高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與戰(zhàn)法精準(zhǔn)訓(xùn)練(新高考專用)10.3.1概率、條件概率與事件的獨(dú)立性(題型戰(zhàn)法)(原卷版+解析)

第十章計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布列10.3.1概率、條件概率與事件的獨(dú)立性（題型戰(zhàn)法）知識(shí)梳理一概率1.隨機(jī)事件：在一定條件下，某種現(xiàn)象可能發(fā)生也可能不發(fā)生。2．必然事件：在一定條件下必然會(huì)發(fā)生的某種結(jié)果的現(xiàn)象。3．不可能事件：在同樣的條件下，重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)，結(jié)果始終不會(huì)發(fā)生的事件。4．事件：必然事件和隨機(jī)事件統(tǒng)稱為事件，一般用大寫字母A,B,C…來(lái)表示。5.基本事件：在試驗(yàn)中不能再分的最簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件，其他事件可以用它們來(lái)表示。6.基本事件空間：所有基本事件構(gòu)成的集合，用大寫希臘字母來(lái)表示。7.概率與頻率：一般地，在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率為，隨著n的增加，頻率總是在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，把這個(gè)常數(shù)叫做事件A發(fā)生的概率。8.互斥事件：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件。9.對(duì)立事件：不可能同時(shí)發(fā)生且必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件。對(duì)立事件是互斥事件的特例。10.古典概型的概念：如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)所包含的單位事件是有限的，且每個(gè)單位事件發(fā)生的可能性均相等，這種條件下的概率模型就叫古典概型。古典概型具備兩個(gè)特點(diǎn)：（1）試驗(yàn)結(jié)果的有限性；（2）所有結(jié)果的等可能性。每個(gè)事件發(fā)生的概率都是。11.古典概型的解題步驟：①求出總的基本事件數(shù)；②求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式。12.概率加法公式：（1）若A，B是互斥事件：（2）若A，B不是互斥事件：二條件概率1.條件概率的定義：對(duì)于任何兩事件在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率叫條件概率，用符號(hào)來(lái)表示，其公式為．2.條件概率的性質(zhì)：①.②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則3.乘法公式：有條件概率公式可得，；這就是說(shuō)時(shí)間A發(fā)生的概率以及在時(shí)間A發(fā)生的前提下時(shí)間B發(fā)生的概率，可以求時(shí)間AB同時(shí)發(fā)生的概率，這個(gè)結(jié)論即為乘法公式。4.全概率公式：若事件A1，A2，…構(gòu)成一個(gè)完備事件組且都有正概率，則對(duì)任意一個(gè)事件B，有如下公式成立：P(B)=P(BA1)+P(BA2)+...+P(BAn)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+...+P(B|An)P(An).此公式即為全概率公式。三事件的獨(dú)立性如果,那么一定有.所以當(dāng)時(shí)，A與B獨(dú)立的充要條件是。當(dāng)時(shí)，時(shí)間A的發(fā)生會(huì)影響時(shí)間B發(fā)生的概率，此時(shí)時(shí)間A與時(shí)間B不是獨(dú)立的，事實(shí)上，“A與B獨(dú)立”也被說(shuō)成“A與B互不影響”等。題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一隨機(jī)事件、頻率與概率、生活中的概率典例1．已知袋中有大小、形狀完全相同的4個(gè)紅色、3個(gè)白色的乒乓球，從中任取4個(gè)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．事件“都是紅色球”是隨機(jī)事件B．事件“都是白色球”是不可能事件C．事件“至少有一個(gè)白色球”是必然事件D．事件“有3個(gè)紅色球和1個(gè)白色球”是隨機(jī)事件變式1-1．有下列事件：①如果，那么；②某人射擊一次，命中靶心；③任取一實(shí)數(shù)a（且），函數(shù)是增函數(shù)；④從裝有1個(gè)白色小球、2個(gè)紅色小球的袋子中，摸出1個(gè)小球，觀察結(jié)果是黃球．其中是隨機(jī)事件的有（

）A．①② B．③④ C．①④ D．②③變式1-2．下列說(shuō)法正確的是（

）A．任何事件的概率總是在(0，1)之間B．頻率是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)C．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率一般會(huì)越來(lái)越接近概率D．概率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定變式1-3．在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了1000次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了480次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（

）A．0.48，0.48 B．0.5，0.5C．0.48，0.5 D．0.5，0.48變式1-4．某氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“地明天的降水概率是90%”，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．地有90%區(qū)域明天會(huì)降水 B．地有90%時(shí)間明天會(huì)降水C．地明天必定會(huì)降水 D．地明天降水的可能性大小為90%題型戰(zhàn)法二事件的關(guān)系與運(yùn)算、互斥事件、對(duì)立事件典例2．拋擲一枚骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件，“向上的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件，則（

）A． B．C．表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3 D．表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3變式2-1．拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{沒有硬幣正面朝上}，則下列正確的是（

）A． B．C． D．變式2-2．一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊三次，與事件“至多有兩次中靶”互斥的事件是（

）A．至少有兩次中靶 B．三次都不中靶C．只有一次中靶 D．三次都中靶變式2-3．從裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)黑球的口袋里任取兩個(gè)球，那么不互斥的兩個(gè)事件是（

）A．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”C．“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”D．“至多有一個(gè)黑球”與“至少有兩個(gè)黑球”變式2-4．將顏色分別為紅、黃、藍(lán)的3個(gè)小球隨機(jī)分給甲、乙、丙3個(gè)人，每人1個(gè)，則互斥且不對(duì)立的兩個(gè)事件是（

