高中數(shù)學 復習課（二）統(tǒng)計教學案 新人教A版必修3

復習課(二)統(tǒng)計

常考點一抽樣方法

系統(tǒng)抽樣、分層抽樣是各類考試命題的熱點.多以選擇、填空題形式出現(xiàn)，有時與用樣

本估計總體或概率問題交匯命題.屬于中、低檔題.

［考點精要］

1.簡單隨機抽樣

⑴特征：

①一個一個不放回的抽?。?/p>

②每個個體被抽到可能性相等.

(2)常用方法：

①抽簽法；

②隨機數(shù)表法.

2.系統(tǒng)抽樣

(1)適用環(huán)境：當總體中個數(shù)較多時，可用系統(tǒng)抽樣.

(2)操作步驟：將總體平均分成幾個部分，再按照一定方法從每個部分抽取一個個體作

為樣本.

3.分層抽樣

(1)適用范圍：當總體由差異明顯的幾個部分組成時可用分層抽樣.

(2)操作步驟：將總體中的個體按不同特點分成層次比較分明的幾部分，然后按各部分

在總體中所占的比實施抽樣.

［典例］(1)采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調查.為此將他們隨機編號

為1,2,…，960,分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9.抽到的32人中，

編號落入?yún)^(qū)間［1,450］的人做問卷A,編號落入?yún)^(qū)間［451,750］的人做問卷B,其余的人做問

卷C則抽到的人中，做問卷6的人數(shù)為()

A.7B.9

C.10D.15

(2)某地區(qū)有小學150所，中學75所，大學25所.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學校

中抽取30所學校對學生進行視力調查，應從小學中抽取所學校，中學中抽取

________所學校.

［解析］(1)從960人中用系統(tǒng)抽樣方法抽取32人，則每30人抽取一人，因為第一組

抽到的號碼為9,則第二組抽到的號碼為39,第n組抽到的號碼為a〃=9+30(〃-1)=30〃

236257

-21,由451W30〃-21W750,得：耳，所以〃=16,17,…，25,共有25—16+1

=10人.

1RA75

⑵小學中抽取30X——-=18所學校；從中學中抽取30X3"「=9所學

校.

［答案］(DC⑵189

［類題通法］

1.系統(tǒng)抽樣的特點

(1)適用于元素個數(shù)很多且均衡的總體.

(2)各個個體被抽到的機會均等.

(3)總體分組后，在起始部分抽樣時采用的是簡單隨機抽樣.

N

(4)如果總體容量N能被樣本容量n整除，則抽樣間隔為k=：j

2.與分層抽樣有關問題的常見類型及解題策略

(1)確定抽樣比.可依據(jù)各層總數(shù)與樣本數(shù)之比，確定抽樣比.

(2)求某一層的樣本數(shù)或總體個數(shù).可依據(jù)題意求出抽樣比，再由某層總體個數(shù)(或樣本

數(shù))確定該層的樣本(或總體)數(shù).

(3)求各層的樣本數(shù).可依據(jù)題意，求出各層的抽樣比，再求出各層樣本數(shù).

［題組訓練］

1.某學校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學生視力是否存在顯著

差異，擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學生進行調查，則最合理的抽樣方法是()

A.抽簽法B.系統(tǒng)抽樣法

C.分層抽樣法D.隨機數(shù)法

解析：選C根據(jù)年級不同產(chǎn)生差異及按人數(shù)比例抽取易知應為分層抽樣法.

2.某學校高一、高二、高三3個年級共有430名學生，其中高一年級學生160名，高

二年級學生180名，為了解學生身體狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進行調查，在抽取的樣本中

高二學生有32人，則該樣本中高三學生人數(shù)為一—

解析：高三年級學生人數(shù)為430—160—180=90,設高三年級抽取x人，由分層抽樣可

得蓋=非，解得x=16.

louyu

答案：16

3.某單位有職工960人，其中青年職工420人，中年職工300人，老年職工240人，

為了了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本，若樣本中的青年職工為

14人，則樣本容量為.

42014960X14

解析：因為分層抽樣的抽樣比應相等，所以而=并不方三，樣本容量=：…彳布一=32.

