高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與戰(zhàn)法精準(zhǔn)訓(xùn)練(新高考專用)10.1.1排列組合(題型戰(zhàn)法)(原卷版+解析)

第十章計數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布列10.1.1排列組合（題型戰(zhàn)法）知識梳理一分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理1.分類加法計數(shù)原理：完成一件事有幾類辦法，各類辦法相互獨立，每類辦法中又有多種不同的辦法，則完成這件事的不同辦法數(shù)是各類不同方法種數(shù)的和。2.分步乘法計數(shù)原理：完成一件事，需要分成幾個步驟，每一步的完成有多種不同的方法，則完成這件事的不同方法種數(shù)是各種不同的方法數(shù)的乘積。原則：先分類后分步；由特殊點入手。二排列與排列數(shù)1.排列：從個不同元素中取出個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列.2.排列數(shù)：從個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，記作三組合與組合數(shù)1.組合：從個不同元素中取出個元素組成一個組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合.2.組合數(shù)：從個不同元素中取出個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，記作.公式：（1）（2）（，且）.特別地，性質(zhì)：（1）=1\*GB3①；=2\*GB3②.（2）=1\*GB3①；=2\*GB3②題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一數(shù)字排列問題典例1．用0，1，2，3，4可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為（

）A．36 B．48 C．60 D．72變式1-1．在1，2，3，4，5，6這六個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有（

）A．36個 B．48個 C．54個 D．60個變式1-2．用這五個數(shù)字能組成無重復(fù)數(shù)字且與不相鄰的五位數(shù)的個數(shù)有（

）A．36 B．48 C．60 D．72變式1-3．用四個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中比大的偶數(shù)共有（

）A．個 B．個 C．個 D．個變式1-4．用0，2，4，5，6，8組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則這樣的四位數(shù)中偶數(shù)共有（

）A．120個 B．192個 C．252個 D．300個題型戰(zhàn)法二染色問題典例2．用4種不同顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，不同的涂色方法共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種變式2-1．如圖，有、、、四塊區(qū)域需要植入花卉，現(xiàn)有種不同花卉可供選擇，要求相鄰區(qū)域植入不同花卉，不同的植入方法有（）A．種 B．種 C．種 D．種變式2-2．用4種不同顏色給圖中的5個區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂色方法共有多少種（

）A．72 B．48 C．36 D．24變式2-3．給圖中A，B，C，D，E五個區(qū)域染色，每個區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色．若有四種顏色可供選擇，則不同的染色方案共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種變式2-4．現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種顏色，對如圖所示的正五角星的內(nèi)部涂色（分割成六個不同區(qū)域），要求每個區(qū)域涂一種顏色且相鄰部分（有公共邊的兩個區(qū)域）的顏色不同，則不同涂色方法有（

）A．48種 B．64種 C．96種 D．144種題型戰(zhàn)法三位置（元素）有限的排列問題（優(yōu)先法）典例3．將五輛車停在5個車位上，其中A車不能停在1號車位上，則不同的停車方案有（

）A．24種 B．78種 C．96種 D．120種變式3-1．4人隨機(jī)排成一排，甲不在排頭且乙不在排尾的排法有多少種（

）A．14種 B．16種 C．10種 D．13種變式3-2．甲，乙，丙，丁，戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動技能比賽，決出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且乙不是最后1名，則5人的名次排列的所有可能情況共有（

）A．30種 B．54種 C．84種 D．120種變式3-3．甲、乙、丙、丁名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲、乙不能同時站在兩端，則不同排列方式共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種變式3-4．某中學(xué)舉行的秋季運動會中，有甲?乙?丙?丁四位同學(xué)參加100米短跑決賽，現(xiàn)將四位同學(xué)安排在1，2，3，4這4個跑道上，每個跑道安排一名同學(xué)，則甲不在2跑道，乙不在4跑道的不同安排方法種數(shù)為（

）A．12 B．14 C．16 D．18題型戰(zhàn)法四相鄰問題的排列問題（捆綁法）典例4．為弘揚(yáng)我國古代的“六藝”文化，某小學(xué)開設(shè)“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，課程“樂”“數(shù)”排在相鄰兩周，則不同的安排方案有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種變式4-1．“宮、商、角、徵、羽”起源于春秋時期，是中國古樂的五個基本音階，亦稱五音．如果把這五個音階全用上，排成一個五個音階的音序，要求宮、商兩音階相鄰且宮音階不在正中間，則可排成不同的音序共有（

）A．48種 B．36種 C．32種 D．24種變式4-2．把語文，數(shù)學(xué)，英語，物理等7本不同的書放入書架，若數(shù)學(xué)書和物理書相鄰，語文書不放在最左邊，英語書不放在最右邊，則不同的放法共有（