）A．“甲分得紅球”與“乙分得黃球”B．“甲分得紅球”與“乙分得紅球”C．“甲分得紅球，乙分得藍(lán)球”與“丙分得黃球”D．“甲分得紅球”與“乙分得紅球或丙分得紅球”題型戰(zhàn)法三古典概型的概率計(jì)算典例3．設(shè)有5個(gè)大小和質(zhì)地相同的小球，其中甲袋中裝有標(biāo)號(hào)分別為1，2的兩個(gè)小球，乙袋中裝有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3的三個(gè)小球.現(xiàn)從甲袋和乙袋中各任取一個(gè)小球，則這兩小球標(biāo)號(hào)之和為4的概率為（

）A． B． C． D．變式3-1．甲、乙、丙、丁四人準(zhǔn)備從社區(qū)組織的道路安全或衛(wèi)生健康志愿宣傳活動(dòng)中隨機(jī)選擇一個(gè)參加，每個(gè)人的選擇相互獨(dú)立，則甲、乙參加同一個(gè)活動(dòng)的概率為（

）A． B． C． D．變式3-2．從A，B，C，D，E這五個(gè)景點(diǎn)中選擇兩個(gè)景點(diǎn)游玩，則A，B景點(diǎn)都沒被選中的概率是（

）A． B． C． D．變式3-3．一個(gè)盒子中裝有除顏色外其它都相同的5個(gè)小球，其中有2個(gè)紅球，3個(gè)白球，從中任取一球，則取到紅球的概率為（

）A． B． C． D．變式3-4．在，，，，路公共汽車都要?？康囊粋€(gè)站（假定這個(gè)站只能停靠一輛汽車），有一位乘客等候路或路汽車．假定當(dāng)時(shí)各路汽車首先到站的可能性都相等，則首先到站正好是這位乘客所要乘的汽車的概率為（

）A． B． C． D．題型戰(zhàn)法四整數(shù)值隨機(jī)數(shù)典例4．為估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次射擊恰有兩次命中目標(biāo)的概率，設(shè)計(jì)了如下方法：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1，2，3，4，5，6，7表示命中目標(biāo)，8，9表示未命中目標(biāo)，再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次射擊的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下10組隨機(jī)數(shù)：187

111

891

331

198

286

123

837

884

214．據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次射擊恰有兩次命中目標(biāo)的概率為（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5變式4-1．天氣預(yù)報(bào)說(shuō)，今后三天中，每一天下雨的概率均為40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率：先由計(jì)算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9，0表示不下雨.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：907966195925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計(jì)今后三天中恰有兩天下雨的概率為（

）A．0.40 B．0.30 C．0.25 D．0.20變式4-2．某種心臟手術(shù)成功率為0.7，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率.先利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0~9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，由于成功率是0.7，故我們用0?1?2表示手術(shù)不成功，3?4?5?6?7?8?9表示手術(shù)成功，再以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生如下10組隨機(jī)數(shù)：812?832?569?683?271?989?730?537?925?907由此估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5變式4-3．已知某種設(shè)備在一年內(nèi)需要維修的概率為0.2.用計(jì)算器產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1時(shí)，表示一年內(nèi)需要維修，其概率為0.2，由于有3臺(tái)設(shè)備，所以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表3臺(tái)設(shè)備一年內(nèi)需要維修的情況，現(xiàn)產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)如下：412

451

312

533

224

344

151

254

424

142435

414

335

132

123

233

314

232

353

442據(jù)此估計(jì)一年內(nèi)至少有1臺(tái)設(shè)備需要維修的概率為（

）A．0.4 B．0.45 C．0.55 D．0.6變式4-4．為了了解某道口堵車情況，在今后的三天中，假設(shè)每一天堵車的概率均為．現(xiàn)采用模擬試驗(yàn)的方法估計(jì)這三天中恰有兩天堵車的概率：先利用計(jì)算器產(chǎn)生到之間的隨機(jī)整數(shù)，用、、、表示堵車，用、、、、、表示不堵車：再以每三個(gè)數(shù)作為一組，代表這三天的堵車情況．經(jīng)試驗(yàn)產(chǎn)生了如下組隨機(jī)數(shù)：據(jù)此估計(jì)，這三天中恰有兩天堵車的概率近似為（

）A． B． C． D．題型戰(zhàn)法五簡(jiǎn)單的條件概率計(jì)算典例5．甲?乙兩人到一商店購(gòu)買飲料，他們準(zhǔn)備分別從加多寶?農(nóng)夫山泉?雪碧這3種飲品中隨機(jī)選擇一種，且兩人的選擇結(jié)果互不影響.記事件“甲選擇農(nóng)夫山泉”，事件“甲和乙選擇的飲品不同”，則（

）A． B． C． D．變式5-1．有10件產(chǎn)品，其中4件是正品，其余都是次品，現(xiàn)不放回的從中依次抽2件，則在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率是（

）A． B． C． D．變式5-2．把一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲兩次，事件A表示“第一次出現(xiàn)正面”，事件B表示“第二次出現(xiàn)反面”，則等于（

）．A． B． C． D．1變式5-3．2021年5月15日，我國(guó)首次火星探測(cè)任務(wù)天問一號(hào)探測(cè)器在火星烏托邦平原南部預(yù)選著陸區(qū)著陸，在火星上首次留下中國(guó)印跡，極大地鼓舞了天文愛好者探索宇宙奧秘的熱情．某校航天科技小組決定從甲、乙等6名同學(xué)中選出4名同學(xué)參加該市舉行的“我愛火星”知識(shí)競(jìng)賽，已知甲同學(xué)被選出，則乙同學(xué)也被選出的概率為（

）A． B． C． D．變式5-4．長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約的人近視，而該校大約有的學(xué)生每天玩手機(jī)超過，這些人的近視率約為．現(xiàn)從該校近視的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他每天玩手機(jī)超過的概率為（