9b0秤不谷里420

答案：32

2

?？键c二咿主的楚里金布估計總體的頻率分布

題型既有選擇題、填空題，也有解答題，主要考查頻率分布直方圖的畫法以及頻率

分布直方圖的讀圖問題.

[考點精要]

1.頻率分布直方圖

/￡\-(o：

d以橫軸表示樣本分組，縱軸表示頻率與組距的比春I

第卜詢)一麻各小組內的頻率用各小長方形的面積表示I

、巴/■噬所T各小長方形面積的和等于1I

2.莖葉圖

一I若是兩位數(shù)，則中間的一列為十位上的數(shù)字

葉-----------------------------------------------------

一I從莖的旁邊生長出來的表示個位上的數(shù)字

①統(tǒng)計圖上沒有原始信息的損失，所有的數(shù)據(jù)

優(yōu)占

7信息都可以從莖葉圖中得到

②莖葉圖可以隨時記錄，方便表示與比較

[典例](1)如圖是根據(jù)部分城市某年6月份的平均氣溫(單位：℃)數(shù)據(jù)得到的樣本頻

率分布直方圖,

其中平均氣溫的范圍是[20.5,26.5].樣本數(shù)據(jù)的分組為蛆0.5,21.5),[21.5,22.5),

[22.5,23.5),[23.5,24.5),[24.5,25.5),[25.5,26.5].己知樣本中平均氣溫低于22.5℃

的城市個數(shù)為11,則樣本中平均氣溫不低于25.5℃的城市個數(shù)為.

[頻率/組距

04……n

0叫------?—

0.02k.....\—\---

O5060708090100成績

(2)某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間

是：［50,60),［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］.

①求圖中a的值；

②根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分；

③若這100名學生語文成績某些分數(shù)段的人數(shù)(M與數(shù)學成績相應分數(shù)段的人數(shù)(力之

比如下表所示，求數(shù)學成績在［50,90)之外的人數(shù).

分數(shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)

X：y1:12：13:44：5

［解析］(1)設樣本容量為"，則〃X(0.1+0.12)X1=11,所以〃=50,故所求的城市

個數(shù)為50X0.18=9.

答案：9

⑵解:①由頻率分布直方圖可知(0.04+0.03+0.02+2a)X10=1.

所以a=0.005.

②該100名學生的語文成績的平均分約為

~=0.05X55+0.4X65+0.3X75+0.2X85+0.05X95=73.

③由頻率分布直方圖及已知的語文成績、數(shù)學成績分布在各分數(shù)段的人數(shù)比，可得下表:

分數(shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)

X5403020

X：/1：12：13:44:5

y5204025

于是數(shù)學成績在［50,90)之外的人數(shù)為

100-(5+20+40+25)=10.

［類題通法］

與頻率分布直方圖有關問題的常見類型及解題策略

(1)己知頻率分布直方圖中的部分數(shù)據(jù)，求其他數(shù)據(jù)，可根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)

求出樣本與整體的關系，利用頻率和等于1就可求出其他數(shù)據(jù).

(2)己知頻率分布直方圖，求某種范圍內的數(shù)據(jù)，可利用圖形及某范圍結合求解.

［題組訓練］

1.如圖是某公司10個銷售店某月銷售某產(chǎn)品數(shù)量(單位：臺)的莖!89

葉圖，則數(shù)據(jù)落在區(qū)間［22,30)內的頻率為()21227

A.0.2B.0.4

C.0.5D.0.6

解析：選B由莖葉圖可知數(shù)據(jù)落在區(qū)間［22,30)內的頻數(shù)為4,所以數(shù)據(jù)落在區(qū)間

4

4

［22,30）內的頻率為正=0.4,故選B.

2.為了了解某學校學生的身體發(fā)育情況，抽查了該校100名高中男生的體重情況，根

據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)此圖，估計該校2000名高中男生中

體重大于70.5公斤的人數(shù)為（）

C.420D.450

解析：選B樣本中體重大于70.5公斤的頻率為：

（0.04+0.034+0.016）X2=0.090X2=0.18.

故可估計該校2000名高中男生中體重大于70.5公斤的人數(shù)為：2000X0.18=360（人）.

3.某商場在慶元宵節(jié)促銷活動中，對元宵節(jié)9時至14時的銷售額進行統(tǒng)計，其頻率分

布直方圖如圖所示，已知9時至10時的銷售額為2.5萬元，則11時至12時的銷售額為

萬元.