）A．780 B．960 C．1440 D．1008變式4-3．小明跟父母?爺爺和奶奶一同參加《中國詩詞大會》的現(xiàn)場錄制，5人坐一排.則小明的父母都與他相鄰的概率為（

）A． B． C． D．變式4-4．“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺設(shè)有“看黨史”“聽原著”等多個欄目．假設(shè)在這些欄目中，周一“看黨史”欄目更新了3篇文章，“聽原著”欄目更新了4個音頻．一位學(xué)習(xí)者準(zhǔn)備從更新的這7項內(nèi)容中隨機(jī)選取2篇文章和2個音頻進(jìn)行學(xué)習(xí)，則這2篇文章學(xué)習(xí)順序相鄰的學(xué)法有（

）A．216種 B．108種 C．72種 D．54種題型戰(zhàn)法五不相鄰的排列問題（插空法）典例5．“杭幫菜”山膚水豢，回味無窮.今有人欲以“糟燴鞭筍”、“冰糖甲魚”、“荷葉粉蒸肉”、“宋嫂魚羹”、“龍井蝦仁”、“叫化童雞”共六道杭幫菜宴請遠(yuǎn)方來客.這六道菜要求依次而上，其中“冰糖甲魚”和“叫化章雞”不能接連相鄰上菜，請問不同的上菜順序種數(shù)為（

）A．480 B．240 C．384 D．1440變式5-1．2022年2月4日，中國北京第24屆奧林匹克冬季運動會開幕式以二十四節(jié)氣的方式開始倒計時創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾．衡陽市某中學(xué)為了弘揚(yáng)我國二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”、“驚蟄”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六張知識展板分別放置在六個并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有多少種？（

）A．24 B．48 C．144 D．244變式5-2．在2016年“兩會”記者招待會上，主持人要從5名國內(nèi)記者與4名國外記者中選出3名進(jìn)行提問，要求3人中既有國內(nèi)記者又有國外記者，且國內(nèi)記者不能連續(xù)提問，則不同的提問方式有（

）A．420種 B．260種 C．180種 D．80種變式5-3．2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”，有著可愛的外表和豐富的寓意，深受各國人民的喜愛．某商店有4個不同造型的吉祥物“冰墩墩”和3個不同造型的吉祥物“雪容融”展示在柜臺上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此間隔排列，則不同排法的種數(shù)是（

）A． B． C． D．變式5-4．某電視臺曾在某時間段連續(xù)播放5個不同的商業(yè)廣告，現(xiàn)在要在該時間段新增播一個商業(yè)廣告與兩個不同的公益宣傳廣告，且要求兩個公益宣傳廣告既不能連續(xù)播放也不能在首尾播放，則在不改變原有5個不同的商業(yè)廣告的相對播放順序的前提下，不同的播放順序共有（

）A．60種 B．120種 C．144種 D．300種題型戰(zhàn)法六部分定序問題的排列問題（縮倍法）典例6．5本書編號為a，b，c，d，e，其中a必須排放在b的左邊，則一共有多少種排放方法（

）A．42 B．60 C．30 D．36變式6-1．用組成沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，若的順序一定，則符合條件的七位數(shù)有（

）個A．840 B．210 C．640 D．410變式6-2．某公司為慶祝年利潤實現(xiàn)目標(biāo)，計劃舉行答謝聯(lián)歡會，原定表演6個節(jié)目，已排成節(jié)目單，開演前又臨時增加了2個互動節(jié)目.如果保持原節(jié)目的順序不變，那么不同排法的種數(shù)為（

）.A．42 B．56 C．30 D．72變式6-3．習(xí)近平總書記在全國教育大會上發(fā)表重要講話，稱教育是國之大計，黨之大計．哈九中落實講話內(nèi)容，組織研究性學(xué)習(xí)．在研究性學(xué)習(xí)成果報告會上，有A、B、C、D、E、F共6項成果要匯報，如果B成果不能最先匯報，而A、C、D按先后順序匯報（不一定相鄰），那么不同的匯報安排種數(shù)為（

）A．100 B．120 C．300 D．600變式6-4．某學(xué)校文藝匯演準(zhǔn)備從舞蹈、小品、相聲、音樂、魔術(shù)、朗誦6個節(jié)目中選取5個進(jìn)行演出．要求舞蹈和小品必須同時參加，且他們的演出順序必須滿足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出順序種數(shù)有（

）A．240種 B．480種 C．540種 D．720種題型戰(zhàn)法七分組分配問題典例7．佳木斯市第一中學(xué)校為了做好疫情防控工作，組織了6名教師組成志愿服務(wù)小組，分配到東門、西門、中門3個樓門進(jìn)行志愿服務(wù).由于中門學(xué)生出入量較大，要求中門志愿者人數(shù)不少于另兩個門志愿者人數(shù)，若每個樓門至少分配1個志愿服務(wù)小組，每個志愿服務(wù)小組只能在1個樓門進(jìn)行服務(wù)，則不同的分配方法種數(shù)為（

