高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點(diǎn)精講+精練(人教A版2019必修第二冊(cè))第04講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(原卷版+解析)

第4講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)1平面1．平面的概念①平面是一個(gè)不加定義，只需理解的原始概念．②立體幾何里的平面是從呈平面形的物體中抽象出來(lái)的．如課桌面、黑板面、平靜的水面等都給我們平面的局部形象．幾何里所說(shuō)的“平面”就是從這樣的一些物體中抽象出來(lái)的．但是，幾何里的平面是無(wú)限延展的，一個(gè)平面可以將空間分成兩部分．注：平面是平的，是無(wú)限延展的，沒(méi)有厚薄，大小之分2．平面的畫法在立體幾何中，我們通常用平行四邊形來(lái)表示平面．當(dāng)平面水平放置時(shí)，如圖（1），平行四邊形的銳角通常畫成45°，且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍；當(dāng)平面豎直放置時(shí)，如圖（2），平行四邊形的一組對(duì)邊通常畫成鉛垂線．一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)立體感，被遮擋部分用虛線畫出來(lái).注：立體幾何畫圖或作輔助線的原則——看得見(jiàn)的畫成實(shí)線，看不見(jiàn)的畫成虛線.即眼見(jiàn)為實(shí)，眼不見(jiàn)為虛.3．平面的表示①用希臘字母表示，如平面α，平面β，平面γ.②用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母表示，如平面ABCD.③用表示平面的平行四邊形的相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)表示，如平面AC，平面BD.④用平面內(nèi)不共線的三個(gè)點(diǎn)來(lái)表示平面4．平面的幾個(gè)特點(diǎn)(1)平面是平的；(2)平面是沒(méi)有厚度的；(3)平面是無(wú)限延展而沒(méi)有邊界的．5．點(diǎn)、直線、平面之間位置關(guān)系的符號(hào)表示從集合的角度理解點(diǎn)、直線、平面點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系通常借助集合中的符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示，點(diǎn)為元素，直線、平面都是點(diǎn)構(gòu)成的集合．集合中很多符號(hào)的規(guī)定都源于將圖形視為點(diǎn)集。(1)直線可以看成無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的集合，故點(diǎn)與直線的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“”表示．(2)平面也可以看成點(diǎn)集，故點(diǎn)與平面的關(guān)系也是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“”表示．(3)直線和平面都是點(diǎn)集，它們之間的關(guān)系可看成集合與集合的關(guān)系，故用“?”或“?”表示．點(diǎn)、直線、平面之間的基本位置關(guān)系及語(yǔ)言表達(dá)文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言A在l上A∈lA在l外AlA在α內(nèi)A∈αA在α外Aαl與m平行l(wèi)

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ml，m相交于Al∩m＝Al與m異面l在α內(nèi)l?αl與α平行l(wèi)

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αl，α相交于Al∩α＝Al在α外lαα，β相交于lα∩β＝lα與β平行α

