高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點(diǎn)精講+精練(人教A版2019必修第二冊(cè))第01講基本立體圖形(原卷版+解析)

第1講基本立體圖形知識(shí)點(diǎn)1空間幾何體的有關(guān)概念1．空間幾何體空間中的物體都占據(jù)著空間的一部分，如果只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來(lái)的空間圖形就叫做空間幾何體．2．空間幾何體的分類(lèi)(1)多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體．圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面；兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)．(2)旋轉(zhuǎn)體：由一個(gè)平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體．封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸．知識(shí)點(diǎn)2幾種最基本的空間幾何體棱柱的結(jié)構(gòu)特征定義一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)看，棱柱也可以看成是一個(gè)平面多邊形從一個(gè)位置沿一條不與其共面的直線運(yùn)動(dòng)到另一位置時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡所形成的幾何體．棱柱中，兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面，簡(jiǎn)稱(chēng)底．除底面外，其余各面叫做棱柱的側(cè)面．相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)．圖形及表示①用表示底面的各頂點(diǎn)的字母表示棱柱，如下圖，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分別表示為、、；②用棱柱的對(duì)角線表示棱柱，如上圖，四棱柱可以表示為棱柱或棱柱等；五棱柱可表示為棱柱、棱柱等；六棱柱可表示為棱柱、棱柱、棱柱等．結(jié)構(gòu)特征①有兩個(gè)面互相平行；②各側(cè)棱都互相平行，各側(cè)面都是平行四邊形．通俗地講，棱柱“兩頭一樣平，上下一樣粗”．注：有兩個(gè)面互相平行，并不表明只有兩個(gè)面互相平行，如長(zhǎng)方體，有三組對(duì)面互相平行，其中任意一組對(duì)面都可以作為底面．分類(lèi)①棱柱可以按底面的邊數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……即棱柱的底面是幾邊形，這樣的棱柱就叫做幾棱柱．按側(cè)棱與底面是否垂直分類(lèi)，可分為斜棱柱和直棱柱．側(cè)棱與底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．特別地，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．推廣平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱，即平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形．長(zhǎng)方體：底面是矩形的直棱柱．正方體：棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體．易錯(cuò)辨析有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形，這些面圍成的幾何體不一定是棱柱．如下圖所示的幾何體滿(mǎn)足“有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形”這一條件，但它不是棱柱．判定一個(gè)幾何體是否是棱柱時(shí)，除了看它是否滿(mǎn)足：“有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形”這兩個(gè)條件外，還要看其余平行四邊形中“每?jī)蓚€(gè)相鄰的四邊形的公共邊都互相平行”即“側(cè)棱互相平行”這一條件，不具備這一條件的幾何體不是棱柱．2．棱錐的結(jié)構(gòu)特征定義一般地，有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐．在棱錐中，這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面或底．有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面．各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)．相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱．圖形及表示①表示頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的字母表示棱錐．如圖所示的四棱錐可表示為棱錐S?ABCD．②用頂點(diǎn)和底面多邊形的一條對(duì)角線的相應(yīng)字母表示棱錐（三棱錐除外）．如圖所示的棱錐可記為四棱錐S?AC．結(jié)構(gòu)特征(1)有一個(gè)面是多邊形；(2)其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形．注意：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐分類(lèi)按底面的邊數(shù)進(jìn)行分類(lèi)：底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐……其中，三棱錐又稱(chēng)為四面體．注意：三棱錐的所有面都是三角形，所以四個(gè)面都可以看作底．3．棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征定義用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺(tái).原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面和上底面，除上、下底面之外的其他各面叫做棱臺(tái)的側(cè)面，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱臺(tái)的側(cè)棱,棱臺(tái)的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱臺(tái)的頂點(diǎn)圖形及表示用表示底面各頂點(diǎn)的字母表示棱臺(tái)．如圖所示的四棱臺(tái)可以表示為棱臺(tái)ABCD?A′B′C′D′．結(jié)構(gòu)特征(1)上底面與下底面是互相平行的相似多邊形；(2)側(cè)面都是梯形；(3)側(cè)棱延長(zhǎng)線必交于一點(diǎn)．注意：各側(cè)面是全等的等腰梯形的是棱臺(tái)稱(chēng)為正棱臺(tái)．(由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)．)分類(lèi)由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別叫做三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……4．圓柱的結(jié)構(gòu)特征定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線．注意：圓柱與棱柱統(tǒng)稱(chēng)為柱體．圖形及表示圓柱可以用表示它的軸的字母表示，上圖所示的圓柱可以表示為圓柱OO′．結(jié)構(gòu)特征(1)圓柱有無(wú)數(shù)條母線，它們平行且相等．(2)平行于底面的截面是與底面大小相同的圓．(3)圓柱的任何一條母線都平行于圓柱的軸．(4)經(jīng)過(guò)圓柱的軸的截面是一個(gè)矩形，其兩條鄰邊分別是圓柱的母線和底面直徑，經(jīng)過(guò)圓柱的軸的截面通常叫做軸截面．(5)過(guò)任意兩條母線的截面是矩形．(6)用一個(gè)平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個(gè)與底面全等的圓面．5．圓錐的結(jié)構(gòu)特征定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸,垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓錐的底面,直角三角形的斜邊繞軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓錐的側(cè)面,無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，斜邊都叫做圓錐的母線，如上圖所示，SA，SB等都是圓錐的母線．母線的交點(diǎn)叫做圓錐的頂點(diǎn)注意：圓錐與棱錐統(tǒng)稱(chēng)為錐體．圖形及表示圓錐可以用表示它的軸的字母表示，如圖所示的圓錐可以表示為圓錐SO．結(jié)構(gòu)特征(1)圓錐有無(wú)數(shù)條母線，它們有公共點(diǎn)即圓錐的頂點(diǎn)，且長(zhǎng)度相等．(2)平行于底面的截面都是圓．注：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面是一個(gè)比底面小的圓面．(3)過(guò)軸的截面是全等的等腰三角形．其底邊是圓錐底面的直徑，兩腰是圓錐側(cè)面的兩條母線．(4)過(guò)任意兩條母線的截面是等腰三角形．(5)圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)與圓錐頂點(diǎn)的連線都是圓錐側(cè)面的母線．6．圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)．原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺(tái)的下底面和上底面．上、下底面圓心的連線所在的直線叫做圓臺(tái)的軸．原圓錐的側(cè)面被平面截去后剩余的曲面叫做圓臺(tái)的側(cè)面．原圓錐的母線被平面截去后剩余的部分叫做圓臺(tái)的母線．注意：圓臺(tái)和棱臺(tái)統(tǒng)稱(chēng)為臺(tái)體．圖形及表示圓臺(tái)可以用表示它的軸的字母表示，上圖所示的圓臺(tái)可以表示為圓臺(tái)OO′．結(jié)構(gòu)特征(1)圓臺(tái)有無(wú)數(shù)條母線，且它們相等，延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)．(2)平行于底面的截面是圓．(3)過(guò)軸的截面是全等的等腰梯形．(4)過(guò)任意兩條母線的截面是等腰梯形．7．球的結(jié)構(gòu)特征定義以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球．半圓的圓心叫做球的球心；連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑；連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過(guò)球心的線段叫做球的直徑．圖形及表示可以用表示球心的字母表示球，上圖所示的球可以表示為球O．結(jié)構(gòu)特征(1)球是旋轉(zhuǎn)體，球的表面是旋轉(zhuǎn)形成的曲面，球是球面及其內(nèi)部空間組成的幾何體．(2)根據(jù)球的定義，鉛球是一個(gè)球，而足球、乒乓球、籃球、排球等，雖然它們的名字中有“球”字，但它們都是空心的，不符合球的定義，因而都不是球.8．簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征定義由柱體、錐體、臺(tái)體、球體等簡(jiǎn)單幾何體組合而成的幾何體叫做簡(jiǎn)單組合體．構(gòu)成形式簡(jiǎn)單組合體構(gòu)成的兩種基本形式簡(jiǎn)單組合體eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成；,由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成.))考點(diǎn)一棱柱的結(jié)構(gòu)特征解題方略：棱柱結(jié)構(gòu)特征問(wèn)題的解題策略(1)有關(guān)棱柱概念辨析問(wèn)題應(yīng)緊扣棱柱定義：①兩個(gè)面互相平行；②其余各面是平行四邊形；③相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行．求解時(shí)，首先看是否有兩個(gè)面平行，再看是否滿(mǎn)足其他特征．(2)多注意觀察一些實(shí)物模型和圖片便于反例排除．【例1】下面多面體中，是棱柱的共有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)變式1：如圖，將裝有水的長(zhǎng)方體水槽固定底面一邊后傾斜一個(gè)小角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是()A．棱柱 B．棱臺(tái)C．棱柱與棱錐的組合體 D．不能確定【例2】下列說(shuō)法中，正確的是()A．棱柱中所有的側(cè)棱都相交于一點(diǎn)B．棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫做棱柱的底面C．棱柱的側(cè)面是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D．棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面是平行四邊形變式1：下列命題正確的是（）A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱D．棱柱的側(cè)面都是全等的平行四邊形變式2：【多選】下列關(guān)于棱柱的說(shuō)法正確的是()A．所有的棱柱兩個(gè)底面都平行B．所有的棱柱一定有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行C．有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱柱D．棱柱至少有五個(gè)面變式3：【多選】下列關(guān)于棱柱的說(shuō)法中不正確的是()A．棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但它一定不是矩形B．棱柱的一條側(cè)棱的長(zhǎng)叫做棱柱的高C．棱柱的兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面D．棱柱的所有面中，至少有兩個(gè)面互相平行【例3】一棱柱有10個(gè)頂點(diǎn)，其所有的側(cè)棱長(zhǎng)的和為60cm，則每條側(cè)棱長(zhǎng)為_(kāi)_______cm.考點(diǎn)二棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征解題方略：判斷棱錐、棱臺(tái)形狀的兩個(gè)方法(1)舉反例法：結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說(shuō)法不正確．(2)直接法：棱錐棱臺(tái)定底面只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面兩個(gè)互相平行的面，即為底面看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)【例4】下面圖形中，為棱錐的是()A．①③ B．①③④C．①②④ D．①②【例5】下列說(shuō)法中，正確的是()①棱錐的各個(gè)側(cè)面都是三角形；②有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐；③四面體的任何一個(gè)面都可以作為三棱錐的底面；④棱錐的各側(cè)棱長(zhǎng)相等．A．①② B．①③C．②③ D．②④變式1：下列說(shuō)法正確的是________．①一個(gè)棱錐至少有四個(gè)面；②如果四棱錐的底面是正方形，那么這個(gè)四棱錐的四條側(cè)棱都相等；③五棱錐只有五條棱；④用與底面平行的平面去截三棱錐，得到的截面三角形和底面三角形相似．變式2：下列說(shuō)法正確的是()A．多面體至少有3個(gè)面B．有2個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺(tái)C．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體D．九棱柱有9條側(cè)棱，9個(gè)側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形變式3：一個(gè)棱錐的各棱長(zhǎng)都相等，那么這個(gè)棱錐一定不是()A．三棱錐 B．四棱錐C．五棱錐 D．六棱錐【例6】下面四個(gè)幾何體中，是棱臺(tái)的是()變式1：下列特征不是棱臺(tái)必須具有的是()A．兩底面平行B．側(cè)面都是梯形C．側(cè)棱長(zhǎng)都相等D．側(cè)棱延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)變式2：下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說(shuō)法：①棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；②由四個(gè)平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．其中說(shuō)法正確的序號(hào)是________．變式3：如圖所示，在三棱臺(tái)A′B′C′-ABC中，截去三棱錐A′-ABC，則剩余部分是()A．三棱錐 B．四棱錐C．三棱柱 D．組合體截面問(wèn)題【例7】用一個(gè)平面去截一個(gè)三棱錐，截面形狀是()A．四邊形 B．三角形C．三角形或四邊形 D．不可能為四邊形考點(diǎn)三多面體的平面展開(kāi)圖問(wèn)題解題方略：多面體展開(kāi)圖問(wèn)題的解題策略(1)繪制展開(kāi)圖：繪制多面體的表面展開(kāi)圖要結(jié)合多面體的幾何特征，常常給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫(huà)出來(lái)，然后依次畫(huà)出各側(cè)面，便可得到其表面展開(kāi)圖．(2)由展開(kāi)圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的表面展開(kāi)圖，來(lái)判斷是由哪一個(gè)多面體展開(kāi)的，則可把上述過(guò)程逆推.同一個(gè)幾何體的表面展開(kāi)圖可能是不一樣的，也就是說(shuō)，一個(gè)多面體可有多個(gè)表面展開(kāi)圖．【例8】(1)某同學(xué)制作了一個(gè)對(duì)面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖所示，則這個(gè)正方體禮品盒的平面展開(kāi)圖應(yīng)該為(對(duì)面是相同的圖案)()(2)如圖是三個(gè)幾何體的平面展開(kāi)圖，請(qǐng)問(wèn)各是什么幾何體？變式1：下列圖形經(jīng)過(guò)折疊可以圍成一個(gè)棱柱的是()變式2：水平放置的正方體的六個(gè)面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖(圖中數(shù)字寫(xiě)在正方體的外表面上)，若圖中“0”上方的“2”在正方體的上面，則這個(gè)正方體的下面是()A．1B．9C．快 D．樂(lè)變式3：如圖所示都是正方體的表面展開(kāi)圖，還原成正方體后，其中兩個(gè)完全一樣的是()①②③④A．①② B．②③C．③④ D．①④變式4：一個(gè)幾何體的平面展開(kāi)圖如圖所示．(1)該幾何體是哪種幾何體？(2)該幾何體中與“?！弊置嫦鄬?duì)的是哪個(gè)面？“你”字面相對(duì)的是哪個(gè)面？【例9】如圖所示，在所有棱長(zhǎng)均為1的三棱柱上，有一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，圍著三棱柱的側(cè)面爬行一周到達(dá)點(diǎn)A1，則爬行的最短路程為_(kāi)_______．變式1：如圖，M是棱長(zhǎng)為2cm的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中點(diǎn)，沿正方體表面從點(diǎn)A到點(diǎn)M的最短路程是________cm.變式2：長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿表面爬行到點(diǎn)C1，求螞蟻爬行的最短路線．變式3：如圖在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，沿圖中虛線將3個(gè)三角形折起，使點(diǎn)A，B，C重合，重合后記為點(diǎn)P.問(wèn)：(1)折起后形成的幾何體是什么幾何體？(2)若正方形邊長(zhǎng)為2a，則每個(gè)面的三角形面積為多少？考點(diǎn)四旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征解題方略：簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征問(wèn)題的解題策略(1)準(zhǔn)確掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)和球的生成過(guò)程及其特征性質(zhì)是解決此類(lèi)概念問(wèn)題的關(guān)鍵．(2)解題時(shí)要注意明確兩點(diǎn)：①明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成；②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線．【例10】下列命題正確的是________．①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②圓柱的母線是連接圓柱上底面上一點(diǎn)和下底面上一點(diǎn)的直線；③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；④以等腰三角形的底邊上的高所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐；⑤球面上四個(gè)不同的點(diǎn)一定不在同一平面內(nèi)；⑥球的半徑是球面上任意一點(diǎn)和球心的連線段；⑦球面上任意三點(diǎn)可能在一條直線上；⑧用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面．變式1：下列命題：①任意平面截圓柱，截面都是圓面；②圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線；③在圓臺(tái)上、下兩底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線，其中正確的是()A．①②B．②③C．①③D．②變式2：判斷下列各命題是否正確：(1)圓柱上底面圓上任一點(diǎn)與下底面圓上任一點(diǎn)的連線都是圓柱的母線；(2)一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺(tái)；(3)圓錐、圓臺(tái)中過(guò)軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形；(4)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球．變式3：下列敘述中，正確的個(gè)數(shù)是()①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是圓臺(tái)；③用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)；④圓面繞它的任一直徑旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是球．A．0 B．1C．2 D．3變式4：下列命題中正確的是()①過(guò)球面上任意兩點(diǎn)只能作一個(gè)經(jīng)過(guò)球心的圓；②以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，半圓的直徑叫做球的直徑；③用不過(guò)球心的截面截球，球心和截面圓心的連線垂直于截面；④球面上任意三點(diǎn)可能在一條直線上；⑤球的半徑是連接球面上任意一點(diǎn)和球心的線段．A．①②③ B．②③④C．②③⑤ D．①④⑤變式5：有下列四個(gè)說(shuō)法，其中正確的是()A．圓柱的母線與軸垂直B．圓錐的母線長(zhǎng)等于底面圓直徑C．圓臺(tái)的母線與軸平行D．球的直徑必過(guò)球心變式6：用平面截一個(gè)幾何體，所得各截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是()A．圓柱 B．圓錐C．球 D．圓臺(tái)變式7：已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同一側(cè)，且距離為1，那么這個(gè)球的半徑是()A．4 B．3C．2 D．0.5考點(diǎn)五圓柱、圓錐、圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖問(wèn)題解題方略：求幾何體表面上兩點(diǎn)間的最小距離的步驟(1)將幾何體沿著某棱(母線)剪開(kāi)后展開(kāi)，畫(huà)出其側(cè)面展開(kāi)圖；(2)將所求曲線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上的線段問(wèn)題；(3)結(jié)合已知條件求得結(jié)果．【例11】若圓柱體被平面截成如圖所示的幾何體，則它的側(cè)面展開(kāi)圖是()【例12】圓柱的母線長(zhǎng)為10，則其高等于()A．5 B．10C．20 D．不確定變式1：用一張長(zhǎng)為8，寬為4的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面，則相應(yīng)圓柱的底面半徑是()A．2 B．2πC.eq\f(2,π)或eq\f(4,π) D.eq\f(π,2)或eq\f(π,4)變式2：一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為20，母線與軸的夾角為60°，則圓錐的高為_(kāi)_______．變式3：已知圓錐的母線長(zhǎng)為cm，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為_(kāi)___cm.變式4：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截得的圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長(zhǎng)是3cm，求圓臺(tái)的母線長(zhǎng)．變式5：一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為12cm，兩底面面積分別為4πcm2和25πcm2.求：(1)圓臺(tái)的高；(2)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)．【例12】如圖所示，已知圓柱的高為80cm，底面半徑為10cm，軸截面上有P，Q兩點(diǎn)，且PA＝40cm，B1Q＝30cm，若一只螞蟻沿著側(cè)面從P點(diǎn)爬到Q點(diǎn)，問(wèn)：螞蟻爬過(guò)的最短路徑長(zhǎng)是多少？變式1：如圖所示，有一圓錐形糧堆，母線與底面圓的直徑構(gòu)成邊長(zhǎng)為6m的正三角形ABC，糧堆母線AC的中點(diǎn)P處有一只老鼠正在偷吃糧食．此時(shí)，小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處捕捉老鼠，求小貓所經(jīng)過(guò)的最短路程．(結(jié)果不取近似值)變式2：如右圖所示，圓臺(tái)母線AB長(zhǎng)為20cm，上、下底面半徑分別為5cm和10cm，從母線AB的中點(diǎn)M拉一條繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到B點(diǎn)，求這條繩子長(zhǎng)度的最小值．考點(diǎn)六簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征解題方略：簡(jiǎn)單組合體的識(shí)別1．明確組合體的結(jié)構(gòu)特征，主要弄清它是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的，必要時(shí)也可以指出棱數(shù)、面數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)．2．會(huì)識(shí)別較復(fù)雜的圖形是學(xué)好立體幾何的第一步，因此我們應(yīng)注意觀察周?chē)奈矬w，然后將它們“分拆”成幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何體，進(jìn)而培養(yǎng)我們的空間想象能力和識(shí)圖能力．【例13】如圖①②所示的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的立體圖形分別是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的？變式1：描述下列幾何體的結(jié)構(gòu)特征．變式2：正方形ABCD繞對(duì)角線AC所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得組合體的結(jié)構(gòu)特征是________________．變式3：觀察下列四個(gè)幾何體，其中可看作是由兩個(gè)棱柱拼接而成的是________(填序號(hào))．練習(xí)一棱柱的結(jié)構(gòu)特征1、棱柱的側(cè)面一定是（

