考研數(shù)學(xué)一（無窮級數(shù)）模擬試卷1（共191題）

考研數(shù)學(xué)一（無窮級數(shù)）模擬試卷1（共6套）（共191題）考研數(shù)學(xué)一（無窮級數(shù)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、如果級數(shù)都發(fā)散，則()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：D知識點解析：由于發(fā)散，而｜an｜≤｜an｜+｜bn｜，故必發(fā)散，故選D。2、下列命題成立的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：C知識點解析：若中至少有一個不成立，則級數(shù)中至少有一個發(fā)散，故選C。3、設(shè)有命題以上四個命題中正確的個數(shù)為()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準答案：A知識點解析：只有④是正確的，事實上，級數(shù)的部分和數(shù)列Sn=(a2—a1)+(a3—a2)+…+(an+1—an)=an+1—a1，數(shù)列{an}收斂，則收斂。①不正確。如不收斂。②不正確。正項級數(shù)不一定存在，如是收斂的，事實上，不存在。故選A。4、設(shè)常數(shù)λ＞0，且級數(shù)收斂，則級數(shù)()A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、斂散性與λ有關(guān)標(biāo)準答案：C知識點解析：取an=，顯然滿足題設(shè)條件。而此時于是由比較判別法知，級數(shù)絕對收斂，故選C。5、an和bn符合下列哪一個條件可由發(fā)散()A、an≤bnB、｜an｜≤bnC、an≤｜bn｜D、｜an｜≤｜bn｜標(biāo)準答案：B知識點解析：反證法。假設(shè)收斂，由｜an｜≤｜bn｜知，收斂，這與題設(shè)矛盾，故選B。6、如果級數(shù)收斂，則級數(shù)()A、都收斂B、都發(fā)散C、斂散性不同D、同時收斂或同時發(fā)散標(biāo)準答案：D知識點解析：由于an=(an+bn)—bn，且必發(fā)散，故選D。7、設(shè)收斂，則()A、收斂B、發(fā)散C、D、當(dāng)an＞0時，必收斂標(biāo)準答案：D知識點解析：當(dāng)an＞0時，級數(shù)為正項級數(shù)，由于該級數(shù)收斂，則其部分和數(shù)列=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n—1+a2n)有上界，從而可知正項級數(shù)的部分和數(shù)列Sn=a1+a2+…+an有上界，則級數(shù)必收斂，故選D。8、設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑分別為，則冪級數(shù)的收斂半徑為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：A知識點解析：由題設(shè)條件可知于是冪級數(shù)的收斂半徑為二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)9、設(shè)a1=1，的和為________。標(biāo)準答案：2020知識點解析：級數(shù)的部分和數(shù)列為Sn=(a2—a1)+(a3—a2)+…+(an+1—an)=an+1—a1=an+1—1，則=2021—1=2020。10、冪級數(shù)的收斂半徑R=________。標(biāo)準答案：知識點解析：設(shè)an=，則當(dāng)滿足條件，該冪級數(shù)是收斂的。因此，冪級數(shù)的收斂半徑是。11、無窮級數(shù)的收斂區(qū)間為________。標(biāo)準答案：知識點解析：在原級數(shù)中令=t，原級數(shù)可化為，只需要討論的收斂半徑和收斂區(qū)間即可。