）A． B． C． D．題型戰(zhàn)法六利用排列組合處理?xiàng)l件概率問題典例6．現(xiàn)有甲?乙?丙?丁四個(gè)人到九嶷山?陽(yáng)明山?云冰山?舜皇山4處景點(diǎn)旅游，每人只去一處景點(diǎn)，設(shè)事件為“4個(gè)人去的景點(diǎn)各不相同”，事件為“只有甲去了九嶷山”，則（

）A． B． C． D．變式6-1．一袋中裝有除顏色外完全相同的6個(gè)白球和4個(gè)黑球，如果不放回地依次摸取3個(gè)小球，則在前2次摸到白球的條件下，第3次還摸到白球的概率為（

）A． B． C． D．變式6-2．盒中裝有除顏色外完全相同的3個(gè)紅球、2個(gè)白球．甲從中隨機(jī)取出兩個(gè)球，在已知甲取出的有紅球的條件下，他取出兩個(gè)紅球的概率為（

）A． B． C． D．變式6-3．一個(gè)盒子里裝了10支外形相同的水筆，其中有8支黑色水筆，2支紅色水筆，從中任意抽取兩支，則抽到一支黑筆的條件下，另一支是紅筆的概率為（

）A． B． C． D．變式6-4．濟(jì)南素有“四面荷花三面柳，一城山色半城湖”美名．現(xiàn)有甲、乙兩位游客慕名來(lái)到濟(jì)南旅游，分別準(zhǔn)備從大明湖、千佛山、趵突泉和五龍?zhí)?個(gè)旅游景點(diǎn)中隨機(jī)選擇其中一個(gè)景點(diǎn)游玩．記事件：甲和乙至少一人選擇千佛山，事件：甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，則條件概率（

）A． B． C． D．題型戰(zhàn)法七全概率公式的應(yīng)用典例7．已知某地市場(chǎng)上供應(yīng)的一種電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品占60%，乙廠產(chǎn)品占40%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是90%，則從該地市場(chǎng)上買到一個(gè)合格產(chǎn)品的概率是（

）A．0.92 B．0.93 C．0.94 D．0.95變式7-1．某學(xué)生參與一種答題游戲，需要從A，B，C三道試題中選出一道進(jìn)行回答，回答正確即可獲得獎(jiǎng)品.若該學(xué)生選擇A，B，C的概率分別為0.3，0.4，0.3，答對(duì)A，B，C的概率分別為0.4，0.5，0.6，則其獲得獎(jiǎng)品的概率為（

）A．0.5 B．0.55 C．0.6 D．0.75變式7-2．學(xué)校食堂分設(shè)有一?二餐廳，學(xué)生小吳第一天隨機(jī)選擇了某餐廳就餐，根據(jù)統(tǒng)計(jì)：第一天選擇一餐廳就餐第二天還選擇一餐廳就餐的概率為0.6，第一天選擇二餐廳就餐第二天選擇一餐廳就餐的概率為0.7，那么學(xué)生小吳第二天選擇一餐廳就餐的概率為（

）A．0.18 B．0.28 C．0.42 D．0.65變式7-3．在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0．已知當(dāng)發(fā)送信號(hào)0時(shí)，被接收為0和1的概率分別為0.93和0.07；當(dāng)發(fā)送信號(hào)1時(shí)，被接收為1和0的概率分別為0.95和0.05．假設(shè)發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的，則接收的信號(hào)為1的概率為（

）A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.51變式7-4．某種疾病的患病率為0.5%，通過驗(yàn)血診斷該病的誤診率為2%，即非患者中有2%的人驗(yàn)血結(jié)果為陽(yáng)性，患者中有2%的人驗(yàn)血結(jié)果為陰性，隨機(jī)抽取一人進(jìn)行驗(yàn)血，則其驗(yàn)血結(jié)果為陽(yáng)性的概率為（

）A．0.0689 B．0.049 C．0.0248 D．0.02題型戰(zhàn)法八相互獨(dú)立事件與互斥事件典例8．若，，，則事件與的關(guān)系是（

）A．事件與互斥 B．事件與對(duì)立C．事件與相互獨(dú)立 D．事件與既互斥又相互獨(dú)立變式8-1．已知A，B是一次隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，若滿足，則（

）A．事件A，B互斥 B．事件A.B相瓦獨(dú)立C．事件A，B不互斥 D．事件A，B不相互獨(dú)立變式8-2．袋內(nèi)有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中有放回地摸球，如果“第一次摸得白球”記為事件A，“第二次摸得白球”記為事件B，那么事件A與B，A與間的關(guān)系是（

）A．A與B，A與均相互獨(dú)立B．A與B相互獨(dú)立，A與互斥C．A與B，A與均互斥D．A與B互斥，A與相互獨(dú)立變式8-3．分別擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，“第一枚為正面”記為事件A，“第二枚為正面”記為事件B，“兩枚結(jié)果相同”記為事件C，那么事件A與B，A與C間的關(guān)系是（

）A．A與B，A與C均相互獨(dú)立B．A與B相互獨(dú)立，A與C互斥C．A與B，A與C均互斥D．A與B互斥，A與C相互獨(dú)立變式8-4．若，，則事件與的關(guān)系是（

）A．事件與互斥 B．事件與對(duì)立C．事件與相互獨(dú)立 D．事件與互斥又相互獨(dú)立題型戰(zhàn)法九獨(dú)立事件的乘法公式典例9．如圖，用K?A1?A2三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)K正常工作且A1?A2至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作，已知K?A1?A2正常工作的概率依次是0.9?0.7?0.7，則系統(tǒng)正常工作（

