2022年河北省阜平一中高三下學期第五次調(diào)研考試數(shù)學試題含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，夾角為，，，則()A．2 B．4 C． D．2．我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸；③臺體的體積公式）.A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸3．設，，則（）A． B． C． D．4．如圖，在中，，是上的一點，若，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．5．已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則（）A．4 B．3 C．2 D．16．已知為虛數(shù)單位，若復數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．7．已知是雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的兩支分別交于兩點（A在右支，B在左支）若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8．已知是邊長為的正三角形，若，則A． B．C． D．9．以下關于的命題，正確的是A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B．直線需是函數(shù)圖象的一條對稱軸C．點是函數(shù)圖象的一個對稱中心D．將函數(shù)圖象向左平移需個單位，可得到的圖象10．已知向量，滿足，在上投影為，則的最小值為()A． B． C． D．11．已知是的共軛復數(shù),則（）A． B． C． D．12．已知m為實數(shù)，直線：，：，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在正方體中，已知點在直線上運動，則下列四個命題中：①三棱錐的體積不變；②；③當為中點時，二面角的余弦值為；④若正方體的棱長為2，則的最小值為；其中說法正確的是____________（寫出所有說法正確的編號）14．已知函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是___________.15．在矩形中，，為的中點，將和分別沿，翻折，使點與重合于點.若，則三棱錐的外接球的表面積為_____.16．已知四棱錐的底面ABCD是邊長為2的正方形，且.若四棱錐P-ABCD的五個頂點在以4為半徑的同一球面上，當PA最長時，則______________；四棱錐P-ABCD的體積為______________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列中，，數(shù)列的前項和.（1）求；（2）若，求的前項和.18．（12分）已知橢圓經(jīng)過點，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過點且斜率存在的直線交橢圓于兩點，點與點關于坐標原點對稱．連接．求證：存在實數(shù)，使得成立．19．（12分）過點P(-4,0)的動直線l與拋物線相交于D、E兩點，已知當l的斜率為時，.（1）求拋物線C的方程；（2）設的中垂線在軸上的截距為,求的取值范圍.20．（12分）為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中，參考的文科生與理科生人數(shù)之比為，且成績分布在的范圍內(nèi)，規(guī)定分數(shù)在50以上（含50）的作文被評為“優(yōu)秀作文”，按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖，如圖所示.其中構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.（1）求的值；（2）填寫下面列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下認為“獲得優(yōu)秀作文”與“學生的文理科”有關？文科生理科生合計獲獎6不獲獎合計400（3）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市參考學生中，任意抽取2名學生，記“獲得優(yōu)秀作文”的學生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）已知橢圓的離心率為，且以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓的標準方程；（2）已知動直線l過右焦點F，且與橢圓C交于A、B兩點，已知Q點坐標為，求的值．22．（10分）已知函數(shù).（1）討論的零點個數(shù)；（2）證明：當時，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

根據(jù)模長計算公式和數(shù)量積運算，即可容易求得結(jié)果.【詳解】由于，故選：A.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算，模長的求解，屬綜合基礎題.2．B【解析】試題分析：根據(jù)題意可得平地降雨量，故選B.考點：1.實際應用問題；2.圓臺的體積.3．D【解析】

集合是一次不等式的解集，分別求出再求交集即可【詳解】，，則故選【點睛】本題主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集運算，屬于基礎題．4．B【解析】

變形為，由得，轉(zhuǎn)化在中，利用三點共線可得.【詳解】解：依題：，又三點共線，，解得．故選：．【點睛】本題考查平面向量基本定理及用向量共線定理求參數(shù).思路是(1)先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.(2)直線的向量式參數(shù)方程：三點共線?(為平面內(nèi)任一點,)5．A【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列公式直接計算得到答案.【詳解】由成等比數(shù)列得，即，已知，解得.故選：.【點睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的基本量的計算，意在考查學生的計算能力.6．A【解析】分析：題設中復數(shù)滿足的等式可以化為，利用復數(shù)的四則運算可以求出.詳解：由題設有，故，故選A.點睛：本題考查復數(shù)的四則運算和復數(shù)概念中的共軛復數(shù)，屬于基礎題.7．D【解析】

根據(jù)雙曲線的定義可得的邊長為，然后在中應用余弦定理得的等式，從而求得離心率．【詳解】由題意，，又，∴，∴，在中，即，∴．故選：D．【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關鍵是應用雙曲線的定義把到兩焦點距離用表示，然后用余弦定理建立關系式．8．A【解析】