對于級數(shù)，由于所以的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為(—1，1)。由于=t，所以x=，即原級數(shù)的收斂區(qū)間為。12、設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為3，則冪級數(shù)的收斂區(qū)間為________。標(biāo)準答案：(—2，4)知識點解析：根據(jù)冪級數(shù)的性質(zhì)：對原冪級數(shù)逐項求導(dǎo)后得，收斂半徑不變，因此有其收斂區(qū)間為｜x—1｜＜3，即(—2，4)。13、已知冪級數(shù)在x=1處條件收斂，則冪級數(shù)的收斂半徑為________。標(biāo)準答案：1知識點解析：冪級數(shù)在x=1處條件收斂，那么x=1為該冪級數(shù)收斂區(qū)間的端點，其收斂半徑為1，因此冪級數(shù)收斂半徑也為1。14、冪級數(shù)的和函數(shù)為________。標(biāo)準答案：知識點解析：令x2=t，則原級數(shù)可化為。由于所以級數(shù)的收斂半徑為2，收斂區(qū)間為(—2，2)。即級數(shù)的收斂半徑為。設(shè)級數(shù)的和函數(shù)為s(x)，即s(x)=，對上式從0到x逐項積分，可得在上式兩端同時對x求導(dǎo)，則有15、級數(shù)的和為________。標(biāo)準答案：知識點解析：令s(x)=，｜x｜＜1，那么有16、將展成x的冪級數(shù)為________。標(biāo)準答案：知識點解析：對從0到x求積分，有對上式兩端求導(dǎo)，得三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)設(shè)a1=2，an+1=(n=1，2，…)。證明17、存在。標(biāo)準答案：顯然an＞0(n=1，2…)，由均值不等式易知所以{an}單調(diào)遞減且有下界，故極限存在。知識點解析：暫無解析18、級數(shù)收斂。標(biāo)準答案：{an}單調(diào)遞減，則，原級數(shù)是正項級數(shù)。由an≥1得而級數(shù)的部分和為Sn==a1—an+1，存在，則級數(shù)收斂。由比較判別法知收斂。知識點解析：暫無解析19、設(shè)正項數(shù)列{an}單調(diào)減少，且發(fā)散，試問級數(shù)是否收斂?并說明理由。標(biāo)準答案：由于正項數(shù)列{an}單調(diào)遞減有下界，所以由單調(diào)有界原理可知極限存在，將極限記為a，則有an≥a，且a≥0。又因為是發(fā)散的，根據(jù)萊布尼茨交錯級數(shù)判別法可知a＞0(否則級數(shù)是收斂的)。已知正項級數(shù){an}單調(diào)遞減，所以而收斂，因此根據(jù)比較判別法可知，級數(shù)也是收斂的。知識點解析：暫無解析設(shè)有正項級數(shù)是它的部分和。20、證明收斂。標(biāo)準答案：設(shè)Tn為的部分和，則若正項級數(shù)。若正項級數(shù)。因此收斂。知識點解析：暫無解析21、判斷級數(shù)是條件收斂還是絕對收斂，并給予證明。標(biāo)準答案：對已知級數(shù)取絕對值因正項級數(shù)的部分和數(shù)列{Sn}單調(diào)上升，將上式放縮由上小題可知收斂，再由比較原理知收斂，因此原級數(shù)絕對收斂。知識點解析：暫無解析22、求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)f(x)。標(biāo)準答案：設(shè)an=，則當(dāng)x2＜1時，原級數(shù)絕對收斂，當(dāng)x2＞1時，原級數(shù)發(fā)散，因此原級數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為(—1，1)。知識點解析：暫無解析23、求冪級數(shù)的收斂域。標(biāo)準答案：設(shè)an=，則所以原級數(shù)的收斂區(qū)間為(—1，1)。在區(qū)間端點處，原級數(shù)發(fā)散，故收斂域為(—1，1)。