）A．0.441 B．0.782 C．0.819 D．0.9變式9-1．針對(duì)某種突發(fā)性的流感病毒，各國(guó)的醫(yī)療科研機(jī)構(gòu)都在研制疫苗．已知甲、乙兩個(gè)機(jī)構(gòu)各自研制成功的概率分別為和，而且兩個(gè)機(jī)構(gòu)互不影響，則恰有一個(gè)機(jī)構(gòu)研制成功的概率為（

）A． B． C． D．變式9-2．已知甲，乙，丙三人去參加某公司面試，他們被該公司錄取的概率分別是，且三人的錄取結(jié)果相互之間沒有影響，則他們?nèi)酥兄辽儆幸蝗吮讳浫〉母怕蕿椋?/p>

）A． B． C． D．變式9-3．“五一”勞動(dòng)節(jié)放假期間，甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為，，，假定三人的行動(dòng)相互之間沒有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為（

）A． B． C． D．變式9-4．三個(gè)人獨(dú)立地破譯一份密碼，他們能單獨(dú)譯出密碼的概率分別為，，，假設(shè)他們能否破譯出密碼是相互獨(dú)立的，則此密碼被破譯的概率為（

）A． B． C． D．第十章計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布列10.3.1概率、條件概率與事件的獨(dú)立性（題型戰(zhàn)法）知識(shí)梳理一概率1.隨機(jī)事件：在一定條件下，某種現(xiàn)象可能發(fā)生也可能不發(fā)生。2．必然事件：在一定條件下必然會(huì)發(fā)生的某種結(jié)果的現(xiàn)象。3．不可能事件：在同樣的條件下，重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)，結(jié)果始終不會(huì)發(fā)生的事件。4．事件：必然事件和隨機(jī)事件統(tǒng)稱為事件，一般用大寫字母A,B,C…來(lái)表示。5.基本事件：在試驗(yàn)中不能再分的最簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件，其他事件可以用它們來(lái)表示。6.基本事件空間：所有基本事件構(gòu)成的集合，用大寫希臘字母來(lái)表示。7.概率與頻率：一般地，在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率為，隨著n的增加，頻率總是在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，把這個(gè)常數(shù)叫做事件A發(fā)生的概率。8.互斥事件：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件。9.對(duì)立事件：不可能同時(shí)發(fā)生且必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件。對(duì)立事件是互斥事件的特例。10.古典概型的概念：如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)所包含的單位事件是有限的，且每個(gè)單位事件發(fā)生的可能性均相等，這種條件下的概率模型就叫古典概型。古典概型具備兩個(gè)特點(diǎn)：（1）試驗(yàn)結(jié)果的有限性；（2）所有結(jié)果的等可能性。每個(gè)事件發(fā)生的概率都是。11.古典概型的解題步驟：①求出總的基本事件數(shù)；②求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式。12.概率加法公式：（1）若A，B是互斥事件：（2）若A，B不是互斥事件：二條件概率1.條件概率的定義：對(duì)于任何兩事件在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率叫條件概率，用符號(hào)來(lái)表示，其公式為．2.條件概率的性質(zhì)：①.②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則3.乘法公式：有條件概率公式可得，；這就是說(shuō)時(shí)間A發(fā)生的概率以及在時(shí)間A發(fā)生的前提下時(shí)間B發(fā)生的概率，可以求時(shí)間AB同時(shí)發(fā)生的概率，這個(gè)結(jié)論即為乘法公式。4.全概率公式：若事件A1，A2，…構(gòu)成一個(gè)完備事件組且都有正概率，則對(duì)任意一個(gè)事件B，有如下公式成立：P(B)=P(BA1)+P(BA2)+...+P(BAn)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+...+P(B|An)P(An).此公式即為全概率公式。三事件的獨(dú)立性如果,那么一定有.所以當(dāng)時(shí)，A與B獨(dú)立的充要條件是。當(dāng)時(shí)，時(shí)間A的發(fā)生會(huì)影響時(shí)間B發(fā)生的概率，此時(shí)時(shí)間A與時(shí)間B不是獨(dú)立的，事實(shí)上，“A與B獨(dú)立”也被說(shuō)成“A與B互不影響”等。題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一隨機(jī)事件、頻率與概率、生活中的概率典例1．已知袋中有大小、形狀完全相同的4個(gè)紅色、3個(gè)白色的乒乓球，從中任取4個(gè)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．事件“都是紅色球”是隨機(jī)事件B．事件“都是白色球”是不可能事件C．事件“至少有一個(gè)白色球”是必然事件D．事件“有3個(gè)紅色球和1個(gè)白色球”是隨機(jī)事件【答案】C【分析】對(duì)事件分類，利用隨機(jī)事件的定義直接判斷即可．【詳解】因?yàn)榇杏写笮　⑿螤钔耆嗤?個(gè)紅色、3個(gè)白色的乒乓球，所以從中任取4個(gè)球共有：3白1紅，2白2紅，1白3紅，4紅四種情況.故事件“都是紅色球”是隨機(jī)事件，故A正確；事件“都是白色球”是不可能事件，故B正確；事件“至少有一個(gè)白色球”是隨機(jī)事件，故C錯(cuò)誤；事件“有3個(gè)紅色球和1個(gè)白色球”是隨機(jī)事件，故D正確．故選：C變式1-1．有下列事件：①如果，那么；②某人射擊一次，命中靶心；③任取一實(shí)數(shù)a（且），函數(shù)是增函數(shù)；④從裝有1個(gè)白色小球、2個(gè)紅色小球的袋子中，摸出1個(gè)小球，觀察結(jié)果是黃球．其中是隨機(jī)事件的有（

