考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷14（共236題）

考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷14（共9套）（共236題）考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、函數(shù)f(x)在x=1處可導(dǎo)的充分必要條件是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：A不對，如存在，但f(x)在x=1處不連續(xù)，所以也不可導(dǎo)；B不對，因為存在只能保證f(x)在x=1處右導(dǎo)數(shù)存在；C不對，因為不一定存在，于是f(x)在x=1處不一定右可導(dǎo)，也不一定可導(dǎo)；由存在，所以f(x)在x=1處可導(dǎo)．選D．2、設(shè)f(x)，g(x)是連續(xù)函數(shù)，當x→0時，f(x)與g(x)是等價無窮小，令F(x)=∫0x(x一t)dt，G(x)=∫01xg(xt)dt，則當x→0時，F(xiàn)(x)是G(x)的()．A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階但非等價無窮小D、等價無窮小標準答案：D知識點解析：F(x)=∫0xf(x－t)dt=－∫0x(x－t)d(x－t)=∫0xf(u)du，G(x)=∫0xxg(xt)dt=f∫0xg(u)du，則選D．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)3、當x→0時，x－sinxos2x～cxk，則c=______，k=______．標準答案：k=3知識點解析：因為x→0時，所以x－sinxcos2x=k=3．4、設(shè)f(x)在x=0處連續(xù)，且則曲線y=f(x)在(2，f(2))處的切線方程為______．標準答案：知識點解析：由則曲線y=f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為5、設(shè)函數(shù)=______．標準答案：知識點解析：由得6、曲線的斜漸近線為______．標準答案：y=2x－4知識點解析：曲線的斜漸近線為y=2x－4．7、=______．標準答案：知識點解析：8、設(shè)(ay－2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy為某個二元函數(shù)的全微分，則a=______，b=______.標準答案：a=4，b=－2知識點解析：令P(x，y)=ay－2xy2，Q(x，y)=bx2y+4x+3，因為(ay－2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy為某個二元函數(shù)的全微分，所以=a－4xy，于是a=4，b=－2．9、設(shè)a＞0，f(x)=g(x)=而D表示整個平面，則I=f(x)g(y—x)dxdy=______．標準答案：a2知識點解析：由f(x)g(y－x)=得I=f(x)g(y－x)dxdy=a2∫01dx∫xx+1dy=a2．10、=______．標準答案：2(1－ln2)知識點解析：令因為S(0)=0，所以三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)11、確定常數(shù)a，b，C，使得標準答案：知識點解析：暫無解析12、求極限標準答案：由由夾逼定理得知識點解析：暫無解析13、設(shè)x3－3xy+y3=3確定y為x的函數(shù)，求函數(shù)y=y(x)的極值點．標準答案：x3－3xy+y3=3兩邊對x求導(dǎo)得令得y=x3，代入x3－3xy+y3=3得x=－1或因為所以x=－1為極小值點，極小值為y=1；因為為極大值點，極大值為x=y2時，此時y沒有極值．知識點解析：暫無解析14、設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且｜f’’(x)I≤｜(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，證明：｜f’(x)｜≤(x∈[0，1])．標準答案：由泰勒公式得f(0)=f(x)－f’(x)x+f’’(ξ1)x2，ξ1∈(0，x)，f(1)=f(x)+f’(x)(1－x)+f’’(ξ2)(1－x)2，ξ2∈(x，1)，兩式相減，得兩邊取絕對值，再由｜f’’(x)｜≤1，得知識點解析：暫無解析15、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0．f’+(a)f’－(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，b])，g’’(x)≠0(a＜x＜b)，證明：存在ξ∈(a，b)，使得標準答案：設(shè)f’+(a)＞0，f’－(b)＞0，由f’+(a)＞0，存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)=0；由f’－(b)＞0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＜f(b)=0，因為f(x1)f(x2)＜0，所以由零點定理，存在c∈(a，b)，使得f(c)=0．令顯然h(x)在[a，b]上連續(xù)，由h(a)=h(c)=h(b)=0，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，而令φ(x)=f’(x)g(x)－f(x)g’(x)，φ(ξ1)=φ(ξ1)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=f’’(x)g(x)－f(x)g’’(x)，所以知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)是在[a，b]上連續(xù)且嚴格單調(diào)的函數(shù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=a＜b=f(b)．證明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得標準答案：令因為f(x)在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)增加，且f(a)=a＜b=f(b)，所以f(a)=a＜a+h＜…＜a+(n－1)h＜b=f(b)，由端點介值定理和函數(shù)單調(diào)性，存在a＜c1＜c2＜…＜cn－1＜b，使得f(c1)=a+h，f(c2)=a+h，…，f(cv－1)=a+(n－1)h，再由微分中值定理，得f(c1)－f(a)=f’(ξ1)(c1－a)，ξ1∈(a，c1)，f(c2)－f(c1)=f’(ξ2)(c2－c1)，ξ2∈(c1，c2)，…f(b)－f(cn－1)=f’(ξn)(b－cn－1)，ξn∈(cn－1，b)，從而有知識點解析：暫無解析17、設(shè)x3－3xy+y3=3確定隱函數(shù)y=y(x)，求y=y(x)的極值．標準答案：x3－3xy+y3=3兩邊對x求導(dǎo)得3x2－3y－3xy’+3y2y’=0，解得因為y’’(－1)=1＞0，所以x=－1為極小值點，極小值為y(－1)=1；因為知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x)連續(xù)，∫0xtf(x－t)dt=1－cosx，求標準答案：由∫0xtf(x－t)dt∫0x(x－u)f(u)(－du)=∫0x(x－u)f(u)du=x∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du，得x∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du=1－cosx，兩邊求導(dǎo)得∫0xf(u)du=sinx，令知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)在(－a，a)(a＞0)內(nèi)連續(xù)，且f'(0)=2．19、證明：對0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得∫01f(t)dt+∫0－xf(t)dt=x[f(θx)－f(－θx)]；標準答案：令F(x)=∫0xf(t)dt+∫0－xf(t)dt，顯然F(x)在[0，x]上可導(dǎo)，且F(0)=0，由微分中值定理，存在0＜θ＜1，使得F(x)=F(x)－F(0)=F’(θx)x，即∫0xf(t)dt+∫0－xf(t)dt=x[f(θx)－f(－θx)]．知識點解析：暫無解析20、求標準答案：令由∫0xf(t)dt+∫0－xf(t)dt=x[f(θx)－f(－θx)]，得知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在(0，+∞)內(nèi)連續(xù)且單調(diào)減少．證明：∫1n+1f(x)dx≤≤f(1)+∫1nf(x)dx．