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β知識(shí)點(diǎn)2平面的基本性質(zhì)1．三個(gè)基本事實(shí)：（1）基本事實(shí)1：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．符號(hào)表示：A，B，C三點(diǎn)不共線?有且只有一個(gè)平面α，使Aα，Bα，Cα．如圖所示：意義：是在空間確定一個(gè)平面位置的方法與途徑，而確定平面是將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的重要條件，這個(gè)轉(zhuǎn)化是立體幾何中解決相當(dāng)一部分問(wèn)題的主要的思想方法．作用：①確定平面；②判定兩平面是否重合；③證明點(diǎn)、線共面．注：(1)基本事實(shí)①的條件為“過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)”，如果改為“過(guò)三個(gè)點(diǎn)”，則可能存在無(wú)數(shù)個(gè)平面(2)基本事實(shí)①的結(jié)論為“有且只有一個(gè)平面”，“有”指存在性，“只有”指唯一性（2）基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．符號(hào)表示：Al，Bl，且Aα，Bα?l?α．如圖所示：意義：說(shuō)明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別．通過(guò)直線的“直”來(lái)刻畫平面的“平”，通過(guò)直線的“無(wú)限延伸”來(lái)描述平面的“無(wú)限延展”．作用：既是判斷直線是否在平面內(nèi)，又是檢驗(yàn)平面的方法．注：(1)直線是平面的真子集(2)整條直線在平面內(nèi)，則直線上的所有點(diǎn)都在平面內(nèi)（3）基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．符號(hào)表示：Pα，且Pβ?α∩β＝l，且Pl．如圖所示：意義：揭示了兩個(gè)平面相交的主要特征，提供了確定兩個(gè)平面交線的方法．作用：①判斷兩個(gè)平面是否相交；②確定兩個(gè)平面的交線；③證明若干點(diǎn)共線問(wèn)題．注：①若兩個(gè)相交平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，則過(guò)這兩點(diǎn)的直線就是相交平面的交線；②若兩個(gè)相交平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這三點(diǎn)共線；③若兩個(gè)平面相交，則一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一平面的交點(diǎn)落在兩平面的交線上；④若兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面相交.2.三個(gè)推論（1）推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．符號(hào)語(yǔ)言：若點(diǎn)直線a，則A和a確定一個(gè)平面．如圖所示：（2）推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．符號(hào)語(yǔ)言：?有且只有一個(gè)平面，使，．如圖所示：（3）推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．符號(hào)語(yǔ)言：?有且只有一個(gè)平面，使，．如圖所示：知識(shí)點(diǎn)3空間中直線與直線的位置關(guān)系1.空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系共面情況有無(wú)公共點(diǎn)相交在同一平面內(nèi)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)平行在同一平面內(nèi)沒(méi)有公共點(diǎn)異面不同在任何一個(gè)平面內(nèi)沒(méi)有公共點(diǎn)2.異面直線1．定義:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.注：異面直線是不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，而不能單純理解為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線.要注意異面直線定義中的“任何”兩個(gè)字，它指的是空間中的任意平面.因此，異面直線也可以理解為在空間中找不到一個(gè)平面，使其同時(shí)經(jīng)過(guò)這兩條直線.畫法:空間內(nèi)，兩條異面直線既不平行，也不相交.異面直線作圖的時(shí)候，我們可以借助輔助的平面來(lái)體現(xiàn)異面直線的不共面的特點(diǎn).3.異面直線判定定理：經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.3.異面直線所成的角①兩條異面直線所成的角的定義如圖，已知兩異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O，分別作直線a′∥a，b′∥b，相交直線a′，b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）．（1）在定義中，空間一點(diǎn)O是任取的，根據(jù)等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小與點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān)．為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)O常取在兩條異面直線中的一條上．（2）研究異面直線所成的角，就是通過(guò)平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，即把求空間角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求平面角問(wèn)題，這是研究空間圖形的一種基本思路．②異面直線所成的角的范圍異面直線所成的角必須是銳角或直角，則這個(gè)角α的取值范圍為．③兩條異面直線垂直的定義如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說(shuō)這兩條直線互相垂直．兩條互相垂直的異面直線a，b，記作a⊥b．④構(gòu)造異面直線所成角的方法（1）過(guò)其中一條直線上的已知點(diǎn)（往往是特殊點(diǎn)）作另一條直線的平行線；（2）當(dāng)異面直線依附于某幾何體，且直接平移異面直線有困難時(shí)，可利用該幾何體的特殊點(diǎn)，將兩條異面直線分別平移相交于該點(diǎn)；（3）構(gòu)造輔助平面、輔助幾何體來(lái)平移直線．注意，若求得的角為鈍角，則兩異面直線所成的角應(yīng)為其補(bǔ)角．⑤求兩條異面直線所成的角的步驟（1）平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條，使其成為相交直線；（2）證明：證明作出的角就是要求的角；（3）計(jì)算：求角度（常利用三角形的有關(guān)知識(shí)）；（4）結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角．知識(shí)點(diǎn)4空間中直線與平面的位置關(guān)系1．直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種：直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；直線與平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)．直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外．2．直線與平面的位置關(guān)系的符號(hào)表示和圖形表示位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)直線a在平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)直線a與平面α相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)直線a與平面α平行無(wú)公共點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)5平面與平面之間的位置關(guān)系1．兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種：（1）兩個(gè)平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)；（2）兩個(gè)平面相交——有一條公共直線．2．兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系的圖形表示和符號(hào)表示位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)兩平面平行無(wú)公共點(diǎn)兩平面相交有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，這些點(diǎn)在一條直線上3．兩個(gè)平行平面的畫法畫兩個(gè)平行平面時(shí)，要注意使表示平面的兩個(gè)平行四邊形的對(duì)應(yīng)邊平行，且把這兩個(gè)平行四邊形上下放置．考點(diǎn)一平面的概念判斷解題方略：平面的幾個(gè)特點(diǎn)平面是平的；平面是沒(méi)有厚度的；(3)平面是無(wú)限延展而沒(méi)有邊界的【例1】下列說(shuō)法正確的是()A．鏡面是一個(gè)平面B．一個(gè)平面長(zhǎng)10m，寬5mC．一個(gè)平面的面積是另一個(gè)平面面積的2倍D．所有的平面都是無(wú)限延展的變式1：下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是()①三角形是平面圖形；②四邊形是平面圖形；③四邊相等的四邊形是平面圖形；④圓是平面圖形．A．1 B．2C．3 D．4【例2】如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為()A．平面MNB．平面NQPC．平面αD．平面MNPQ【例3】下列空間圖形畫法錯(cuò)誤的是()變式1：按照給出的要求，完成圖中兩個(gè)相交平面的作圖，圖中所給線段AB分別是兩個(gè)平面的交線．考點(diǎn)二立體幾何三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化解題方略：三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語(yǔ)言表示，再用符號(hào)語(yǔ)言表示．(2)要注意符號(hào)語(yǔ)言的意義，如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”．提醒：根據(jù)符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別．【例4】根據(jù)圖形用符號(hào)表示下列點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系．(1)點(diǎn)P與直線AB；(2)點(diǎn)C與直線AB；(3)點(diǎn)M與平面AC；(4)點(diǎn)A1與平面AC；(5)直線AB與直線BC；(6)直線AB與平面AC；(7)平面A1B與平面AC.變式1：如圖，用符號(hào)表示下列圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系．變式2：根據(jù)下列符號(hào)表示的語(yǔ)句，說(shuō)明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：(1)A∈α，B?α；(2)l?α，m∩α＝A，A?l；(3)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.變式3：用符號(hào)語(yǔ)言表示下列語(yǔ)句，并畫出圖形：(1)三個(gè)平面α，β，γ相交于一點(diǎn)P，且平面α與平面β相交于PA，平面α與平面γ相交于PB，平面β與平面γ相交于PC；(2)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC.考點(diǎn)三三個(gè)基本事實(shí)【例5】已知直線m?平面α，P?m，Q∈m，則()A．P?α，Q∈α B．P∈α，Q?αC．P?α，Q?α D．Q∈α變式1：如果直線a?平面α，直線b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，則()A．l?α B．l?αC．l∩α＝M D．l∩α＝N變式2：兩個(gè)平面若有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面()A．相交 B．重合C．相交或重合 D．以上都不對(duì)變式3：【多選】已知α，β為平面，A，B，M，N為點(diǎn)，a為直線，下列推理正確的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MNC．A∈α，A∈β?α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共線?α，β重合【例6】能確定一個(gè)平面的條件是()A．空間三個(gè)點(diǎn) B．一個(gè)點(diǎn)和一條直線C．無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn) D．兩條相交直線變式1：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由．(1)由點(diǎn)A，O，C可以確定一個(gè)平面；(2)由點(diǎn)A，C1，B1確定的平面為平面ADC1B1.變式2：已知空間中有A，B，C，D，E五個(gè)點(diǎn)，如果點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)平面內(nèi)，點(diǎn)B，C，D，E在同一個(gè)平面內(nèi)，那么這五個(gè)點(diǎn)()A．共面 B．不一定共面C．不共面 D．以上都不對(duì)變式3：在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，既與AB共面，又與CC1共面的棱有____條.