新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)3-2 解三角形的綜合應(yīng)用（8題型+滿分技巧+限時(shí)檢測(cè)）（解析版）

重難點(diǎn)3-2解三角形的綜合應(yīng)用解三角形一直是高考數(shù)學(xué)中的熱門(mén)考點(diǎn)，這類試題主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的能力。一般為中等難度，但題目相對(duì)綜合，涉及知識(shí)較多，可通過(guò)三角恒等變換、構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造基本不等式等方法加以解決?！绢}型1四邊形中的解三角形問(wèn)題】滿分技巧四邊形中的解三角形問(wèn)題通常需將四邊形分成多個(gè)三角形，觀察各個(gè)三角形之間的關(guān)系，找出同角、共邊的三角形，有時(shí)還需結(jié)合三角恒等變換?！纠?】（2024·湖南婁底·高三統(tǒng)考期末）如圖所示，在平面四邊形SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0為鈍角，且SKIPIF1<0.（1）求鈍角SKIPIF1<0的大小；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的大小.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為鈍角，所以SKIPIF1<0.（2）設(shè)SKIPIF1<0，四邊形內(nèi)角和為SKIPIF1<0，由（1）的結(jié)論知：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0.【變式1-1】（2024·云南昆明·統(tǒng)考一模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的面積；（2）如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）可知，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.【變式1-2】（2024·重慶·高三重慶八中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知四邊形SKIPIF1<0的外接圓面積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為鈍角，（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求四邊形SKIPIF1<0的面積．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）四邊形SKIPIF1<0的外接圓面積為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的外接圓面積為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0的外接圓半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為鈍角，所以SKIPIF1<0為銳角，故SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，負(fù)值舍去，（2）SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0.【變式1-3】（2024·云南楚雄·楚雄彝族自治州民族中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0【題型2解三角形中的中線應(yīng)用】滿分技巧1、中線長(zhǎng)定理：在?ABC中，AD是邊BC上的中線，則AB【點(diǎn)睛】靈活運(yùn)用同角的余弦定理，適用在解三角形的題型中2、向量法：AD【點(diǎn)睛】適用于已知中線求面積（已知BDCD【例2】（2024·廣東廣州·廣州六中?？既＃┰赟KIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.（1）求角SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長(zhǎng).【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由題意知，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由余弦定理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【變式2-1】（2024·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0所對(duì)應(yīng)的邊分別為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0．（1）求角SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0邊的中線長(zhǎng)．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）對(duì)于SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)角可得SKIPIF1<0；（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)角，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是一個(gè)角為SKIPIF1<0的等腰三角形，設(shè)SKIPIF1<0上的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0邊的中線長(zhǎng)為SKIPIF1<0.【變式2-2】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，BC邊上的中線SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）方法1：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①；由余弦定理得，SKIPIF1<0②；所以由①②得，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．方法2：由余弦定理得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①；又SKIPIF1<0②；所以由①②得，SKIPIF1<0

所以SKIPIF1<0．【變式2-3】（2024·重慶·統(tǒng)考一模）在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為鈍角，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）在梯形SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0為鈍角，得SKIPIF1<0是銳角，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為等腰三角形，所以SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【變式2-4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的大小；（2）若SKIPIF1<0，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使SKIPIF1<0存在，求SKIPIF1<0邊上中線的長(zhǎng)．條件①：SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0；條件②：SKIPIF1<0；條件③：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）不能選①，選②或③，答案均為1【解析】（1）由正弦定理SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．①因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．②由①②得SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）選①，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由基本不等式得SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，故此時(shí)三角形不存在，不能選①，選條件②：SKIPIF1<0．由（1）知，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為斜邊的直角三角形．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0邊上的中線的長(zhǎng)為SKIPIF1<0．選條件③：SKIPIF1<0．由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0邊上的中線長(zhǎng)為SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0邊上的中線的長(zhǎng)為1．【題型3解三角形中的垂線應(yīng)用】滿分技巧1、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0邊SKIPIF1<0上的高，則SKIPIF1<02、求高一般采用等面積法，即求某邊上的高，需要求出面積和底邊長(zhǎng)度高線兩個(gè)作用：（1）產(chǎn)生直角三角形；（2）與三角形的面積相關(guān)。【例3】（2024·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C滿足SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0邊上的高等于SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）設(shè)SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，因?yàn)镾KIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，由余弦理得SKIPIF1<0又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）如圖：設(shè)SKIPIF1<0邊上的高為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為垂足，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【變式3-1】（2024·福建·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且SKIPIF1<0．（1）求A；（2）過(guò)點(diǎn)A作SKIPIF1<0的垂線與SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周長(zhǎng)．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0．兩邊除以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由二倍角公式，有SKIPIF1<0，整理為SKIPIF1<0，上式因式分解為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0．有SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理，有SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0的周長(zhǎng)為SKIPIF1<0．【變式3-2】（2024·江蘇常州·高三統(tǒng)考期末）記SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0邊上的高為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）SKIPIF1<0或2；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）余弦定理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或2．（2）SKIPIF1<0由正弦定理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【變式3-3】（2024·江西贛州·高三統(tǒng)考期末）在SKIPIF1<0中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0；（2）記邊AB和BC上的高分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，判斷SKIPIF1<0的形狀．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）直角三角形.【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，由正弦定理得，SKIPIF1<0，整理可得，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0；（2）根據(jù)等面積法可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0及正弦定理可得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是直角三角形.【變式3-4】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c且SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)A作SKIPIF1<0，使得四邊形ABCD滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求角SKIPIF1<0的大??；（2）若SKIPIF1<0，求四邊形SKIPIF1<0的面積．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由SKIPIF1<0及正弦定理，得SKIPIF1<0．整理化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0．由余弦定理得SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．注意到SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．【題型4解三角形中的角平分線應(yīng)用】滿分技巧如圖，在?ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所對(duì)的邊分別問(wèn)a，b，1、利用角度的倍數(shù)關(guān)系：∠2、內(nèi)角平分線定理：AD為?ABC的內(nèi)角∠BAC的平分線，則AB說(shuō)明：三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理將分對(duì)邊所成的線段比轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的兩邊之比，再結(jié)合抓星結(jié)構(gòu)，就可以轉(zhuǎn)化為向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”類問(wèn)題，運(yùn)用向量知識(shí)解決起來(lái)都較為簡(jiǎn)捷。3、等面積法：因?yàn)镾?ABD+S?ACD整理的：AD=2bccos【例4】（2024·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長(zhǎng).【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，故由余弦定理可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）因?yàn)镾KIPIF1<0平分SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【變式4-1】（2024·廣東湛江·高三統(tǒng)考期末）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求角A；（2）作角A的平分線與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因SKIPIF1<0，由正弦定理可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（2）因?yàn)镾KIPIF1<0為角平分線，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又由余弦定理可得：SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別代入化簡(jiǎn)得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0.【變式4-2】（2024·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期末）記SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求B，（2）SKIPIF1<0的平分線交邊SKIPIF1<0于點(diǎn)D，且SKIPIF1<0，求b．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【變式4-3】（2024·浙江寧波·高三余姚中學(xué)校聯(lián)考期末）在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的長(zhǎng)；（2）若SKIPIF1<0的平分線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由題意得，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由正弦定理SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由余弦定理，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取到最大值SKIPIF1<0.【變式4-4】（2023·安徽·高三校聯(lián)考期末）如圖,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0的平分線交SKIPIF1<0邊于點(diǎn)SKIPIF1<0,點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0邊上,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.