）A．菱形 B．正方形 C．平行四邊形 D．矩形2、四棱柱有幾條側(cè)棱，幾個(gè)頂點(diǎn)()A．四條側(cè)棱、四個(gè)頂點(diǎn)B．八條側(cè)棱、四個(gè)頂點(diǎn)C．四條側(cè)棱、八個(gè)頂點(diǎn)D．六條側(cè)棱、八個(gè)頂點(diǎn)3、下列說(shuō)法中正確的是()A．所有的棱柱都有一個(gè)底面B．棱柱的頂點(diǎn)至少有6個(gè)C．棱柱的側(cè)棱至少有4條D．棱柱的棱至少有4條4、以下各種情況中，是長(zhǎng)方體的是（

）A．直平行六面體 B．側(cè)面是矩形的四棱柱C．底面是矩形的平行六面體 D．底面是矩形的直棱柱5、【多選】有下列命題，其中錯(cuò)誤的命題為（

）A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱D．直四棱柱是直平行六面體練習(xí)二棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征1、下列棱錐有6個(gè)面的是()A．三棱錐 B．四棱錐C．五棱錐 D．六棱錐2、一個(gè)棱柱至少有________個(gè)面，頂點(diǎn)最少的一個(gè)棱臺(tái)有________條側(cè)棱．3、一個(gè)棱臺(tái)至少有________個(gè)面，面數(shù)最少的棱臺(tái)有________個(gè)頂點(diǎn)，有________條棱．4、下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．有2個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺(tái)B．多面體至少有3個(gè)面C．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體D．九棱柱有9條側(cè)棱，9個(gè)側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形5、以下關(guān)于多面體的命題種，真命題為（

）A．所有側(cè)面均為正三角形的四棱錐是正四棱錐B．所有側(cè)面均為正方形的四棱柱是正四棱柱C．所有側(cè)面均為正三角形的多面體是正四面體D．所有側(cè)面均為正方形的多面體是正方體練習(xí)三多面體的平面展開(kāi)圖問(wèn)題1、如圖所示的各圖形中，不是正方體表面展開(kāi)圖的是（

）A． B．C． D．2、一個(gè)無(wú)蓋的正方體盒子的平面展開(kāi)圖如圖，A、B、C是展開(kāi)圖上的三點(diǎn)，則在正方體盒子中，（

）A． B． C． D．3、【多選】某人用如圖所示的紙片沿折痕折后粘成一個(gè)四棱錐形的“走馬燈”，正方形做燈底，且有一個(gè)三角形面上寫(xiě)上了“年”字，當(dāng)燈旋轉(zhuǎn)時(shí)，正好看到“新年快樂(lè)”的字樣，則在①、②、③處應(yīng)依次寫(xiě)上（

）A．樂(lè)、新、快 B．快、新、樂(lè)C．新、快、樂(lè) D．樂(lè)、快、新4、如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，現(xiàn)有一只甲殼蟲(chóng)從點(diǎn)A出發(fā)沿長(zhǎng)方體表面爬行到點(diǎn)C1來(lái)獲取食物，試畫(huà)出它的最短爬行路線，并求其路程的最小值．5、如圖，在正四棱錐中，側(cè)棱長(zhǎng)均為，且相鄰兩條側(cè)棱的夾角為，，分別是線段，上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．練習(xí)四旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征1、如圖所示，觀察四個(gè)幾何體，其中判斷正確的是（

）A．①是棱臺(tái) B．②是圓臺(tái)C．③是棱錐 D．④是棱柱2、下列命題是假命題的是（

）A．棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形B．將矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的的幾何體叫做圓柱；C．正棱錐頂點(diǎn)在底面的投影是底面正多邊形的中心；D．將直角三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的的幾何體叫做圓錐.3、下列說(shuō)法不正確的是（

）A．圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形B．球面可以看成是一個(gè)圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)180°所形成的曲面C．直角梯形繞它的一腰所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓臺(tái)D．圓柱?圓錐?圓臺(tái)中，平行于底面的截面都是圓面4、繞著它的一邊旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體可能是（

）A．圓臺(tái) B．圓臺(tái)或兩個(gè)圓錐的組合體C．圓錐或兩個(gè)圓錐的組合體 D．圓柱5、已知等腰梯形ABCD，現(xiàn)繞著它的較長(zhǎng)底CD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括（