考點(diǎn)四點(diǎn)、線共面問(wèn)題解題方略：證明點(diǎn)、線共面問(wèn)題的常用方法(1)先由部分點(diǎn)、線確定一個(gè)面，再證其余的點(diǎn)、線都在這個(gè)平面內(nèi)，即用“納入法”；(2)先由其中一部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面α，其余點(diǎn)、線確定另一個(gè)平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”；(3)假設(shè)不共面，結(jié)合題設(shè)推出矛盾，即用“反證法”．【例7】如圖，已知：a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求證：PQ?α.變式1：已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．變式2：已知A∈l，B∈l，C∈l，D?l，如圖．求證：直線AD，BD，CD共面．考點(diǎn)五點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問(wèn)題解題方略：1．證明三點(diǎn)共線的方法(1)首先找出兩個(gè)平面，然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)基本事實(shí)3可知，這些點(diǎn)都在兩個(gè)平面的交線上．(2)選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另一點(diǎn)也在此直線上．2．證明三線共點(diǎn)的步驟(1)首先說(shuō)明兩條直線共面且交于一點(diǎn)；(2)說(shuō)明這個(gè)點(diǎn)在另兩個(gè)平面上，并且這兩個(gè)平面相交；(3)得到交線也過(guò)此點(diǎn)，從而得到三線共點(diǎn)．3.判斷四點(diǎn)共線的方法有：（1）四點(diǎn)中兩點(diǎn)連線所成的兩條直線平行、相交或重合；（2）由其中三點(diǎn)確定一個(gè)平面，再證明第四點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)；（3）若其中三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)一定共面.【例8】如圖，在四面體A-BCD中作截面PQR，若PQ，CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，RQ，DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，RP，DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K.求證：M，N，K三點(diǎn)共線．變式1：如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l.設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求證：AB，CD，l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn)).變式2：如圖所示，在空間四邊形各邊AD，AB，BC，CD上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果EF，GH交于一點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P在直線BD上．變式3：已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如圖．求證：P，Q，R三點(diǎn)共線．變式4：正方體中，M，N，Q，P分別是AB，BC，，的中點(diǎn)．（1）證明：M，N，Q，P四點(diǎn)共面．（2）證明：PQ，MN，DC三線共點(diǎn)．考點(diǎn)六直線與直線位置關(guān)系的判斷解題方略：1．判斷空間中兩條直線位置關(guān)系的訣竅(1)建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系．特別關(guān)注異面直線．(2)重視正方體等常見(jiàn)幾何體模型的應(yīng)用，會(huì)舉例說(shuō)明兩條直線的位置關(guān)系．2．判定或證明兩直線異面的常用方法：1．定義法：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線．（證明兩條直線既不平行又不相交．)2．定理法：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線．用符號(hào)語(yǔ)言可表示為l?α，A?α，B∈α，B?l?AB與l是異面直線(如圖)．3．推論法：一條直線上兩點(diǎn)與另一條與它異面的直線上兩點(diǎn)所連成的兩條直線為異面直線．4．反證法：證明立體幾何問(wèn)題的一種重要方法．證明步驟有三步：第一步是提出與結(jié)論相反的假設(shè)；第二步是由此假設(shè)推出與已知條件或某一公理、定理或某一已被證明是正確的命題相矛盾的結(jié)果；第三步是推翻假設(shè)，從而原命題成立．【例9】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，(1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________；(2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________；(3)直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________；(4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________．變式1：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，CC1的中點(diǎn)，以下四個(gè)結(jié)論：①直線DM與CC1是相交直線；②直線AM與NB是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的為________(把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)．變式2：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是()A．相交 B．異面C．平行 D．垂直變式3：在三棱錐S-ABC中，與SA是異面直線的是()A．SB B．SCC．BC D．AB變式3：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱所在直線與直線BA1是異面直線的條數(shù)為()A．4 B．5C．6 D．7變式4：【多選】下列關(guān)于異面直線的說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．若a?α，b?β，則a與b是異面直線B．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面C．若a，b不同在平面α內(nèi)，則a與b異面D．若a，b不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，則a與b異面變式5：已知直線a，b與平面α，滿足a∥α，b∥α，則a與b的位置關(guān)系是________．變式6：與同一個(gè)平面α都相交的兩條直線的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面 D．以上都有可能變式7：平面α∩β＝c，直線a∥α，a與β相交，則a與c的位置關(guān)系是________．變式8：已知a，b，c是空間三條直線，下面給出四個(gè)命題：①如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c；②如果a，b是異面直線，b，c是異面直線，那么a，c也是異面直線；③如果a，b是相交直線，b，c是相交直線，那么a，c也是相交直線；④如果a，b共面，b，c共面，那么a，c也共面．在上述命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3變式9：若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1與l4既不垂直也不平行D．l1與l4的位置關(guān)系不確定變式10：若P是兩條異面直線l，m外的任意一點(diǎn)，則()A．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都平行B．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都垂直C．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都相交D．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都異面異面直線所成的角通過(guò)平移直線至相交位置求兩條異面直線所成的角，是數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，也是立體幾何問(wèn)題的一個(gè)難點(diǎn)．【例10】在正方體中，與所成的角為（）A． B．C． D．變式1：如圖，在正方體中，、分別是、上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是______.變式2：如圖，在直三棱柱中，D為的中點(diǎn)，，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．變式3：如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC與BD的中點(diǎn)，若CD=2AB=4，EF⊥BA，則EF與CD所成的角為（）A．90° B．45° C．60° D．30°變式4：已知A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，(1)求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．考點(diǎn)七空間直線與平面位置關(guān)系判斷解題方略：直線與平面位置關(guān)系的判斷(1)空間直線與平面位置關(guān)系的分類是解決問(wèn)題的突破口，這類判斷問(wèn)題，常用分類討論的方法解決．另外，借助模型(如正方體、長(zhǎng)方體等)也是解決這類問(wèn)題的有效方法．(2)要證明直線在平面內(nèi)，只要證明直線上兩點(diǎn)在平面α內(nèi)，要證明直線與平面相交，只需說(shuō)明直線與平面只有一個(gè)公共點(diǎn)，要證明直線與平面平行，則必須說(shuō)明直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn).【例11】下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()①如果a，b是兩條平行直線，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何一個(gè)平面；②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線平行；③如果直線a，b滿足a∥α，b∥α，則a∥b；④如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α；⑤如果平面α的同側(cè)有兩點(diǎn)A，B到平面α的距離相等，則AB∥α.A．0 B．1C．2 D．3變式1：在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，指出B1C，BD1與各面的位置關(guān)系．變式2：三棱臺(tái)的一條側(cè)棱所在直線與其對(duì)面所在的平面之間的關(guān)系是()A．相交 B．平行C．直線在平面內(nèi) D．平行或直線在平面內(nèi)變式3：直線a在平面γ外，則()A．a(chǎn)∥γB．a(chǎn)與γ至少有一個(gè)公共點(diǎn)C．a(chǎn)∩γ＝AD．a(chǎn)與γ至多有一個(gè)公共點(diǎn)變式4：若直線l上有兩點(diǎn)到平面α的距離相等，則直線l與平面α的關(guān)系是________．考點(diǎn)八平面與平面位置關(guān)系的判斷解題方略：1．平面與平面的位置關(guān)系的判斷方法(1)平面與平面相交的判斷，主要是以基本事實(shí)3為依據(jù)找出一個(gè)交點(diǎn)．(2)平面與平面平行的判斷，主要是說(shuō)明兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)．2．常見(jiàn)的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱臺(tái)、圓柱、圓臺(tái)的上下底面平行；(2)長(zhǎng)方體的六個(gè)面中，三組相對(duì)面平行.【例12】若兩個(gè)平面互相平行，則分別在這兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線()A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面變式1：如果在兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個(gè)平面的位置關(guān)系一定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能確定變式2：如果在兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線是異面直線，那么兩個(gè)平面的位置關(guān)系一定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能確定變式3：平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平面β平行，那么α與β的關(guān)系是什么？變式4：空間三個(gè)平面如果每?jī)蓚€(gè)都相交，那么它們的交線有________條．【例13】空間中三個(gè)平面，最多把空間分成區(qū)域的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．變式1：試畫圖說(shuō)明三個(gè)平面可把空間分成幾個(gè)部分？【例14】如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別為B′C′，A′D′的中點(diǎn)，求證：平面ABB′A′與平面CDFE相交． 練習(xí)一平面的概念判斷 1、下列有關(guān)平面的說(shuō)法正確的是（）A．平行四邊形是一個(gè)平面B．任何一個(gè)平面圖形都是一個(gè)平面C．平靜的太平洋面就是一個(gè)平面D．圓和平行四邊形都可以表示平面2、有以下命題：①8個(gè)平面重疊起來(lái)要比6個(gè)平面重疊起來(lái)厚；②有一個(gè)平面的長(zhǎng)是，寬是；③平面是無(wú)厚度、可以無(wú)限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念．其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．0