標準答案：∫1n+1f(x)dx=∫12f(x)dx+∫23f(x)dx+…+∫nn+1f(x)dx，當x∈[1,2]時，f(x)≤f(1)，兩邊積分得∫12f(x)dx≤f(1)，同理∫23f(x)dx≤f(2)，…，∫nn+1f(x)dx≤f(n)，相加得∫1n+1f(x)dx≤f(k)；當x∈[1，2]時，f(2)≤f(x)，兩邊積分得f(2)≤∫12f(x)dx，同理f(3)≤∫23f(x)dx，…，f(n)≤∫n－1nf(x)dx，相加得f(2)+…+f(n)≤∫1nf(x)dx，于是f(k)≤f(1)+∫1nf(x)dx．知識點解析：暫無解析22、求曲線y=3－｜x2－1｜與x軸圍成的封閉區(qū)域繞直線y=3旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積．標準答案：顯然所給的函數(shù)為偶函數(shù)，只研究曲線的右半部分繞y=3旋轉(zhuǎn)所成的體積．當x≥0時，對[x，x+dx][0，1]，dV1=π{32－[3－(x2+2)]2}dx=(2x2－x4+8)dx，V1=π∫01V1=π∫01(2x2－x4+8)dx=對[x，x+dx][1，2]，dV2=π{32－[3－(4－x2)]2}dx=π(2x2－x4+8)dx，V2=∫12dV2=π∫12(2x2－x4+8)dx=知識點解析：暫無解析23、設(shè)其中f(s，t)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求du及標準答案：知識點解析：暫無解析24、計算其中D由y=－z，y=圍成．標準答案：將D分成兩部分D1，D2，其中知識點解析：暫無解析25、設(shè)an＞0(n=1，2，…)且{an}n=1∞，單調(diào)減少，又級數(shù)的斂散性．標準答案：因為{an}n=1∞單調(diào)減少且an＞0(n=1，2，…)，所以由(－1)nan發(fā)散，得A＞0．根據(jù)正項級數(shù)的根值審斂法，由收斂．知識點解析：暫無解析26、求冪級數(shù)的和函數(shù)．標準答案：顯然該冪級數(shù)的收斂區(qū)間為[－1，1]，則S(x)=x+(1－x)In(1－x)(－1≤x＜1)．當x=1時，所以知識點解析：暫無解析飛機以勻速v沿y軸正向飛行，當飛機行至O時被發(fā)現(xiàn)，隨即從x軸上(x0，0)處發(fā)射一枚=導(dǎo)彈向飛機飛去(x0＞0)，若導(dǎo)彈方向始終指向飛機，且速度大小為2v．27、求導(dǎo)彈運行的軌跡滿足的微分方程及初始條件；標準答案：設(shè)t時刻導(dǎo)彈的位置為M(x，y)，根據(jù)題意得所以導(dǎo)彈運行軌跡滿足的微分方程及初始條件為知識點解析：暫無解析28、導(dǎo)彈運行方程．標準答案：令進一步解得知識點解析：暫無解析29、細菌的增長率與總數(shù)成正比．如果培養(yǎng)的細菌總數(shù)在24小時內(nèi)由100增長到400，求前12小時后的細菌總數(shù)．標準答案：設(shè)t時刻細菌總數(shù)為S，則有S(0)=100，S(24)=400，所以S(12)=100eln2=200．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設(shè)f（x）=則f（f（f（x）））等于（）A、0B、1C、D、標準答案：B知識點解析：由題設(shè)可知|f（x）|≤1，因此f（f（f（x）））=1。故選B。2、設(shè)f（x）在R上連續(xù)，且f（x）≠0，φ（x）在R上有定義，且有間斷點，則下列陳述中正確的個數(shù)是（）①φ[f（x）]必有間斷點。②[φ（x）]2必有間斷點。③f[φ（x）]沒有間斷點。A、0B、1C、2D、3標準答案：A知識點解析：①錯誤。舉例：設(shè)φ（x）=f（x）=ex，則φ[f（x）]=1在R上處處連續(xù)。②錯誤。舉例：設(shè)φ（x）=則[φ（x）]2=9在R上處處連續(xù)。③錯誤。舉例：設(shè)φ（x）=在x=0處間斷。因此選A。3、設(shè)f（x）在[a，b]可導(dǎo)，f（a）=f{（x）}，則（）A、f+’（a）=0B、f+’（a）≥0C、f+’（a）＜0D、f+’（a）≤0標準答案：D知識點解析：由f（x）在[a，b]上可導(dǎo)可知，f+’（a）=顯然，x—a＞0，又f（a）={f（x）}，故f（x）—f（a）≤0，從而有≤0，再由極限的局部保號性可知，≤0，即f+’（a）≤0，故選D。4、設(shè)f（x）在（1—δ，1+δ）內(nèi)存在導(dǎo)數(shù)，f’（x）嚴格單調(diào)減少，且f（1）=f’（1）=1，則（）A、在（1—δ，1）和（1，1+δ）內(nèi)均有f（x）＜xB、在（1—δ，1）和（1，1+δ）內(nèi)均有f（x）＞xC、在（1—δ，1）有f（x）＜x，在（1，1+δ）內(nèi)均有f（x）＞xD、在（1—δ，1）有f（x）＞x，在（1，1+δ）內(nèi)均有f（x）＜x標準答案：A知識點解析：f’（x）在（1—δ，1+δ）上嚴格單調(diào)減少，則f（x）在（1—δ，1+δ）是凸的，因此在此區(qū)間上，y=f（x）在點（1，1）處的切線為y—l=f’（1）（x—1），即y=x在此曲線的上方（除切點外）。因此f（x）＜x（x∈（1—δ，1+δ），x≠1）。5、已知f（x）在x=0的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且f（0）=0，則在點x=0處f（x）（）A、不可導(dǎo)B、可導(dǎo)且f’（0）≠0C、取得極大值D、取得極小值標準答案：D知識點解析：因當x→0時，1—cosx～x2，故極限條件等價于=20從而可取f（x）=x2，顯然滿足題設(shè)條件。而f（x）=x2在x=0處取得極小值，故選D。6、設(shè)一元函數(shù)f（x）有下列四條性質(zhì)。①f（x）在[a，b]連續(xù)；②f（x）在[a，b]可積；③f（x）在[a，b]存在原函數(shù)；④f（x）在[a，b]可導(dǎo)。若用“PQ”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q，則有（）A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：這是討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的可導(dǎo)性、連續(xù)性及可積性與原函數(shù)存在性間的關(guān)系問題。由f（x）在[a，b]上可導(dǎo)f（x）在[a，b]連續(xù)f（x）在[a，b]可積且存在原函數(shù)。故選C。7、設(shè)f（x，y）=則f（x，y）在點（0，0）處（）A、兩個偏導(dǎo)數(shù)都不存在B、兩個偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微C、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)D、可微但偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)標準答案：B知識點解析：由偏導(dǎo)數(shù)定義，有由對稱性知fy’（0，0）=0，而上式極限不存在。事實上，故f（x，y）在（0，0）點不可微。應(yīng)選B。8、設(shè)f（x，y）與φ（x，y）均為可微函數(shù)，且φy’（x，y）≠0。已知（x0，y0）是f（x，y）在約束條件φ（x，y）=0下的一個極值點，下列選項正確的是（）A、若fx’（x0，y0）=0，則fy’（x0，y0）=0B、若fx’（x0，y0）=0，則fy’（x0，y0）≠0C、若fx’（x0，y0）≠0，則fy’（x0，y0）=0D、若fx’（x0，y0）≠0，則fy’（x0，y0）≠0標準答案：D知識點解析：令F=f（x，y）+λφ（x，y），若fx’（x0，y0）=0，由（1）得λ=0或＜φx’（x0，y0）=0。當λ=0時，由（2）得fy’（x0，y0）=0，但λ≠0時，由（2）及φy’（x0，y0）≠0得fy’（x0，y0）≠0。因而A、B錯誤。若fx’（x0，y0）≠0，由（1），則λ≠0，再由（2）及φy’（x0，y0）≠0，則fy’（x0，y0）≠0。9、累次積分dθ∫0cosθf（rcosθ，rsinθ）rdr可以寫成（）A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：由累次積分f（rcosθ，rsinθ）rdr可知，積分區(qū)域D為D={（r，θ）|0≤r≤cosθ，0≤θ≤}。由r=cosθ為圓心在x軸上，直徑為1的圓可作出D的圖形如圖1—4—6所示。該圓的直角坐標方程為（x—）2+y2=。故用直角坐標表示區(qū)域D為D={（x，y）|0≤y≤，0≤x≤1}，可見A、B、C均不正確，故選D。10、設(shè)常數(shù)λ＞0，且級數(shù)an2收斂，則級數(shù)A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、斂散性與λ有關(guān)標準答案：C知識點解析：取an=，顯然滿足題設(shè)條件。而此時于是由比較判別法知，級數(shù)絕對收斂，故選C。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)11、[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則=________。標準答案：2知識點解析：12、已知y=lnlnlnx，則y’=________。