，，所以.，得證.變式1-3．設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足，已知等比數(shù)列，，，．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）記，數(shù)列的前項和．證明：對一切正整數(shù)，．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用把題設(shè)中的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于，再利用等差數(shù)列的通項公式可求，最后利用等比數(shù)列的性質(zhì)可求等比數(shù)列的公比，從而得到.（2）利用錯位相減法可求，利用不等式的性質(zhì)可證明.【詳解】（1）因為，故，兩式相減得到：，整理得到.因為，故，故是等差數(shù)列且公差為2.又即，解得或（舍）.所以.又，故等比數(shù)列的公比，所以.故數(shù)列，的通項公式分別為，.（2）由（1）得，故，所以，兩式相減得到：，化簡得到.因為，故.【點睛】數(shù)列的通項與前項和的關(guān)系式，我們常利用這個關(guān)系式實現(xiàn)與之間的相互轉(zhuǎn)化.數(shù)列求和關(guān)鍵看通項的結(jié)構(gòu)形式，如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項求和法.變式1-4．已知數(shù)列滿足，且.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，是數(shù)列前n項的和，求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）由題設(shè)遞推式可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合已知條件，即可證為等比數(shù)列；（2）由（1）有，進(jìn)而求，利用裂項相消法求，即可證不等式.【詳解】（1）由得：，又，∴是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知：，則，∴，∴.題型戰(zhàn)法二先放縮再求和證明不等式典例2．已知數(shù)列中，，數(shù)列的前n項和為，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求證：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意中表達(dá)式，令，可求得表達(dá)式，兩式相減，根據(jù)，即可求得數(shù)列的通項公式，經(jīng)檢驗n=1滿足題意，即可得答案；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）可得，即可進(jìn)行證明，經(jīng)檢驗n=1滿足題意，即可得證.【詳解】（Ⅰ）由可得，兩式相減，所以，又（滿足上式），所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以，又滿足題意，所以對于任意，都有.變式2-1．已知數(shù)列的前項和為，當(dāng)時，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明:當(dāng)時，【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】（1）利用公式當(dāng)時，進(jìn)行驗證求解即可；（2）對進(jìn)行常變量分離，然后進(jìn)行放縮，利用等比數(shù)列前項和公式進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）解:當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足.綜上，當(dāng)時，.（2）證明:當(dāng)時，，所以所以綜上可得，當(dāng)時，【點睛】本題考查了已知數(shù)列前項和求通項公式，考查了利用放縮法證明數(shù)列不等式問題，考查了等比數(shù)列前項和公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.變式2-2．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，(1)求和(2)求證：．【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）利用可得，從而可求及.（2）利用放縮法及裂項相消法可證不等式成立.（1）時，，時，，所以，所以數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列．所以，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，不滿足上式，所以，（2）當(dāng)時，，原式成立．當(dāng)時，所以．變式2-3．已知數(shù)列，，，，，為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項和．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和；（3）求證：．【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）應(yīng)用累加法求數(shù)列通項即可.（2）利用裂項相消法求.（3）應(yīng)用放縮法：、，進(jìn)而求和即可證結(jié)論.【詳解】（1）由題設(shè)，當(dāng)時，，又滿足上式，所以（2）由（1），，∴.（3）由，則，又，則，綜上，得證.變式2-4．已知數(shù)列前n項積為，且．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由已知得，，兩式相除整理得，從而可證得結(jié)論，（2）由（1）可得，再利用累乘法求，從而，然后利用放縮法可證得結(jié)論（1）因為，所以，所以，兩式相除，得，整理為，再整理得，．所以數(shù)列為以2為首項，公差為1的等差數(shù)列．（2）因為，所以，由（1）知，，故，所以．所以．又因為，所以．題型戰(zhàn)法三數(shù)列的恒成立問題典例3．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，．(1)求數(shù)列、的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列，等比數(shù)列代入計算；（2）利用錯位相減法可得，討論n的奇偶結(jié)合恒成立問題運(yùn)算處理．(1)因為數(shù)列是等比數(shù)列，則可得，解得所以．因為數(shù)列是等差數(shù)列，且，，則公差，所以．故，(2)由（1）得：，數(shù)列的前n項和為①所以②由①-②得：，所以．不等式恒成立，化為成立，令且為遞增數(shù)列，即轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，恒成立，取，所以．當(dāng)時，恒成立，取，，所以．綜上可得：實數(shù)的取值范圍是．變式3-1．已知數(shù)列的前項和為，且滿足．設(shè)，數(shù)列的前項和為．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）利用已知等式以及和的關(guān)系得到遞推關(guān)系式，再根據(jù)定義證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求出的通項公式及，進(jìn)而求出，最后根據(jù)恒成立求出實數(shù)的取值范圍．【詳解】解：（1）因為，①所以，②②-①得，．所以，又，即．在①中，令得，，又，所以．所以，即．所以，故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）可得，，所以，所以時，．當(dāng)時，適合上式，所以．所以，所以．令，得，即恒成立．令，則．