知識點解析：暫無解析設(shè)冪級數(shù)在(一∞，+∞)內(nèi)收斂，其和函數(shù)y(x)滿足y″—2xy′—4y=0，y(0)=0，y′(0)=1。24、證明an+2=，n=0，1，2，…。標(biāo)準答案：記y(x)=，代入微分方程y″—2xy′—4y=0有知識點解析：暫無解析25、求y(x)的表達式。標(biāo)準答案：由初始條件y(0)=0，y′(0)=1，知a0=0，a1=1。于是根據(jù)遞推關(guān)系式an+2=，有a2n=0，a2n+1=。故知識點解析：暫無解析26、求級數(shù)的和。標(biāo)準答案：令S(x)=，則有知識點解析：暫無解析27、將函數(shù)f(x)=展開成x的冪級數(shù)。標(biāo)準答案：f(x)=，比較兩邊系數(shù)可得知識點解析：暫無解析28、設(shè)f(x)=將f(x)展開成x的冪級數(shù)，并求級數(shù)的和。標(biāo)準答案：直接將arctanx展開不容易，但(arctanx)′易展開，即積分得因為右端級數(shù)在x=±1處均收斂，又arctanx在x=±1處連續(xù)，所以展開式在收斂區(qū)間端點x=±1處成立。將(1)式兩邊同乘得上式右端當(dāng)x=0時取值為1，于是令x=1，則知識點解析：暫無解析29、將函數(shù)f(x)=x—1(0≤x≤2)展開成周期為4的余弦函數(shù)。標(biāo)準答案：由傅里葉級數(shù)展開式，可得知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（無窮級數(shù)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、下列級數(shù)中屬于條件收斂的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：D知識點解析：方法一：由其中收斂，發(fā)散，故(A)選項發(fā)散；由其中均收斂，故(B)選項絕對收斂；由收斂，故(C)選項絕對收斂。由排除法，故選(D)。方法二：直接證明(D)選項中的級數(shù)條件收斂。且發(fā)散，從而(D)項條件收斂，故選(D)。2、設(shè)a＞0為常數(shù)，則A、絕對收斂。B、條件發(fā)散。C、發(fā)散。D、收斂性與a有關(guān)。標(biāo)準答案：A知識點解析：由于且而收斂，故收斂，根據(jù)絕對收斂的定義知絕對收斂，故選(A)。3、若在x=－1處收斂，則此級數(shù)在x=2處()A、條件收斂。B、絕對收斂。C、發(fā)散。D、收斂性不確定。標(biāo)準答案：B知識點解析：因x=－1為級數(shù)的收斂點，知級數(shù)在|x－1|＜|－1－1|=2內(nèi)收斂，即當(dāng)－1＜x＜3時絕對收斂，x=2在區(qū)間(－1，3)內(nèi)，故選(B)。4、下列四個級數(shù)中發(fā)散的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：B知識點解析：對于選項(A)，因為由比值審斂法知，級數(shù)收斂。對于選項(B)，因為而級數(shù)發(fā)散，由比較審斂法的極限形式知級數(shù)發(fā)散。對于選項(C)，這是一個交錯級數(shù)，而且令則因此當(dāng)x＞e2時，f’(x)＜0，f(x)單調(diào)減少，所以當(dāng)n＞[e2]([e2]表示不大于e2的最大整數(shù))時，由交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法知，級數(shù)收斂。對于選項(D)，因為而收斂，所以絕對收斂。綜上所述，故選(B)。5、若級數(shù)收斂，發(fā)散，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：D知識點解析：方法一：由發(fā)散，知一定發(fā)散，而收斂，則有一定發(fā)散，故選(D)。方法二：取則收斂，發(fā)散，但絕對收斂，排除選項(A)；發(fā)散，排除選項(B)；收斂，排除選項(C)。