）A．240 B．180 C．690 D．150變式7-1．6名志愿者要到，，三個社區(qū)進(jìn)行志愿服務(wù)，每個志愿者只去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去社區(qū)，則不同的安排方法共有（

）A．105種 B．144種 C．150種 D．210種變式7-2．2022年3月中旬，新冠肺炎疫情突襲南昌，南昌市統(tǒng)一指揮，多方攜手、眾志成城，構(gòu)筑起抗擊疫情的堅固堡壘．某小區(qū)有小王、小張等5位中學(xué)生積極參加社區(qū)志愿者，他們被分派到測溫和掃碼兩個小組，若小王和小張不同組，且他們所在的兩個組都至少需要2名中學(xué)生志愿者，則不同的分配方案種數(shù)有（

）A．8 B．10 C．12 D．14變式7-3．甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去三個不同的小區(qū)參加新冠疫情防控志愿服務(wù)，每個小區(qū)至少去1人，每人只去1個小區(qū)，且甲、乙去同一個小區(qū)，則不同的安排方法有（

）A．28種 B．32種 C．36種 D．42種變式7-4．某校從8名青年教師中選派4名分別作為四個學(xué)生社團(tuán)的指導(dǎo)教師，每個社團(tuán)各派去1名教師，其中教師甲和乙不能同時參加，甲和丙只能都參加或都不參加，則不同的選派方案有（

）A．360種 B．480種 C．600種 D．720種題型戰(zhàn)法八x+y+z=n整數(shù)解的個數(shù)問題（隔板法）典例8．學(xué)校有個優(yōu)秀學(xué)生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個年級至少個名額，則有（

）種分配方案.A． B． C． D．變式8-1．袋中有十個完全相同的乒乓球，四個小朋友去取球，每個小朋友至少取一個球，所有的球都被取完，最后四個小朋友手中乒乓球個數(shù)的情況一共有（

）A．84種 B．504種 C．729種 D．39種變式8-2．將9個志愿者名額全部分配給3個學(xué)校，則每校至少一個名額且各校名額互不相同的分配方法總數(shù)是（

）A．16 B．18 C．27 D．28變式8-3．7個相同的小球放入，，三個盒子，每個盒子至少放一球，共有（

）種不同的放法．A．60種 B．36種 C．30種 D．15種變式8-4．將10本完全相同的科普知識書，全部分給甲?乙?丙3人，每人至少得2本，則不同的分法數(shù)為（

）A．720種 B．420種 C．120種 D．15種題型戰(zhàn)法九正難則反的排列組合問題（間接法）典例9．甲、乙、丙、丁名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲、乙不能同時站在兩端，則不同排列方式共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種變式9-1．某班周一上午共有四節(jié)課，計劃安排語文、數(shù)學(xué)、美術(shù)、體育各一節(jié)，要求體育不排在第一節(jié)，則該班周一上午不同的排課方案共有（

）A．24種 B．18種 C．12種 D．6種變式9-2．某社區(qū)擬從6名男生?3名女生這9名志愿者中選出3人到某小區(qū)協(xié)助新冠肺炎防控工作，要求選出的3人中既有男生又有女生，則不同的選法共有（

）A．48種 B．53種 C．56種 D．63種變式9-3．某學(xué)校開展勞動教育，決定在3月12日植樹節(jié)當(dāng)天把包含甲、乙兩班在內(nèi)的6個班級平均分到附近的3個植樹點植樹，則甲、乙兩班不在同一植樹點的分配方案數(shù)為（

）A．72 B．90 C．84 D．18變式9-4．某大學(xué)開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中選3門課．若要求兩類選修課至少各選一門，則不同的選法有（

）A．30種 B．60種 C．12種 D．7種第十章計數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布列10.1.1排列組合（題型戰(zhàn)法）知識梳理一分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理1.分類加法計數(shù)原理：完成一件事有幾類辦法，各類辦法相互獨立，每類辦法中又有多種不同的辦法，則完成這件事的不同辦法數(shù)是各類不同方法種數(shù)的和。2.分步乘法計數(shù)原理：完成一件事，需要分成幾個步驟，每一步的完成有多種不同的方法，則完成這件事的不同方法種數(shù)是各種不同的方法數(shù)的乘積。原則：先分類后分步；由特殊點入手。二排列與排列數(shù)1.排列：從個不同元素中取出個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列.2.排列數(shù)：從個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，記作三組合與組合數(shù)1.組合：從個不同元素中取出個元素組成一個組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合.2.組合數(shù)：從個不同元素中取出個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，記作.公式：（1）（2）（，且）.特別地，性質(zhì)：（1）=1\*GB3①；=2\*GB3②.（2）=1\*GB3①；=2\*GB3②題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一數(shù)字排列問題典例1．用0，1，2，3，4可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為（