B．1

C．2

D．3練習(xí)二立體幾何三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化1、如圖所示，用符號(hào)語(yǔ)言表示以下圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系：①點(diǎn)A，B在直線a上________；②直線a在平面α內(nèi)________；③點(diǎn)D在直線b上，點(diǎn)C在平面α內(nèi)________2、用符號(hào)語(yǔ)言表示下列語(yǔ)句，正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）點(diǎn)A在平面內(nèi)，但不在平面內(nèi)：，．（2）直線a經(jīng)過(guò)平面外的點(diǎn)A，且a不在平面內(nèi)：，，．（3）平面與平面相交于直線l，且l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P：，．A．1 B．2 C．3 D．03、“直線a經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)P”用符號(hào)表示為（

）A．， B． C．， D．，4、用符號(hào)表示下列語(yǔ)句：(1)點(diǎn)A在直線l上，l在平面內(nèi)；(2)平面和平面的交線是直線l，直線m在平面內(nèi)；(3)點(diǎn)A在平面內(nèi)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且直線l在平面外；(4)直線l經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)M．練習(xí)三三個(gè)基本事實(shí)1、已知A，B，C表示不同的點(diǎn)，l表示直線，表示不同的平面，則下列推理錯(cuò)誤的是__________（填序號(hào)）.①；②；③.2、如圖，已知平面α∩平面β＝l，P∈β且P?l，M∈α，N∈α，又MN∩l＝R，M，N，P三點(diǎn)確定的平面記為γ，則β∩γ是()A．直線MP B．直線NPC．直線PR D．直線MR3、若直線l與平面α相交于點(diǎn)O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，則O，C，D三點(diǎn)的位置關(guān)系是________．練習(xí)四點(diǎn)、線共面問(wèn)題1、在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，直線A1C與平面AB1D1的交點(diǎn)為M，O為線段B1D1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．A，M，O三點(diǎn)共線 B．M，O，A1，A四點(diǎn)共面C．B，B1，O，M四點(diǎn)共面 D．A，O，C，M四點(diǎn)共面2、如圖，已知A，B，C，D是空間四點(diǎn)，且點(diǎn)A，B，C在同一直線l上，點(diǎn)D不在直線l上．求證：直線AD，BD，CD在同一平面內(nèi)．3、如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且.求證：(1)E?F?G?H四點(diǎn)共面；(2)EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上.練習(xí)五點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問(wèn)題1、【多選】如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為DB的中點(diǎn)，直線A1C交平面C1BD于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是（）A．C1，M，O三點(diǎn)共線B．C1，M，O，C四點(diǎn)共面C．C1，O，A，M四點(diǎn)共面D．D1，D，O，M四點(diǎn)共面2、如圖，在正方體中，為正方形的中心，為直線與平面的交點(diǎn)．求證：，，三點(diǎn)共線．3、已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示，求證：P，Q，R三點(diǎn)共線.練習(xí)六直線與直線位置關(guān)系的判斷1、在正方體中，判斷下列直線間的位置關(guān)系：①與________；②與________；③與(為的中點(diǎn))________；④與________.2、一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條直線的位置關(guān)系是（）A．平行或異面 B．相交或異面 C．異面 D．相交3、若直線與平面平行，直線，則與位置關(guān)系：（）A．平行 B．異面 C．相交 D．沒(méi)有公共點(diǎn)4、若、為異面直線，直線與平行，則與的位置關(guān)系是（）A．相交 B．異面 C．平行 D．異面或相交5、如圖，若P是所在平面外一點(diǎn)，，，N為垂足.M為AB的中點(diǎn)，求證：PN與MC為異面直線.6、如圖，四棱錐中，，，和都是等邊三角形，則異面直線和所成角的大小為A． B．C．D．7、如圖，已知空間四邊形ABCD中，AD=BC，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，且直線BC與MN所成的角為30°，求BC與AD所成的角．練習(xí)七空間直線與平面位置關(guān)系判斷1、已知平面α和直線l，則在平面α內(nèi)至少有一條直線與直線l()A.平行 B.垂直C.相交 D.以上都有可能2、下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是（）①如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面相交，那么另一條直線也與這個(gè)平面相交;②經(jīng)過(guò)兩條異面直線中的一條直線有一個(gè)平面與另一條直線平行;③已知兩條相交直線，其中一條與一個(gè)平面平行，則另一條一定與這個(gè)平面平行;④分別與兩條異面直線平行的兩條直線是異面直線.A．0 B．1 C．2 D．33、若直線aα，則下列結(jié)論中成立的個(gè)數(shù)是（）①α內(nèi)的所有直線與a異面；②α內(nèi)的直線與a都相交；③α內(nèi)存在唯一的直線與a平行；④α內(nèi)不存在與a平行的直線.A．0B．1C．2D．3練習(xí)八平面與平面位置關(guān)系的判斷1、下列命題中，真命題的序號(hào)為_________.①若兩個(gè)平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，則兩個(gè)平面重合；②若兩個(gè)平面相交，則分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線也相交；③若一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線與另一個(gè)平面都平行，則這兩個(gè)平面平行.2、下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）①平面與平面都相交，則這三個(gè)平面有2條或3條交線②兩個(gè)平面平行，各任取兩平面內(nèi)的一條直線，它們不相交；③直線a不平行于平面，則a不平行于內(nèi)的任何條直線；④如果，，那么.A．0 B．1 C．2 D．33、三個(gè)平面將空間不可分成（）部分.A．4 B．5 C．8 D．74、（1）空間任意4點(diǎn)，沒(méi)有任何3點(diǎn)共線，它們最多可以確定________個(gè)平面.（2）空間5點(diǎn)，其中有4點(diǎn)共面，它們沒(méi)有任何3點(diǎn)共線，這5個(gè)點(diǎn)最多可以確定________個(gè)平面.5、空間中有五個(gè)點(diǎn)，其中有四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)，但沒(méi)有任何三點(diǎn)共線，這樣的五個(gè)點(diǎn)確定____個(gè)平面.6、已知平面α與平面β、平面γ都相交，則這三個(gè)平面可能的交線有________條．第4講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)1平面1．平面的概念①平面是一個(gè)不加定義，只需理解的原始概念．②立體幾何里的平面是從呈平面形的物體中抽象出來(lái)的．如課桌面、黑板面、平靜的水面等都給我們平面的局部形象．幾何里所說(shuō)的“平面”就是從這樣的一些物體中抽象出來(lái)的．但是，幾何里的平面是無(wú)限延展的，一個(gè)平面可以將空間分成兩部分．注：平面是平的，是無(wú)限延展的，沒(méi)有厚薄，大小之分2．平面的畫法在立體幾何中，我們通常用平行四邊形來(lái)表示平面．當(dāng)平面水平放置時(shí)，如圖（1），平行四邊形的銳角通常畫成45°，且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍；當(dāng)平面豎直放置時(shí)，如圖（2），平行四邊形的一組對(duì)邊通常畫成鉛垂線．一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)立體感，被遮擋部分用虛線畫出來(lái).注：立體幾何畫圖或作輔助線的原則——看得見(jiàn)的畫成實(shí)線，看不見(jiàn)的畫成虛線.即眼見(jiàn)為實(shí)，眼不見(jiàn)為虛.3．平面的表示①用希臘字母表示，如平面α，平面β，平面γ.②用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母表示，如平面ABCD.③用表示平面的平行四邊形的相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)表示，如平面AC，平面BD.④用平面內(nèi)不共線的三個(gè)點(diǎn)來(lái)表示平面4．平面的幾個(gè)特點(diǎn)(1)平面是平的；(2)平面是沒(méi)有厚度的；(3)平面是無(wú)限延展而沒(méi)有邊界的．5．點(diǎn)、直線、平面之間位置關(guān)系的符號(hào)表示從集合的角度理解點(diǎn)、直線、平面點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系通常借助集合中的符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示，點(diǎn)為元素，直線、平面都是點(diǎn)構(gòu)成的集合．集合中很多符號(hào)的規(guī)定都源于將圖形視為點(diǎn)集。(1)直線可以看成無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的集合，故點(diǎn)與直線的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“”表示．(2)平面也可以看成點(diǎn)集，故點(diǎn)與平面的關(guān)系也是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“”表示．(3)直線和平面都是點(diǎn)集，它們之間的關(guān)系可看成集合與集合的關(guān)系，故用“?”或“?”表示．點(diǎn)、直線、平面之間的基本位置關(guān)系及語(yǔ)言表達(dá)文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言A在l上A∈lA在l外AlA在α內(nèi)A∈αA在α外Aαl與m平行l(wèi)

//

ml，m相交于Al∩m＝Al與m異面l在α內(nèi)l?αl與α平行l(wèi)