故選(D)。6、級數(shù)A、絕對收斂。B、條件收斂。C、發(fā)散。D、斂散性與a有關(guān)。標(biāo)準答案：D知識點解析：當(dāng)a=0時，為交錯級數(shù)，且當(dāng)n≥3時滿足萊布尼茨定理，所以收斂。當(dāng)a=1時，的一般項不趨于零，發(fā)散。所以，斂散性與a有關(guān)，故選(D)。二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)7、冪級數(shù)的收斂半徑為________。標(biāo)準答案：知識點解析：該冪級數(shù)的收斂半徑8、設(shè)函數(shù)f(x)=x2，0≤x＜1，而其中bn=則標(biāo)準答案：知識點解析：正弦級數(shù)s(x)是對f(x)在(－1，0)上作奇延拓后函數(shù)的傅里葉級數(shù)，故9、設(shè)f(x)=πx+x2，－π≤x≤π，且f(x)在[－π，π]上的傅里葉級數(shù)為則b3=____________。標(biāo)準答案：知識點解析：根據(jù)傅里葉系數(shù)的計算公式可得10、設(shè)則標(biāo)準答案：e-1知識點解析：由于函數(shù)在x=1處的泰勒級數(shù)展開式唯一，所以對照比較已知表達式得則于是有11、冪級數(shù)的和函數(shù)為_____________。標(biāo)準答案：ln2－ln(3－x)，x∈[－1，3)知識點解析：令則s(1)=0，對等式兩邊求導(dǎo)得其中即－1＜x＜3。再在等式兩邊從1到戈積分，得所以s(x)=ln2－ln(3－x)，x∈(－1，3)。當(dāng)x=－1時，s(x)連續(xù)，收斂；當(dāng)x=3時，s(x)無意義，發(fā)散，故冪級數(shù)的和函數(shù)為s(x)=ln2－ln(3－x)，x∈[－1，3)。12、設(shè)有以下命題則以上命題正確的序號是___________。標(biāo)準答案：②③知識點解析：級數(shù)加括號收斂，原級數(shù)不一定收斂，如則①不正確；是級數(shù)去掉了前100項，則由收斂可知收斂，則②正確；由于則有則當(dāng)n充分大時|un+1|＞|un|＞0，從而故級數(shù)發(fā)散，③正確。設(shè)有收斂，而和均發(fā)散，④不正確。13、已知冪級數(shù)在x＞0時發(fā)散，且在x=0時收斂，則a的取值是___________。標(biāo)準答案：－1知識點解析：由則該冪級數(shù)的收斂半徑為1，從而得其收斂區(qū)間為|x－a|＜1，即a－1＜x＜a+1。當(dāng)x－a=1，即x=a+1時，原函數(shù)為收斂；當(dāng)x－a=－1，即x=a－1時，原級數(shù)為發(fā)散。因此，原級數(shù)的收斂域為a－1＜x≤a+1。由題設(shè)，x=0時級數(shù)收斂，x＞0時級數(shù)發(fā)散，可知x=0是其收斂區(qū)間的一個端點，且位于收斂域內(nèi)。因此只有a+1=0，即得a=－1。三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)14、已知fn(x)滿足fn’(x)=fn(x)+xn－1ex(n為正整數(shù))且求函數(shù)項級數(shù)的和。標(biāo)準答案：由已知條件可得，fn’(x)－fn(x)=xn－1ex，這是以fn(x)為未知函數(shù)的一階線性非齊次微分方程，其中p(x)=－1，q(x)=xn－1ex，代入通解公式得其通解為由已知條件即得C=0，故因此設(shè)由于所以知識點解析：暫無解析設(shè)數(shù)列{an}滿足條件：a0=3，a1=1，an－2－n(n－1)an=0(n≥2)，s(x)是冪級數(shù)的和函數(shù)，15、證明：s"(x)－s(x)=0；標(biāo)準答案：設(shè)又已知an-2－n(n－1)an=0，即an－2=n(n,－1)an，因此故有s"(x)－s(x)=0。知識點解析：暫無解析16、求s(x)的表達式。