）A．36 B．48 C．60 D．72【答案】C【分析】當(dāng)個位數(shù)為0時，從其他4個數(shù)選3個進(jìn)行排列，當(dāng)個位數(shù)為2或4時，從剩下的非零的3個數(shù)中選一個排在千位，再從剩下的3個數(shù)中選2個排在十位和百位，最后用分類計數(shù)原理求解.【詳解】當(dāng)個位數(shù)為0時，有個，當(dāng)個位數(shù)為2或4時，有個，所以無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有24+36=60個，故選：C.變式1-1．在1，2，3，4，5，6這六個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有（

）A．36個 B．48個 C．54個 D．60個【答案】D【分析】分這三個數(shù)字是三個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，一個奇數(shù)兩種情況計算.【詳解】解：①這三個數(shù)字為三個奇數(shù)，共（個）；②這三個數(shù)字為兩個偶數(shù)，一個奇數(shù)，共（個）.故各數(shù)位之和為奇數(shù)的共有（個）.故選：D.變式1-2．用這五個數(shù)字能組成無重復(fù)數(shù)字且與不相鄰的五位數(shù)的個數(shù)有（

）A．36 B．48 C．60 D．72【答案】C【分析】根據(jù)題意分當(dāng)在萬位，當(dāng)在萬位，當(dāng)在萬位和當(dāng)在萬位四種情況分別求解即可.【詳解】根據(jù)題意：當(dāng)在萬位時，千位不能排，所以千位有：種，再排列剩下的數(shù)字有：，所以當(dāng)在萬位時，共有：種；當(dāng)在萬位時，先排和，有：種，會出現(xiàn)三個空，再將數(shù)字和插入三個空，有種，所以當(dāng)在萬位時，共有：種；當(dāng)在萬位時，千位不能排，所以千位有：種，再排列剩下的數(shù)字有：，所以當(dāng)在萬位時，共有：種；當(dāng)在萬位時，先排和，有：種，會出現(xiàn)三個空，再將數(shù)字和插入三個空，有種，所以當(dāng)在萬位時，共有：種；綜上所述：滿足條件的方法共有：.故選：C.變式1-3．用四個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中比大的偶數(shù)共有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【分析】比大，故千位為，分類討論即可【詳解】比大，故千位為，千位為2，則個位為4，有種千位為3，則個位為2或4，有種千位為4，則個位為2，有種故一共有8種，故選：D變式1-4．用0，2，4，5，6，8組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則這樣的四位數(shù)中偶數(shù)共有（

）A．120個 B．192個 C．252個 D．300個【答案】C【分析】根據(jù)個位數(shù)是否為零分類討論即可.【詳解】若這個偶數(shù)的個位數(shù)是0，則有個；若這個偶數(shù)的個位數(shù)不是0，則有個.故滿足條件的四位數(shù)中偶數(shù)的總個數(shù)為；故選：C.題型戰(zhàn)法二染色問題典例2．用4種不同顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，不同的涂色方法共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種【答案】C【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理逐一按①②③和④涂色，即可求解.【詳解】對于①②③，兩兩相鄰，依次用不同顏色涂，共有種涂色方法，對于④，與②③相鄰，但與①相隔，此時可用剩下的一種顏色或者與①同色，共2種涂色方法，則由分步乘法計數(shù)原理得種不同的涂色方法.故選:C變式2-1．如圖，有、、、四塊區(qū)域需要植入花卉，現(xiàn)有種不同花卉可供選擇，要求相鄰區(qū)域植入不同花卉，不同的植入方法有（）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【分析】依次考慮、、、區(qū)域，利用分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】區(qū)域有種選擇，區(qū)域有種選擇，區(qū)域有種選擇，區(qū)域有種選擇，由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的檀入方法共有種.故選：D.變式2-2．用4種不同顏色給圖中的5個區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂色方法共有多少種（

）A．72 B．48 C．36 D．24【答案】A【分析】可以同色的區(qū)域為BD，CE，分類討論結(jié)合排列知識即可求解．【詳解】由題意，可以同色的區(qū)域為BD，CE；若只有BD同色，則有種；若只有CE同色，有種；若BD，CE都同色，則種，由分類計數(shù)原理，共有種，故選：A．變式2-3．給圖中A，B，C，D，E五個區(qū)域染色，每個區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色．若有四種顏色可供選擇，則不同的染色方案共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種【答案】D【分析】先對A，B，C三個區(qū)域染色，再討論B，E是否同色．【詳解】當(dāng)B，E同色時，共有種不同的染色方案，當(dāng)B，E不同色時，共有種不同的染色方案，所以共有72種不同的染色方案．故選：D．變式2-4．現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種顏色，對如圖所示的正五角星的內(nèi)部涂色（分割成六個不同區(qū)域），要求每個區(qū)域涂一種顏色且相鄰部分（有公共邊的兩個區(qū)域）的顏色不同，則不同涂色方法有（