//

αl，α相交于Al∩α＝Al在α外lαα，β相交于lα∩β＝lα與β平行α

//

β知識(shí)點(diǎn)2平面的基本性質(zhì)1．三個(gè)基本事實(shí)：（1）基本事實(shí)1：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．符號(hào)表示：A，B，C三點(diǎn)不共線?有且只有一個(gè)平面α，使Aα，Bα，Cα．如圖所示：意義：是在空間確定一個(gè)平面位置的方法與途徑，而確定平面是將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的重要條件，這個(gè)轉(zhuǎn)化是立體幾何中解決相當(dāng)一部分問(wèn)題的主要的思想方法．作用：①確定平面；②判定兩平面是否重合；③證明點(diǎn)、線共面．注：(1)基本事實(shí)①的條件為“過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)”，如果改為“過(guò)三個(gè)點(diǎn)”，則可能存在無(wú)數(shù)個(gè)平面(2)基本事實(shí)①的結(jié)論為“有且只有一個(gè)平面”，“有”指存在性，“只有”指唯一性（2）基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．符號(hào)表示：Al，Bl，且Aα，Bα?l?α．如圖所示：意義：說(shuō)明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別．通過(guò)直線的“直”來(lái)刻畫平面的“平”，通過(guò)直線的“無(wú)限延伸”來(lái)描述平面的“無(wú)限延展”．作用：既是判斷直線是否在平面內(nèi)，又是檢驗(yàn)平面的方法．注：(1)直線是平面的真子集(2)整條直線在平面內(nèi)，則直線上的所有點(diǎn)都在平面內(nèi)（3）基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．符號(hào)表示：Pα，且Pβ?α∩β＝l，且Pl．如圖所示：意義：揭示了兩個(gè)平面相交的主要特征，提供了確定兩個(gè)平面交線的方法．作用：①判斷兩個(gè)平面是否相交；②確定兩個(gè)平面的交線；③證明若干點(diǎn)共線問(wèn)題．注：①若兩個(gè)相交平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，則過(guò)這兩點(diǎn)的直線就是相交平面的交線；②若兩個(gè)相交平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這三點(diǎn)共線；③若兩個(gè)平面相交，則一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一平面的交點(diǎn)落在兩平面的交線上；④若兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面相交.2.三個(gè)推論（1）推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．符號(hào)語(yǔ)言：若點(diǎn)直線a，則A和a確定一個(gè)平面．如圖所示：（2）推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．符號(hào)語(yǔ)言：?有且只有一個(gè)平面，使，．如圖所示：（3）推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．符號(hào)語(yǔ)言：?有且只有一個(gè)平面，使，．如圖所示：知識(shí)點(diǎn)3空間中直線與直線的位置關(guān)系1.空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系共面情況有無(wú)公共點(diǎn)相交在同一平面內(nèi)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)平行在同一平面內(nèi)沒(méi)有公共點(diǎn)異面不同在任何一個(gè)平面內(nèi)沒(méi)有公共點(diǎn)2.異面直線1．定義:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.注：異面直線是不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，而不能單純理解為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線.要注意異面直線定義中的“任何”兩個(gè)字，它指的是空間中的任意平面.因此，異面直線也可以理解為在空間中找不到一個(gè)平面，使其同時(shí)經(jīng)過(guò)這兩條直線.畫法:空間內(nèi)，兩條異面直線既不平行，也不相交.異面直線作圖的時(shí)候，我們可以借助輔助的平面來(lái)體現(xiàn)異面直線的不共面的特點(diǎn).3.異面直線判定定理：經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.3.異面直線所成的角①兩條異面直線所成的角的定義如圖，已知兩異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O，分別作直線a′∥a，b′∥b，相交直線a′，b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）．（1）在定義中，空間一點(diǎn)O是任取的，根據(jù)等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小與點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān)．為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)O常取在兩條異面直線中的一條上．（2）研究異面直線所成的角，就是通過(guò)平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，即把求空間角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求平面角問(wèn)題，這是研究空間圖形的一種基本思路．②異面直線所成的角的范圍異面直線所成的角必須是銳角或直角，則這個(gè)角α的取值范圍為．③兩條異面直線垂直的定義如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說(shuō)這兩條直線互相垂直．兩條互相垂直的異面直線a，b，記作a⊥b．④構(gòu)造異面直線所成角的方法（1）過(guò)其中一條直線上的已知點(diǎn)（往往是特殊點(diǎn)）作另一條直線的平行線；（2）當(dāng)異面直線依附于某幾何體，且直接平移異面直線有困難時(shí)，可利用該幾何體的特殊點(diǎn)，將兩條異面直線分別平移相交于該點(diǎn)；（3）構(gòu)造輔助平面、輔助幾何體來(lái)平移直線．注意，若求得的角為鈍角，則兩異面直線所成的角應(yīng)為其補(bǔ)角．⑤求兩條異面直線所成的角的步驟（1）平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條，使其成為相交直線；（2）證明：證明作出的角就是要求的角；（3）計(jì)算：求角度（常利用三角形的有關(guān)知識(shí)）；（4）結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角．知識(shí)點(diǎn)4空間中直線與平面的位置關(guān)系1．直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種：直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；直線與平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)．直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外．2．直線與平面的位置關(guān)系的符號(hào)表示和圖形表示位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)直線a在平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)直線a與平面α相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)直線a與平面α平行無(wú)公共點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)5平面與平面之間的位置關(guān)系1．兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種：（1）兩個(gè)平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)；（2）兩個(gè)平面相交——有一條公共直線．2．兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系的圖形表示和符號(hào)表示位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)兩平面平行無(wú)公共點(diǎn)兩平面相交有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，這些點(diǎn)在一條直線上3．兩個(gè)平行平面的畫法畫兩個(gè)平行平面時(shí)，要注意使表示平面的兩個(gè)平行四邊形的對(duì)應(yīng)邊平行，且把這兩個(gè)平行四邊形上下放置．考點(diǎn)一平面的概念判斷解題方略：平面的幾個(gè)特點(diǎn)平面是平的；平面是沒(méi)有厚度的；(3)平面是無(wú)限延展而沒(méi)有邊界的【例1】下列說(shuō)法正確的是()A．鏡面是一個(gè)平面B．一個(gè)平面長(zhǎng)10m，寬5mC．一個(gè)平面的面積是另一個(gè)平面面積的2倍D．所有的平面都是無(wú)限延展的【解析】鏡面可以抽象成平面，但不是平面，所以選項(xiàng)A不正確；平面沒(méi)有大小，所以選項(xiàng)B和選項(xiàng)C都不正確，故選D.變式1：下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是()①三角形是平面圖形；②四邊形是平面圖形；③四邊相等的四邊形是平面圖形；④圓是平面圖形．A．1 B．2C．3 D．4【解析】根據(jù)基本事實(shí)3可知①④正確，②③錯(cuò)誤．故選B.【例2】如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為()A．平面MNB．平面NQPC．平面αD．平面MNPQ【解析】表示平面不能用一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)表示，但可以表示為平面MP.故選A.【例3】下列空間圖形畫法錯(cuò)誤的是()【解析】遮擋部分應(yīng)畫成虛線．故D錯(cuò)，故選D.變式1：按照給出的要求，完成圖中兩個(gè)相交平面的作圖，圖中所給線段AB分別是兩個(gè)平面的交線．【解析】以AB為其中一邊，分別畫出表示平面的平行四邊形．如圖．考點(diǎn)二立體幾何三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化解題方略：三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語(yǔ)言表示，再用符號(hào)語(yǔ)言表示．(2)要注意符號(hào)語(yǔ)言的意義，如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”．提醒：根據(jù)符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別．【例4】根據(jù)圖形用符號(hào)表示下列點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系．(1)點(diǎn)P與直線AB；(2)點(diǎn)C與直線AB；(3)點(diǎn)M與平面AC；(4)點(diǎn)A1與平面AC；(5)直線AB與直線BC；(6)直線AB與平面AC；(7)平面A1B與平面AC.【解析】(1)點(diǎn)P∈直線AB；(2)點(diǎn)C?直線AB；(3)點(diǎn)M∈平面AC；(4)點(diǎn)A1?平面AC；(5)直線AB∩直線BC＝點(diǎn)B；(6)直線AB?平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直線AB.變式1：如圖，用符號(hào)表示下列圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系．【解析】在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在(2)中，α∩β＝l，a?α，b?β，a∩l＝P，b∩l＝P.變式2：根據(jù)下列符號(hào)表示的語(yǔ)句，說(shuō)明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：(1)A∈α，B?α；(2)l?α，m∩α＝A，A?l；(3)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.【解析】(1)點(diǎn)A在平面α內(nèi)，點(diǎn)B不在平面α內(nèi)，如圖①.(2)直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α相交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A不在直線l上，如圖②.(3)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC，如圖③.變式3：用符號(hào)語(yǔ)言表示下列語(yǔ)句，并畫出圖形：(1)三個(gè)平面α，β，γ相交于一點(diǎn)P，且平面α與平面β相交于PA，平面α與平面γ相交于PB，平面β與平面γ相交于PC；(2)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC.【解析】(1)符號(hào)語(yǔ)言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，圖形表示：如圖①.(2)符號(hào)語(yǔ)言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，圖形表示：如圖②.考點(diǎn)三三個(gè)基本事實(shí)【例5】已知直線m?平面α，P?m，Q∈m，則()A．P?α，Q∈α B．P∈α，Q?αC．P?α，Q?α D．Q∈α【解析】因?yàn)镼∈m，m?α，所以Q∈α.因?yàn)镻?m，所以有可能P∈α，也可能有P?α.故選D.變式1：如果直線a?平面α，直線b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，則()A．