標準答案：知識點解析：13、設(shè)f（x）在x=0處連續(xù)，且則曲線f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為________。標準答案：知識點解析：當x→0時，arcslnx—x～。由極限的運算法則可得從而f（x）=1。又因為f（x）在x=0處連續(xù)，所以f（0）=f（x）=1。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得所以曲線f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為14、標準答案：知識點解析：15、標準答案：ln2知識點解析：16、設(shè)函數(shù)f（u，υ）由關(guān)系式f（xg（y），y]=x+g（y）確定，其中函數(shù)g（y）可微，且g（y）≠0，則=________。標準答案：知識點解析：令u=xg（y），υ=y，則17、D是圓周x2+y2=Rx所圍成的閉區(qū)域，則標準答案：知識點解析：圓周x2+y2=Rx所圍成的閉區(qū)域用極坐標表示為18、冪級數(shù)的收斂域為________。標準答案：[一1，1）知識點解析：因為=1，則收斂半徑R=1。當x=一1時，原級數(shù)為收斂；當x=1時，原級數(shù)為發(fā)散。因此收斂域為[一1，1）。19、微分方程的通解是________。標準答案：y=Cxe—x（x≠0），C為任意常數(shù)知識點解析：原方程等價為兩邊積分得lny=lnx一x+C1。取C=eC1，整理得y=Cxe—x（x≠0），C為任意常數(shù)。20、微分方程（y+x2e—x）dx—xdy=0的通解為y=________。標準答案：x（一e—x+C），C為任意常數(shù)知識點解析：微分方程（y+x2e—x）dx一xdy=0，可變形為=e—x，所以其通解為=x（一e—x+C），C為任意常數(shù)。三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)21、求常數(shù)a與b的值，使f（x）在（一∞，+∞）上處處連續(xù)。標準答案：當|x|＞1時，知識點解析：暫無解析22、設(shè)函數(shù)f（x）在（一∞，+∞）上有定義，在區(qū)間[0，2]上，f（x）=x（x2—4），若對任意的x都滿足f（x）=kf（x+2），其中k為常數(shù)。（Ⅰ）寫出f（x）在[—2，0）上的表達式；（Ⅱ）問k為何值時，f（x）在x=0處可導(dǎo)。標準答案：（Ⅰ）當—2≤x＜0，即0≤x+2＜2時，則f（x）=kf（x+2）=k（x+2）[（x+2）2—4]=kx（x+2）（x+4），所以f（x）在[—2，0）上的表達式為f（x）=kx（x+2）（x+4）。（Ⅱ）由題設(shè)知f（0）=0。令f—’（0）=f+’（0），得k=，即當k=時，f（x）在x=0處可導(dǎo)。知識點解析：暫無解析23、設(shè)=1，且f"（x）＞0，證明f（x）＞x（x≠0）。標準答案：由所以f（0）=0（因為f"（x）存在，則f（x）一定連續(xù)）。且f（x）在x=0處展成一階麥克勞林公式f（x）=f（0）+f’（0）x+因為f"（x）＞0，所以f"（ξ）＞0，即f（x）＞f（0）+f’（0）x=x。知識點解析：暫無解析24、計算∫01標準答案：知識點解析：暫無解析25、設(shè)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求標準答案：根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，有知識點解析：暫無解析26、求|z|在約束條件下的最大值與最小值。標準答案：|z|的最值點與z2的最值點一致，用拉格朗日乘數(shù)法，作F（x，y，z，λ，μ）=z2+λ（x2+9y2—2z2）+μ（x+3y+3z—5）。令所以當x=1，y=時，|z|=1最??；當z=—5，y=時，|z|=5最大。知識點解析：暫無解析27、設(shè)二元函數(shù)計算二重積分f（x，y）dσ，其中D={（x，y）||x|+|y|≤2}。標準答案：因為被積函數(shù)關(guān)于x，y均為偶函數(shù)，且積分區(qū)域關(guān)于x，y軸均對稱，所以f（x，y）dσ=f（x，y）dσ，其中D1為D在第一象限內(nèi)的部分。知識點解析：暫無解析28、設(shè)f（x）在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)且具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，又設(shè)=A＞0，試討論級數(shù)是條件收斂，絕對收斂，還是發(fā)散?標準答案：由=A，且在x=0處f（x）連續(xù)，有由于f（x）在x=0的某鄰域內(nèi)存在連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，所以當x＞0且x足夠小時，f’（x）＞0，由拉格朗日中值定理，有知識點解析：暫無解析29、將函數(shù)f（x）=展開成x的冪級數(shù)。標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)數(shù)列{xn}，{yn}滿足，則下列正確的是A、若{xn}發(fā)散，則{yn}必發(fā)散．B、若{xn}無界，則{yn}必有界．C、若{xn}有界，則{yn}必為無窮?。瓺、若為無窮小，則{yn}必為無窮?。畼藴蚀鸢福篋知識點解析：由已知條件是無窮小量時{yn}是較高階的無窮小量，即D正確．2、f(x)=xsinxA、在(一∞，+∞)內(nèi)有界．B、當x→∞時為無窮大．C、在(一∞，+∞)內(nèi)無界．D、當x→∞時有極限．標準答案：C知識點解析：設(shè)xn=nπ(n=1，2，3，…)，則f(xn)=0(n=1，2，3，…)；設(shè)這表明結(jié)論A，B，D都不正確，而C正確．3、函數(shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界．A、(一1，0)B、(0，1)C、(1，2)D、(2，3)標準答案：A知識點解析：注意當x∈(一1，0)時有這表明f(x)在(一1，0)內(nèi)有界．故應(yīng)選A．4、若當x→∞時，則a，b，c的值一定為A、a=0，b=1，c為任意常數(shù)．B、a=0，b=1，c=1．C、a≠0，b，c為任意常數(shù)．D、a=1，b=1，c=0．標準答案：C知識點解析：5、設(shè)，則下列結(jié)論錯誤的是A、x=1，x=0，x=一1為間斷點．B、x=0為可去間斷點．C、x=一1為無窮間斷點．D、x=0為跳躍間斷點．標準答案：B知識點解析：計算可得由于f(0+0)與f(0一0)存在但不相等，故x=0不是f(x)的可去間斷點．應(yīng)選B．6、把當x→0+時的無窮小量排列起來，使排在后面的是前一個的高階無窮小，則正確的排列次序是A、α，β，γ．B、γ，β，α．C、β，α，γ．D、γ，α，β．標準答案：C知識點解析：即當x→0+時α是比β高階的無窮小量，α與β應(yīng)排列為β，α．故可排除A與D．又因即當x→0+時γ是較α高階的無窮小量，α與γ應(yīng)排列為α，γ．可排除B，即應(yīng)選C．7、在中，無窮大量是A、①②．B、③④．C、②④．D、②．標準答案：D知識點解析：本題四個極限都可以化成的形式，其中n=2，3，故只需討論極限要選擇該極限為+∞的，僅當n=3并取“+”號時，即．選D．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、=_____________。標準答案：知識點解析：暫無解析9、=________________。標準答案：1知識點解析：暫無解析10、=_______________。標準答案：0知識點解析：暫無解析11、設(shè)f(x)連續(xù)，且=___________。標準答案：6知識點解析：由積分中值定理知存在ξ∈[x，x+2]，可得12、設(shè)則a=___________．b=_________．標準答案：知識點解析：利用洛必達法則可得13、函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是__________．標準答案：(一∞，1)∪(1，+∞)．知識點解析：暫無解析三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)14、標準答案：知識點解析：暫無解析15、標準答案：知識點解析：暫無解析16、標準答案：知識點解析：暫無解析17、標準答案：本題是∞一∞型未定式，提出無窮大因子x2后作變量替換，可得知識點解析：暫無解析18、標準答案：用當x→0時的等價無窮小替換ex一1～x與ln(1+x)～x化簡所求極限．知識點解析：暫無解析19、標準答案：轉(zhuǎn)化為適當?shù)暮瘮?shù)極限．令，則知識點解析：暫無解析20、標準答案：知識點解析：暫無解析21、標準答案：知識點解析：暫無解析22、證明：方程x=asinx+b(a＞0，b＞0為常數(shù))至少有一個正根不超過a+b．標準答案：引入函數(shù)f(x)=x一asinx—b，則f(x)=0的根即方程x=asinx+b的根．因f(0)=一b＜0，而f(a+b)=a+b—asin(a+b)一b=a[1一sin(a+b)]≥0．