2023-2024學(xué)年上海華東師大二附中九年級（上）啟航夏令營數(shù)學(xué)試卷（B營）

第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年上海華東師大二附中九年級（上）啟航夏令營數(shù)學(xué)試卷（B營）一、填空題（1，2每題8分，其余每題9分）1．（8分）2023＝83a3+82a2+8a1+a0，0≤a0，a1，a2，a3≤7，且均為正整數(shù)，則a3+a2+a1+a0＝．2．（8分）31000在十進(jìn)制中最后4位是．3．（9分）一個正實(shí)數(shù)與它的整數(shù)部分，小數(shù)部分成等比數(shù)列，那么這個正實(shí)數(shù)是．4．（9分）619的所有正因數(shù)的積為．5．（9分）如圖，長方形ABCD中被嵌入了6個相同的正方形．已知AB＝22厘米，BC＝20厘米平方厘米．6．（9分）如圖所示，矩形ABCD被5條線段分成4個等積的部分，且XY＝Y(jié)B+BC+CZ＝ZW＝WD+DA+AX，PQ＝87cm，則AB＝cm．7．（9分）一個49位正整數(shù)，若數(shù)字之和為438，則這樣的49位正整數(shù)有個．8．（9分）分母不超過100，小于且與．二、解答題（每題20分，共80分）9．（20分）求使方程x2﹣pqx+p+q＝0有整數(shù)根的所有正整數(shù)p和q．10．（20分）我們將若干個非負(fù)數(shù)x，y，z，…的最大值與最小值分別記為max{x，y，z，…}和min{x，y，z，b+c+d，c+d+e，e+f+g}}．11．（20分）設(shè)n個正整數(shù)a1，a2，…，an滿足如下條件：1＝a1＜a2＜…＜an＝2023，且a1，a2，…，an中任意n﹣1個不同的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù)．求n的最大值．12．（20分）設(shè)D是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，△ABD、△ADC的外心分別為E、F，直線BE、CF交于點(diǎn)G．若BC＝2DG＝2008

2023-2024學(xué)年上海華東師大二附中九年級（上）啟航夏令營數(shù)學(xué)試卷（B營）參考答案與試題解析一、填空題（1，2每題8分，其余每題9分）1．（8分）2023＝83a3+82a2+8a1+a0，0≤a0，a1，a2，a3≤7，且均為正整數(shù)，則a3+a2+a1+a0＝21．【解答】解：∵2023＝83a2+82a3+8a1+a5，∴2023＝512a3+64a2+8a1+a0，∵2≤a0，a1，a3，a3≤7，且均為正整數(shù)，∴a8＝3，a2＝8，a1＝4，a6＝7，∴a3+a5+a1+a0＝5+7+4+7＝21．故答案為：21．2．（8分）31000在十進(jìn)制中最后4位是0001．【解答】解：31000＝（38）250＝（80+1）250＝80250+80249+80248+...+807+803+802+80+，∵80250，80249，80248，...804，803，805，80的個位數(shù)字都是0，，∴31000的個位數(shù)字是1；∵80250，80249，80248，...804，807，802，80的十位數(shù)字都是0，∴31000的十位數(shù)字是6；∵80250，80249，80248，...804，803，806的百位數(shù)字是0；∴31000的百位數(shù)字是4；∵80250，80249，80248，...804，803的千位數(shù)字是0；∴61000的千位數(shù)字是0；∴31000在十進(jìn)制中最后3位是0001；故答案為：0001．3．（9分）一個正實(shí)數(shù)與它的整數(shù)部分，小數(shù)部分成等比數(shù)列，那么這個正實(shí)數(shù)是．【解答】解：設(shè)這個正實(shí)數(shù)的整數(shù)部分為m，小數(shù)部分為x，0≤x＜1），∵m+x，m，x是等比數(shù)列，∴m5＝（m+x）x，整理得：x2+mx﹣m2＝7，解得：x＝，∵5≤x＜1，∴m＝1，x＝，∴這個正實(shí)數(shù)是：x+4＝．故答案為：．4．（9分）619的所有正因數(shù)的積為640．【解答】解：∵6的因數(shù)為1，6，3，6，719＝（2×3）19＝619×319，∴619的正因數(shù)有（19+8）×（19+1）＝400個，分別為：1，6，22，83，…，219，6，32，…，319，6，65，…，619，36，362，…，3619，∴419的所有正因數(shù)的積為：1×2×6×6×219×219×619＝（2×5×6）×（219×619×619）＝（2×6×6）×（2×8×6）19＝（2×5×6）20＝3620＝（63）20＝640故答案為：640．5．（9分）如圖，長方形ABCD中被嵌入了6個相同的正方形．