l?α B．l?αC．l∩α＝M D．l∩α＝N【解析】∵M(jìn)∈a，a?α，∴M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l?α.故選A.變式2：兩個(gè)平面若有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面()A．相交 B．重合C．相交或重合 D．以上都不對(duì)【解析】若三點(diǎn)在同一條直線上，則這兩個(gè)平面相交或重合，若三點(diǎn)不共線，則這兩個(gè)平面重合．故選C.變式3：【多選】已知α，β為平面，A，B，M，N為點(diǎn)，a為直線，下列推理正確的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MNC．A∈α，A∈β?α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共線?α，β重合【解析】對(duì)于A，由基本事實(shí)2可知，a?β，A正確；對(duì)于B，由M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，由基本事實(shí)2可知，直線MN?α.同理MN?β，∴α∩β＝MN，B正確；對(duì)于C，∵A∈α，A∈β，∴A∈(α∩β)．由基本事實(shí)可知α∩β為經(jīng)過(guò)A的一條直線而不是點(diǎn)A.故α∩β＝A的寫法錯(cuò)誤；對(duì)于D，∵A，B，M不共線，由基本事實(shí)1可知，過(guò)A，B，M有且只有一個(gè)平面，故α，β重合．故選A、B、D.【例6】能確定一個(gè)平面的條件是()A．空間三個(gè)點(diǎn) B．一個(gè)點(diǎn)和一條直線C．無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn) D．兩條相交直線【解析】不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可確定一個(gè)平面，A、B、C條件不能保證有不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，故不正確．故選D.變式1：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由．(1)由點(diǎn)A，O，C可以確定一個(gè)平面；(2)由點(diǎn)A，C1，B1確定的平面為平面ADC1B1.【解析】(1)不正確．因?yàn)辄c(diǎn)A，O，C在同一條直線上，故不能確定一個(gè)平面．(2)正確．因?yàn)辄c(diǎn)A，B1，C1不共線，所以可確定一個(gè)平面．又因?yàn)锳D∥B1C1，所以點(diǎn)D∈平面AB1C1.所以由點(diǎn)A，C1，B1確定的平面為平面ADC1B1.變式2：已知空間中有A，B，C，D，E五個(gè)點(diǎn)，如果點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)平面內(nèi)，點(diǎn)B，C，D，E在同一個(gè)平面內(nèi)，那么這五個(gè)點(diǎn)()A．共面 B．不一定共面C．不共面 D．以上都不對(duì)【解析】若B，C，D共線，則這五個(gè)點(diǎn)不一定共面；若B，C，D不共線，則這五個(gè)點(diǎn)一定共面．故選B.變式3：在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，既與AB共面，又與CC1共面的棱有____條.【解析】由題圖可知，既與AB共面又與CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1共5條．答案：5考點(diǎn)四點(diǎn)、線共面問(wèn)題解題方略：證明點(diǎn)、線共面問(wèn)題的常用方法(1)先由部分點(diǎn)、線確定一個(gè)面，再證其余的點(diǎn)、線都在這個(gè)平面內(nèi)，即用“納入法”；(2)先由其中一部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面α，其余點(diǎn)、線確定另一個(gè)平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”；(3)假設(shè)不共面，結(jié)合題設(shè)推出矛盾，即用“反證法”．【例7】如圖，已知：a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求證：PQ?α.證明：∵PQ∥a，∴PQ與a確定一個(gè)平面β.∴直線a?β，點(diǎn)P∈β.∵P∈b，b?α，∴P∈α.又∵a?α，∴α與β重合．∴PQ?α.變式1：已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．證明方法一(納入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α.∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．方法二(輔助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個(gè)平面β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)．∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．變式2：已知A∈l，B∈l，C∈l，D?l，如圖．求證：直線AD，BD，CD共面．證明：因?yàn)橹本€l與點(diǎn)D可以確定平面α，所以只需證明AD，BD，CD都在平面α內(nèi)．因?yàn)镈?l，所以l與D可以確定平面α(推論1)．因?yàn)锳∈l，所以A∈α.又D∈α，所以AD?α(基本事實(shí)1)．同理，BD?α，CD?α，所以AD，BD，CD在同一平面α內(nèi)，即它們共面.考點(diǎn)五點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問(wèn)題解題方略：1．證明三點(diǎn)共線的方法(1)首先找出兩個(gè)平面，然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)基本事實(shí)3可知，這些點(diǎn)都在兩個(gè)平面的交線上．(2)選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另一點(diǎn)也在此直線上．2．證明三線共點(diǎn)的步驟(1)首先說(shuō)明兩條直線共面且交于一點(diǎn)；(2)說(shuō)明這個(gè)點(diǎn)在另兩個(gè)平面上，并且這兩個(gè)平面相交；(3)得到交線也過(guò)此點(diǎn)，從而得到三線共點(diǎn)．3.判斷四點(diǎn)共線的方法有：（1）四點(diǎn)中兩點(diǎn)連線所成的兩條直線平行、相交或重合；（2）由其中三點(diǎn)確定一個(gè)平面，再證明第四點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)；（3）若其中三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)一定共面.【例8】如圖，在四面體A-BCD中作截面PQR，若PQ，CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，RQ，DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，RP，DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K.求證：M，N，K三點(diǎn)共線．證明：∵M(jìn)∈PQ，直線PQ?平面PQR，M∈BC，直線BC?平面BCD，∴M是平面PQR與平面BCD的一個(gè)公共點(diǎn)∴M在平面PQR與平面BCD的交線上．同理可證，N，K也在平面PQR與平面BCD的交線上．∴M，N，K三點(diǎn)共線．變式1：如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l.設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求證：AB，CD，l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn)).證明：因?yàn)樘菪蜛BCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的兩腰.因?yàn)锳B，CD必定相交于一點(diǎn).設(shè)AB∩CD＝M.又因?yàn)锳B?α，CD?β，所以M∈α，M∈β.所以M∈α∩β.又因?yàn)棣痢搔拢絣，所以M∈l.即AB，CD,l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn))．變式2：如圖所示，在空間四邊形各邊AD，AB，BC，CD上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果EF，GH交于一點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P在直線BD上．證明：若EF，GH交于一點(diǎn)P，則E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，又因?yàn)镋F?平面ABD，GH?平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，由基本事實(shí)3可得P∈BD.變式3：已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如圖．求證：P，Q，R三點(diǎn)共線．證明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事實(shí)3可知：點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上．∴P，Q，R三點(diǎn)共線．法二：∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC?面APR.又∵Q∈面APR，Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三點(diǎn)共線．變式4：正方體中，M，N，Q，P分別是AB，BC，，的中點(diǎn)．（1）證明：M，N，Q，P四點(diǎn)共面．（2）證明：PQ，MN，DC三線共點(diǎn)．【解析】（1）連接.分別為的中點(diǎn)，且，分別為，的中點(diǎn)，且.四邊形為平行四邊形，且且四點(diǎn)共面.（2）由（1）知且必交于一點(diǎn).平面平面.平面平面.又平面平面.，即三線共點(diǎn).考點(diǎn)六直線與直線位置關(guān)系的判斷解題方略：1．判斷空間中兩條直線位置關(guān)系的訣竅(1)建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系．特別關(guān)注異面直線．(2)重視正方體等常見(jiàn)幾何體模型的應(yīng)用，會(huì)舉例說(shuō)明兩條直線的位置關(guān)系．2．判定或證明兩直線異面的常用方法：1．定義法：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線．（證明兩條直線既不平行又不相交．)2．定理法：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線．用符號(hào)語(yǔ)言可表示為l?α，A?α，B∈α，B?l?AB與l是異面直線(如圖)．3．推論法：一條直線上兩點(diǎn)與另一條與它異面的直線上兩點(diǎn)所連成的兩條直線為異面直線．4．反證法：證明立體幾何問(wèn)題的一種重要方法．證明步驟有三步：第一步是提出與結(jié)論相反的假設(shè)；第二步是由此假設(shè)推出與已知條件或某一公理、定理或某一已被證明是正確的命題相矛盾的結(jié)果；第三步是推翻假設(shè)，從而原命題成立．【例9】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，(1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________；(2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________；(3)直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________；(4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________．【解析】(1)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，∴四邊形A1BCD1為平行四邊形，∴A1B∥D1C.(2)直線A1B與直線B1C不同在任何一個(gè)平面內(nèi)．(3)直線D1D與直線D1C相交于點(diǎn)D1.(4)直線AB與直線B1C不同在任何一個(gè)平面內(nèi)．[答案](1)平行(2)異面(3)相交(4)異面變式1：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，CC1的中點(diǎn)，以下四個(gè)結(jié)論：①直線DM與CC1是相交直線；②直線AM與NB是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的為________(把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)．[解析]①中直線DM與直線CC1在同一平面內(nèi)，它們不平行，必相交，故結(jié)論正確．③④中的兩條直線既不相交也不平行，即均為異面直線，故結(jié)論正確．②中AM與BN是異面直線，故②不正確．故填①③④.變式2：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是()A．相交 B．異面C．平行 D．垂直【解析】如圖所示，直線A1B與直線外一點(diǎn)E確定的平面為A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且兩直線不平行，故兩直線相交．故選A.變式3：在三棱錐S-ABC中，與SA是異面直線的是()A．SB B．SCC．BC D．AB【解析】由題圖知SB、SC、AB、AC與SA均是相交直線，BC與SA既不相交，又不平行，是異面直線．變式3：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱所在直線與直線BA1是異面直線的條數(shù)為()A．4 B．5C．6 D．7【解析】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與直線BA1異面的直線有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6條，故選C.