標(biāo)準答案：微分方程s"(x)－s(x)=0的特征方程為λ2－1=0，解得λ1=－1，λ2=1，所以s(x)=c1e-x+c2ex，其中c1，c2為常數(shù)。又a0=s(0)=31+c2=3，a1=s’(0)=1c2－c1=1，解得c1=1，c2=2，所以s(x)=e－x+2ex。知識點解析：暫無解析17、求冪級數(shù)的和函數(shù)。標(biāo)準答案：由于令|x|2＜1，即|x|＜1，于是有x∈(－1，1)。令x=－1，原級數(shù)變?yōu)槭諗浚涣顇=1，原級數(shù)變?yōu)槭諗?。故收斂域為[－1，1]。令其中，故f(x)=(1+x2)arctanx，x∈[－1，1]。知識點解析：暫無解析18、求級數(shù)的和。標(biāo)準答案：其中s2為幾何級數(shù)，根據(jù)公式其和而s1可看作冪級數(shù)處的值。記故從而知識點解析：暫無解析19、求數(shù)項級數(shù)的和。標(biāo)準答案：原級數(shù)令則s(0)=0，且s(x)收斂域為(－1，1)。則令則有知識點解析：暫無解析20、將函數(shù)f(x)=2+|x|(－1≤x≤1)展開成以2為周期的傅里葉級數(shù)，并求級數(shù)的和。標(biāo)準答案：f(x)為偶函數(shù)，由傅里葉級數(shù)的系數(shù)公式，得因為f(x)=2+|x|在區(qū)間[－1，1]上滿足狄利克雷收斂定理條件，所以即有令x=0，得即又所以知識點解析：暫無解析21、設(shè)函數(shù)f(x)是以2π為周期的周期函數(shù)，且f(x)=eax(0≤x≤2π)，其中a≠0，試將f(x)展開成傅里葉級數(shù)，并求級數(shù)的和。標(biāo)準答案：根據(jù)傅里葉級數(shù)的定義，傅里葉級數(shù)表達式中的系數(shù)由狄利克雷收斂定理知令a=1，x=0，由狄利克雷收斂定理知故有知識點解析：暫無解析22、判別級數(shù)的斂散性。標(biāo)準答案：設(shè)則而是的p級數(shù)，收斂，所以由比較判別法，原級數(shù)收斂。知識點解析：暫無解析23、判別下列級數(shù)的斂散性：標(biāo)準答案：利用根值判別法知識點解析：暫無解析24、求級數(shù)的和。標(biāo)準答案：作冪級數(shù)故知識點解析：暫無解析25、求常數(shù)項級數(shù)的和。標(biāo)準答案：令則知識點解析：暫無解析26、求級數(shù)的和函數(shù)。標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析27、求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)。標(biāo)準答案：由于所以級數(shù)的收斂半徑R=1，且在x=±1處級數(shù)發(fā)散，故收斂域為(－1，1)。又設(shè)則所以設(shè)則積分得又s3(0)=0，得C=0，所以和函數(shù)其中0＜|x|＜1，且s(0)=3。知識點解析：暫無解析28、證明級數(shù)條件收斂。標(biāo)準答案：令n=2，3，…，則因為級數(shù)發(fā)散，所以由比較判別法可知，級數(shù)發(fā)散，即級數(shù)不絕對收斂。注意到原級數(shù)雖然是交錯級數(shù)，但數(shù)列并沒有單調(diào)性，所以不能用萊布尼茨判別法判斷其斂散性。轉(zhuǎn)而考慮其部分和數(shù)列{s2n}和{s2n+1}。因為(注意部分和數(shù)列從k=2開始)即數(shù)列{s2n}單調(diào)遞減有下界，所以由單調(diào)有界原理可知數(shù)列{s2n}收斂。再由s2n+1=s2n+a2n+2，且可知數(shù)列{s2n+1}也收斂，且所以部分和數(shù)列{sn}收斂。由級數(shù)收斂的定義可知，級數(shù)收斂，從而級數(shù)條件收斂。知識點解析：暫無解析29、判斷級數(shù)的斂散性。標(biāo)準答案：因為則故所以根據(jù)級數(shù)收斂的定義知，收斂。知識點解析：暫無解析30、求級數(shù)的和。標(biāo)準答案：原級數(shù)考慮冪級數(shù)其收斂區(qū)間為(－∞，+∞)，并記其和函數(shù)則有所以兩邊求導(dǎo)得故知識點解析：暫無解析31、在x=1處將函數(shù)展成冪級數(shù)。