）A．一個(gè)圓臺(tái)、兩個(gè)圓錐 B．一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐C．兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱 D．兩個(gè)圓柱、一個(gè)圓臺(tái)練習(xí)五圓柱、圓錐、圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖問(wèn)題1、已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．3 D．42、一個(gè)圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的上、下底面半徑的比是，截去小圓錐的母線長(zhǎng)為，則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為（）A． B． C． D．3、圓柱的軸截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為5cm的正方形ABCD，則從A到C在圓柱側(cè)面上的最短距離為_(kāi)___.4、已知圓錐的母線與底面半徑之比為3，若一只螞蟻從該圓錐底部上的一點(diǎn)A繞圓錐側(cè)面爬行一周再回到A點(diǎn)的最短距離為9，則該圓錐的體積為_(kāi)_____.5、如圖，一個(gè)立在水平地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為4，一只小蟲(chóng)從圓錐的底面圓上的點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)處．若該小蟲(chóng)爬行的最短路程為，則圓錐底面圓的半徑等于_______．練習(xí)六簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征1、如圖所示的螺母可以看成一個(gè)組合體，對(duì)其結(jié)構(gòu)特征最接近的表述是（

）A．一個(gè)六棱柱中挖去一個(gè)棱柱 B．一個(gè)六棱柱中挖去一個(gè)棱錐C．一個(gè)六棱柱中挖去一個(gè)圓柱 D．一個(gè)六棱柱中挖去一個(gè)圓臺(tái)2、指出如圖(1)(2)所示的圖形是由哪些簡(jiǎn)單幾何體構(gòu)成的．3、如圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體形狀為()A．一個(gè)球體B．一個(gè)球體中間挖出一個(gè)圓柱C．一個(gè)圓柱D．一個(gè)球體中間挖去一個(gè)長(zhǎng)方體4、如圖，幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得的．現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形可能是（