變式4：【多選】下列關(guān)于異面直線的說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．若a?α，b?β，則a與b是異面直線B．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面C．若a，b不同在平面α內(nèi)，則a與b異面D．若a，b不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，則a與b異面【解析】在選項(xiàng)A、B、C中的兩直線可能平行、相交或異面，故A、B、C均錯(cuò)誤；由異面直線的定義可知，D正確．故選A、B、C.變式5：已知直線a，b與平面α，滿足a∥α，b∥α，則a與b的位置關(guān)系是________．【解析】如圖，在長(zhǎng)方體中，a∥α，b∥α，a與b相交，b′∥α，則a與b′異面，b″∥α，則a與b″平行，故a與b的位置關(guān)系有：平行、異面或相交．答案：平行、異面或相交變式6：與同一個(gè)平面α都相交的兩條直線的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面 D．以上都有可能【解析】如圖所示：故相交、平行、異面都有可能．故選D.變式7：平面α∩β＝c，直線a∥α，a與β相交，則a與c的位置關(guān)系是________．【解析】因?yàn)閍∥α，c?α，所以a與c無(wú)公共點(diǎn)，不相交；若a∥c，則直線a∥β或a?β，這與“a與β相交”矛盾，所以a與c異面．答案：異面變式8：已知a，b，c是空間三條直線，下面給出四個(gè)命題：①如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c；②如果a，b是異面直線，b，c是異面直線，那么a，c也是異面直線；③如果a，b是相交直線，b，c是相交直線，那么a，c也是相交直線；④如果a，b共面，b，c共面，那么a，c也共面．在上述命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3【解析】①a與c可能相交，也可能異面；②a與c可能相交，也可能平行；③a與c可能異面，也可能平行；④a與c可能不在一個(gè)平面內(nèi)．故①②③④均不正確．故選A.變式9：若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1與l4既不垂直也不平行D．l1與l4的位置關(guān)系不確定【解析】構(gòu)造如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1，取l1為AD，l2為AA1，l3為A1B1，當(dāng)取l4為B1C1時(shí)，l1∥l4，當(dāng)取l4為BB1時(shí)，l1⊥l4，故排除A、B、C.故選D.變式10：若P是兩條異面直線l，m外的任意一點(diǎn)，則()A．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都平行B．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都垂直C．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都相交D．過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都異面【解析】逐個(gè)分析，過(guò)點(diǎn)P與l，m都平行的直線不存在；過(guò)點(diǎn)P與l，m都垂直的直線只有一條；過(guò)點(diǎn)P與l，m都相交的直線1條或0條；過(guò)點(diǎn)P與l，m都異面的直線有無(wú)數(shù)條．故選B.異面直線所成的角通過(guò)平移直線至相交位置求兩條異面直線所成的角，是數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，也是立體幾何問(wèn)題的一個(gè)難點(diǎn)．【例10】在正方體中，與所成的角為（）A． B．C． D．【解析】如圖，連接BC1、DC1，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，由AB=D1C1，AB∥D1C1，可知AD1∥BC1，所以∠DBC1就是異面直線AD1與BD所成的角，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，BC1、BD和DC1是其三個(gè)面上的對(duì)角線，它們相等．所以△DBC1是正三角形，∠DBC1=60°，故異面直線AD1與BD所成角的大小為60°．故選C．變式1：如圖，在正方體中，、分別是、上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是______.【解析】連接、、，，，在正方體中，，，，所以，四邊形為平行四邊形，，所以，異面直線與所成的角為.易知為等邊三角形，.故答案為：.變式2：如圖，在直三棱柱中，D為的中點(diǎn)，，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．【解析】如圖，取的中點(diǎn)E，連接，則，則（或其補(bǔ)角）即為異面直線與所成的角.由條件知：，則，故選：C.變式3：如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC與BD的中點(diǎn)，若CD=2AB=4，EF⊥BA，則EF與CD所成的角為（）A．90° B．45° C．60° D．30°【解析】設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接GF，GE則GF，GE分別為△ABD，△ACD的中線.∴，且，，且，則EF與CD所成角的度數(shù)等于EF與GE所成角的度數(shù)又EF⊥AB，∴EF⊥GF則△GEF為直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°∴在直角△GEF中，∴∠GEF=30°.故選：D.變式4：已知A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，(1)求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．【解析】本題考點(diǎn)反證法證明異面直線，異面直線所成的角.(1)證明：假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)相矛盾．故直線EF與BD是異面直線．(2)取CD的中點(diǎn)G，連接EG、FG，則EG∥BD，所以直線EF與EG所成的角即為異面直線EF與BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，可得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.考點(diǎn)七空間直線與平面位置關(guān)系判斷解題方略：直線與平面位置關(guān)系的判斷(1)空間直線與平面位置關(guān)系的分類是解決問(wèn)題的突破口，這類判斷問(wèn)題，常用分類討論的方法解決．另外，借助模型(如正方體、長(zhǎng)方體等)也是解決這類問(wèn)題的有效方法．(2)要證明直線在平面內(nèi)，只要證明直線上兩點(diǎn)在平面α內(nèi)，要證明直線與平面相交，只需說(shuō)明直線與平面只有一個(gè)公共點(diǎn)，要證明直線與平面平行，則必須說(shuō)明直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn).【例11】下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()①如果a，b是兩條平行直線，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何一個(gè)平面；②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線平行；③如果直線a，b滿足a∥α，b∥α，則a∥b；④如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α；⑤如果平面α的同側(cè)有兩點(diǎn)A，B到平面α的距離相等，則AB∥α.A．0 B．1C．2 D．3【解析】如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在過(guò)BB′的平面ABB′A′內(nèi)，故命題①不正確；AA′∥平面BCC′B′，BC?平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命題②不正確；AA′∥平面BCC′B′，A′D′∥平面BCC′B′，但AA′與A′D′相交，所以③不正確；④中，假設(shè)b與α相交，因?yàn)閍∥b，所以a與α相交，這與a∥α矛盾，故b∥α，即④正確；⑤顯然正確，故選C.變式1：在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，指出B1C，BD1與各面的位置關(guān)系．【解析】(1)B1C?平面BCC1B1，B1C∥平面ADD1A1，B1C與其余4個(gè)面相交．(2)BD1與6個(gè)面都相交.變式2：三棱臺(tái)的一條側(cè)棱所在直線與其對(duì)面所在的平面之間的關(guān)系是()A．相交 B．平行C．直線在平面內(nèi) D．平行或直線在平面內(nèi)【解析】延長(zhǎng)各側(cè)棱可恢復(fù)成棱錐的形狀，所以三棱臺(tái)的一條側(cè)棱所在直線與其對(duì)面所在的平面相交．故選A.變式3：直線a在平面γ外，則()A．a(chǎn)∥γB．a(chǎn)與γ至少有一個(gè)公共點(diǎn)C．a(chǎn)∩γ＝AD．a(chǎn)與γ至多有一個(gè)公共點(diǎn)【解析】直線a在平面γ外，其包括直線a與平面γ相交或平行兩層含義，故a與γ至多有一個(gè)公共點(diǎn)．故選D.變式4：若直線l上有兩點(diǎn)到平面α的距離相等，則直線l與平面α的關(guān)系是________．【解析】當(dāng)這兩點(diǎn)在α的同側(cè)時(shí)，l與α平行；當(dāng)這兩點(diǎn)在α的異側(cè)時(shí)，l與α相交．答案：平行或相交考點(diǎn)八平面與平面位置關(guān)系的判斷解題方略：1．平面與平面的位置關(guān)系的判斷方法(1)平面與平面相交的判斷，主要是以基本事實(shí)3為依據(jù)找出一個(gè)交點(diǎn)．(2)平面與平面平行的判斷，主要是說(shuō)明兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)．2．常見(jiàn)的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱臺(tái)、圓柱、圓臺(tái)的上下底面平行；(2)長(zhǎng)方體的六個(gè)面中，三組相對(duì)面平行.【例12】若兩個(gè)平面互相平行，則分別在這兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線()A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面【解析】?jī)蓚€(gè)平面內(nèi)的直線必?zé)o交點(diǎn)，所以是異面或平行．變式1：如果在兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個(gè)平面的位置關(guān)系一定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能確定【解析】如圖所示，a?α，b?β，a∥b.由圖形可知，這兩個(gè)平面可能相交，也可能平行．故選C變式2：如果在兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線是異面直線，那么兩個(gè)平面的位置關(guān)系一定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能確定【解析】如圖，a?α，b?β，a，b異面．由圖知這兩個(gè)平面可能平行，也可能相交．故選C變式3：平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平面β平行，那么α與β的關(guān)系是什么？【解析】如圖，α內(nèi)都有無(wú)數(shù)條直線與平面β平行由圖知，平面α與平面β可能平行或相交．變式4：空間三個(gè)平面如果每?jī)蓚€(gè)都相交，那么它們的交線有________條．【解析】以打開的書面或長(zhǎng)方體為模型，觀察可得結(jié)論．答案：1或3【例13】空間中三個(gè)平面，最多把空間分成區(qū)域的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【解析】如圖所示，三個(gè)平面最多將空間分成個(gè)區(qū)域.故選：D變式1：試畫圖說(shuō)明三個(gè)平面可把空間分成幾個(gè)部分？【解析】三個(gè)平面可把空間分成4(如圖①)、6(如圖②③)、7(如圖④)或8(如圖⑤)個(gè)部分．【例14】如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別為B′C′，A′D′的中點(diǎn)，求證：平面ABB′A′與平面CDFE相交．證明：在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E為B′C′的中點(diǎn)，所以EC與BB′不平行，則延長(zhǎng)CE與BB′必相交于一點(diǎn)H，所以H∈EC，H∈B′B，又BB′?平面ABB′A′，CE?平面CDFE，所以H∈平面ABB′A′，H∈平面CDFE，故平面ABB′A′與平面CDFE相交． 練習(xí)一平面的概念判斷 1、下列有關(guān)平面的說(shuō)法正確的是（）A．平行四邊形是一個(gè)平面B．任何一個(gè)平面圖形都是一個(gè)平面C．平靜的太平洋面就是一個(gè)平面D．圓和平行四邊形都可以表示平面【解析】對(duì)于A，我們用平行四邊形表示平面，但不能說(shuō)平行四邊形就是一個(gè)平面，平行四邊形是平面上四條線段構(gòu)成的圖形，是不能無(wú)限延展的，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，平面圖形和平面是兩個(gè)概念，平面圖形是有大小的，不能無(wú)限延展，而平面是無(wú)限延展的，無(wú)法度量，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，太平洋面是有邊界的，不是無(wú)限延展的，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在需要時(shí)，除用平行四邊形表示平面外，還可用三角形、梯形、圓等來(lái)表示平面，故D正確.故選：D2、有以下命題：①8個(gè)平面重疊起來(lái)要比6個(gè)平面重疊起來(lái)厚；②有一個(gè)平面的長(zhǎng)是，寬是；③平面是無(wú)厚度、可以無(wú)限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念．其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．0