）A．①② B．③④ C．①④ D．②③【答案】D【分析】根據(jù)隨機(jī)事件的定義分析判斷即可.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，一定成立，是必然事件，對(duì)于②，某人射擊一次，有可能命中靶心，所以②是隨機(jī)事件，對(duì)于③，任取一實(shí)數(shù)a（且），若，則函數(shù)是增函數(shù)，若，則函數(shù)是減函數(shù)，所以③是隨機(jī)事件，對(duì)于④，由于袋子中沒有黃球，所以摸出1個(gè)小球，觀察結(jié)果是黃球是不可能事件，故選：C變式1-2．下列說(shuō)法正確的是（

）A．任何事件的概率總是在(0，1)之間B．頻率是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)C．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率一般會(huì)越來(lái)越接近概率D．概率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定【答案】C【分析】對(duì)于A，舉例判斷，對(duì)于B，由頻率的性質(zhì)判斷，對(duì)于CD，根據(jù)頻率與概率的關(guān)系判斷.【詳解】必然事件發(fā)生的概率為1，不可能事件發(fā)生的概率為0，故A錯(cuò)；頻率是由試驗(yàn)的次數(shù)決定的，故B錯(cuò)；概率是頻率的穩(wěn)定值，故C正確，D錯(cuò)．故選：C．變式1-3．在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了1000次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了480次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（

）A．0.48，0.48 B．0.5，0.5C．0.48，0.5 D．0.5，0.48【答案】C【分析】由頻率和概率的定義即可得【詳解】由頻率的定義，正面朝上的頻率；正面朝上的概率是拋硬幣試驗(yàn)的固有屬性，為0.5，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān).故選：C變式1-4．某氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“地明天的降水概率是90%”，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．地有90%區(qū)域明天會(huì)降水 B．地有90%時(shí)間明天會(huì)降水C．地明天必定會(huì)降水 D．地明天降水的可能性大小為90%【答案】D【分析】根據(jù)概率的概念求解即可.【詳解】地明天的降水概率是90%表示：地明天降水的可能性大小為90%，故選：D題型戰(zhàn)法二事件的關(guān)系與運(yùn)算、互斥事件、對(duì)立事件典例2．拋擲一枚骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件，“向上的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件，則（

）A． B．C．表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3 D．表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3【答案】C【分析】根據(jù)題意可知，，求出與即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，可知，，則，，∴表示向上的點(diǎn)數(shù)為1或2或3．所以D正確故選:C變式2-1．拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，記事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{沒有硬幣正面朝上}，則下列正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】合理設(shè)出事件，從而得到事件A，B，C三者的關(guān)系.【詳解】記事件{1枚硬幣正面朝上}，{2枚硬幣正面朝上}，{3枚硬幣正面朝上}，則，，顯然，，，C不含于A.故選：D變式2-2．一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊三次，與事件“至多有兩次中靶”互斥的事件是（

）A．至少有兩次中靶 B．三次都不中靶C．只有一次中靶 D．三次都中靶【答案】D【分析】根據(jù)互斥事件的定義分析判斷.【詳解】由題意可知一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊三次，事件“至多有兩次中靶”與“三次都中靶”不可能同時(shí)發(fā)生，所以事件“至多有兩次中靶”的互斥事件為“三次都中靶”，故選：D變式2-3．從裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)黑球的口袋里任取兩個(gè)球，那么不互斥的兩個(gè)事件是（

）A．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”C．“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”D．“至多有一個(gè)黑球”與“至少有兩個(gè)黑球”【答案】A【分析】根據(jù)互斥事件的概念判斷即可.【詳解】“至少有一個(gè)黑球”中包含“都是黑球”，A正確；“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”不可能同時(shí)發(fā)生，B不正確；“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”不可能同時(shí)發(fā)生，C不正確；“至多有一個(gè)黑球”與“至少有兩個(gè)黑球”不可能同時(shí)發(fā)生，D不正確．故選:A.變式2-4．將顏色分別為紅、黃、藍(lán)的3個(gè)小球隨機(jī)分給甲、乙、丙3個(gè)人，每人1個(gè)，則互斥且不對(duì)立的兩個(gè)事件是（