25

解析：總銷售額為在=25（萬元），故11時至12時的銷售額為0.4X25=10（萬元）.

答案：10

?？键c三用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

題型為選擇題或填空題，常與直觀圖、莖葉圖等內容相結合命題.

［考點精要］

有關數(shù)據(jù)的數(shù)字特征

（孫一元）2+02-力2+.“+（4:五）2

2

s=n

222

（%r?）+（X2-X）+???+（4-X）

n

［典例］(1)對某商店一個月內每天的顧客人數(shù)進行了125

20233

統(tǒng)計，得到樣本的莖葉圖(如圖所示)，則該樣本的中位數(shù)、3124489

455577889

眾數(shù)、極差分別是()

5001±1479

8

A.46,45,56B.46,45,53617

C.47,45,56D.45,47,53

(2)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則

O345678910

（乙）

A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)

B.甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)

C.甲的成績的方差小于乙的成績的方差

D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差

(3)由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)小，及，照，汨，其平均數(shù)和中位數(shù)都是2,且標準差等于

1,則這組數(shù)據(jù)為.(從小到大排列)

454-47

［解析］(1)從莖葉圖中可以看出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為中間兩個數(shù)的平均數(shù)，即一7-

=46,眾數(shù)為45,極差為68—12=56,故選擇A.

(2)由題意可知，甲的成績?yōu)?,5,6,7,8,乙的成績?yōu)?,5,5,6,9.所以甲、乙的成績的

平均數(shù)均為6,A錯；甲、乙的成績的中位數(shù)分別為6,5,B錯；甲、乙的成績的方差分別為

6

222

3[(4—6)2+(5—6/+—a(7一而+(8-6)]=2,|x[(5-6)+(5—6尸+(5-6)

+（6—6尸+（9-6y］=昔，C對；甲、乙的成績的極差均為4,D錯.故選C.

□

*1+%+照+照

=2

（3）假設這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為汨，如心，小，則＜

x2+x3

2=2)

用+由=4,

生+*3=4,

/.U-2）2+U-2）2=2.

同理可求得U-2）2+（馬一2）2=2.

由為，物期用均為正整數(shù)，且（％,加，（粉劉）均為圓（x—2）2+（y—2）2=2上的點，

分析知Xi,x2,Xs,必應為1,1,3,3.

［答案］（DA（2）C⑶1,1,3,3

［類題通法］

平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有

著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標準差描述其波動大小.

［題組訓練］

1.（山東高考）為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫情況，隨機申

,TL7U

選取該月中的5天，將這5天中14時的氣溫數(shù)據(jù)（單位：。C）制成986—89

113012

如圖所示的莖葉圖.考慮以下結論：

①甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫；

②甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫：

③甲地該月14時的氣溫的標準差小于乙地該月14時的氣溫的標準差；

④甲地該月14時的氣溫的標準差大于乙地該月14時的氣溫的標準差.

其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計結論的編號為（）

A.①③B.①④

C.②③D.②④

—26+28+29+31+31”

解析：選B法一:*.**甲=---------------=---------------=29,

—28+29+30+31+322

x乙=7.=30,

/.X甲＜X乙,

B29+1+0+4+41824+1+0+1+4

乂隔==匚，$乙=5=2o,

...sQs乙故可判斷結論①④正確.

法二：甲地該月14時的氣溫數(shù)據(jù)分布在26和31之間，且數(shù)據(jù)波動較大，而乙地該月

14時的氣溫數(shù)據(jù)分布在28和32之間，且數(shù)據(jù)波動較小，可以判斷結論①④正確，故選B.

2.甲和乙兩個城市去年上半年每月的平均氣溫（單位：℃）用莖葉圖記錄如圖所示，根

據(jù)莖葉圖可知，兩城市中平均溫度較高的城市是,氣溫波動較大的城市是

甲乙

90

87731247

22047

9+13+17X2+18+22

解析：根據(jù)題中所給的莖葉圖可知，甲城市上半年的平均溫度為

6

12+14+17+20+24+27

=16,乙城市上半年的平均溫度為=19,故兩城市中平均溫度較高

6

的是乙城市，觀察莖葉圖可知，甲城市的溫度更加集中在峰值附近，故乙城市的溫度波動較

大.