）A．B． C． D．第1講基本立體圖形知識(shí)點(diǎn)1空間幾何體的有關(guān)概念1．空間幾何體空間中的物體都占據(jù)著空間的一部分，如果只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來(lái)的空間圖形就叫做空間幾何體．2．空間幾何體的分類(lèi)(1)多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體．圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面；兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)．(2)旋轉(zhuǎn)體：由一個(gè)平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體．封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸．知識(shí)點(diǎn)2幾種最基本的空間幾何體棱柱的結(jié)構(gòu)特征定義一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)看，棱柱也可以看成是一個(gè)平面多邊形從一個(gè)位置沿一條不與其共面的直線運(yùn)動(dòng)到另一位置時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡所形成的幾何體．棱柱中，兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面，簡(jiǎn)稱(chēng)底．除底面外，其余各面叫做棱柱的側(cè)面．相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)．圖形及表示①用表示底面的各頂點(diǎn)的字母表示棱柱，如下圖，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分別表示為、、；②用棱柱的對(duì)角線表示棱柱，如上圖，四棱柱可以表示為棱柱或棱柱等；五棱柱可表示為棱柱、棱柱等；六棱柱可表示為棱柱、棱柱、棱柱等．結(jié)構(gòu)特征①有兩個(gè)面互相平行；②各側(cè)棱都互相平行，各側(cè)面都是平行四邊形．通俗地講，棱柱“兩頭一樣平，上下一樣粗”．注：有兩個(gè)面互相平行，并不表明只有兩個(gè)面互相平行，如長(zhǎng)方體，有三組對(duì)面互相平行，其中任意一組對(duì)面都可以作為底面．分類(lèi)①棱柱可以按底面的邊數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……即棱柱的底面是幾邊形，這樣的棱柱就叫做幾棱柱．按側(cè)棱與底面是否垂直分類(lèi)，可分為斜棱柱和直棱柱．側(cè)棱與底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．特別地，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．推廣平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱，即平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形．長(zhǎng)方體：底面是矩形的直棱柱．正方體：棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體．易錯(cuò)辨析有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形，這些面圍成的幾何體不一定是棱柱．如下圖所示的幾何體滿(mǎn)足“有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形”這一條件，但它不是棱柱．判定一個(gè)幾何體是否是棱柱時(shí)，除了看它是否滿(mǎn)足：“有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形”這兩個(gè)條件外，還要看其余平行四邊形中“每?jī)蓚€(gè)相鄰的四邊形的公共邊都互相平行”即“側(cè)棱互相平行”這一條件，不具備這一條件的幾何體不是棱柱．2．棱錐的結(jié)構(gòu)特征定義一般地，有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐．在棱錐中，這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面或底．有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面．各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)．相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱．圖形及表示①表示頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的字母表示棱錐．如圖所示的四棱錐可表示為棱錐S?ABCD．②用頂點(diǎn)和底面多邊形的一條對(duì)角線的相應(yīng)字母表示棱錐（三棱錐除外）．如圖所示的棱錐可記為四棱錐S?AC．結(jié)構(gòu)特征(1)有一個(gè)面是多邊形；(2)其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形．注意：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐分類(lèi)按底面的邊數(shù)進(jìn)行分類(lèi)：底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐……其中，三棱錐又稱(chēng)為四面體．注意：三棱錐的所有面都是三角形，所以四個(gè)面都可以看作底．3．棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征定義用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺(tái).原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面和上底面，除上、下底面之外的其他各面叫做棱臺(tái)的側(cè)面，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱臺(tái)的側(cè)棱,棱臺(tái)的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱臺(tái)的頂點(diǎn)圖形及表示用表示底面各頂點(diǎn)的字母表示棱臺(tái)．如圖所示的四棱臺(tái)可以表示為棱臺(tái)ABCD?A′B′C′D′．結(jié)構(gòu)特征(1)上底面與下底面是互相平行的相似多邊形；(2)側(cè)面都是梯形；(3)側(cè)棱延長(zhǎng)線必交于一點(diǎn)．注意：各側(cè)面是全等的等腰梯形的是棱臺(tái)稱(chēng)為正棱臺(tái)．(由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)．)分類(lèi)由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別叫做三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……4．圓柱的結(jié)構(gòu)特征定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線．注意：圓柱與棱柱統(tǒng)稱(chēng)為柱體．圖形及表示圓柱可以用表示它的軸的字母表示，上圖所示的圓柱可以表示為圓柱OO′．結(jié)構(gòu)特征(1)圓柱有無(wú)數(shù)條母線，它們平行且相等．(2)平行于底面的截面是與底面大小相同的圓．(3)圓柱的任何一條母線都平行于圓柱的軸．(4)經(jīng)過(guò)圓柱的軸的截面是一個(gè)矩形，其兩條鄰邊分別是圓柱的母線和底面直徑，經(jīng)過(guò)圓柱的軸的截面通常叫做軸截面．(5)過(guò)任意兩條母線的截面是矩形．(6)用一個(gè)平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個(gè)與底面全等的圓面．5．圓錐的結(jié)構(gòu)特征定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸,垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓錐的底面,直角三角形的斜邊繞軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓錐的側(cè)面,無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，斜邊都叫做圓錐的母線，如上圖所示，SA，SB等都是圓錐的母線．母線的交點(diǎn)叫做圓錐的頂點(diǎn)注意：圓錐與棱錐統(tǒng)稱(chēng)為錐體．圖形及表示圓錐可以用表示它的軸的字母表示，如圖所示的圓錐可以表示為圓錐SO．結(jié)構(gòu)特征(1)圓錐有無(wú)數(shù)條母線，它們有公共點(diǎn)即圓錐的頂點(diǎn)，且長(zhǎng)度相等．(2)平行于底面的截面都是圓．注：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面是一個(gè)比底面小的圓面．(3)過(guò)軸的截面是全等的等腰三角形．其底邊是圓錐底面的直徑，兩腰是圓錐側(cè)面的兩條母線．(4)過(guò)任意兩條母線的截面是等腰三角形．(5)圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)與圓錐頂點(diǎn)的連線都是圓錐側(cè)面的母線．6．圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)．原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺(tái)的下底面和上底面．上、下底面圓心的連線所在的直線叫做圓臺(tái)的軸．原圓錐的側(cè)面被平面截去后剩余的曲面叫做圓臺(tái)的側(cè)面．原圓錐的母線被平面截去后剩余的部分叫做圓臺(tái)的母線．注意：圓臺(tái)和棱臺(tái)統(tǒng)稱(chēng)為臺(tái)體．圖形及表示圓臺(tái)可以用表示它的軸的字母表示，上圖所示的圓臺(tái)可以表示為圓臺(tái)OO′．結(jié)構(gòu)特征(1)圓臺(tái)有無(wú)數(shù)條母線，且它們相等，延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)．(2)平行于底面的截面是圓．(3)過(guò)軸的截面是全等的等腰梯形．(4)過(guò)任意兩條母線的截面是等腰梯形．7．球的結(jié)構(gòu)特征定義以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球．半圓的圓心叫做球的球心；連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑；連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過(guò)球心的線段叫做球的直徑．圖形及表示可以用表示球心的字母表示球，上圖所示的球可以表示為球O．結(jié)構(gòu)特征(1)球是旋轉(zhuǎn)體，球的表面是旋轉(zhuǎn)形成的曲面，球是球面及其內(nèi)部空間組成的幾何體．(2)根據(jù)球的定義，鉛球是一個(gè)球，而足球、乒乓球、籃球、排球等，雖然它們的名字中有“球”字，但它們都是空心的，不符合球的定義，因而都不是球.8．簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征定義由柱體、錐體、臺(tái)體、球體等簡(jiǎn)單幾何體組合而成的幾何體叫做簡(jiǎn)單組合體．構(gòu)成形式簡(jiǎn)單組合體構(gòu)成的兩種基本形式簡(jiǎn)單組合體eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成；,由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成.))考點(diǎn)一棱柱的結(jié)構(gòu)特征解題方略：棱柱結(jié)構(gòu)特征問(wèn)題的解題策略(1)有關(guān)棱柱概念辨析問(wèn)題應(yīng)緊扣棱柱定義：①兩個(gè)面互相平行；②其余各面是平行四邊形；③相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行．求解時(shí)，首先看是否有兩個(gè)面平行，再看是否滿(mǎn)足其他特征．(2)多注意觀察一些實(shí)物模型和圖片便于反例排除．【例1】下面多面體中，是棱柱的共有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)【解析】根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判定知，這4個(gè)圖都滿(mǎn)足．故選D.變式1：如圖，將裝有水的長(zhǎng)方體水槽固定底面一邊后傾斜一個(gè)小角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是()A．棱柱 B．棱臺(tái)C．棱柱與棱錐的組合體 D．不能確定【解析】如圖．因?yàn)橛兴牟糠质冀K有兩個(gè)平面平行，而其余各面都易證是平行四邊形，因此是棱柱．故選A【例2】下列說(shuō)法中，正確的是()A．棱柱中所有的側(cè)棱都相交于一點(diǎn)B．棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫做棱柱的底面C．棱柱的側(cè)面是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D．棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面是平行四邊形【解析】A選項(xiàng)不符合棱柱的結(jié)構(gòu)特征；B選項(xiàng)中，如圖①，構(gòu)造四棱柱ABCD-A1B1C1D1，令四邊形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但這兩個(gè)面不能作為棱柱的底面；C選項(xiàng)中，如圖②，底面ABCD可以是平行四邊形；D選項(xiàng)是棱柱的結(jié)構(gòu)特征．故選D.變式1：下列命題正確的是（）A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱D．棱柱的側(cè)面都是全等的平行四邊形【解析】有兩個(gè)面平行,其余各面都是四邊形的幾何體，A錯(cuò)；有兩個(gè)面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體如圖所示，B錯(cuò)；棱柱的側(cè)面不一定是全等的平行四邊形，D錯(cuò)；由棱柱的定義，C正確.故選：C.變式2：【多選】下列關(guān)于棱柱的說(shuō)法正確的是()A．