）A．48種 B．64種 C．96種 D．144種【答案】C【分析】先給中間涂色，再給外邊每個涂色，利用分步乘法計算原理求解即可.【詳解】根據(jù)題意，假設(shè)正五角星的區(qū)域為，，，，，，如圖所示，先對區(qū)域涂色，有3種方法，再對，，，，這5個區(qū)域進(jìn)行涂色，因為，，，，這5個區(qū)域都與相鄰，所以每個區(qū)域都有2種涂色方法，所以共有種涂色方法．故選：C.題型戰(zhàn)法三位置（元素）有限的排列問題（優(yōu)先法）典例3．將五輛車停在5個車位上，其中A車不能停在1號車位上，則不同的停車方案有（

）A．24種 B．78種 C．96種 D．120種【答案】C【分析】根據(jù)分步計數(shù)原理，先讓車選車位，再讓剩余車輛選車位，即可得出結(jié)論.【詳解】第一步：先讓車選車位，有種；第二步：讓剩余四輛車選車位，有種，所以共有：種.故選：C.變式3-1．4人隨機(jī)排成一排，甲不在排頭且乙不在排尾的排法有多少種（

）A．14種 B．16種 C．10種 D．13種【答案】A【分析】分兩類：甲在排尾，另一種甲不在排頭也不在排尾，然后利用分類加法原理求解即可.【詳解】根據(jù)題意分兩類：第一類：甲在排尾，其它3人全排列，有，第二類：甲不在排頭也不在排尾，則甲排在中間兩個位置中的一個，然后從剩余的除乙外的2人中選一人排在排尾，最后剩下的2人排在剩余的2個位置，則有種，所以由分類加法原理可得共有種，故選：A.變式3-2．甲，乙，丙，丁，戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動技能比賽，決出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且乙不是最后1名，則5人的名次排列的所有可能情況共有（

）A．30種 B．54種 C．84種 D．120種【答案】B【分析】根據(jù)題意先排乙，再排甲，再排其他人即可【詳解】根據(jù)題意先排乙，再排甲，再排其他人，則所有排列的情況有故選：B變式3-3．甲、乙、丙、丁名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲、乙不能同時站在兩端，則不同排列方式共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【分析】在四人全排的排法中，減去甲、乙同時站在兩端的排法，即可得解.【詳解】利用間接法，將四人全排，共種不同的排法，若甲、乙同時站在兩端，此時有種不同的排法.因此，若甲、乙不能同時站在兩端，則不同排列方式共有種.故選：D.變式3-4．某中學(xué)舉行的秋季運動會中，有甲?乙?丙?丁四位同學(xué)參加100米短跑決賽，現(xiàn)將四位同學(xué)安排在1，2，3，4這4個跑道上，每個跑道安排一名同學(xué)，則甲不在2跑道，乙不在4跑道的不同安排方法種數(shù)為（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【分析】根據(jù)題意，按甲是否在道上分2種情況討論，求出每種情況的安排方法數(shù)目，由加法原理計算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：①若甲在道上，剩下3人任意安排在其他3個跑道上，有種排法，②若甲不在道上，甲的安排方法有2種，乙的安排方法也有2種，剩下2人任意安排在其他2個跑道上，有2種安排方法，此時有種安排方法，故共有種不同的安排方法，故選：B．題型戰(zhàn)法四相鄰問題的排列問題（捆綁法）典例4．為弘揚(yáng)我國古代的“六藝”文化，某小學(xué)開設(shè)“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，課程“樂”“數(shù)”排在相鄰兩周，則不同的安排方案有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種【答案】C【分析】利用捆綁法即得.【詳解】因為課程“樂”“數(shù)”排在相鄰兩周，可用捆綁法，把“樂”“數(shù)”捆綁看作一個元素與其他元素一起排列共種，再排其內(nèi)部順序種，所以不同的安排方案有種.故選：C.變式4-1．“宮、商、角、徵、羽”起源于春秋時期，是中國古樂的五個基本音階，亦稱五音．如果把這五個音階全用上，排成一個五個音階的音序，要求宮、商兩音階相鄰且宮音階不在正中間，則可排成不同的音序共有（

）A．48種 B．36種 C．32種 D．24種【答案】B【分析】根據(jù)題意，先由捆綁法計算宮、商兩音階相鄰的排法，排除其中宮音階在正中間的排法求解.【詳解】解：將宮、商兩音階看成一個整體，再與其他3個音階全排列，有種排法，其宮音階在正中間的排法有種，所以宮、商兩音階相鄰且宮音階不在正中間，則可排成不同的音序共有種的排法，故選：B．變式4-2．把語文，數(shù)學(xué)，英語，物理等7本不同的書放入書架，若數(shù)學(xué)書和物理書相鄰，語文書不放在最左邊，英語書不放在最右邊，則不同的放法共有（