由可得，因為是邊長為的正三角形，所以，故選A．9．D【解析】

利用輔助角公式化簡函數(shù)得到，再逐項判斷正誤得到答案.【詳解】A選項，函數(shù)先增后減，錯誤B選項，不是函數(shù)對稱軸，錯誤C選項，，不是對稱中心，錯誤D選項，圖象向左平移需個單位得到，正確故答案選D【點睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，對稱軸，對稱中心，平移，意在考查學生對于三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應用，其中化簡三角函數(shù)是解題的關鍵.10．B【解析】

根據(jù)在上投影為，以及，可得；再對所求模長進行平方運算，可將問題轉(zhuǎn)化為模長和夾角運算，代入即可求得.【詳解】在上投影為，即又本題正確選項：【點睛】本題考查向量模長的運算，對于含加減法運算的向量模長的求解，通常先求解模長的平方，再開平方求得結(jié)果；解題關鍵是需要通過夾角取值范圍的分析，得到的最小值.11．A【解析】

先利用復數(shù)的除法運算法則求出的值，再利用共軛復數(shù)的定義求出a+bi，從而確定a，b的值，求出a+b．【詳解】i，∴a+bi＝﹣i，∴a＝0，b＝﹣1，∴a+b＝﹣1，故選：A．【點睛】本題主要考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了共軛復數(shù)的概念，是基礎題．12．A【解析】

根據(jù)直線平行的等價條件，求出m的值，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】當m=1時，兩直線方程分別為直線l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0滿足l1∥l2，即充分性成立，當m=0時，兩直線方程分別為y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不滿足條件．當m≠0時，則l1∥l2?，由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2，由得m≠2，則m=1，即“m=1”是“l(fā)1∥l2”的充要條件，故答案為：A【點睛】（1）本題主要考查充要條件的判斷，考查兩直線平行的等價條件，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)本題也可以利用下面的結(jié)論解答，直線和直線平行，則且兩直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗看兩直線是否重合.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．①②④【解析】

①∵，∴平面

，得出上任意一點到平面的距離相等，所以判斷命題①；②由已知得出點P在面上的射影在上，根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)或三垂線定理，可判斷命題②；③當為中點時，以點D為坐標原點，建立空間直角系，如下圖所示，運用二面角的空間向量求解方法可求得二面角的余弦值，可判斷命題③；④過作平面交于點，做點關于面對稱的點，使得點在平面內(nèi)，根據(jù)對稱性和兩點之間線段最短，可求得當點在點時，在一條直線上，取得最小值.可判斷命題④.【詳解】①∵，∴平面

，所以上任意一點到平面的距離相等，所以三棱錐的體積不變，所以①正確；

②在直線上運動時，點P在面上的射影在上，所以DP在面上的射影在上，又，所以，所以②正確；③當為中點時，以點D為坐標原點，建立空間直角系，如下圖所示，設正方體的棱長為2.則:，，所以，設面的法向量為，則，即，令，則，設面的法向量為，，即，，由圖示可知，二面角是銳二面角，所以二面角的余弦值為，所以③不正確；④過作平面交于點，做點關于面對稱的點，使得點在平面內(nèi)，則，所以，當點在點時，在一條直線上，取得最小值.因為正方體的棱長為2，所以設點的坐標為，，，所以，所以，又所以，所以，，，故④正確.

故答案為：①②④.【點睛】本題考查空間里的線線，線面，面面關系，幾何體的體積，在求解空間里的兩線段的和的最小值，仍可以運用對稱的思想，兩點之間線段最短進行求解，屬于難度題.14．【解析】

求導得到，討論和兩種情況，計算時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，不符合，排除，得到答案?！驹斀狻恳驗?，所以，因為，所以.當，即時，，則在上單調(diào)遞增，從而，故符合題意；當，即時，因為在上單調(diào)遞增，且，所以存在唯一的，使得.令，得，則在上單調(diào)遞減，從而，故不符合題意.綜上，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查了不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解題的關鍵.15．.【解析】