若f(a+b)=0，則x=a+b＞0便是f(x)=0的一個正根，若f(a+b)＞0，則由f(x)在[0，a+b]上的連續(xù)性可知，，使f(ξ)=0．總之函數(shù)f(x)在(0，a+b]上至少有一個零點，即原方程至少有一個正根不超討a+b．知識點解析：暫無解析23、求證：ex+e-x+2cosx=5恰有兩個根．標準答案：引入函數(shù)f(x)=ex+e-x+2cosx一5，則f(x)是(一∞，+∞)上的連續(xù)偶函數(shù)，且f(0)=一1＜0，f’(x)=ex一e-x一2sinx，從而f’(0)=0．又f’’(x)=ex+e-x一2cosx=+2(1一cosx)＞0成立，由此可見f’(x)當x≥0時單調(diào)增加，于是f’(x)＞f’(0=：0當x＞0時成立．這表明f(x)在x≥0是單調(diào)增加的．注意f(π)=eπ+e-π一7＞23一7=1＞0，故根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知f(x)=0在(0，π)內(nèi)至少有一個根，結(jié)合f(x)在x≥0嚴格單調(diào)增加可知f(x)=0有且僅有一個正根．由f(x)為(一∞，+∞)上偶函數(shù)，f(x)=0還有且僅有一個負根．故方程ex+e-x+2cosx=5恰有兩個根．知識點解析：暫無解析24、設(shè)常數(shù)a＜b＜c，求證：方程在區(qū)間(a，b)與(b，c)內(nèi)各有且僅有一個實根．標準答案：設(shè)函數(shù)．則f(x)的零點就是方程的根．因函數(shù)f(x)分別在區(qū)間(a，b)與(b，c)內(nèi)可導(dǎo)，且這表明在區(qū)間(a，b)內(nèi)f(x)的函數(shù)值從+∞單調(diào)減少到一∞，在區(qū)間(b，c)內(nèi)f(x)的函數(shù)值也從+∞單調(diào)減少到一∞，故f(x)分別在(a，6)與(b，c)內(nèi)有且僅有一個零點．即方程分別在(a，b)與(b，c)內(nèi)有且僅有一個實根．知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且a＜c＜d＜b．求證：存在ξ∈(a，b)，使pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ)，其中P＞0，q＞0為任意常數(shù)．標準答案：利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大、小值定理與介值定理證明本題．由f(x)在[a，b]上連續(xù)，而[c，d]c[a，b]，可知f(x)在[c，d]上連續(xù)，于是存在從而即η是f(x)在[c，d]上的值域[m，M]上的一個值．由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大、小值及介值定理可知，必存在ξ∈[c，d]c(a，b)使．f(ξ)=η，即Pf(c)+qf(d)=(P+)f(ξ)成立．知識點解析：暫無解析26、已知數(shù)列{xn}滿足：x0=25，xn=arctanxn-1(n=1，2，3，…)，證明{xn}的極限存在，并求其極限．標準答案：設(shè)f(x)=arctanx一x，則f(0)=0，所以f(x)單調(diào)減少，當x＞0時f(x)＜f(0)=0，即arctanx＜x，于是有xn=arctanxn-1＜xn-1．由此可知，數(shù)列{xn}單調(diào)遞減．又x0=25，x1=arctan25＞0，…，且對每個n，都有xn＞0，根據(jù)極限存在準則即知存在．設(shè)．在xn+1=arctanxn兩邊取極限得a=arctana，所以a=0，即知識點解析：暫無解析27、設(shè)數(shù)列{xn}由遞推公式確定，其中a＞0為常數(shù)，x0是任意正數(shù)，試證存在，并求此極限．標準答案：因a＞0，x0＞0，由xn的遞推式知xn＞0．又由算術(shù)平均值不小于幾何平均值知再由知數(shù)列{xn}單調(diào)遞減且有下界存在，設(shè)為l．在566兩邊令n→∞取極限，得又據(jù)l＞0可解得知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)級數(shù)an發(fā)散(an＞0)，令Sn＝a1＋a2＋…＋an，則()．A、發(fā)散B、收斂于C、收斂于0D、斂散性不確定標準答案：B知識點解析：因為正項級數(shù)＝＋∞，令S’n＝，因為，所以選(B)．2、設(shè)f(x，y)＝sin，則f(x，y)在(0，0)處()．A、對x可偏導(dǎo)，對y不可偏導(dǎo)B、對x不可偏導(dǎo)，對y可偏導(dǎo)C、對x可偏導(dǎo)，對y也可偏導(dǎo)D、對x不可偏導(dǎo)，對y也不可偏導(dǎo)標準答案：B知識點解析：因為不存在，所以f(x,y)在(0,0)處對x不可偏導(dǎo)；因為，所以f’y(0,0)＝0，即f(x,y)在(0，0)處對y可偏導(dǎo)，選(B)．3、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，f’(0)＝0，且＝－1，則()．A、x＝0為f(x)的極大點B、x＝0為f(x)的極小點C、(0，f(0))為y＝f(x)的拐點D、x＝0不是f(x)的極值點，(0，f(0))也不是y＝f(x)的拐點．標準答案：A知識點解析：因為＝－1＜0，所以由極限的保號性，存在δ＞0，當0＜｜x｜＜δ時，注意到x3＝ο(x)，所以當0＜｜x｜＜δ時，f’’(x)＜0，從而f’(x)在(－δ,δ)內(nèi)單調(diào)遞減，再由f’(0)＝0得故x＝0為f(x)的極大點，選(A)．4、當x→0時，下列無窮小中，哪個是比其他三個更高階的無窮小()．A、x2B、1－cosxC、－1D、x－tanx標準答案：D知識點解析：1－cosx～，所以x－tanx是比其他三個無窮小階數(shù)更高的無窮小，選(D)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)5、＝______．標準答案：知識點解析：6、設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且f’(1)＝2，則f(x3)｜x＝－1＝______．標準答案：6知識點解析：因為f(x)為奇函數(shù)，所以f’(x)為偶函數(shù)，由f(x3)＝3x2f’(x3)得＝3f’(－1)＝3f’(1)＝6．7、設(shè)f(x)∈C[1，+∞)，廣義積分∫1＋∞f(x)dx收斂，且滿足f(x)＝∫1＋∞f(x)dx，則f(x)＝______．標準答案：知識點解析：8、設(shè)z＝xy＋xf，其中f可導(dǎo)，則＝______．標準答案：z＋xy知識點解析：9、設(shè)y＝y(tǒng)(x)可導(dǎo)，y(0)＝2，令△y＝y(tǒng)(x－△x)－y(x)，且△y＝△x＋α，其中α是當△x→0時的無窮小量，則y(x)＝______．標準答案：知識點解析：，再由y(0)＝2，得C＝2，所以y＝．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)10、求．標準答案：知識點解析：暫無解析11、．標準答案：知識點解析：暫無解析12、確定常數(shù)a，c的值，使得＝c，其中c為非零常數(shù)．標準答案：由洛必達法則，知識點解析：暫無解析13、設(shè)y＝，求y’．標準答案：知識點解析：暫無解析14、求常數(shù)a，b使得標準答案：因為f(x)在x＝0處可導(dǎo)，所以f(x)在x＝0處連續(xù)，從而有f(0＋0)＝2a＝f(0)＝f(0－0)＝3b，由f(x)在x＝0處可導(dǎo)，則3＋2a＝10＋6b，解得．知識點解析：暫無解析15、證明方程lnx＝在(0，＋∞)內(nèi)有且僅有兩個根．標準答案：∫0π，令f(x)＝lnx－＝0，得x＝e，因為f’’(e)＝，所以f(e)＝＞0為f(x)的最大值，又因為f(x)＝－∞，＝－∞，所以f(x)＝0在(0，＋∞)內(nèi)有且僅有兩個實根．知識點解析：暫無解析16、求．標準答案：知識點解析：暫無解析17、．標準答案：知識點解析：暫無解析18、(1)設(shè)f(t)＝∫1tex2dx，求∫01t2f(t)dt．(2)設(shè)f(x)＝∫0πecostdt，求∫0πf(x)cosxdx．標準答案：因為f(1)＝0，所以(2)∫0πf(x)cosxdx＝∫0πf(x)d(sinx)＝f(x)sinx｜0π－∫0πf’(x)sinxdx＝－∫0πf’(x)sinxdx＝－∫0πecosxsinxdx＝∫0πecosxd(cosx)＝ecosx｜0π＝e－1－e知識點解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在區(qū)間[0，1]上可導(dǎo)，f(1)＝2x2f(x)dx．證明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)＋ξf’(ξ)＝0．標準答案：令φ(x)＝x2f(x)，由積分中值定理得f(1)＝x2f(x)dx＝c2f(c)．其中c∈[0,]，即φ(c)＝φ(1)，顯然φ(x)在區(qū)間[0，1]上可導(dǎo)，由羅爾中值定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ’(ξ)＝0．而φ’(x)＝2xf(x)＋x2f’(x)，所以2ξf(ξ)＋ξ2f’(ξ)＝0．注意到ξ≠0，故2f(ξ)＋ξf’(ξ)＝0．