）A．780 B．960 C．1440 D．1008【答案】D【分析】把數(shù)學(xué)書和物理書捆綁，從語文書的位置進(jìn)行分類，結(jié)合排列知識求解.【詳解】先把數(shù)學(xué)書和物理書捆綁看作一個元素，共有種方法；當(dāng)語文書放在最右邊時，英語書和其它書排列，共有種方法；當(dāng)語文書放不在最右邊時，最右邊放置除語文和英語之外的書，有4種方法，最左邊放置除語文之外的余下的書，有4種方法，其它位置沒有要求，有種方法；綜上共有種方法；故選：D變式4-3．小明跟父母?爺爺和奶奶一同參加《中國詩詞大會》的現(xiàn)場錄制，5人坐一排.則小明的父母都與他相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用捆綁法求出排列數(shù)，進(jìn)而可得概率.【詳解】將小明父母與小明三人進(jìn)行捆綁，其中小明居于中間，形成一個元素，與其他兩個元素進(jìn)行排序，則，故所求的概率為，故選：.變式4-4．“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺設(shè)有“看黨史”“聽原著”等多個欄目．假設(shè)在這些欄目中，周一“看黨史”欄目更新了3篇文章，“聽原著”欄目更新了4個音頻．一位學(xué)習(xí)者準(zhǔn)備從更新的這7項內(nèi)容中隨機(jī)選取2篇文章和2個音頻進(jìn)行學(xué)習(xí)，則這2篇文章學(xué)習(xí)順序相鄰的學(xué)法有（

）A．216種 B．108種 C．72種 D．54種【答案】A【分析】分三步完成，利用分步乘法計數(shù)原理求解.【詳解】第一步從3篇文章中選2篇全排列，共有種方法，第二步從4個音頻中選2個，共有種方法，第三步將2篇文章捆綁，再與已選取的2個音頻進(jìn)行全排列，共種方法，故所求的總方法數(shù)為（種）.故選：A．題型戰(zhàn)法五不相鄰的排列問題（插空法）典例5．“杭幫菜”山膚水豢，回味無窮.今有人欲以“糟燴鞭筍”、“冰糖甲魚”、“荷葉粉蒸肉”、“宋嫂魚羹”、“龍井蝦仁”、“叫化童雞”共六道杭幫菜宴請遠(yuǎn)方來客.這六道菜要求依次而上，其中“冰糖甲魚”和“叫化章雞”不能接連相鄰上菜，請問不同的上菜順序種數(shù)為（

）A．480 B．240 C．384 D．1440【答案】A【分析】利用插空法求解，先排列“糟燴鞭筍”、“荷葉粉蒸肉”、“宋嫂魚羹”、“龍井蝦仁”這4道菜，然后用“冰糖甲魚”和“叫化章雞”去插空即可.【詳解】根據(jù)題意，先排列“糟燴鞭筍”、“荷葉粉蒸肉”、“宋嫂魚羹”、“龍井蝦仁”這4道菜，共有種方法，4道菜排列后，有5個空，然后用“冰糖甲魚”和“叫化章雞”去插空，有種方法，所以由分步計數(shù)原理可知共有種不同的上菜順序，故選：A變式5-1．2022年2月4日，中國北京第24屆奧林匹克冬季運動會開幕式以二十四節(jié)氣的方式開始倒計時創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾．衡陽市某中學(xué)為了弘揚(yáng)我國二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”、“驚蟄”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六張知識展板分別放置在六個并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有多少種？（

）A．24 B．48 C．144 D．244【答案】C【分析】將“立春”和“春分”兩塊展板捆綁在一起，與“雨水”、“谷雨”排列，然后“清明”與“驚蟄”去插空即可【詳解】根據(jù)題意先將“立春”和“春分”兩塊展板捆綁在一起，與“雨水”、“谷雨”排列，有4個空，然后“清明”與“驚蟄”去插空，所以不同的放置方式有種.故選：C變式5-2．在2016年“兩會”記者招待會上，主持人要從5名國內(nèi)記者與4名國外記者中選出3名進(jìn)行提問，要求3人中既有國內(nèi)記者又有國外記者，且國內(nèi)記者不能連續(xù)提問，則不同的提問方式有（