）A．“甲分得紅球”與“乙分得黃球”B．“甲分得紅球”與“乙分得紅球”C．“甲分得紅球，乙分得藍(lán)球”與“丙分得黃球”D．“甲分得紅球”與“乙分得紅球或丙分得紅球”【答案】B【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的知識(shí)求得正確答案.【詳解】顏色分別為紅、黃、藍(lán)的3個(gè)小球隨機(jī)分給甲、乙、丙3個(gè)人，每人1個(gè)，基本事件為：“甲紅，乙黃，丙藍(lán)”、“甲紅，乙藍(lán)，丙黃”、“甲黃，乙紅，丙藍(lán)”、“甲黃，乙藍(lán)，丙紅”、“甲藍(lán)，乙紅，丙黃”、“甲藍(lán)，乙黃，丙紅”，共個(gè)，A選項(xiàng)，“甲分得紅球”包括：“甲紅，乙黃，丙藍(lán)”、“甲紅，乙藍(lán)，丙黃”，“乙分得黃球”包括：“甲紅，乙黃，丙藍(lán)”、“甲藍(lán)，乙紅，丙黃”，所以“甲分得紅球”與“乙分得黃球”不是互斥事件，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，“甲分得紅球”包括：“甲紅，乙黃，丙藍(lán)”、“甲紅，乙藍(lán)，丙黃”，“乙分得紅球”：甲黃，乙紅，丙藍(lán)”、“甲藍(lán)，乙紅，丙黃”，所以“甲分得紅球”與“乙分得紅球”互斥且不對(duì)立，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，“甲分得紅球，乙分得藍(lán)球”包括：“甲紅，乙藍(lán)，丙黃”，“丙分得黃球”包括：“甲紅，乙藍(lán)，丙黃”、“甲藍(lán)，乙紅，丙黃”，所以“甲分得紅球，乙分得藍(lán)球”與“丙分得黃球”不是互斥事件，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，“甲分得紅球”包括：“甲紅，乙黃，丙藍(lán)”、“甲紅，乙藍(lán)，丙黃”，“乙分得紅球或丙分得紅球”包括：“甲黃，乙紅，丙藍(lán)”、“甲黃，乙藍(lán)，丙紅”、“甲藍(lán)，乙紅，丙黃”、“甲藍(lán)，乙黃，丙紅”，所以“甲分得紅球”與“乙分得紅球或丙分得紅球”是對(duì)立事件，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B題型戰(zhàn)法三古典概型的概率計(jì)算典例3．設(shè)有5個(gè)大小和質(zhì)地相同的小球，其中甲袋中裝有標(biāo)號(hào)分別為1，2的兩個(gè)小球，乙袋中裝有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3的三個(gè)小球.現(xiàn)從甲袋和乙袋中各任取一個(gè)小球，則這兩小球標(biāo)號(hào)之和為4的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用列舉法求解古典概型的概率.【詳解】從甲袋和乙袋中各任取一個(gè)小球，標(biāo)號(hào)共有6種情況，分別為，其中這兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和為4的有，2種情況，則概率為.故選：B變式3-1．甲、乙、丙、丁四人準(zhǔn)備從社區(qū)組織的道路安全或衛(wèi)生健康志愿宣傳活動(dòng)中隨機(jī)選擇一個(gè)參加，每個(gè)人的選擇相互獨(dú)立，則甲、乙參加同一個(gè)活動(dòng)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算出所求答案.【詳解】基本事件的總數(shù)為，甲、乙參加同一個(gè)活動(dòng)包含的基本事件有，所以甲、乙參加同一個(gè)活動(dòng)的概率為.故選：C變式3-2．從A，B，C，D，E這五個(gè)景點(diǎn)中選擇兩個(gè)景點(diǎn)游玩，則A，B景點(diǎn)都沒被選中的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)古典概型的概率公式，采用列舉法，可得答案.【詳解】從A，B，C，D，E這五個(gè)景點(diǎn)中選擇兩個(gè)游玩，不同的情況有，，，，，，，，，，共10種，其中A，B景點(diǎn)都沒被選中的情況有，，，共3種，故所求概率.故選：D.變式3-3．一個(gè)盒子中裝有除顏色外其它都相同的5個(gè)小球，其中有2個(gè)紅球，3個(gè)白球，從中任取一球，則取到紅球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用概率公式求解即可.【詳解】一個(gè)袋里裝有5個(gè)球，其中2個(gè)紅球，3個(gè)白球，它們除顏色外其余都相同，摸出1個(gè)球是紅球的概率為：.故選：D變式3-4．在，，，，路公共汽車都要停靠的一個(gè)站（假定這個(gè)站只能?？恳惠v汽車），有一位乘客等候路或路汽車．假定當(dāng)時(shí)各路汽車首先到站的可能性都相等，則首先到站正好是這位乘客所要乘的汽車的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用古典概型的概率公式求解即可【詳解】根據(jù)題意，樣本點(diǎn)分別是1，3，4，5，8路公共汽車首先到站，顯然共有5個(gè)，而這位乘客所要乘的汽車有4路和8路兩路，故所求概率．故選：D題型戰(zhàn)法四整數(shù)值隨機(jī)數(shù)典例4．為估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次射擊恰有兩次命中目標(biāo)的概率，設(shè)計(jì)了如下方法：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1，2，3，4，5，6，7表示命中目標(biāo)，8，9表示未命中目標(biāo)，再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次射擊的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下10組隨機(jī)數(shù)：187

111

891

331

198

286

123

837

884

214．據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次射擊恰有兩次命中目標(biāo)的概率為（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【答案】B【分析】根據(jù)題意，可得滿足條件的隨機(jī)數(shù)組有3組，再運(yùn)用古典概率公式可求解.【詳解】經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下10組隨機(jī)數(shù)：187

111

891

331

198

286

123

837

884

214，其中該運(yùn)動(dòng)員三次射擊恰有兩次命中目標(biāo)的的隨機(jī)數(shù)有：187

286

837這3組.所以據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次射擊恰有兩次命中目標(biāo)的概率.故選：B．變式4-1．天氣預(yù)報(bào)說(shuō)，今后三天中，每一天下雨的概率均為40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率：先由計(jì)算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9，0表示不下雨.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：907966195925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計(jì)今后三天中恰有兩天下雨的概率為（

）A．0.40 B．0.30 C．0.25 D．0.20【答案】D【分析】由題意知：在20組隨機(jī)數(shù)中表示三天中恰有兩天下雨通過列舉得到共4組隨機(jī)數(shù)，根據(jù)概率公式得到結(jié)果.【詳解】由題意知：在20組隨機(jī)數(shù)中恰有兩天下雨的有可以通過列舉得到：271932