標(biāo)準答案：于是，知識點解析：暫無解析32、將函數(shù)展開成x－1的冪級數(shù)，并求數(shù)項級數(shù)的和。標(biāo)準答案：由于而故當(dāng)x∈(－1，3)時，有令上式中x=2，則于是得即知識點解析：暫無解析33、將函數(shù)展開為正弦級數(shù)和余弦級數(shù)。標(biāo)準答案：將函數(shù)展開為正弦級數(shù)：先將函數(shù)作奇延拓，再作周期延拓，由已知，l=2，T=2l=4，an=0(n=0，1，2，…)。故f(x)的正弦級數(shù)展開式為在端點x=0，1，2處級數(shù)收斂到零。將函數(shù)展開為余弦級數(shù)：先將函數(shù)作偶延拓，再作周期延拓，由已知，l=2，T=2l=4，bn=0(n=1，2，…)，故f(x)的余弦級數(shù)展開式為在點x=1處級數(shù)收斂到零。知識點解析：暫無解析34、設(shè)函數(shù)f(x)=x2，x∈[0，π]，將f(x)展開為以2π為周期的傅里葉級數(shù)，并證明標(biāo)準答案：方法一：將f(x)作奇延拓，展開為正弦級數(shù)，令則an=0，n=0，1，2，…，故由狄利克雷定理，可知而當(dāng)x=π時，該級數(shù)收斂于零。方法二：將f(x)作偶延拓，展開為余弦級數(shù)，令g2(x)=x2，－π≤x≤π，則bn=0，n=1，2，…，故由收斂定理，可知令x=π得，方法三：將f(x)作零延拓，令且由零延拓與奇、偶延拓的關(guān)系，即知因此，利用方法一和方法二的結(jié)果，有在x=π處，該級數(shù)收斂于因此有知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（無窮級數(shù)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑分別為則冪級數(shù)的收斂半徑為()標(biāo)準答案：A知識點解析：采用比值判別法，則有已知的收斂半徑分別為故有因此，故冪級數(shù)的收斂半徑為5，故選(A)。2、設(shè)級數(shù)收斂，則必收斂的級數(shù)為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：D知識點解析：方法一：令sn=u1+u2+…+un，因為收斂，所以且存在。設(shè)令sn’=(u1+u2)+(u2+u3)+…+(un+un+1)=2sn－u1+un+1。因為所以級數(shù)收斂，故選(D)。方法二：取級數(shù)收斂，而發(fā)散，(A)項不對；取級數(shù)發(fā)散，(B)項不對；取級數(shù)發(fā)散，(C)項不對。故選(D)。3、若級數(shù)收斂，則級數(shù)()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：D知識點解析：方法一：令sn=a1+a2+…+an，因為收斂，所以且存在。設(shè)令故極限存在，所以收斂，故選(D)。方法二：令則級數(shù)為萊布尼茨級數(shù)，故收斂。而由此可知，級數(shù)和均發(fā)散，故選(D)。4、設(shè)有兩個數(shù)列{an}，{bn}，若則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：C知識點解析：方法一：因為所以存在一實數(shù)M＞0，對一切的n有|an|≤M。同理，若收斂，則取M0=1，存在正整數(shù)N，當(dāng)n＞N時，|bn|＜1，于是bn2≤|bn|，由正項級數(shù)的比較審斂法得收斂。由an2bn2≤M2bn2及收斂，得收斂，故選(C)。方法二：取顯然收斂，但發(fā)散，(A)項不對；取顯然且發(fā)散，但收斂，(B)項不對；取顯然且發(fā)散，但收斂，(D)項不對。故選(C)。5、設(shè)an＞0(n=1，2，3，…)且收斂，常數(shù)則級數(shù)A、絕對收斂。B、條件收斂。C、發(fā)散。D、斂散性與λ有關(guān)。