計算外接圓的半徑，并假設外接球的半徑為R，可得球心在過外接圓圓心且垂直圓面的垂線上，然后根據(jù)面，即可得解.【詳解】由題意可知，，所以可得面，設外接圓的半徑為，由正弦定理可得，即，，設三棱錐外接球的半徑，因為外接球的球心為過底面圓心垂直于底面的直線與中截面的交點，則，所以外接球的表面積為.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐的外接球的應用，屬于中檔題.16．90°【解析】

易得平面PAD，P點在與BA垂直的圓面內(nèi)運動，顯然，PA是圓的直徑時，PA最長；將四棱錐補形為長方體，易得為球的直徑即可得到PD，從而求得四棱錐的體積.【詳解】如圖，由及，得平面PAD，即P點在與BA垂直的圓面內(nèi)運動，易知，當P、、A三點共線時，PA達到最長，此時，PA是圓的直徑，則；又，所以平面ABCD，此時可將四棱錐補形為長方體，其體對角線為，底面邊長為2的正方形，易求出，高，故四棱錐體積.故答案為：(1)90°；(2).【點睛】本題四棱錐外接球有關的問題，考查學生空間想象與邏輯推理能力，是一道有難度的壓軸填空題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1），；（2）.【解析】

（1）由條件得出方程組，可求得的通項，當時，，可得，當時，，得出是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，可求得的通項；（2）由（1）可知，，分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)分別求得.【詳解】（1）由條件知，，，當時，，即，當時，，是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，；（2）由（1）可知，，當n為偶數(shù)時，當n為奇數(shù)時，綜上，【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項的求得，以及其前n項和，注意分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況分別求得其數(shù)列的和，屬于中檔題.18．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）由點可得,由,根據(jù)即可求解；（2）設直線的方程為,聯(lián)立可得,設,由韋達定理可得,再根據(jù)直線的斜率公式求得；由點B與點Q關于原點對稱,可設,可求得,則,即可求證.【詳解】解:（1）由題意可知,,又,得,所以橢圓的方程為（2）證明:設直線的方程為，聯(lián)立,可得,設,則有,因為,所以,又因為點B與點Q關于原點對稱,所以,即,則有,由點在橢圓上,得,所以,所以,即，所以存在實數(shù),使成立【點睛】本題考查橢圓的標準方程,考查直線的斜率公式的應用,考查運算能力.19．；【解析】

根據(jù)題意,求出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達定理,結(jié)合,即可求出拋物線C的方程；設，的中點為，把直線l方程與拋物線方程聯(lián)立,利用判別式求出的取值范圍,利用韋達定理求出,進而求出的中垂線方程,即可求得在軸上的截距的表達式,然后根據(jù)的取值范圍求解即可.【詳解】由題意可知,直線l的方程為,與拋物線方程方程聯(lián)立可得,,設,由韋達定理可得,,因為,,所以,解得,所以拋物線C的方程為;設,的中點為,由,消去可得,所以判別式,解得或,由韋達定理可得,,所以的中垂線方程為,令則,因為或,所以即為所求.【點睛】本題考查拋物線的標準方程和直線與拋物線的位置關系,考查向量知識的運用;考查學生分析問題、解決問題的能力和運算求解能力;屬于中檔題.20．（1），，.（2）填表見解析；在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下，不能認為“獲得優(yōu)秀作文”與“學生的文理科”有關（3）詳見解析【解析】

（1）根據(jù)頻率分步直方圖和構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，即可得解；（2）由頻率分步直方圖算出相應的頻數(shù)即可填寫列聯(lián)表，再用的計算公式運算即可；（3）獲獎的概率為，隨機變量，再根據(jù)二項分布即可求出其分布列與期望.【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖可知，，因為構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，所以，解得，所以，.故，，.（2）獲獎的人數(shù)為人，因為參考的文科生與理科生人數(shù)之比為，所以400人中文科生的數(shù)量為，理科生的數(shù)量為.由表可知，獲獎的文科生有6人，所以獲獎的理科生有人，不獲獎的文科生有人.于是可以得到列聯(lián)表如下：文科生理科生合計獲獎61420不獲獎74306380合計80320400所以在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下，不能認為“獲得優(yōu)秀作文”與“學生的文理科”有關.（3）由（2）可知，獲獎的概率為，的可能取值為0，1，2，，，，分布列如下：012數(shù)學期望為.【點睛】本題考查頻率分布直方圖、統(tǒng)計案例和離散型隨機變量的分布列與期望，考查學生的閱讀理解能力和計算能力，屬于中檔題．21．（1）；（2）．【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率為，得到