B．1

C．2

D．3【解析】根據(jù)平面的特點(diǎn)：沒(méi)有厚度、寬度、長(zhǎng)度、以及平面是無(wú)限延展的，可知三個(gè)命題均錯(cuò)故選：A練習(xí)二立體幾何三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化1、如圖所示，用符號(hào)語(yǔ)言表示以下圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系：①點(diǎn)A，B在直線a上________；②直線a在平面α內(nèi)________；③點(diǎn)D在直線b上，點(diǎn)C在平面α內(nèi)________【解析】①②屬于多面體；根據(jù)點(diǎn)、線、面位置關(guān)系及其表示方法可知：①A∈a，B∈a，②a?α，③D∈b，C∈α.答案：①A∈a，B∈a②a?α③D∈b，C∈α2、用符號(hào)語(yǔ)言表示下列語(yǔ)句，正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）點(diǎn)A在平面內(nèi)，但不在平面內(nèi)：，．（2）直線a經(jīng)過(guò)平面外的點(diǎn)A，且a不在平面內(nèi)：，，．（3）平面與平面相交于直線l，且l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P：，．A．1 B．2 C．3 D．0【解析】錯(cuò)誤，點(diǎn)A在平面內(nèi)應(yīng)表示為：，點(diǎn)A不在平面內(nèi)應(yīng)表示為,故錯(cuò)誤.正確.由題意點(diǎn)A在直線a上，不在平面內(nèi)，直線a不在平面內(nèi).故表示為：，，，所以表示正確.正確.平面與平面相交于直線l，表示為l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，點(diǎn)P在直線l上，.故正確.故選：B.3、“直線a經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)P”用符號(hào)表示為（

）A．， B． C．， D．，【解析】“直線a經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)P”用符號(hào)表示為，.故選：C.4、用符號(hào)表示下列語(yǔ)句：(1)點(diǎn)A在直線l上，l在平面內(nèi)；(2)平面和平面的交線是直線l，直線m在平面內(nèi)；(3)點(diǎn)A在平面內(nèi)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且直線l在平面外；(4)直線l經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)M．【解析】(1)點(diǎn)A在直線l上，l在平面內(nèi)，記為：；(2)平面和平面的交線是直線l，直線m在平面內(nèi)，記為：平面平面=直線l，直線m平面；(3)點(diǎn)A在平面內(nèi)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且直線l在平面內(nèi)外，記為：點(diǎn)A平面，點(diǎn)A直線l，直線l平面；(4)直線l經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)M，記為：點(diǎn)M平面，點(diǎn)M直線l.練習(xí)三三個(gè)基本事實(shí)1、已知A，B，C表示不同的點(diǎn)，l表示直線，表示不同的平面，則下列推理錯(cuò)誤的是__________（填序號(hào)）.①；②；③.【解析】①由A，B表示不同的點(diǎn)，且，即有，故正確；②由A，B表示不同的點(diǎn)，且，即有，故正確；③由，則，即為經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的一條直線而不是點(diǎn)A，故錯(cuò)誤.故答案為：③2、如圖，已知平面α∩平面β＝l，P∈β且P?l，M∈α，N∈α，又MN∩l＝R，M，N，P三點(diǎn)確定的平面記為γ，則β∩γ是()A．直線MP B．直線NPC．直線PR D．直線MR【解析】因?yàn)镸N?γ，R∈MN，所以R∈γ.又α∩β＝l，MN∩l＝R，所以R∈β.又P∈β，P∈γ，所以P，R均為平面γ與β的公共點(diǎn)，所以β∩γ＝PR.故選C.3、若直線l與平面α相交于點(diǎn)O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，則O，C，D三點(diǎn)的位置關(guān)系是________．【解析】∵AC∥BD，∴AC與BD確定一個(gè)平面，記作平面β，則α∩β＝直線CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB?β，∴O∈直線CD，∴O，C，D三點(diǎn)共線．答案：共線練習(xí)四點(diǎn)、線共面問(wèn)題1、在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，直線A1C與平面AB1D1的交點(diǎn)為M，O為線段B1D1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．A，M，O三點(diǎn)共線 B．M，O，A1，A四點(diǎn)共面C．B，B1，O，M四點(diǎn)共面 D．A，O，C，M四點(diǎn)共面【解析】因?yàn)?，則，，，四點(diǎn)共面.因?yàn)?，則平面，又平面，則點(diǎn)在平面與平面的交線上，同理，、也在平面與平面的交線上，所以、、三點(diǎn)共線，從而，，，四點(diǎn)共面，，，，四點(diǎn)共面.由長(zhǎng)方體性質(zhì)知：，是異面直線，即，，，四點(diǎn)不共面.故選：C.2、如圖，已知A，B，C，D是空間四點(diǎn)，且點(diǎn)A，B，C在同一直線l上，點(diǎn)D不在直線l上．求證：直線AD，BD，CD在同一平面內(nèi)．【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C在同一直線l上，點(diǎn)D不在直線l上．所以點(diǎn)A，B，D確定唯一的一個(gè)平面，設(shè)為，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，即直線AD，BD，CD在同一平面內(nèi)．3、如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且.求證：(1)E?F?G?H四點(diǎn)共面；(2)EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上.【解析】(1)∵，∴.∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，∴，且∴，∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.(2)∵G，H不是BC，CD的中點(diǎn)，∴∴由（1）