所有的棱柱兩個(gè)底面都平行B．所有的棱柱一定有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行C．有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱柱D．棱柱至少有五個(gè)面【解析】選ABD對(duì)于A、B、D，顯然是正確的；對(duì)于C，棱柱的定義是這樣的：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的幾何體叫做棱柱，顯然題中漏掉了“并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行”這一條件，因此所圍成的幾何體不一定是棱柱．如圖所示的幾何體就不是棱柱，所以C錯(cuò)誤．故選A、B、D.變式3：【多選】下列關(guān)于棱柱的說(shuō)法中不正確的是()A．棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但它一定不是矩形B．棱柱的一條側(cè)棱的長(zhǎng)叫做棱柱的高C．棱柱的兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面D．棱柱的所有面中，至少有兩個(gè)面互相平行【解析】由棱柱的定義，知A不正確，例如長(zhǎng)方體；只有直棱柱才滿(mǎn)足選項(xiàng)B的條件，故B不正確；C不正確，例如正六棱柱的相對(duì)側(cè)面互相平行；D顯然正確．故選A、B、C.【例3】一棱柱有10個(gè)頂點(diǎn)，其所有的側(cè)棱長(zhǎng)的和為60cm，則每條側(cè)棱長(zhǎng)為_(kāi)_______cm.【解析】該棱柱為五棱柱，共有5條側(cè)棱，每條側(cè)棱長(zhǎng)都相等，所以每條側(cè)棱長(zhǎng)為12cm.考點(diǎn)二棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征解題方略：判斷棱錐、棱臺(tái)形狀的兩個(gè)方法(1)舉反例法：結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說(shuō)法不正確．(2)直接法：棱錐棱臺(tái)定底面只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面兩個(gè)互相平行的面，即為底面看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)【例4】下面圖形中，為棱錐的是()A．①③ B．①③④C．①②④ D．①②【解析】根據(jù)棱錐的定義和結(jié)構(gòu)特征可以判斷，①②是棱錐，③不是棱錐，④是棱錐．故選C.【例5】下列說(shuō)法中，正確的是()①棱錐的各個(gè)側(cè)面都是三角形；②有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐；③四面體的任何一個(gè)面都可以作為三棱錐的底面；④棱錐的各側(cè)棱長(zhǎng)相等．A．①② B．①③C．②③ D．②④【解析】由棱錐的定義，知棱錐的各側(cè)面都是三角形，故①正確；有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，如果這些三角形沒(méi)有一個(gè)公共頂點(diǎn)，那么這個(gè)幾何體就不是棱錐，故②錯(cuò)；四面體就是由四個(gè)三角形所圍成的幾何體，因此四面體的任何一個(gè)面作底面的幾何體都是三棱錐，故③正確；棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)可以相等，也可以不相等，故④錯(cuò)．故選B.變式1：下列說(shuō)法正確的是________．①一個(gè)棱錐至少有四個(gè)面；②如果四棱錐的底面是正方形，那么這個(gè)四棱錐的四條側(cè)棱都相等；③五棱錐只有五條棱；④用與底面平行的平面去截三棱錐，得到的截面三角形和底面三角形相似．【解析】①正確．②不正確，四棱錐的底面是正方形，它的側(cè)棱可以相等．也可以不等．③不正確，五棱錐除了五條側(cè)棱外，還有五條底邊，故共10條棱．④正確．答案：①④變式2：下列說(shuō)法正確的是()A．多面體至少有3個(gè)面B．有2個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺(tái)C．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體D．九棱柱有9條側(cè)棱，9個(gè)側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形【解析】一個(gè)多面體至少有4個(gè)面，如三棱錐有4個(gè)面，不存在有3個(gè)面的多面體，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B錯(cuò)誤，反例如圖1；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，反例如圖2，上、下底面是全等的菱形，各側(cè)面是全等的正方形，它不是正方體；根據(jù)棱柱的定義，知選項(xiàng)D正確．故選D.變式3：一個(gè)棱錐的各棱長(zhǎng)都相等，那么這個(gè)棱錐一定不是()A．三棱錐 B．四棱錐C．五棱錐 D．六棱錐【解析】由題意可知，每個(gè)側(cè)面均為等邊三角形，每個(gè)側(cè)面的頂角均為60°，如果是六棱錐，因?yàn)?×60°＝360°，所以頂點(diǎn)會(huì)在底面上，因此不是六棱錐．故選D.【例6】下面四個(gè)幾何體中，是棱臺(tái)的是()【解析】由棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征知，兩個(gè)底面平行且相似，側(cè)面都是梯形．側(cè)棱延長(zhǎng)應(yīng)交于一點(diǎn)．故選C.變式1：下列特征不是棱臺(tái)必須具有的是()A．兩底面平行B．側(cè)面都是梯形C．側(cè)棱長(zhǎng)都相等D．側(cè)棱延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)【解析】用平行于棱錐底面的平面截棱錐，截面和底面之間的部分叫做棱臺(tái)，A，B，D正確，選C.變式2：下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說(shuō)法：①棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；②由四個(gè)平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．其中說(shuō)法正確的序號(hào)是________．【解析】①正確，棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；②正確，由四個(gè)平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；③錯(cuò)誤，如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐．[答案]①②變式3：如圖所示，在三棱臺(tái)A′B′C′-ABC中，截去三棱錐A′-ABC，則剩余部分是()A．三棱錐 B．四棱錐C．三棱柱 D．組合體【解析】余下部分是四棱錐A′-BCC′B′.故選B.截面問(wèn)題【例7】用一個(gè)平面去截一個(gè)三棱錐，截面形狀是()A．四邊形 B．三角形C．三角形或四邊形 D．不可能為四邊形【解析】按如圖①所示用一個(gè)平面去截三棱錐，截面是三角形；按如圖②所示用一個(gè)平面去截三棱錐，截面是四邊形．①②考點(diǎn)三多面體的平面展開(kāi)圖問(wèn)題解題方略：多面體展開(kāi)圖問(wèn)題的解題策略(1)繪制展開(kāi)圖：繪制多面體的表面展開(kāi)圖要結(jié)合多面體的幾何特征，常常給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫(huà)出來(lái)，然后依次畫(huà)出各側(cè)面，便可得到其表面展開(kāi)圖．(2)由展開(kāi)圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的表面展開(kāi)圖，來(lái)判斷是由哪一個(gè)多面體展開(kāi)的，則可把上述過(guò)程逆推.同一個(gè)幾何體的表面展開(kāi)圖可能是不一樣的，也就是說(shuō)，一個(gè)多面體可有多個(gè)表面展開(kāi)圖．【例8】(1)某同學(xué)制作了一個(gè)對(duì)面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖所示，則這個(gè)正方體禮品盒的平面展開(kāi)圖應(yīng)該為(對(duì)面是相同的圖案)()(2)如圖是三個(gè)幾何體的平面展開(kāi)圖，請(qǐng)問(wèn)各是什么幾何體？【解析】(1)由選項(xiàng)驗(yàn)證可知選A.(2)圖①中，有5個(gè)平行四邊形，而且還有兩個(gè)全等的五邊形，符合棱柱特點(diǎn)；圖②中，有5個(gè)三角形，且具有共同的頂點(diǎn)，還有一個(gè)五邊形，符合棱錐特點(diǎn)；圖③中，有3個(gè)梯形，且其腰的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，還有兩個(gè)相似的三角形，符合棱臺(tái)的特點(diǎn)．把平面展開(kāi)圖還原為原幾何體，如圖所示：所以①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺(tái)．[答案](1)A(2)①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺(tái)變式1：下列圖形經(jīng)過(guò)折疊可以圍成一個(gè)棱柱的是()【解析】A、B、C中底面圖形的邊數(shù)與側(cè)面的個(gè)數(shù)不一致，故不能?chē)衫庵蔬xD.變式2：水平放置的正方體的六個(gè)面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖(圖中數(shù)字寫(xiě)在正方體的外表面上)，若圖中“0”上方的“2”在正方體的上面，則這個(gè)正方體的下面是()A．1B．9C．快 D．樂(lè)【解析】將圖形折成正方體知選B.變式3：如圖所示都是正方體的表面展開(kāi)圖，還原成正方體后，其中兩個(gè)完全一樣的是()①②③④A．①② B．②③C．③④ D．①④【解析】在圖②③中，⑤不動(dòng)，把圖形折起，則②⑤為對(duì)面，①④為對(duì)面，③⑥為對(duì)面，故圖②③完全一樣，而圖①④則不同．變式4：一個(gè)幾何體的平面展開(kāi)圖如圖所示．(1)該幾何體是哪種幾何體？(2)該幾何體中與“祝”字面相對(duì)的是哪個(gè)面？“你”字面相對(duì)的是哪個(gè)面？【解析】(1)該幾何體是四棱臺(tái)．(2)與“?！毕鄬?duì)的面是“前”，與“你”相對(duì)的面是“程”．【例9】如圖所示，在所有棱長(zhǎng)均為1的三棱柱上，有一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，圍著三棱柱的側(cè)面爬行一周到達(dá)點(diǎn)A1，則爬行的最短路程為_(kāi)_______．【解析】將三棱柱沿AA1展開(kāi)如圖所示，則線段AD1即為最短路線，即AD1＝eq\r(AD2＋DD\o\al(2,1))＝eq\r(10).變式1：如圖，M是棱長(zhǎng)為2cm的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中點(diǎn)，沿正方體表面從點(diǎn)A到點(diǎn)M的最短路程是________cm.【解析】由題意，若以BC為折疊線展開(kāi)，則A，M兩點(diǎn)連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)度分別為2cm，3cm，故兩點(diǎn)之間的距離是eq\r(13)cm.若以BB1為折疊線展開(kāi)，則A，M兩點(diǎn)連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)度分別為1,4，故兩點(diǎn)之間的距離是eq\r(17)cm.故沿正方體表面從點(diǎn)A到點(diǎn)M的最短路程是eq\r(13)cm.答案：eq\r(13)變式2：長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿表面爬行到點(diǎn)C1，求螞蟻爬行的最短路線．【解析】沿長(zhǎng)方體的一條棱剪開(kāi)，使A和C1展在同一平面上，求線段AC1的長(zhǎng)即可，有如圖所示的三種剪法：(1)若將C1D1剪開(kāi)，使面AB1與面A1C1共面，可求得AC1＝eq\r(42＋5＋32)＝eq\r(80)＝4eq\r(5).(2)若將AD剪開(kāi)，使面AC與面BC1共面，可求得AC1＝eq\r(32＋5＋42)＝eq\r(90)＝3eq\r(10).(3)若將CC1剪開(kāi)，使面BC1與面AB1共面，可求得AC1＝eq\r(4＋32＋52)＝eq\r(74).相比較可得螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)為eq\r(74).變式3：如圖在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，沿圖中虛線將3個(gè)三角形折起，使點(diǎn)A，B，C重合，重合后記為點(diǎn)P.問(wèn)：(1)折起后形成的幾何體是什么幾何體？(2)若正方形邊長(zhǎng)為2a，則每個(gè)面的三角形面積為多少？【解析】(1)如圖折起后的幾何體是三棱錐．(2)S△PEF＝eq\f(1,2)a2，S△DPF＝S△DPE＝eq\f(1,2)×2a×a＝a2，S△DEF＝eq\f(3,2)a2.考點(diǎn)四旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征解題方略：簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征問(wèn)題的解題策略(1)準(zhǔn)確掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)和球的生成過(guò)程及其特征性質(zhì)是解決此類(lèi)概念問(wèn)題的關(guān)鍵．(2)解題時(shí)要注意明確兩點(diǎn)：①明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成；②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線．【例10】下列命題正確的是________．①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②圓柱的母線是連接圓柱上底面上一點(diǎn)和下底面上一點(diǎn)的直線；③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；④以等腰三角形的底邊上的高所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐；⑤球面上四個(gè)不同的點(diǎn)一定不在同一平面內(nèi)；⑥球的半徑是球面上任意一點(diǎn)和球心的連線段；⑦球面上任意三點(diǎn)可能在一條直線上；⑧用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面．