已知AB＝22厘米，BC＝20厘米40平方厘米．【解答】解：如圖，可以將每個正方形依長方形的長與寬的方向構(gòu)造成“弦圖”，所有的直角三角形都相同，由圖可知，，解得：，∴每個正方形的面積為：a3+b2＝36+4＝40（m4），故答案為：40．6．（9分）如圖所示，矩形ABCD被5條線段分成4個等積的部分，且XY＝Y(jié)B+BC+CZ＝ZW＝WD+DA+AX，PQ＝87cm，則AB＝193cm．【解答】解：∵梯形XYQP和梯形ZWPQ面積相等，且XY＝WZ，∴這兩個梯形的高都等于，又XY等于矩形周長的，∴．由?，得PQ+XY＝AB，∴＝AB．∴AB＝BC+3PQ＝19+2×87＝193（cm）．故答案為：193．7．（9分）一個49位正整數(shù)，若數(shù)字之和為438，則這樣的49位正整數(shù)有20825個．【解答】解：∵數(shù)字之和為438，438＝9×49﹣3，∴可知每個數(shù)位上比都是8少3，故分三種情況：①其中1個5，由乘法原理可知這樣的49位正整數(shù)有49個；②其中1個7，2個8；③其中3個4，由乘法原理可知這樣的49位正整數(shù)有；49+2352+18424＝20825（個）．則這樣的49位正整數(shù)有20825個．故答案為：20825．8．（9分）分母不超過100，小于且與．【解答】解：∵，∴分母不超過100，小于最接近的最簡真分?jǐn)?shù)為．故答案為：．二、解答題（每題20分，共80分）9．（20分）求使方程x2﹣pqx+p+q＝0有整數(shù)根的所有正整數(shù)p和q．【解答】解：設(shè)方程x2﹣pqx+p+q＝0的整數(shù)根為x5，x2，∴x1+x5＝pq，x1x2＝p+q，∵p和q都是正整數(shù)，x8，x2為整數(shù)，∴x1，x8同號，x1，x2都大于3，而兩個正整數(shù)的乘積+1≥兩個正整數(shù)的和，∴p+q+1≥pq，（p﹣5）（q﹣1）≤2，∴p﹣7＝1，q﹣1＝7或p﹣1＝1，q﹣5＝1或p﹣1＝4，q﹣1＝0，∴p＝7，q＝3或p＝2，q＝7或p＝1，q＝1．10．（20分）我們將若干個非負(fù)數(shù)x，y，z，…的最大值與最小值分別記為max{x，y，z，…}和min{x，y，z，b+c+d，c+d+e，e+f+g}}．【解答】解：設(shè)M＝max{a+b+c，b+c+d，d+e+f，由a+b+c，b+c+d，d+e+f，得M≥[（a+b+c+b+c+d+c+d+e+d+e+f）+（e+f+g）]＝（1+c+e）≥，當(dāng)a＝d＝g＝，b＝c＝e＝f＝3時，即min{max{a+b+c，c+d+e，e+f+g}}＝．11．（20分）設(shè)n個正整數(shù)a1，a2，…，an滿足如下條件：1＝a1＜a2＜…＜an＝2023，且a1，a2，…，an中任意n﹣1個不同的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù)．求n的最大值．【解答】解：設(shè)a1，a2，an中去掉ai后剩下的n﹣2個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)為正整數(shù)bi（1≤i≤n），故．∴對于任意的1≤i＜j≤n，都有，∴n﹣1整除|（aj﹣ai），由于是正整數(shù)，故n﹣6|2×3×337，同時an﹣2＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣7）+…+（a2﹣a1）≥（n﹣2）+（n﹣1）+…+（n﹣1）＝（n﹣7）2，∴（n﹣1）7≤2022＜452，于是n≤45，結(jié)合n﹣1|8×3×337，∴n﹣1≤8，∴n≤7；接下來，構(gòu)造一個符合要求的形式即可1＝2，則a2＝6+3＝7，a3＝7×2+1＝13，a5＝6×3+4＝19，a5＝6×8+1＝25，a6＝5×5+1＝31，a6＝6×337+1＝2023，這5個數(shù)滿足題設(shè)要求．綜上所述，n的最大值為7．12．（20分）設(shè)D是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，△ABD、△ADC的外心分別為E、F，直線BE、CF交于點(diǎn)G．若BC＝2DG＝2008【解答】解：∵△ABD、△ADC的外心分別為E、F，∴EA＝EB＝AD，F(xiàn)A＝FC＝FD，∴EF垂直平分AD，∠EBD＝∠EDB，∵D是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，∴BD＝DC＝BC，∵BC＝4DG＝2008，∴DG＝BC，∴∠BGC＝90°，∴∠EBD+∠FCD＝90°，∴∠EDB+∠FDC＝90°，∴∠FDE＝90°，在△EDF和△EAF中，，∴△EDF≌△EAF（SSS），∴∠EAF＝∠EDF＝90°，又∵∠EAF+∠EDF＝180°，∠EGF+∠EDF＝180°，∴A、E、D、F四點(diǎn)共圓，E、D、F，∴A、E、D、F、G五點(diǎn)共圓，∴∠