812393共4組隨機(jī)數(shù)所求概率為故選：D變式4-2．某種心臟手術(shù)成功率為0.7，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率.先利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0~9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，由于成功率是0.7，故我們用0?1?2表示手術(shù)不成功，3?4?5?6?7?8?9表示手術(shù)成功，再以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生如下10組隨機(jī)數(shù)：812?832?569?683?271?989?730?537?925?907由此估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【答案】C【分析】從隨機(jī)數(shù)中觀察得出三個(gè)數(shù)都是大于2的組數(shù)，從而可得概率．【詳解】10組隨機(jī)數(shù)中，代表“3例心臟手術(shù)全部成功”的有569，683，989，537，共4個(gè)，因此概率為．故選：C．變式4-3．已知某種設(shè)備在一年內(nèi)需要維修的概率為0.2.用計(jì)算器產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1時(shí)，表示一年內(nèi)需要維修，其概率為0.2，由于有3臺(tái)設(shè)備，所以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表3臺(tái)設(shè)備一年內(nèi)需要維修的情況，現(xiàn)產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)如下：412

451

312

533

224

344

151

254

424

142435

414

335

132

123

233

314

232

353

442據(jù)此估計(jì)一年內(nèi)至少有1臺(tái)設(shè)備需要維修的概率為（

）A．0.4 B．0.45 C．0.55 D．0.6【答案】B【分析】找出代表事件“一年內(nèi)至少有1臺(tái)設(shè)備需要維修”的數(shù)組，利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，代表事件“一年內(nèi)至少有1臺(tái)設(shè)備需要維修”的數(shù)組有：、、、、、、、、，共組，因此，所求概率為.故選：B.變式4-4．為了了解某道口堵車情況，在今后的三天中，假設(shè)每一天堵車的概率均為．現(xiàn)采用模擬試驗(yàn)的方法估計(jì)這三天中恰有兩天堵車的概率：先利用計(jì)算器產(chǎn)生到之間的隨機(jī)整數(shù)，用、、、表示堵車，用、、、、、表示不堵車：再以每三個(gè)數(shù)作為一組，代表這三天的堵車情況．經(jīng)試驗(yàn)產(chǎn)生了如下組隨機(jī)數(shù)：據(jù)此估計(jì)，這三天中恰有兩天堵車的概率近似為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】找出表示事件“三天中恰有兩天堵車”的數(shù)組，利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果.【詳解】表示事件“三天中恰有兩天堵車”的數(shù)組有：、、、、，共組，所以，這三天中恰有兩天堵車的概率近似為.故選：A.題型戰(zhàn)法五簡(jiǎn)單的條件概率計(jì)算典例5．甲?乙兩人到一商店購(gòu)買飲料，他們準(zhǔn)備分別從加多寶?農(nóng)夫山泉?雪碧這3種飲品中隨機(jī)選擇一種，且兩人的選擇結(jié)果互不影響.記事件“甲選擇農(nóng)夫山泉”，事件“甲和乙選擇的飲品不同”，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用條件概率公式求解即可．【詳解】解：事件“甲選擇農(nóng)夫山泉”，則事件“甲和乙選擇的飲品不同”，則事件=“甲選擇農(nóng)夫山泉，乙選擇的是加多寶或者雪碧”所以所以，故選：D變式5-1．有10件產(chǎn)品，其中4件是正品，其余都是次品，現(xiàn)不放回的從中依次抽2件，則在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】利用條件概率公式即可得到結(jié)果.【解答】解：設(shè)第一次抽到次品為事件A，第二次抽到次品為事件B，則，，在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率．故選：C變式5-2．把一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲兩次，事件A表示“第一次出現(xiàn)正面”，事件B表示“第二次出現(xiàn)反面”，則等于（