知識點解析：暫無解析20、設(shè)u＝f(x＋y，x2＋y2)，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求．標準答案：＝f’1＝f’1＋2xf’2，＝f’1＋2yf’2，＝f’’11＋2xf’’12＋2f’2＋2x(f’’21＋2xf’’22)＝f’’11＋4xf’’12＋4x2f’’12＋2f’2，＝f’’11＋2yf’’12＋2f’2＋2y(f’’21＋2yf’’22)＝f’’11＋4yf’’12＋4y2f’’12＋2f’2，則＝2f’’11＋4(x＋y)f’’12＋4(x2＋y2)f’’22＋4f’2．知識點解析：暫無解析21、設(shè)z＝f(x，y)由f(x＋y，x－y)＝x2－y2－xy確定，求dz．標準答案：知識點解析：暫無解析22、求dxdy，其中D：x2＋y2≤π2．標準答案：令(0≤θ≤2π，0≤r≤π)，則dxdy＝∫02πdθ∫0πrcosrdr＝2π∫0πrd(sinr)＝2πrsinr｜0π－2π∫0πsinrdr＝－4π．知識點解析：暫無解析23、若正項級數(shù)an與正項級數(shù)bn都收斂，證明下列級數(shù)收斂：標準答案：知識點解析：暫無解析24、求微分方程xy’’＋2y’＝ex的通解．標準答案：令y’＝p，則原方程化為，知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x)在[0，＋∞)上連續(xù)，且f(0)＞0，設(shè)f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)與f(x)的幾何平均數(shù)，求f(x)．標準答案：根據(jù)題意得，則有∫0xf(t)dt＝ax，兩邊求導(dǎo)得f(x)＝,即f’(x)＋，解得f(x)＝(C≥0)．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)(an}與{bn)為兩個數(shù)列，下列說法正確的是()．A、若{an}與{bn}都發(fā)散，則{anbn}一定發(fā)散B、若{an}與{bn}都無界，則{anbn}一定無界C、若{an}無界且anbn＝0，則bn＝0D、若an為無窮大，且anbn＝0，則bn一定是無窮小標準答案：D知識點解析：(A)不對，如an＝2＋(－1)n，bn＝2－(－1)n，顯然{an}與{bn}都發(fā)散，但anbn＝3，顯然{anbn}收斂；(B)，(C)都不對，如an＝n[1＋(－1)n]，bn＝n[1－(－1)n]，顯然{an}與{bn}都無界，但anbn＝0，顯然{anbn}有界且bn≠0；正確答案為(D)．2、設(shè)f(x)為單調(diào)可微函數(shù)，g(x)與f(x)互為反函數(shù)，且f(2)＝4，f’(2)＝，f’(4)＝6，則g’(4)等于()．A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：因為g’(4)＝，所以選(B)．3、曲線y＝的漸近線的條數(shù)為()．A、0條B、1條C、2條D、3條標準答案：D知識點解析：因為y＝∞，所以曲線y＝水平漸近線；由＝＋∞，得曲線y＝有兩條鉛直漸近線；由(y－x)＝0，得曲線y＝有一條斜漸近線y＝x，選(D)．4、設(shè)條件收斂，且＝r，則()．A、｜r｜＜1B、｜r｜＞1C、r＝－1D、r＝1標準答案：C知識點解析：因為條件收斂，所以級數(shù)一定不是正項或負項級數(shù)，故r≤0．若｜r｜＜1，則＝｜r｜＜1，級數(shù)絕對收斂，矛盾；若｜r｜＞1，則＝｜r｜＞1，存在充分大的N，當n＞N時，{｜un｜}單調(diào)增加，發(fā)散，矛盾，故｜r｜＝1，再由r≤0得r＝－1，選(C)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)5、＝______．標準答案：知識點解析：由∫0xtsin(x2－t2)dt＝∫0xsin(x2－t2)d(x2－t2)＝∫0x2sinudu，得6、設(shè)f(x)可導(dǎo)且f(x)≠0，則＝______．標準答案：知識點解析：7、設(shè)y＝y(tǒng)(x)由yexy＋xcosx－1＝0確定，求dy｜x＝0＝______．標準答案：－2dx知識點解析：當x＝0時，y＝1，將yexy＋xcosx－1＝0兩邊對x求導(dǎo)得exy＋yexy(y＋)＋cosx－xsinx＝0，將x＝0，y＝1代入上式得＝－2，故dy｜x＝0＝－2dx．8、＝______．標準答案：知識點解析：9、設(shè)f(x)連續(xù)，且∫0xtf(2x－t)dt＝arctanx2，f(1)＝1，求∫12f(x)dx．標準答案：知識點解析：由∫0xtf(2x－t)dt(2x－u)f(u)(－du)＝∫x2x(2x—u)f(u)du＝2x∫x2xf(u)du－∫xxuf(u)du得2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du＝arctanx2，等式兩邊對x求導(dǎo)得2∫x2xf(u)dx＋2x[2f(2x)－f(x)]－4xf(2x)＋xf(x)＝，整理得2∫x2xf(u)du－xf(x)＝，取x＝1得2∫12f(u)－f(1)＝，故∫12duf(x)dx＝．10、設(shè)f(x)＝D為xOy面，則f(y)f(x＋y)dxdy＝______．標準答案：知識點解析：在D1{(x，y)｜－∞＜x＜＋∞，0≤y≤1)上，f(y)＝y(tǒng)；在D2：0≤x＋y≤1上，f(x＋y)＝x＋y，則在D0＝D1D2＝{(x，y)｜－y≤x≤1－y，0≤y≤1}上，f(y)f(x＋y)＝y(tǒng)(x＋y)，所以f(y)f(x＋y)dxdy＝∫01dy∫－y1－yy(x＋y)dx＝．三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)11、求極限．標準答案：知識點解析：暫無解析12、證明：．標準答案：當zx∈[1，2]時有1≥dx，當x∈[2，3]時有dx，…當x∈[n，n＋1]時有dx，知識點解析：暫無解析13、設(shè)x3－3xy＋y3＝3確定y為z的函數(shù)，求函數(shù)y＝y(tǒng)(x)的極值點．標準答案：x3－3xy＋y3＝3兩邊對x求導(dǎo)得3x2－3y－3x(x≠y2)，令＝0得y＝x2，代入x3－3xy＋y3＝3得x＝－1或x＝，因為＝1＞0，所以x＝－1為極小值點，極小值為y＝1；因為＝－1＜0，所以x＝為極大值點，極大值為y＝；x＝y(tǒng)2時，，此時y沒有極值．知識點解析：暫無解析14、f(x)在[－1，1]上三階連續(xù)可導(dǎo)，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f’(0)＝0．證明：存在ξ∈(－1，1)，使得f(ξ)＝3．標準答案：由泰勒公式得f(－1)＝f(0)＋f’(0)(－1－0)＋(－1－0)，ξ1∈(－1，0)，f(1)＝f(0)＋f’(0)(1－0)＋(1－0)3，ξ2∈(0，1)，兩式相減得f’’’(ξ1)＋f’’’(ξ2)＝6．因為f(x)在[－1，1]上三階連續(xù)可導(dǎo)，所以f’’’(x)在[ξ1，ξ2]上連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)最值定理，f’’’(x)在[ξ1，ξ1]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f’’’(ξ1)＋f’’’(ξ2)≤2M，即m≤3≤M．由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](－1，1)，使得f’’’(ξ)＝3．知識點解析：暫無解析15、求由方程x2＋y3－xy＝0確定的函數(shù)在x＞0內(nèi)的極值，并指出是極大值還是極小值．標準答案：根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)法，得y’＝得y’＝＝0x，得y＝2x，再將y＝2x代入原方程得x＝，函數(shù)值為y＝．，y’＝0代入y’’得＝－32＜0，所以x＝為函數(shù)的極大值點，且極大值為y＝．知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在x＝x0的鄰域內(nèi)連續(xù)，在x＝x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x)＝M．證明：f’(x0)＝M．標準答案：由微分中值定理得f(x)－f(x0)＝f’(ξ)(x－x0)，其中ξ介于x0與x之間，則＝M，即f’(x0)＝M．知識點解析：暫無解析17、∫02dx．標準答案：知識點解析：暫無解析18、設(shè)f’(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(1)－f(0)＝1．證明：∫0af’2(x)dx≥1．標準答案：由1＝f(1)－f(0)＝∫01f’(x)dx，得12＝1＝(∫01f’(x)dx)≤∫0112dx∫01f’2(x)dx＝∫01f’2(x)dx，即∫01f’2(x)dx≥1．知識點解析：暫無解析19、令f(x)＝x－[x]，求極限．