當(dāng)時，，所以，解得，故實數(shù)的取值范圍為．【點睛】本題考查等比數(shù)列的定義、通項公式、前項和公式，考查考生的推理論證能力．變式3-2．已知等差數(shù)列中，，前12項和.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，若不等式，對所有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列中，，前12項和，求出公差，可求數(shù)列的通項公式.（2）把數(shù)列的通項公式代入，證明數(shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列求和公式求得，求的最大值，從而可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，即，，所以數(shù)列的通項公式.（2），，，當(dāng)時，，數(shù)列是等比數(shù)列，，公比，，又不等式，對所有恒成立，所以.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的前和項公式、等比數(shù)列的前和項公式、數(shù)列極限，不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，考查了學(xué)生的基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.變式3-3．設(shè)數(shù)列的前項和為，，．（1）求數(shù)列的通項公式．（2）設(shè)，是數(shù)列的前項和，求使對所有的都成立的最大正整數(shù)的值．【答案】（1）（2）5【分析】（1）當(dāng)時，根據(jù)求得判斷出數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得．（2）根據(jù)（1）中求得利用裂項法求得，進(jìn)而根據(jù)，進(jìn)而根據(jù)求得m的范圍．判斷出m的最大正整數(shù).【詳解】（1）依題意，，故，當(dāng)時，①又②②―①整理得：，故為等比數(shù)列，所以，⑵由⑴知，，，=，依題意有，解得，故所求最大正整數(shù)的值為5．變式3-4．已知數(shù)列的前n項和為，且．（1）求出數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，若對于任意正整數(shù)n都成立，求實數(shù)t的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【詳解】試題分析：（1）由已知，令可得，又，知數(shù)列是等比數(shù)列，寫出通項公式；（2）已知可求得，當(dāng)時，，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，此時，當(dāng)時，，又，所以數(shù)列中最大的項是，從而即可．試題解析：（1）由已知，令可得，又，所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以．（2）有已知可求得，所以，則．考點：1、數(shù)列的遞推關(guān)系；2、等比數(shù)列的通項；3、作差比較大??；4、恒成立問題．題型戰(zhàn)法四數(shù)列的能成立問題典例4．已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S3＝21，S5＝55．(1)求an、Sn；(2)若數(shù)列的前n項和Tn，求滿足的最小正整數(shù)n．【答案】(1)an＝4n﹣1，(2)19【分析】（1）根據(jù)基本量求解首項與公差，進(jìn)而求得an、Sn；（2）裂項相消求和可得，再根據(jù)得求解即可(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則，即，解得，故，(2)由（1）得，.故，令有，即，解得，故滿足滿足的最小正整數(shù)為19變式4-1．已知數(shù)列的前項和(為常數(shù))，且構(gòu)成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求使不等式成立的的最大值.【答案】（1）；（2）11.【分析】（1）由已知得、、，利用等比中項性質(zhì)，得求b，根據(jù)與的關(guān)系求通項公式即可.（2）應(yīng)用裂項求和求，根據(jù)數(shù)列不等式求的最大值即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，由，得，由，得，∴由題設(shè)，有：，可得，則，∴當(dāng)時，，又也滿足通項公式，∴的通項公式為.（2）由（1）知：，∴，要使，即，∴，即，，所以的最大值為11.變式4-2．已知數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，利用累加法求解；（2）根據(jù)存在，成立，由求解.(1)因為，當(dāng)時，，又滿足上式，∴；(2)由（1）知，∴，∵存在，使得成立，∴，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.變式4-3．已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的前n項和；（2）若存在,使不等式成立，求實數(shù)t的取值范圍．【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）由知是等差數(shù)列，寫出通項公式，再應(yīng)用裂項相消法求；（2）將問題化為，結(jié)合單調(diào)性，求t的范圍.【詳解】（1）由題設(shè)有，即是等差數(shù)列，又，得，故，則，所以．（2）若存在,使不等式成立，只要．，所以是遞增的，對于，，于是只需，解得或．故滿足條件的實數(shù)t為或.變式4-4．已知各項均不相等的等差數(shù)列的前五項和，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若為數(shù)列的前項和，且存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【詳解】試題分析：（1）用基本量法，即用表示已知條件，列出方程組，求出即可求數(shù)列的通項公式；（2）用裂項相消法求數(shù)列的前項和，列出不等式參變分離得，由基本不等式求的最小值即可.試題解析：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則即又因為，所以所以.（2）因為，所以.因為存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使成立.又，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以.即實數(shù)的取值范圍是.考點：1.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)；2.裂項相消法求數(shù)列的和；3.基本不等式；4.數(shù)列與不等式.【名師點睛】本題考查等差數(shù)列的定義與性質(zhì)、裂項相消法求數(shù)列的和、基本不等式、數(shù)列與不等式相關(guān)知識，屬中檔題；解決數(shù)列性質(zhì)與求和問題，基本量法是最通用的方法，本題在考查通性通法的同時，突出考查思維能力、代數(shù)推理能力、分析問題解決問題的能力.題型戰(zhàn)法五數(shù)學(xué)歸納法典例5．設(shè)數(shù)列滿足．(1)求的值并猜測通項公式；(2)證明上述猜想的通項公式．【答案】(1)，，猜測(2)見解析【分析】（1）根據(jù)遞推公式求出，再根據(jù)即可得出猜想；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.(1)解：由題意得，時，，得，時，，得，故，猜測；(2)證明：當(dāng)時，，即猜測成立；假設(shè)時，猜測成立，即，則時，由，得，所以時也成立，綜上可得，成立．變式5-1．設(shè)正項數(shù)列的首項為4，滿足．(