）A．420種 B．260種 C．180種 D．80種【答案】B【分析】應(yīng)用分類加法計數(shù)，結(jié)合排列、組合數(shù)求不同分類下的提問方式，最后加總即可.【詳解】若人中有名中國記者和名國外記者，則不同的提問方式的種數(shù)是，若人中有名中國記者和名國外記者，則不同的提問方式的種數(shù)是，故所有的不同的提問方式的種數(shù)是.故選：B變式5-3．2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”，有著可愛的外表和豐富的寓意，深受各國人民的喜愛．某商店有4個不同造型的吉祥物“冰墩墩”和3個不同造型的吉祥物“雪容融”展示在柜臺上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此間隔排列，則不同排法的種數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分兩步，第一步將4個“冰墩墩”全排列，第二步將將3個“雪容融”插進(jìn)3個空中，按照分步乘法計數(shù)原理計算可得；【詳解】解：依題意首先將4個“冰墩墩”全排列，有種排法；再將3個“雪容融”插進(jìn)3個空中，有種排法；綜上可得一共有種排法；故選：C變式5-4．某電視臺曾在某時間段連續(xù)播放5個不同的商業(yè)廣告，現(xiàn)在要在該時間段新增播一個商業(yè)廣告與兩個不同的公益宣傳廣告，且要求兩個公益宣傳廣告既不能連續(xù)播放也不能在首尾播放，則在不改變原有5個不同的商業(yè)廣告的相對播放順序的前提下，不同的播放順序共有（

）A．60種 B．120種 C．144種 D．300種【答案】B【分析】先插入一個商業(yè)廣告，再在中間插入兩個公益廣告，由分步乘法原理可得．【詳解】安排方法是先插入一個商業(yè)廣告有種方法，再在6個商業(yè)廣告中間插入兩個公益廣告，方法數(shù)，所以不同的播放順序數(shù)為．故選：B．題型戰(zhàn)法六部分定序問題的排列問題（縮倍法）典例6．5本書編號為a，b，c，d，e，其中a必須排放在b的左邊，則一共有多少種排放方法（

）A．42 B．60 C．30 D．36【答案】B【分析】先求得5個編號任意排列的排法，分析可得a在b的左邊和a在b的右邊是等可能的，計算即可得答案.【詳解】由題意得5個編號任意排列，有種排法，其中a在b的左邊和a在b的右邊是等可能的，其排法數(shù)目時一樣的，所以a排放在b的左邊一共有種排法故選：B變式6-1．用組成沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，若的順序一定，則符合條件的七位數(shù)有（

）個A．840 B．210 C．640 D．410【答案】A【分析】根據(jù)倍縮法求解定序問題.【詳解】組成沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)，共有個，的順序有個，所以所求的個數(shù)有，故選：.變式6-2．某公司為慶祝年利潤實現(xiàn)目標(biāo)，計劃舉行答謝聯(lián)歡會，原定表演6個節(jié)目，已排成節(jié)目單，開演前又臨時增加了2個互動節(jié)目.如果保持原節(jié)目的順序不變，那么不同排法的種數(shù)為（

）.A．42 B．56 C．30 D．72【答案】B【分析】利用倍縮法，先將8個節(jié)目排好，由于原來6個節(jié)目順序不變，則要除以原有的6個節(jié)目對應(yīng)的不同排法，即可得解.【詳解】解：增加2個互動節(jié)目后，一共有8個節(jié)目，這8個節(jié)目的不同排法有種，而原有的6個節(jié)目對應(yīng)的不同排法共有種，所以不同的排法有（種）.故選：B.變式6-3．習(xí)近平總書記在全國教育大會上發(fā)表重要講話，稱教育是國之大計，黨之大計．哈九中落實講話內(nèi)容，組織研究性學(xué)習(xí)．在研究性學(xué)習(xí)成果報告會上，有A、B、C、D、E、F共6項成果要匯報，如果B成果不能最先匯報，而A、C、D按先后順序匯報（不一定相鄰），那么不同的匯報安排種數(shù)為（

）A．100 B．120 C．300 D．600【答案】A【分析】優(yōu)先排B元素，然后根據(jù)A、C、D順序確定用除法可得.【詳解】先排B元素，有5種排法，然后排剩余5個元素共，由于A、C、D順序確定，所以不同的排法共有.故選：A變式6-4．某學(xué)校文藝匯演準(zhǔn)備從舞蹈、小品、相聲、音樂、魔術(shù)、朗誦6個節(jié)目中選取5個進(jìn)行演出．要求舞蹈和小品必須同時參加，且他們的演出順序必須滿足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出順序種數(shù)有（

）A．240種 B．480種 C．540種 D．720種【答案】A【分析】先從4個節(jié)目中選3個，再按照定序排列即可求解.【詳解】先從相聲、音樂、魔術(shù)、朗誦4個節(jié)目中選3個，有種，再把5個節(jié)目排列且滿足舞蹈在前、小品在后，有，總共有種.故選：A.題型戰(zhàn)法七分組分配問題典例7．佳木斯市第一中學(xué)校為了做好疫情防控工作，組織了6名教師組成志愿服務(wù)小組，分配到東門、西門、中門3個樓門進(jìn)行志愿服務(wù).由于中門學(xué)生出入量較大，要求中門志愿者人數(shù)不少于另兩個門志愿者人數(shù)，若每個樓門至少分配1個志愿服務(wù)小組，每個志愿服務(wù)小組只能在1個樓門進(jìn)行服務(wù)，則不同的分配方法種數(shù)為（