（1）求SKIPIF1<0的大小;（2）若SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的面積.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線,所以SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，根據(jù)余弦定理得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【題型5解三角形中的等分點(diǎn)應(yīng)用】滿分技巧當(dāng)所三角形問(wèn)題不再是中線、角平分線、垂線這些特殊情況時(shí)，要注意結(jié)合補(bǔ)角的三角函數(shù)關(guān)系以及同角不同三角形，利用正余弦定理建立方程解出未知量?！纠?】（2024·山西太原·高三統(tǒng)考期末）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為內(nèi)角SKIPIF1<0的對(duì)邊，點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0.（1）當(dāng)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0；（2）當(dāng)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的周長(zhǎng).【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周長(zhǎng)為SKIPIF1<0.【變式5-1】（2024·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.（1）求證：SKIPIF1<0；（2）若點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，由正弦定理知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以3SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【變式5-2】（2023·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在SKIPIF1<0中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.（2）在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.【變式5-3】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且SKIPIF1<0.（1）求證：SKIPIF1<0；（2）如圖：點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）證明：由余弦定理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，代入上式，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0.【變式5-4】（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0三個(gè)內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對(duì)邊，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）在SKIPIF1<0中，由正弦定理及SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）依題意，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【題型6與三角值有關(guān)的最值范圍】滿分技巧三角形中的最值范圍問(wèn)題處理方法1、利用基本不等式求最值-化角為邊余弦定理公式里有“平方和”和“積”這樣的整體，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范圍，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的條件。2、轉(zhuǎn)為三角函數(shù)求最值-化邊為角如果所求整體結(jié)構(gòu)不對(duì)稱，或者角度有更細(xì)致的要求，用余弦定理和基本不等式難以解決，這時(shí)候可以轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，消元后使得式子里只有一個(gè)角，變?yōu)槿呛瘮?shù)最值問(wèn)題進(jìn)行解決。要注意三角形隱含角的范圍、三角形兩邊之和大于第三邊?！纠?】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0所對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的最小值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）已知SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0……①因?yàn)镾KIPIF1<0……②②代入①有：SKIPIF1<0，再由正弦定理得SKIPIF1<0．（2）由余弦定理得：SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．【變式6-1】（2024·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）在銳角SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0為銳角三角形，所以SKIPIF1<0．（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0為銳角三角形，所以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.【變式6-2】（2024·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對(duì)的邊分別為SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0為銳角三角形，求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）因?yàn)镾KIPIF1<0為銳角三角形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解法SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.解法SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.【變式6-3】（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）記SKIPIF1<0三個(gè)內(nèi)角SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0為銳角，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的最小值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）無(wú)最小值；【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0為銳角，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0；（2）結(jié)合（1）中SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為銳角，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0恒成立，即可得SKIPIF1<0為單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0無(wú)最值；因此SKIPIF1<0無(wú)最小值.【變式6-4】（2023·重慶永川·高三重慶市永川北山中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在SKIPIF1<0中，角A、B、C所對(duì)的邊