標準答案：因為[x＋m]＝[x]＋m(其中m為整數(shù))，所以f(x)＝x－[x]是以1為周期的函數(shù)，又[x]≤x，故f(x)≥0，且f(x)在[0，1]上的表達式為f(x)＝對充分大的x，存在自然數(shù)n，使得n≤x＜n＋1，則∫0nf(x)dx≤∫0xf(x)dx≤∫0n＋1f(x)dx，而∫0nf(x)dx＝n∫01f(x)dx＝n∫01xdx＝，同理∫0n＋1f(x)dx＝，知識點解析：暫無解析20、設(shè)二元函數(shù)f(x，y)＝｜x－y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在點(0，0)處的某鄰域內(nèi)連續(xù)．證明：函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處可微的充分必要條件是φ(0，0)＝0．標準答案：(必要性)設(shè)f(x，y)在點(0，0)處可微，則f’x(0，0)，f’y(0，0)存在．(充分性)若φ(0，0)＝0，則f’x(0，0)＝0，f’y(0，0)＝0．所以＝0，即f(x，y)在點(0，0)處可微．知識點解析：暫無解析21、設(shè)半徑為R的球面S的球心在定球面x2＋y2＋z2＝a2(a＞0)上，問R取何值時，球面S在定球面內(nèi)的面積最大?標準答案：設(shè)球面S：x2＋y2＋(z－a)2＝R2，由得球面S在定球內(nèi)的部分在xOy面上的投影區(qū)域為Dxy：x2＋y2≤(4a2－R2)，球面S在定球內(nèi)的方程為S：z＝a－，因為S’’＝－4π＜0，所以當R＝時球面S在定球內(nèi)的面積最大．知識點解析：暫無解析22、設(shè)an＞0(n＝1，2，…)且{an}n＝1∞單調(diào)減少，又級數(shù)(－1)nan發(fā)散，判斷的斂散性．標準答案：因為{an}n＝1∞單調(diào)減少且an＞0(n＝1，2，…)，所以＝A，由(－1)na0發(fā)散，得A＞0．根據(jù)正項級數(shù)的根值審斂法，由．知識點解析：暫無解析23、設(shè)f(x)的一個原凼數(shù)為F(x)，且F(x)為方程xy’＋y＝ex的滿足y(x)＝1的解．(1)求F(x)關(guān)于x的冪級數(shù)；(2)求的和．標準答案：知識點解析：暫無解析24、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，f(0)＝1，且f’(x)＋f(x)－∫0xf(t)dt＝0．(1)求f’(x)；(2)證明：當X≥0時，e－x≤f(x)≤1．標準答案：(1)(x＋1)f’(x)＋(x＋1)f(x)－∫0xf(t)dt＝0，兩邊求導(dǎo)數(shù)，得(x＋1)f’’(x)＝－(x＋2)f’(x)．再由f(0)＝1，f’(0)＋f(0)＝0，得f’(0)＝－1，所以C＝－1，于是f’(x)＝．(2)當x≥0時，因為f’(x)＜0且f’(0)＝1，所以f(x)≤f(0)＝1．令g(x)＝f(x)－e－x，g(0)＝0，g’(x)＝f’(x)＋e－x＝≥0，由f(x)≥e－x(x≥0)．知識點解析：暫無解析25、某人的食量是2500卡／天，其中1200卡／天用于基本的新陳代謝．在健身運動中，他所消耗的為16卡／千克／天乘以他的體重．假設(shè)以脂肪形式儲存的熱量百分之百有效，而一千克脂肪含熱量10000卡，求該人體重怎樣隨時間變化．標準答案：輸入率為2500卡／天，輸出率為(1200＋16ω)，其中ω為體重，根據(jù)題意得，ω(0)＝ω0，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、二元函數(shù)f(x，y)在點(x0，y0)處兩個偏導(dǎo)數(shù)fx’(x0，y0)，f(x0，y0)存在是f(x，y)在該點連續(xù)的()．A、充分而非必要條件B、必要而非充分條件C、充分必要條件D、既非充分也非必要條件標準答案：D知識點解析：多元函數(shù)在一點連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)存在之間沒有直接關(guān)系，即“連續(xù)”未必“偏導(dǎo)數(shù)存在”，“偏導(dǎo)數(shù)存在”也未必“連續(xù)”．僅(D)入選．2、設(shè)則g[f(x)]為()．A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：解一以分段點為界點分區(qū)間求之．當x<0時，f(x)=x2>0，則g[f(x)]=f(x)+2=x2+2，當x≥0時，f(x)=一x≤0，則g[f(x)]=2一f(x)=2一(一x)=2+x，故僅(D)入選．解二采用先外后內(nèi)的方法求之．顯然不等式組①與④無解，不等式組②與③的解分別為x<0，x≥0，故僅(D)入選．解三采用先內(nèi)后外的方法求之．顯然不等式組①與④無解，不等式組②與③的解分別為x<0，x≥0，故僅(D)入選．3、“對任意的ε∈(0，1)，總存在正整數(shù)N，當n≥N時，恒有|xn－a|≤2ε”是數(shù)列{xn}收斂于a的()．A、充分條件，但非必要條件B、必要條件，但非充分條件C、充分必要條件D、既非充分條件，又非必要條件標準答案：C知識點解析：將題設(shè)條件與數(shù)列收斂定義比較知，“對任意的ε∈(0，1)”與“對任給的ε>0”是相當?shù)?，而n≥N比定義中多了一個等號，顯然由于定義中的N并不唯一，多一個等號也是可以的．事實上，若取Nn=N—1，則N>N0，即為n≥N．至于|xn一a|≤2ε，這里既多了一個等號，還乘以2，但由ε>0是任給的，滿足ε=ε0／3的ε0>0仍然是任給的，這時就有|xn一a|≤2ε=(2／3)ε0<ε0，這與定義|xn一a|<ε相當．綜上所述，所給條件是{xn}收斂于口的充要條件．僅(C)入選．4、設(shè){an}，{bn}，{cn}為非負數(shù)列，且則必有()．A、ann對任意n成立B、bnn，對任意n成立C、極限不存在D、極限不存在標準答案：D知識點解析：解一因其含義是當n無限增大時，xn與a無限接近，其極限值與xn前面的有限項的大小無關(guān)，因此(A)、(B)不正確．選項(C)中的極限屬“0·∞”型極限，是一個未定式，由命題1．1．2．1(1)知可能存在，也可能不存在．例如取an=e-n，cn=n時，但當an=(一1)n／n，cn=n時，不存在，(C)也不正確．僅(D)入選．解二(D)中極限屬“1·∞"型，由命題1．1．2．1(3)知，必有因而極限不存在．僅(D)入選．注：命題1．1．2．1(1)設(shè)limf(x)不存在，則lim[f(x)±g(x)]一定不存在，但lim[f(x)·g(x)]與lim[f(x)/g(x)]可能存在，也可能不存在.命題1．1．2．1(3)limf(x)=l≠0,limg(x)=∞,則lim[f(x)·g(x)]=∞.但若limf(x)=l=0,limg(x)=∞，則lim[f(x)·g(x)]=∞不一定為∞.5、設(shè)數(shù)列xn與yn滿足則下列斷言正確的是()．A、若xn發(fā)散，則yn必發(fā)散B、若xn無界，則yn必有界C、若xn有界，則yn必為無窮小D、若1／xn為無窮小，則yn必為無窮小標準答案：D知識點解析：解一取yn≡0，則滿足若xn發(fā)散，則yn收斂．顯然(A)不正確．再取則且xn無界，但yn也無界．故(B)不對．對于選項(C)，取數(shù)列xn≡0，yn=a≠0，則且xn有界，但yn=a≠0不是無窮小，(C)也不對．僅(D)入選．解二利用無窮小量的性質(zhì)求之．由yn=(xnyn)·(1／xn)及可知yn為兩個無窮小量之積，故yn也為無窮小量，(D)正確．6、設(shè)則當x→0時，f(x)是g(x)的()．A、低階無窮小量B、高階無窮小量C、等價無窮小量D、同階但不等價的無窮小量標準答案：B知識點解析：解一由知，g(x)為x的5階無窮小量．由命題1．1．5．1(2)知，f(x)為x的(2+1)×2=6階無窮小量，故f(x)是g(x)的高階無窮小量．僅(B)入選．解二僅(B)入選．利用無窮小量階的定義判別之．因x5是x4的高階無窮小量(x→0)，而在極限的加減運算中，高階無窮小量可以略去，得到注：命題1．1．5．1(2)當f(x)連續(xù)且x→a時，f(x)是x－a的n階無窮小量，g(x)是m階無窮小量，則當x→a時，為x－a的(n+1)m階無窮小量．7、把x→0+時的無窮小排列起來，使排在后面的是前一個的高階無窮小，則正確的排列次序是()．A、α，β，γB、α，γ，βC、β，α，γD、β，γ，α標準答案：B知識點解析：解一利用命題1．1．5．1觀察求之．僅(B)入選．因cost2為t→0時的零階無窮小量，故階無窮小量，β為x的階無窮小量，γ為階無窮小量，故正確的排列次序為α，γ，β．解二采用兩兩比較它們的階的大小的方法．因因而β是α的高階無窮小量(β是比α高階的無窮小量)．同法，可求得則β是比γ高階的無窮小量．又則γ是比α高階的無窮小量．因而僅(B)入選．解三分別求出α，β，γ關(guān)于x的階數(shù)，然后再比較．由知，α是x的1階無窮小量．因故β為x的3階無窮小．又因故γ為x的2階無窮小量．綜上所述，正確的排列次序為α，γ，β僅(B)入選．注：命題1．1．5．1(1)當f(x)連續(xù)且x→a時，f(x)是x－a的n階無窮小量，則當x→a時，必為x－a的n+1階無窮小量．(2)當f(x)連續(xù)且x→a時，f(x)是x－a的n階無窮小量，g(x)是m階無窮小量，則當x→a時，為x－a的(n+1)m階無窮小量．8、設(shè)函數(shù)則()．