）A．240 B．180 C．690 D．150【答案】A【分析】根據(jù)中門志愿者的人數(shù)，分情況討論，再按照分組分配問題，即可求解.【詳解】第一種情況，當(dāng)中門的志愿者有3人時，其他兩個門有1個門1人，1個門2人，有種，第二種情況，當(dāng)中門有2人時，其他兩個門也分別是2人，種，第三種情況，當(dāng)中門有4人時，其他兩個們分別1人，有種，所以不同的分配方法種數(shù)是.故選：A變式7-1．6名志愿者要到，，三個社區(qū)進(jìn)行志愿服務(wù)，每個志愿者只去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去社區(qū)，則不同的安排方法共有（

）A．105種 B．144種 C．150種 D．210種【答案】D【分析】先安排2名志愿者到A社區(qū)，再考慮剩余的4名志愿者，分為兩組，可以平均分，可以一組1人，一組3人，再對兩組進(jìn)行分配，從而求出最終答案.【詳解】先選出2名志愿者安排到A社區(qū)，有種方法，再把剩下的4名志愿者分成兩組，有兩種分法，一種是平均分為兩組，有種分法，另一種是1組1人，另一組3人，有種分法，再分配到其他兩個社區(qū)，則不同的安排方法共有種.故選：D變式7-2．2022年3月中旬，新冠肺炎疫情突襲南昌，南昌市統(tǒng)一指揮，多方攜手、眾志成城，構(gòu)筑起抗擊疫情的堅固堡壘．某小區(qū)有小王、小張等5位中學(xué)生積極參加社區(qū)志愿者，他們被分派到測溫和掃碼兩個小組，若小王和小張不同組，且他們所在的兩個組都至少需要2名中學(xué)生志愿者，則不同的分配方案種數(shù)有（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】先分配其他3名中學(xué)生，再分配小王和小張即得.【詳解】先分配其他3名中學(xué)生有種方法，再分配小王和小張有種方法，由分步計數(shù)原理可得，不同的分配方案種數(shù)有.故選：C.變式7-3．甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去三個不同的小區(qū)參加新冠疫情防控志愿服務(wù)，每個小區(qū)至少去1人，每人只去1個小區(qū)，且甲、乙去同一個小區(qū)，則不同的安排方法有（

）A．28種 B．32種 C．36種 D．42種【答案】C【分析】先將甲、乙看成一個元素，然后先分組后排列可得.【詳解】將甲、乙看成一個元素A，然后將A、丙、丁、戊四個元素分為3組，共有種，再將3組分到3個不同小區(qū)有種，所以滿足條件的安排方法共有種.故選：C變式7-4．某校從8名青年教師中選派4名分別作為四個學(xué)生社團(tuán)的指導(dǎo)教師，每個社團(tuán)各派去1名教師，其中教師甲和乙不能同時參加，甲和丙只能都參加或都不參加，則不同的選派方案有（

）A．360種 B．480種 C．600種 D．720種【答案】C【分析】根據(jù)題意分三種情況：甲參加，乙不參加，或甲不參加，乙不參加，或甲不參加，乙參加，求出分配的方法數(shù)，然后利用分類加法原理可求得結(jié)果【詳解】若甲參加，乙不參加，則丙參加，只需從剩余5人中選出2人，再分配即可，此時有：種情況；若甲不參加，乙不參加，則丙不參加，只需從剩余5人中選出4人，再分配即可，此時有：種情況；若甲不參加，乙參加，則丙不參加，只需從剩余5人中選出3人，再分配即可，此時有：種情況；故共有：種情況.故選：C.題型戰(zhàn)法八x+y+z=n整數(shù)解的個數(shù)問題（隔板法）典例8．學(xué)校有個優(yōu)秀學(xué)生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個年級至少個名額，則有（

）種分配方案.A． B． C． D．【答案】C【分析】問題等價于將個完全相同的小球，放入個不同的盒子，每個盒子至少個球，結(jié)合隔板法可得結(jié)果.【詳解】問題等價于將個完全相同的小球，放入個不同的盒子，每個盒子至少個球，由隔板法可知，不同的分配方案種數(shù)為.故選：C.變式8-1．袋中有十個完全相同的乒乓球，四個小朋友去取球，每個小朋友至少取一個球，所有的球都被取完，最后四個小朋友手中乒乓球個數(shù)的情況一共有（

）A．84種 B．504種 C．729種 D．39種【答案】A【分析】相同元素分組可以采用“隔板法”求解.【詳解】四個小朋友去取球，每個小朋友至少取一個球，所有的球都被取完，即將個球分成了份：個球有個空隙，選個空隙插上“隔板”即可分成4份，即：種.故選：A.變式8-2．將9個志愿者名額全部分配給3個學(xué)校，則每校至少一個名額且各校名額