標(biāo)準答案：A知識點解析：由于為正項級數(shù)且收斂，則級數(shù)收斂，而且則由比較判別法知收斂，故絕對收斂，故選(A)。6、設(shè)為正項級數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：B知識點解析：方法一：取則有但級數(shù)發(fā)散，(A)項不對；取級數(shù)收斂，但(C)項不對；取級數(shù)發(fā)散，但(D)項不對。故選(B)。方法二：設(shè)取因為所以存在正整數(shù)N，當(dāng)n＞N時，于是有即而發(fā)散，由正項級數(shù)的比較審斂法得發(fā)散，故選(B)。7、級數(shù)的斂散性()A、僅與β取值有關(guān)。B、僅與α取值有關(guān)。C、與α和β的取值有關(guān)。D、與α和β的取值無關(guān)標(biāo)準答案：C知識點解析：由于(1)當(dāng)0＜β＜1時，級數(shù)發(fā)散。(2)當(dāng)β＞1時，級數(shù)收斂。(3)當(dāng)β=1時，原級數(shù)為此時，當(dāng)α＞1時收斂，當(dāng)α≤1時發(fā)散，故選(C)。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)8、設(shè)級數(shù)收斂，則級數(shù)的和等于___________。標(biāo)準答案：級數(shù)可以寫成其部分和所以，級數(shù)的和因為級數(shù)收斂，由級數(shù)收斂的必要條件知所以知識點解析：暫無解析9、冪級數(shù)的收斂區(qū)間為____________。標(biāo)準答案：(－2，4)。知識點解析：則收斂半徑R=3，故收斂區(qū)間為(－2，4)。10、冪級數(shù)的收斂域為__________。標(biāo)準答案：令x－2=t，則轉(zhuǎn)為判別級數(shù)的收斂域。因為所以收斂半徑為當(dāng)t=±2時，發(fā)散，所以的收斂域為(－2，2)，于是原級數(shù)的收斂域為(0，4)。知識點解析：暫無解析11、已知冪級數(shù)在x=0處收斂，在x=－4處發(fā)散，則冪級數(shù)的收斂域為________________。標(biāo)準答案：冪級數(shù)的收斂區(qū)間以x=－2為中心，因為該級數(shù)在x=0處收斂，在x=－4處發(fā)散，所以其收斂半徑為2，收斂域為(－4，0]，即－2＜x+2≤2時級數(shù)收斂，亦即的收斂半徑為2，收斂域為(－2，2]。則的收斂半徑也為2，且由－2＜x－3≤2得，1＜x≤5，即冪級數(shù)的收斂域為(1，5]。知識點解析：暫無解析12、設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，它在區(qū)間(－1，1]上定義為則f(x)的傅里葉級數(shù)在x=1處收斂于_________。標(biāo)準答案：知識點解析：根據(jù)收斂定理f(x)的傅里葉級數(shù)在x=1處收斂于13、若級數(shù)(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n－1+a2n)+…發(fā)散，則級數(shù)標(biāo)準答案：發(fā)散知識點解析：如果收斂，由級數(shù)性質(zhì)知，收斂級數(shù)加括號仍收斂，則級數(shù)(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n－1+a2n)+…收斂，與題設(shè)矛盾。故發(fā)散。14、級數(shù)標(biāo)準答案：e2－1知識點解析：由于則時，故15、設(shè)則其以2π為周期的傅里葉級數(shù)在點x=π處收斂于_______。標(biāo)準答案：知識點解析：由狄利克雷收斂定理知，f(x)在x=π處收斂于三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)判別下列級數(shù)的斂散性16、標(biāo)準答案：由于為正項級數(shù)，又而為幾何級數(shù)且收斂，由比較判別法的極限形式知原級數(shù)收斂。