A、x=0，x=1都是f(x)的第一類間斷點B、x=0，x=1都是f(x)的第二類間斷點C、x=0是f(x)的第一類間斷點，=1是f(x)的第二類間斷點D、x=0是f(x)的第二類間斷點，x=1是f(x)的第一類間斷點標準答案：D知識點解析：由于函數(shù)f(x)在=0，x=1處無定義，這些點為f(x)的間斷點．因故因而x=0為f(x)的第二類間斷點(無窮間斷點)．又因所以故因而x=1為f(x)的第一類間斷點(跳躍間斷點)．僅(D)入選．9、若則為()．A、0B、6C、36D、∞標準答案：C知識點解析：解一利用恒等變形、極限四則運算法則及題設(shè)條件消去待求極限中的未知函數(shù)，化為一般極限利用等價無窮小而求之．解二利用極限存在的充分必要條件：其中寫出未知函數(shù)f(x)的表達式，代入所求極限．將其代入所求的極限式，得到解三題設(shè)相當于sin6x+xf(x)=o(x3)，因而6x+sin6x+xf(x)=6x+o(x3)，即6x+xf(x)=6x-sin6x+o(x3)，二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)10、設(shè)y=f(lnx)ef(x)，其中f可微，則dy=__________．標準答案：ef(x)[f’(lnx)(1／x)+f’(x)f(lnx)]dx知識點解析：dy=d[f(lnx)ef(x)]=d[f(lnx)]ef(x)+f(lnx)def(x)=f’(lnx)(dlnx)ef(x)+f(lnx)ef(x)df(x)=[f’(lnx)ef(x)](dx)／x+f(lnx)ef(x)f’(x)dx=ef(x)[f’(lnx)(1／x)+f’(x)f(lnx)]dx．11、設(shè)f(x)有一個原函數(shù)則標準答案：知識點解析：12、若函數(shù)則標準答案：知識點解析：解一設(shè)則在其兩端分別在[0，1]上取定積分，得到解之得到解二將上式兩端在[0，1]上積分，因為常數(shù)，有故13、標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)14、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x)≠0，試證存在ξ，η∈(a，b)，使標準答案：證一本題要證的結(jié)論中出現(xiàn)兩個中值ξ和η．這類問題首先將含有ξ和η的項分別移到等式兩端，再考慮應(yīng)用微分中值定理．先用哪個微分中值定理呢?這就要看變形后的等式中哪一端出現(xiàn)拉格朗日中值定理或柯西中值定理一端的形式．變形后，得到觀察上式的左端，它恰是對f(x)在[a，b]上使用拉格朗日中值定理的結(jié)果：f(b)—f(a)=f’(ξ)(b-a)(a＜ξ＜b)．于是首先想到使用拉格朗日中值定理，得到f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)(a＜ξ＜b)．②其次再考察式①的右端，注意到它是兩個函數(shù)f(x)與ex在x=η處的導(dǎo)數(shù)之比．這自然又使人想到用柯西中值公式：由式②與式③即得即證二分離中值將待證等式改寫為因中值η的導(dǎo)數(shù)值在此中值等式的右端有f’(η)及(eη)’=eη，且分別在分子、分母上可將f(x)，ex這兩個函數(shù)視為f(x)，g(x)=ex，即式④中f’(η)／eη是對f(x)和ex使用柯西中值定理的結(jié)果．對g(x)=ex和f(x)在[a，b]上使用該定理，得到將式⑤代入式④易看出式④中f’(ξ)應(yīng)視為對f(x)在[a，b]上使用拉格朗日中值定理的結(jié)果，于是對f(x)在[a，b]上使用該定理，得到f(b)—f(a)=f’(ξ)(b-a)，ξ∈(a，b)，⑥將式⑥代入式⑤，得到f’(ξ)(b-a)／(eb一ea)=f’(η)／eη．由題設(shè)有f’(x)≠0，故f’(η)≠0，從而知識點解析：暫無解析15、求標準答案：注：命題1．1．3．1(6)當x→0時，有x－ln(1+x)～x2/2.知識點解析：暫無解析16、在經(jīng)濟學(xué)中稱函數(shù)為固定替代彈性生產(chǎn)函數(shù)，而稱函數(shù)為Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)(簡稱C-D生產(chǎn)函數(shù))．試證明：當x→0時固定替代彈性生產(chǎn)函數(shù)變?yōu)镃-D生產(chǎn)函數(shù)，即有標準答案：知識點解析：暫無解析設(shè)其中g(shù)(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且g(0)=1，g'(0)=－1．17、求f’(x)；標準答案：因故f(x)在x=0處連續(xù)，且當x≠0時，綜上所述，知識點解析：暫無解析18、討論f’(x)在(－∞，+∞)內(nèi)的連續(xù)性．標準答案：因故f’(x)在x=0處連續(xù)．又f’(x)在(－∞，0)及(0，+∞)內(nèi)連續(xù)，所以f’(x)在(－∞，+∞)內(nèi)連續(xù)．知識點解析：暫無解析19、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，并求該函數(shù)圖形的漸近線．標準答案：(1)令f’=0，得駐點x1=0，x2=－1．單調(diào)區(qū)間和極限的計算常用列表法討論，現(xiàn)列表如下．由此可見，單調(diào)增加區(qū)間為(－∞，－1)∪(0，+∞)，單調(diào)減少區(qū)間為(－1，0)．極小值為極大值為(2)由于y是x的同階無窮大量，可能有斜漸近線，事實上，有故b1=－eπ－eπ=－2eπ．曲線y的一條斜漸近線為y=a1x+b1=eπ(x－2)．同理可求得曲線y的另一條斜漸近線為y=x－2．由于y有斜漸近線，當然沒有水平漸近線．事實上，的定義知識點解析：暫無解析20、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，單調(diào)不減且f(0)≥0．試證函數(shù)在[0，+∞)上連續(xù)，且單調(diào)不減(其中n>0)．標準答案：(1)顯然函數(shù)F(x)在(0，+∞)內(nèi)連續(xù)，只需證明F(x)在x=0處連續(xù)．事實上，由洛必達法則得到故F(x)在x=0處連續(xù)．因而F(x)在[0，+∞)上連續(xù)．(2)證一為證F(x)單調(diào)不減，需證F’(x)≥0．事實上，由積分中值定理得到其中0≤ξ≤x．由于f(x)在[0，+∞)上單調(diào)不減，有f(x)≥f(ξ)，又因xn≥ξn，故xnf(x)≥ξ"f(ξ)．于是F’(x)≥0，即F(x)在[0，+∞)上單調(diào)不減．證二因又f(x)單調(diào)不減而0≤t≤x，故x"f(x)－t"f(t)≥0，可見F(x)在[0，+∞)上單調(diào)不減．知識點解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0，f(1／2)=1．試證：21、存在η∈[1／2，1]，使f(η)=η；標準答案：因已知f(x)在區(qū)間兩端點的取值，可試用零點定理證之．事實上，設(shè)φ(x)=f(x)-x，則φ(x)在[0，1]上連續(xù)，又φ(1)=－1＜0，φ(1／2)=1／2＞0．由零點定理知，存在η∈(1／2，1)，使得φ(η)=f(η)－η=0，即f(η)=η．知識點解析：暫無解析22、對任意實數(shù)λ，必存在ξ∈(0，η)，使f’(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]=1．標準答案：證一輔助函數(shù)F(x)可用湊導(dǎo)數(shù)法如下求出．將ξ改為x，得{f’(x)－1－λ[f(x)－x])｜x=ξ={f’(x)－x’－λ[f(x)－x}]｜x=ξ={[f(x)－x]’－λ[f(x)－x]}｜x=ξ=0．在上式兩端乘以e-λx，即得{e－λx[f(x)－x]’+(e－λx)’[f(x)－x]}｜x=ξ={e－λx[f(x)－x]}’｜x=ξ=F’(x)｜x=ξ=0．于是有F(x)=e－λx[f(x)－x]．因F(x)在[0，η]上連續(xù)，在(0，η)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=0，F(xiàn)(η)=e－λx[f(η)－η]=0，由羅爾定理知，存在ξ∈(0，η)使F’(ξ)=0，即e－λx{f’(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]－1}=0，亦即f’(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]=1．證二下面用積分法(常數(shù)變易法)即解微分方程的方法求出F(x)．為此將ξ改為x，由f’(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]=1得到f’(x)－λf(x)=1－λx此為一階線性非齊次方程，由其求解公式(1．6．1．1)式，得解出C，得C=e-λx[f(x)－x]，則F(x)=e－λx[f(x)－x]．下同證一(略)．知識點解析：暫無解析23、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，π]上連續(xù)，且試證明在(0，π)內(nèi)至少存在兩個不同的點ξ1，ξ2使f(ξ1)=f(ξ2)=0．標準答案：證令則F’(x)=f(x)．因而則必存在ξ∈(0，π)使F(ξ)sinξ=0．