[解析]①以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓錐，故①錯(cuò)誤；②圓柱的母線是連接圓柱上底面上一點(diǎn)和下底面上一點(diǎn)的線段，且這條線段與軸平行，故②錯(cuò)誤；③它們的底面為圓面，故③錯(cuò)誤；④正確；作球的一個(gè)截面，在截面的圓周上任意取四點(diǎn)，則這四點(diǎn)就在球面上，故⑤錯(cuò)誤；根據(jù)球的半徑定義可知⑥正確；球面上任意三點(diǎn)一定不共線，故⑦錯(cuò)誤；用一個(gè)平面去截球，一定截得一個(gè)圓面，故⑧正確．變式1：下列命題：①任意平面截圓柱，截面都是圓面；②圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線；③在圓臺(tái)上、下兩底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線，其中正確的是()A．①②B．②③C．①③D．②【解析】過(guò)圓柱兩母線的截面為矩形，有時(shí)斜的截面為橢圓，故①錯(cuò)誤；圓臺(tái)的母線不是上底面和下底面上任意兩點(diǎn)的連線，③錯(cuò)誤；由圓錐母線的定義知②正確，故選D.變式2：判斷下列各命題是否正確：(1)圓柱上底面圓上任一點(diǎn)與下底面圓上任一點(diǎn)的連線都是圓柱的母線；(2)一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺(tái)；(3)圓錐、圓臺(tái)中過(guò)軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形；(4)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球．【解析】(1)錯(cuò)．由圓柱母線的定義知，圓柱的母線應(yīng)平行于軸．(2)錯(cuò)．直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是由一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐組成的簡(jiǎn)單組合體，如圖所示．(3)正確．(4)錯(cuò)．應(yīng)為球面．變式3：下列敘述中，正確的個(gè)數(shù)是()①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是圓臺(tái)；③用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)；④圓面繞它的任一直徑旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是球．A．0 B．1C．2 D．3【解析】①應(yīng)以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)才可得到圓錐，故①錯(cuò)；②以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)可得到圓臺(tái)，故②錯(cuò)；③用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，可得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，用不平行于圓錐底面的平面不能得到，故③錯(cuò)；④正確．故選B.變式4：下列命題中正確的是()①過(guò)球面上任意兩點(diǎn)只能作一個(gè)經(jīng)過(guò)球心的圓；②以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，半圓的直徑叫做球的直徑；③用不過(guò)球心的截面截球，球心和截面圓心的連線垂直于截面；④球面上任意三點(diǎn)可能在一條直線上；⑤球的半徑是連接球面上任意一點(diǎn)和球心的線段．A．①②③ B．②③④C．②③⑤ D．①④⑤【解析】任意兩點(diǎn)與球心在一條直線上時(shí)，可作無(wú)數(shù)個(gè)圓，故①錯(cuò)，②正確，③正確；球面上任意三點(diǎn)一定不共線，故④錯(cuò)誤；根據(jù)球的半徑的定義可知⑤正確．故選C.變式5：有下列四個(gè)說(shuō)法，其中正確的是()A．圓柱的母線與軸垂直B．圓錐的母線長(zhǎng)等于底面圓直徑C．圓臺(tái)的母線與軸平行D．球的直徑必過(guò)球心【解析】A：圓柱的母線與軸平行；B：圓錐的母線長(zhǎng)與底面圓的直徑不具有任何關(guān)系；C：圓臺(tái)的母線延長(zhǎng)線與軸相交．故選D.變式6：用平面截一個(gè)幾何體，所得各截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是()A．圓柱 B．圓錐C．球 D．圓臺(tái)【解析】由球的定義知選C.故選C.變式7：已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同一側(cè)，且距離為1，那么這個(gè)球的半徑是()A．4 B．3C．2 D．0.5【解析】如圖所示，∵兩個(gè)平行截面的面積分別為5π，8π，∴兩個(gè)截面圓的半徑分別為r1＝eq\r(5)，r2＝2eq\r(2).∵球心到兩個(gè)截面的距離d1＝eq\r(R2－r\o\al(2,1))，d2＝eq\r(R2－r\o\al(2,2))，∴d1－d2＝eq\r(R2－5)－eq\r(R2－8)＝1，∴R2＝9，∴R＝3.故選B.考點(diǎn)五圓柱、圓錐、圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖問(wèn)題解題方略：求幾何體表面上兩點(diǎn)間的最小距離的步驟(1)將幾何體沿著某棱(母線)剪開(kāi)后展開(kāi)，畫(huà)出其側(cè)面展開(kāi)圖；(2)將所求曲線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上的線段問(wèn)題；(3)結(jié)合已知條件求得結(jié)果．【例11】若圓柱體被平面截成如圖所示的幾何體，則它的側(cè)面展開(kāi)圖是()【解析】結(jié)合幾何體的實(shí)物圖，從截面最低點(diǎn)開(kāi)始高度增加緩慢，然后逐漸變快，最后增加逐漸變慢，不是均衡增加的，所以A、B、C錯(cuò)誤．故選D.【例12】圓柱的母線長(zhǎng)為10，則其高等于()A．5 B．10C．20 D．不確定【解析】圓柱的母線長(zhǎng)與高相等，則其高等于10.故選B.變式1：用一張長(zhǎng)為8，寬為4的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面，則相應(yīng)圓柱的底面半徑是()A．2 B．2πC.eq\f(2,π)或eq\f(4,π) D.eq\f(π,2)或eq\f(π,4)【解析】如圖所示，設(shè)底面半徑為r，若矩形的長(zhǎng)8恰好為卷成圓柱底面的周長(zhǎng)，則2πr＝8，所以r＝eq\f(4,π)；同理，若矩形的寬4恰好為卷成圓柱的底面周長(zhǎng)，則2πr＝4，所以r＝eq\f(2,π).故選C.變式2：一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為20，母線與軸的夾角為60°，則圓錐的高為_(kāi)_______．【解析】h＝20cos60°＝10.變式3：已知圓錐的母線長(zhǎng)為cm，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為_(kāi)___cm.【解析】設(shè)底面圓的半徑為，由于側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，又圓錐的母線長(zhǎng)為cm，所以該半圓的半徑為cm，所以，所以（cm）.故答案為：.變式4：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截得的圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長(zhǎng)是3cm，求圓臺(tái)的母線長(zhǎng)．【解析】設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為lcm，截得圓臺(tái)的上底面的半徑為rcm.根據(jù)題意，得圓臺(tái)的下底面的半徑為4rcm.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r).解得l＝9.所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為9cm.變式5：一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為12cm，兩底面面積分別為4πcm2和25πcm2.求：(1)圓臺(tái)的高；(2)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)．【解析】如圖，將圓臺(tái)恢復(fù)成圓錐后作其軸截面，設(shè)圓臺(tái)的高為hcm，截得該圓臺(tái)的圓錐的母線為xcm，由條件可得圓臺(tái)上底半徑r′＝2cm，下底半徑r＝5cm.(1)由勾股定理得h＝eq\r(122－5－22)＝3eq\r(15)(cm)．(2)由三角形相似得：eq\f(x－12,x)＝eq\f(2,5)，解得x＝20(cm)．答：(1)圓臺(tái)的高為3eq\r(15)cm；(2)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為20cm.【例12】如圖所示，已知圓柱的高為80cm，底面半徑為10cm，軸截面上有P，Q兩點(diǎn)，且PA＝40cm，B1Q＝30cm，若一只螞蟻沿著側(cè)面從P點(diǎn)爬到Q點(diǎn)，問(wèn)：螞蟻爬過(guò)的最短路徑長(zhǎng)是多少？【解析】將圓柱側(cè)面沿母線AA1展開(kāi)，得如圖所示矩形．∴A1B1＝eq\f(1,2)·2πr＝πr＝10π(cm)．過(guò)點(diǎn)Q作QS⊥AA1于點(diǎn)S，在Rt△PQS中，PS＝80－40－30＝10(cm)，QS＝A1B1＝10π(cm)．∴PQ＝eq\r(PS2＋QS2)＝10eq\r(π2＋1)(cm)．即螞蟻爬過(guò)的最短路徑長(zhǎng)是10eq\r(π2＋1)cm.變式1：如圖所示，有一圓錐形糧堆，母線與底面圓的直徑構(gòu)成邊長(zhǎng)為6m的正三角形ABC，糧堆母線AC的中點(diǎn)P處有一只老鼠正在偷吃糧食．此時(shí)，小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處捕捉老鼠，求小貓所經(jīng)過(guò)的最短路程．(結(jié)果不取近似值)【解析】∵△ABC為正三角形，∴BC＝6，∴l(xiāng)＝2π×3＝6π，根據(jù)底面圓的周長(zhǎng)等于展開(kāi)后扇形的弧長(zhǎng)，得：eq\f(nπ×6,180)＝6π，故n＝180°，則∠B′AC＝90°，∴B′P＝eq\r(36＋9)＝3eq\r(5)(m)，∴小貓所經(jīng)過(guò)的最短路程是3eq\r(5)m.變式2：如右圖所示，圓臺(tái)母線AB長(zhǎng)為20cm，上、下底面半徑分別為5cm和10cm，從母線AB的中點(diǎn)M拉一條繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到B點(diǎn)，求這條繩子長(zhǎng)度的最小值．【解析】如右圖所示，作出圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及其所在的圓錐．連接MB′，在圓臺(tái)的軸截面中，∵Rt△OPA∽R(shí)t△OQB，∴eq\f(OA,OA＋AB)＝eq\f(PA,QB)，∴eq\f(OA,OA＋AB)＝eq\f(5,10).∴OA＝20(cm)．設(shè)∠BOB′＝α，由扇形弧eq\x\to(BB)′的長(zhǎng)與底面圓Q的周長(zhǎng)相等，得2×10×π＝2×OB×π×eq\f(α,360°)，即20π＝2×(20＋20)π×eq\f(α,360°)，∴α＝90°.∴在Rt△B′OM中，B′M＝eq\r(OM2＋OB′2)＝eq\r(302＋402)＝50(cm)．即所求繩長(zhǎng)的最小值為50cm.考點(diǎn)六簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征解題方略：簡(jiǎn)單組合體的識(shí)別1．明確組合體的結(jié)構(gòu)特征，主要弄清它是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的，必要時(shí)也可以指出棱數(shù)、面數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)．2．會(huì)識(shí)別較復(fù)雜的圖形是學(xué)好立體幾何的第一步，因此我們應(yīng)注意觀察周?chē)奈矬w，然后將它們“分拆”成幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何體，進(jìn)而培養(yǎng)我們的空間想象能力和識(shí)圖能力．【例13】如圖①②所示的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的立體圖形分別是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的？【解析】旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖所示．其中圖①是由一個(gè)圓柱O1O2和兩個(gè)圓臺(tái)O2O3，O3O4組成的；圖②是由一個(gè)圓錐O5O4，一個(gè)圓柱O3O4及一個(gè)圓臺(tái)O1O3中挖去圓錐O2O1組成的．變式1：描述下列幾何體的結(jié)構(gòu)特征．【解析】圖(1)所示的幾何體是由兩個(gè)圓臺(tái)拼接而成的組合體；圖(2)所示的幾何體是由一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐得到的組合體；圖(3)所示的幾何體是在一個(gè)圓柱中間挖去一個(gè)三棱柱后得到的組合體.變式2：正方形ABCD繞對(duì)角線AC所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得組合體的結(jié)構(gòu)特征是________________．【解析】由圓錐的定義知是兩個(gè)同底的圓錐形成的組合體．答案：兩個(gè)同底的圓錐組合體變式3：觀察下列四個(gè)幾何體，其中可看作是由兩個(gè)棱柱拼接而成的是________(填序號(hào))．【解析】①可看作由一個(gè)四棱柱和一個(gè)三棱柱組合而成，④可看作由兩個(gè)四棱柱組合而成．答案：①④練習(xí)一棱柱的結(jié)構(gòu)特征1、棱柱的側(cè)面一定是（