）．A． B． C． D．1【答案】A【分析】利用條件概率公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，因此，故選：A.變式5-3．2021年5月15日，我國(guó)首次火星探測(cè)任務(wù)天問一號(hào)探測(cè)器在火星烏托邦平原南部預(yù)選著陸區(qū)著陸，在火星上首次留下中國(guó)印跡，極大地鼓舞了天文愛好者探索宇宙奧秘的熱情．某校航天科技小組決定從甲、乙等6名同學(xué)中選出4名同學(xué)參加該市舉行的“我愛火星”知識(shí)競(jìng)賽，已知甲同學(xué)被選出，則乙同學(xué)也被選出的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件概率公式和古典概型概率公式直接計(jì)算即可.【詳解】設(shè)“甲同學(xué)被選出”記為事件A，“乙同學(xué)被選出”記為事件，則，則在甲同學(xué)被選出的情況下，乙同學(xué)也被選出的概率．故選：A．變式5-4．長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約的人近視，而該校大約有的學(xué)生每天玩手機(jī)超過，這些人的近視率約為．現(xiàn)從該校近視的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他每天玩手機(jī)超過的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用條件概率的公式進(jìn)行求解.【詳解】從該校學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生他是近視記為事件A，且，從該校學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生他每天玩手機(jī)超過記為事件B，且由題可知，，所以從該校近視的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他每天玩手機(jī)超過的概率為：.故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.題型戰(zhàn)法六利用排列組合處理?xiàng)l件概率問題典例6．現(xiàn)有甲?乙?丙?丁四個(gè)人到九嶷山?陽(yáng)明山?云冰山?舜皇山4處景點(diǎn)旅游，每人只去一處景點(diǎn)，設(shè)事件為“4個(gè)人去的景點(diǎn)各不相同”，事件為“只有甲去了九嶷山”，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意，根據(jù)條件概率的公式，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，可得答案.【詳解】由題意，4人去4個(gè)不同的景點(diǎn)，總事件數(shù)為，事件的情況數(shù)為，則事件發(fā)生的概率為，事件與事件的交事件為“甲去了九嶷山，另外三人去了另外三個(gè)不同的景點(diǎn)”事件的情況數(shù)為，則事件發(fā)生的概率為，即.故選：C.變式6-1．一袋中裝有除顏色外完全相同的6個(gè)白球和4個(gè)黑球，如果不放回地依次摸取3個(gè)小球，則在前2次摸到白球的條件下，第3次還摸到白球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)“前2次摸到白球”，“第3次摸到白球”，分別得到和，根據(jù)條件概率公式求解即可.【詳解】在這3次摸球過程中，設(shè)“前2次摸到白球”，“第3次摸到白球”，則，，所以，故選：C變式6-2．盒中裝有除顏色外完全相同的3個(gè)紅球、2個(gè)白球．甲從中隨機(jī)取出兩個(gè)球，在已知甲取出的有紅球的條件下，他取出兩個(gè)紅球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)事件A為“甲取出的有紅球”，事件B為“取出兩個(gè)紅球”，求出，，由條件概率公式可求.【詳解】設(shè)事件A為“甲取出的有紅球”，事件B為“取出兩個(gè)紅球”，則，,則.故選：B.變式6-3．一個(gè)盒子里裝了10支外形相同的水筆，其中有8支黑色水筆，2支紅色水筆，從中任意抽取兩支，則抽到一支黑筆的條件下，另一支是紅筆的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件概率分別求出,然后代入公式即可.【詳解】設(shè)“抽到一支黑筆”為事件A,“抽到一支紅筆”為事件B，則,.則抽到一支黑筆的條件下，另一支是紅筆的概率為.故選：B變式6-4．濟(jì)南素有“四面荷花三面柳，一城山色半城湖”美名．現(xiàn)有甲、乙兩位游客慕名來(lái)到濟(jì)南旅游，分別準(zhǔn)備從大明湖、千佛山、趵突泉和五龍?zhí)?個(gè)旅游景點(diǎn)中隨機(jī)選擇其中一個(gè)景點(diǎn)游玩．記事件：甲和乙至少一人選擇千佛山，事件：甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，則條件概率（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件概率的意義，計(jì)算滿足甲和乙至少一人選擇千佛山的參觀種數(shù)，再計(jì)算滿足這一條件且甲乙選擇景點(diǎn)不同的安排種數(shù)，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，甲和乙至少一人選擇千佛山的情況有種，甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，且至少一人選擇千佛山的情況有種，所以，故選：D．題型戰(zhàn)法七全概率公式的應(yīng)用典例7．已知某地市場(chǎng)上供應(yīng)的一種電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品占60%，乙廠產(chǎn)品占40%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是90%，則從該地市場(chǎng)上買到一個(gè)合格產(chǎn)品的概率是（

）A．0.92 B．0.93 C．0.94 D．0.95【答案】B【分析】根據(jù)甲乙兩廠所占比例及對(duì)應(yīng)的合格率，利用全概率公式算即可得解.【詳解】由甲乙兩廠所占比例及對(duì)應(yīng)的合格率可得，故選：B變式7-1．某學(xué)生參與一種答題游戲，需要從A，B，C三道試題中選出一道進(jìn)行回答，回答正確即可獲得獎(jiǎng)品.若該學(xué)生選擇A，B，C的概率分別為0.3，0.4，0.3，答對(duì)A，B，C的概率分別為0.4，0.5，0.6，則其獲得獎(jiǎng)品的概率為（

）A．0.5 B．0.55 C．0.6 D．0.75【答案】A【分析】利用互斥事件和獨(dú)立事件的概率求解.【詳解】解：該學(xué)生獲得獎(jiǎng)品的概率為.故選：A變式7-2．學(xué)校食堂分設(shè)有一?二餐廳，學(xué)生小吳第一天隨機(jī)選擇了某餐廳就餐，根據(jù)統(tǒng)計(jì)：第一天選擇一餐廳就餐第二天還選擇一餐廳就餐的概率為0.6，第一天選擇二餐廳就餐第二天選擇一餐廳就餐的概率為0.7，那么學(xué)生小吳第二天選擇一餐廳就餐的概率為（

）A．0.18 B．0.28 C．0.42 D．0.65【答案】D【分析】利用全概率公式求解即可.【詳解】設(shè)為“第一天去一餐廳用餐”，為“第一天去二餐廳用餐”，為“第二天去一餐廳就餐”；則,,,由全概率公式可知,故選：D.變式7-3．在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0．已知當(dāng)發(fā)送信號(hào)0時(shí)，被接收為0和1的概率分別為0.93和0.07；當(dāng)發(fā)送信號(hào)1時(shí)，被接收為1和0的概率分別為0.95和0.05．假設(shè)發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的，則接收的信號(hào)為1的概率為（

）A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.51【答案】D【分析】分發(fā)送0接收到1和發(fā)送1接收到1兩種情況，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式可得.【詳解】設(shè)“發(fā)送的信號(hào)為0”，“接收的信號(hào)為1”，則P(A)=P(A因此．故選：D變式7-4．某種疾病的患病率為0.5%，通過驗(yàn)血診斷該病的誤診率為2%，即非患者中有2%的人驗(yàn)血結(jié)果為陽(yáng)性，患者中有2%的人驗(yàn)血結(jié)果為陰性，隨機(jī)抽取一人進(jìn)行驗(yàn)血，則其驗(yàn)血結(jié)果為陽(yáng)性的概率為（

）A．0.0689 B．0.049 C．0.0248 D．0.02【答案】C【分析】根據(jù)全概率公式即可求出．【詳解】隨機(jī)抽取一人進(jìn)行驗(yàn)血，則其驗(yàn)血結(jié)果為陽(yáng)性的概率為0.0248．故選：C．題型戰(zhàn)法八相互獨(dú)立事件與互斥事件典例8．若，，，則事件與的關(guān)系是（

）A．事件與互斥 B．事件與對(duì)立C．事件與相互獨(dú)立 D．事件與既互斥又相互獨(dú)立