備考985高校自主招生數(shù)學(xué)講義第三講+集合與函數(shù)

備考985高校自主招生數(shù)學(xué)講義PAGEPAGE2第三講．集合與函數(shù)知識要求1.注重理解集合的基礎(chǔ)知識2.掌握柯西方法及柯西方程的轉(zhuǎn)化3.注意函數(shù)性質(zhì)拓展與深化，注意導(dǎo)數(shù)工具的作用4.了解極限的概念典型例題1.已知集合，集合，且，求實數(shù)的取值范圍.（2008年浙江大學(xué)）相關(guān)習(xí)題（1）已知集合，.若，則實數(shù)的最小值為（2009年上海交通大學(xué)）2.設(shè)，（1）求證：（2）當(dāng)是一個上增函數(shù)時，是否有如果有，請證明.（2010年浙江大學(xué)）3.求有限集合，其中為互不相等的正整數(shù)，使得（2009年上海交通大學(xué)、2006年清華大學(xué)）相關(guān)習(xí)題（1）求所有滿足的非直角.這里表示不大于的最大整數(shù)（例如，）.（2009年南京大學(xué)保送生）（2）方程的所有正整數(shù)解（2012年清華大學(xué)保送生）（2003年上海交通大學(xué)冬令營）4.對于集合，稱為開集，當(dāng)且僅當(dāng)，，使得判斷集合與是否為開集，并證明你的結(jié)論.（2007年清華大學(xué)）相關(guān)習(xí)題（1）.稱的某些非空子集為奇子集，如果其中所有數(shù)的和為奇數(shù)；則共有多少個奇子集？（2013年北京大學(xué)保送生）5.已知當(dāng)時，函數(shù)（）的圖象如圖所示.（1）設(shè)，試用（）說明，當(dāng)，時，不等式eq\o\ac(○,1)成立.（2）利用（1）中不等式證明：若，則對任意的正數(shù)、，不等式eq\o\ac(○,2)成立.（3）當(dāng)、且時，求的最小值.（2010年華中師范大學(xué)）6.（柯西方程）設(shè)在上單調(diào)，對有eq\o\ac(○,1)則相關(guān)習(xí)題（1）.若函數(shù)滿足且，求函數(shù)的解析式.（2000年上海交通大學(xué)）（2）若對每一個實數(shù)，，函數(shù)滿足，若，試求滿足的所有整數(shù)（2013年清華大學(xué)夏令營）7.已知函數(shù)滿足：對實數(shù)，有，且，求證：.（可用以下結(jié)論：若，，為一常數(shù)，那么）（2006年清華大學(xué)）相關(guān)習(xí)題（1）.設(shè)對一切實數(shù)，滿足：，且求函數(shù)（2007年南京大學(xué)）（2）求所有的，滿足對所有的正整數(shù)，都成立.（2013年中國科技大學(xué)夏令營）8.方程，的解分別為，，則（）A.2B.4C.6D.8（2013年復(fù)旦大學(xué)）相關(guān)習(xí)題（1）實數(shù)，滿足，，則_________（2009年上海交通大學(xué)）9.（1）已知函數(shù)不恒為0，且對，有，若存在常數(shù)，使得求證：是的一個周期，且（2013年華東師范大學(xué)）相關(guān)習(xí)題（1）已知函數(shù)滿足，，則＝（2010年高考重慶卷）（2）定義在上的函數(shù)滿足（），且，則（）A.2B.3C.6D.9（2008年陜西卷）10.已知函數(shù)在上可導(dǎo)，且滿足，證明：當(dāng)時，(2012山東大學(xué))11.（1）設(shè)函數(shù)為實數(shù)，且，若滿足：，試寫出與的關(guān)系，并證明在這一類關(guān)系中存在滿足（2002上海交通大學(xué)）相關(guān)習(xí)題（1）已知函數(shù)若、、互不相等，且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.（2010年全國課標(biāo)卷）（2）已知函數(shù)若，且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.（2010年全國I卷）12.是否存在這樣的實數(shù)，使得存在兩切線相互垂直.（2011年北京大學(xué)保送生）13.求證：方程只有一個根.（2008年南開大學(xué)）14.設(shè)，（1）求證：；（2）若，求證：（2013年卓越）15.已知（1）求證：當(dāng)時，；（2）若數(shù)列滿足，，求證：數(shù)列單調(diào)遞減，且