）A．菱形 B．正方形 C．平行四邊形 D．矩形【解析】棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形，所以C選項(xiàng)正確.故選：C2、四棱柱有幾條側(cè)棱，幾個(gè)頂點(diǎn)()A．四條側(cè)棱、四個(gè)頂點(diǎn)B．八條側(cè)棱、四個(gè)頂點(diǎn)C．四條側(cè)棱、八個(gè)頂點(diǎn)D．六條側(cè)棱、八個(gè)頂點(diǎn)【解析】四棱柱有四條側(cè)棱、八個(gè)頂點(diǎn)(可以結(jié)合正方體觀察求得)．故選C.3、下列說(shuō)法中正確的是()A．所有的棱柱都有一個(gè)底面B．棱柱的頂點(diǎn)至少有6個(gè)C．棱柱的側(cè)棱至少有4條D．棱柱的棱至少有4條【解析】棱柱有兩個(gè)底面，所以A項(xiàng)不正確；棱柱底面的邊數(shù)至少是3，則在棱柱中，三棱柱的頂點(diǎn)數(shù)是6，三棱柱的側(cè)棱數(shù)是3，三棱柱的棱數(shù)是9，所以C、D項(xiàng)不正確，B項(xiàng)正確．故選B.4、以下各種情況中，是長(zhǎng)方體的是（