如果不是這樣，則在(0，π)內(nèi)F(x)sinx恒為正或恒為負，于是恒為正或恒為負，這與矛盾．但當ξ∈(0，π)時，sinξ≠0，故由F(ξ)sinξ=0得到F(ξ)=0．于是找到了ξ∈(0，π)使F(ξ)=0，且有F(0)=F(ξ)=F(π)=0(0＜ξ＜π)．再對F(x)在區(qū)間[0，ξ]，[ξ，π]上分別用羅爾定理得到：至少存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使F’(ξ1)=F’(ξ2)=0，即f(ξ)=f(ξ2)=0．知識點解析：暫無解析24、曲線的切線與x軸和y軸圍成一個圖形，記切點的橫坐標為a，試求切線方程和這個圖形的面積．當切點沿曲線趨于無窮遠時，該面積的變化趨勢如何?標準答案：首先正確繪出在第一象限內(nèi)的輪廓圖形．y=x1/2在第一象限單調(diào)減少，其圖形如圖1．2．5．1所示．由得則過切點P的切線方程為切線與x軸、y軸的交點分別為Q(3a，0)與故△OPQ的面積為當切點沿x軸正方向趨于無窮遠時，有當切點沿y軸正方向趨于無窮遠即a→0+時，有知識點解析：暫無解析25、設(shè)某酒廠有一批新釀的好酒，如果現(xiàn)在(假定t=0)就售出，總收入為假定銀行的年利潤為r，并以連續(xù)復(fù)利計息．試求窖藏多少年售出可使總收入的現(xiàn)值最大，并求r=0．06時的t值．標準答案：根據(jù)計算連續(xù)復(fù)利的公式知，這批酒在窖藏t年末售出時，總收入R的現(xiàn)值為A0(t)=R(t)e-n，其中R(t)為t年末的總收入．由題設(shè)知，t年末的總收入為故相應(yīng)于該總收入的現(xiàn)值為令得唯一駐點又則其中故該點就是A2(t)的極大值點，即最大值點．因而窖藏t0=1／(25r2)年售出可使總收人的現(xiàn)值最大．將r=0．06代入t0=1／(25r2)得t=100／9≈11(年)．這表明應(yīng)將這批酒窖藏約11年，到那時售出所獲的總收入的現(xiàn)值最大．知識點解析：暫無解析設(shè)f(x)，g(x)在區(qū)間[－a，a](a＞0)上連續(xù)，g(x)為偶函數(shù)，且f(x)滿足條件f(x)+f(－x)=A(A為常數(shù))．26、證明標準答案：證一利用式(1．3．3．1)得到證二故知識點解析：暫無解析27、利用上題的結(jié)論計算定積分標準答案：證一取f(x)=arctanex，g(x)=|sinx|，a=π／2，則f(x)，g(x)在∈[－π／2，π／2]上連續(xù)，g(x)為偶函數(shù)．為利用本例(1)中的結(jié)論，先證f(x)+f(－x)=arctanex+arctane－x=A(常數(shù))．事實上，由知f(x)+f(－x)=arctanex+arctane－x為常數(shù)．取x=0，得到arctanex+arctane－x｜x=0=arctanl+arctanl=π／4+π／4=π／2．于是由上題有證二由證一易看出，對于任意x>0，有arctanex+arctane－x=π／2．再直接利用公式令得到知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)f(x)連續(xù)可導(dǎo)，g(z)在x＝0的鄰域內(nèi)連續(xù)，且g(0)＝1，f’(x)＝－sin2x＋∫0xg(x－t)dt，則()．A、x＝0為f(x)的極大值點B、x＝0為f(x)的極小值點C、(0，f(0))為y＝f(x)的拐點D、x＝0非極值點，(0，f(0))非y＝f(x)的拐點標準答案：A知識點解析：由∫0xg(x－t)dtg(u)du得f’(x)＝－sin2x＋∫0xg(u)du，f’(0)＝0，所以x＝0為f(x)的極大值點，選(A)．2、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且＝－1，則()．A、f(0)是f(x)的極小值B、f(0)是f(x)的極大值C、(0，f(0))是曲線y＝f(x)的拐點D、x＝0是f(x)的駐點但不是極值點標準答案：C知識點解析：因為f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且＝－1，所以f’’(x)＝0，即f’’(0)＝0．又＝－1＜0，由極限的保號性，存在δ＞0，當0＜｜x｜＜δ時，有＜0，即當x∈(－δ，0)時，f’’(x)＞0，當x∈(0，δ)時，f’’(x)＜0，所以(0，f(0))為曲線y＝f(x)的拐點，選(C)．3、對二元函數(shù)z＝f(x，y)，下列結(jié)論正確的是()．A、z＝f(x，y)可微的充分必要條件是z＝f(x，y)有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)B、若z＝f(x，y)可微，則z＝f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)C、若z＝f(x，y)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則z＝f(x，y)一定可微D、若z＝f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則z＝f(x，y)一定不可微標準答案：C知識點解析：因為若函數(shù)f(x，y)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，則f(x，y)一定可微，反之則不對，所以若函數(shù)f(x，y)偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)不一定不可微，選(C)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)4、設(shè)f(x)連續(xù)，且f(1)＝1，則＝______．標準答案：知識點解析：5、設(shè)f(x)在x＝1處一階連續(xù)可導(dǎo)，且f’(1)＝－2，則＝______．標準答案：1知識點解析：6、設(shè)∫xf(x)dx＝arcsinx＋C，則∫＝______．標準答案：知識點解析：7、＝______．標準答案：4－π知識點解析：8、設(shè)f(u)連續(xù)，則∫0xdu∫u1vf(u2－v2)dv＝______．標準答案：－xf(x2－1)知識點解析：∫u1vf(u2－v2)dv＝∫u1f(u2－v2)d(u2－v2)＝f(t)dt，則∫0xvf(u2－v2)dv＝∫0xdu∫0u2－1f(t)dt＝f(t)dt，∫0xdu∫u1(u2－v2)dv＝－xf(x2－1)．9、設(shè)y(x)為微分方程y’’－4y’＋4y＝0滿足初始條件y(0)＝1，y’(0)＝2的特解，則∫01y(z)dx＝______．標準答案：(e2－1)知識點解析：y’’－4y’＋4y＝0的通解為y＝(C1＋C2x)e2x，由初始條件y(0)＝1，y’(0)＝2得C1＝1，C2＝0，則y＝e2x，于是∫01y(x)dx＝(e2－1)．三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)10、設(shè)f’’(0)＝6，且．標準答案：由＝0得f(0)＝0，f’(0)＝0，知識點解析：暫無解析11、求f(x)＝的間斷點并判斷其類型．標準答案：f(x)的間斷點為x＝0，－1，－2，…及x＝1．當x＝0時，f(0－0)＝，f(0＋0)＝＝－sin1，則x＝0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點中的跳躍間斷點．當x＝－1時，，則x＝－1為f(x)的第一類間斷點中的可去間斷點．當x＝k(k＝－2，－3，…)時，f(x)＝∞，則x＝k(k＝－2，－3，…)為函數(shù)f(x)的第二類間斷點．當x＝1時，因為limf(x)不存在，所以x＝1為f(x)的第二類間斷點．知識點解析：暫無解析12、確定a，b，使得x－(a＋bcosx)sinx，當x→0時為階數(shù)盡可能高的無窮?。畼藴蚀鸢福毫顈＝x－(a＋bcosx)sinx，y’＝1＋bsin2x－(a＋bcosx)cosx，y’’＝bsin2x＋sin2x＋(a＋bcosx)sinx＝asinx＋2bsin2x，y’’’＝acosx＋4bcos2x，顯然y(0)＝0，y’’(0)＝0，所以令y’(0)＝y(tǒng)’’’(0)＝0得故當時，x－(a＋bcosx)sinx為階數(shù)盡可能高的無窮?。R點解析：暫無解析13、設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，f(0)＝f(1)＝0且f(x)＝－1．證明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)≥8．標準答案：因為f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，所以f(x)在[0，1]上連續(xù)且f(0)＝f(1)＝0，f(x)＝－1，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值定理知，f(x)在[0，1]取到最小值且最小值在(0，1)內(nèi)達到，即存在c∈(0，1)，使得f((c)＝－1，再由費馬定理知f’(c)＝0，根據(jù)泰勒公式f(0)＝f(c)＋f’(c)(0－c)＋(0－c)2，ξ1∈(0，c)f(1)＝f(c)＋f’(c)(1－c)＋(1－c)2，ξ2∈(0，1)整理得當c∈