答案：乙乙

3.甲、乙兩臺機床同時加工直徑為100mm的零件，為了檢驗產(chǎn)品的質量，從產(chǎn)品中各

隨機抽取6件進行測量，測得數(shù)據(jù)如下（單位：mm）：

甲：99,100,98,100,100,103；

乙：99,100,102,99,100,100.

（1）分別計算上述兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差；

（2）根據(jù)（1）的計算結果，說明哪一臺機床加工的這種零件更符合要求.

5，、—99+100+98+100+100+103,、

解：⑴，k-------------g-------------=100.)，

—99+100+102+99+100+100/、

x乙=---------------------------=100(mm),

6

^4[(99-100)2+(100-100)H(98-100)H(100-100)2+(100-100)H(103-

8

7

100)2]=-(mm2),

4=1[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-

6

100)1=1(mm2).

(2)因為扁說明甲機床加工零件波動比較大，因此乙機床加工零件更符合要求.

?？键c四”線性回歸

V

主要考查線性相關關系的判斷，回歸方程的求法以及利用回歸分析解決實際問題.考查

形式為選擇題、填空題、解答題，屬于中低檔題.

［考點精要］

1.兩個變量的線性相關

（1）散點圖：將樣本中〃個數(shù)據(jù)點（%,匕）（/=1,2,…，〃）描在平面直角坐標系中得到

的圖形.

（2）正相關與負相關：

①正相關：散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域.

②負相關：散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域.

2.回歸直線的方程

（1）回歸直線：如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變

量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線.

（2）線性回歸方程：

方程y=〃+a是兩個具有線性相關關系的變量的一組數(shù)據(jù)（汨，如，（如㈤，…，（法,

%）的線性回歸方程，其中a,8是待定參數(shù).

zXLxy,—y^XiYi-nxy

c/=17=1

b~------------------------------------------------------------二---------------------------------------

n__n_

Xi—x22^X2i—nx2

/=1/=!

1=y—bx.

［典例］某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價,將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進

行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：

單價x（元）88.28.48.68.89

銷量y（件）908483807568

（1）求回歸直線方程y=6x+a,其中6=—20,a=y—bx；

(2)預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從(1)中的關系，且該產(chǎn)品的成本是4元/

件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應定為多少元？(利潤=銷售收入一成本)

—1—1

［解］(1)由于x=-(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5,y='(90+84+83+80+75

Oo

+68)=80.

所以=80+20X8.5=250,從而回歸直線方程為尸一20x+250.

(2)設工廠獲得的利潤為L元，依題意得

Z=x(—20x+250)-4(—20x+250)

=-20x+330^-1000

=-20(x-8.25)2+361.25.

當且僅當x=8.25時，/取得最大值.

故當單價定為8.25元時，工廠可獲得最大利潤.

［類題通法］

(1)線性回歸分析就是研究兩組變量間線性相關關系的一種方法，通過對統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分

析，可以預測可能的結果，這就是線性回歸方程的基本應用，因此利用最小二乘法求線性回

歸方程是關鍵，必須熟練掌握線性回歸方程中兩個重要估計量的計算.

(2)回歸直線方程恒過點(7,7).

［題組訓練］

某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關系，他們分別到氣象局與某

醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10日的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料:

日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日

晝夜溫

1011131286

差x(℃)

就診人數(shù)

222529261612

y(人)

該興趣小組確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性

回歸方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.

(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個月的概率；

(2)若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線

性回歸方程尸bx-\-a；

(3)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人，則認

為得到的線性回歸方程是理想的，試問該小組所得線性回歸方程是否理想？

解：(1)將6組數(shù)據(jù)按月份順序編號為1,2,3,4,5,6,從中任取兩組數(shù)據(jù)，基本事件構

10

成的集合為。={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)}共15個基本事件,設抽到相鄰兩個月的事件

為4則/={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}共5個基本事件，

/、51

(2)由表中數(shù)據(jù)求得x=11,y=24,

44

092,2舅=498.

i=1i=1

~18

代入公式可得

c__c__c30

再由a=y-bx,求得a=--—,

所以y關于x的線性回歸方程為

-1830

y=-x--

⑶當x=10時，尸與，竿一22=!<2；

同樣，當x=6時，；y-12=沁.