）A．直平行六面體 B．側(cè)面是矩形的四棱柱C．底面是矩形的平行六面體 D．底面是矩形的直棱柱【解析】由長(zhǎng)方體的底面是矩形且側(cè)棱與底面垂直可知，長(zhǎng)方體是底面是矩形的直棱柱.故選：D.5、【多選】有下列命題，其中錯(cuò)誤的命題為（

）A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱D．直四棱柱是直平行六面體【解析】A選項(xiàng)，它的每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊不一定互相平行，錯(cuò)，B選項(xiàng)，也是它的每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊不一定平行，錯(cuò)，C選項(xiàng)，它符合棱柱的定義，對(duì)，D選項(xiàng)，直四棱柱的底面不一定是平行四邊形，錯(cuò)，故選：ABD.練習(xí)二棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征1、下列棱錐有6個(gè)面的是()A．三棱錐 B．四棱錐C．五棱錐 D．六棱錐【解析】由棱錐的結(jié)構(gòu)特征可知，五棱錐有6個(gè)面．故選C.2、一個(gè)棱柱至少有________個(gè)面，頂點(diǎn)最少的一個(gè)棱臺(tái)有________條側(cè)棱．【解析】面最少的棱柱是三棱柱，它有5個(gè)面；頂點(diǎn)最少的棱臺(tái)是三棱臺(tái)，它有3條側(cè)棱．答案：533、一個(gè)棱臺(tái)至少有________個(gè)面，面數(shù)最少的棱臺(tái)有________個(gè)頂點(diǎn)，有________條棱．【解析】面數(shù)最少的棱臺(tái)是三棱臺(tái)，共有5個(gè)面，6個(gè)頂點(diǎn)，9條棱．答案：5694、下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．有2個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺(tái)B．多面體至少有3個(gè)面C．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體D．九棱柱有9條側(cè)棱，9個(gè)側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形【解析】選項(xiàng)A錯(cuò)誤，反例如圖①；一個(gè)多面體至少有4個(gè)面，如三棱錐有4個(gè)面，不存在有3個(gè)面的多面體，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，反例如圖②，上、下底面是全等的菱形，各側(cè)面是全等的正方形，它不是正方體；根據(jù)棱柱的定義，知選項(xiàng)D正確．①②5、以下關(guān)于多面體的命題種，真命題為（

）A．所有側(cè)面均為正三角形的四棱錐是正四棱錐B．所有側(cè)面均為正方形的四棱柱是正四棱柱C．所有側(cè)面均為正三角形的多面體是正四面體D．所有側(cè)面均為正方形的多面體是正方體【解析】對(duì)于A：所有側(cè)面均為正三角形的四棱錐是正四棱錐，故A正確；對(duì)于B：所有側(cè)面均為正方形的四棱柱不一定是正四棱柱，底面不一定為正方形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：所有側(cè)面均為正三角形的多面體是正四面體，也可能為正四棱錐，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：所有側(cè)面均為正方形的多面體是直棱柱，故D錯(cuò)誤．故選：A．練習(xí)三多面體的平面展開(kāi)圖問(wèn)題1、如圖所示的各圖形中，不是正方體表面展開(kāi)圖的是（

）A． B．C． D．【解析】通過(guò)分析可知，A、C、D選項(xiàng)都是正方體表面展開(kāi)圖；B選項(xiàng)不是正方體表面展開(kāi)圖，因?yàn)橛幸粋€(gè)面會(huì)重合.故選：B2、一個(gè)無(wú)蓋的正方體盒子的平面展開(kāi)圖如圖，A、B、C是展開(kāi)圖上的三點(diǎn)，則在正方體盒子中，（

）A． B． C． D．【解析】由題意，把無(wú)蓋的正方體盒子展開(kāi)后的平面圖還原成正方體，如圖所示，由此得到是等邊三角形，所以.故選：A.3、【多選】某人用如圖所示的紙片沿折痕折后粘成一個(gè)四棱錐形的“走馬燈”，正方形做燈底，且有一個(gè)三角形面上寫(xiě)上了“年”字，當(dāng)燈旋轉(zhuǎn)