所以該小組所得線性回歸方程是理想的.

［回扣驗收特訓］

1.某全日制大學共有學生5600人，其中?？粕?300人、本科生有3000人、研

究生有1300人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取280人，調查學生利用因特網(wǎng)查找學習資料的

情況，則應在?？粕⒈究粕c研究生這三類學生中分別抽取()

A.65人，150人，65人

B.30人，150人，100人

C.93人，94人，93人

D.80人，120人，80人

OOA11

解析：選A抽樣比為彳際=右，所以專科生應抽取指XI300=65(人)，本科生應抽

□bUUZUZU

取示3000=150(人)，研究生應抽取點XI300=65(人)，故選A.

2.某學校為調查學生的學習情況，對學生的課堂筆記進行了抽樣調查，已知某班級一

共有56名學生，根據(jù)學號(001?056),用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知

007號、02「號、049號在樣本中，那么樣本中還有一個學生的學號為（）

A.014B.028

C.035D.042

解析：選C由系統(tǒng)抽樣的原理知抽樣的間隔為了=14,故第一組的學號為001?014,

所以007為第一組內抽取的學號，所以第二組抽取的學號為021；第三組抽取的學號為035；

第四組抽取的學號為049.故選C.

3.如圖是2016年某中學舉行的校園之星評選活動中，七位評委為某位同學打出的分數(shù)

的莖葉圖，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（）

79

844647

93

A.86,84B.84,84

C.85,84D.85,93

解析：選B將打分按從小到大的順序排列為79,84,84,84,86,87,93,則中位數(shù)為84,

而眾數(shù)就是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，即84,故選B.

4.為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)

據(jù)(單位:kPa)的分組區(qū)間為[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],將其按從左

到右的順序分別編號為第一組，第二組，……，第五組.如圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分

布直方圖.已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療

效的人數(shù)為（）

A.6

C.12D.18

解析:選C由題意，第一組和第二組的頻率之和為0.24+0.16=0.4,故樣本容量為萬工

=50,又第三組的頻率為0.36,故第三組的人數(shù)為50X0.36=18,故該組中有療效的人數(shù)

為18-6=12.

5.某題的得分情況如下：

得分/分01234

頻率/%37.08.66.028.220.2

12

其中眾數(shù)是（）

A.37.0%B.20.2%

C.0分D.4分

解析：選C根據(jù)眾數(shù)的概念可知C正確.

6.觀察下列各圖:

oX0

①

其中兩個變量X,y具有相關關系的圖是（

A.①②B.①④

C.③④I).②③

解析：選C由散點圖知③④具有相關關系.

7.某學生在一門功課的22次考試中，所得分數(shù)如莖葉圖所示，則該學生該門功課考試

分數(shù)的極差與中位數(shù)之和為

56

62335689

714667899

82578

958

解析：最大數(shù)為98,最小數(shù)為56,極差為98—56=42,中位數(shù)為76,所以極差與中位

數(shù)之和為118.

答案：118

8.為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關系，下表記錄了小李某

月1號到5號每天打籃球時間x（單位：小時）與當天投籃命中率y之間的關系：

時間X12345

命中率y0.40.50.60.60.4

小李這5天的平均投籃命中率為.；用線性回歸分析的方法，預測小李該月6

號打6小時籃球的投籃命中率為.

—1—5

解析：平均命中率y=￡義（0.4+0.5+0.6+0.6+0.4）=0.5；而x=3,Ex；y產(chǎn)

O7=1

7.6,E必=55,由公式得6=0.01,a=~y~bT=0.5-0.01X3=0.47,.,.y=0.01%

/=I

+0.47,令x=6,得y=0.53.

答案：0.50.53

9.某高中共有學生900人，其中高一年級240人，高二年級260人，為做某項調查,

擬采用分層抽樣法抽取容量為45的樣本，則在高三年級抽取的人數(shù)是.

45

解析：高三的人數(shù)為900—240—260=400,所以在高三抽取的人數(shù)為疝X400=20.

答案：20

10.（重慶高考改編）20名學生某次數(shù)學考試成績（單位：分）的頻率分布直方圖如圖：

（1）求頻率分布直方圖中a的值；

（2）分別求出成績落在［50,60］與［60