知識點解析：暫無解析17、其中{xn}是單調(diào)遞增且有界的正數(shù)列。標(biāo)準答案：由于{xn}是單調(diào)遞增且有界的正項數(shù)列，由單調(diào)有界準則，存在。對于級數(shù)其前n項部分和由于極限存在，所以收斂，由比較判別法知原級數(shù)收斂。知識點解析：暫無解析18、設(shè)是絕對收斂的級數(shù)，證明由的一切正項組成的級數(shù)是收斂的；由的一切負項組成的級數(shù)也是收斂的。標(biāo)準答案：令則是的一切正項組成的級數(shù)；是的一切負項組成的級數(shù)，且|an|=pn+qn。故有|an|≥pn=|pn|，|an|≥qn=|qn|，由正項級數(shù)的比較判別法知，均收斂，命題得證。知識點解析：暫無解析判別下列級數(shù)的斂散性19、標(biāo)準答案：令則故發(fā)散。知識點解析：暫無解析20、標(biāo)準答案：令則故收斂。知識點解析：暫無解析21、判斷級數(shù)的斂散性。標(biāo)準答案：利用比值判別法，由于所以，當(dāng)p＜e，即ρ＜1時，該級數(shù)收斂；當(dāng)p＞e，即ρ＞1時，該級數(shù)發(fā)散。當(dāng)p=e時，比值判別法失效，但是數(shù)列是單調(diào)遞增且趨于e的，故當(dāng)p=e時，即{un}單調(diào)遞增但不是無窮小量，所以該級數(shù)是發(fā)散的。綜上，級數(shù)在p＜e時收斂，p≥e時發(fā)散。知識點解析：暫無解析22、判斷級數(shù)的斂散性。標(biāo)準答案：當(dāng)0＜a≤1時，故此時原級數(shù)發(fā)散。當(dāng)a＞1時，從而由夾逼準則知由根值判別法可知原級數(shù)收斂。知識點解析：暫無解析23、判斷級數(shù)的斂散性。標(biāo)準答案：根據(jù)正項級數(shù)通項特點，可用根值判別法判定。因故級數(shù)收斂。知識點解析：暫無解析24、設(shè)an＞0(n=1，2，…)且數(shù)列{an}是單調(diào)減少數(shù)列，又級數(shù)發(fā)散，判斷的斂散性。標(biāo)準答案：因為數(shù)列{an}單調(diào)減少且an>0(n=1，2，…)，根據(jù)單調(diào)遞減數(shù)列有下界，所以存在，令由發(fā)散，并結(jié)合萊布尼茨判別法可得A＞0。根據(jù)正項級數(shù)的根值判別法，由故級數(shù)收斂。知識點解析：暫無解析25、判別級數(shù)的斂散性。標(biāo)準答案：直接利用定義進行判別。由于該級數(shù)的部分和而所以原級數(shù)收斂，且其和為4e-1。知識點解析：暫無解析26、設(shè)為兩個正項級數(shù)。證明：若且收斂，則收斂。標(biāo)準答案：取ε0=1，由根據(jù)極限的定義，存在N＞0，當(dāng)n＞N時，即0nn，由收斂知收斂(收斂級數(shù)去掉有限項不改變斂散性)，由比較審斂法得收斂，從而收斂(收斂級數(shù)添加有限項不改變斂散性)。知識點解析：暫無解析27、設(shè)an＞0，數(shù)列{a0}單調(diào)減小且趨于零，證明：級數(shù)收斂。標(biāo)準答案：因為an＞0，且{an}單調(diào)減小，所以也單調(diào)減小。又因為且所以由夾逼準則，由萊布尼茨定理可知，級數(shù)收斂。知識點解析：暫無解析28、判別級數(shù)的斂散性。標(biāo)準答案：由泰勒公式則令于是有由于由比較判別法可知級數(shù)發(fā)散；級數(shù)是交錯級數(shù)，且由萊布尼茨判別法知是收斂的。因為收斂級數(shù)與發(fā)散級數(shù)的代數(shù)和是發(fā)散級數(shù)，故原級數(shù)發(fā)散。知識點解析：暫無解析設(shè)冪級數(shù)在(－∞，+∞)內(nèi)收斂，其和函數(shù)s(x)滿足s"－2xs'－4s=0，s(0)=0，s'(0)=1。29、證明：標(biāo)準答案：對冪級數(shù)的和函數(shù)求一、二階導(dǎo)數(shù)，得分別將其代入已知方程，整理得由于上式對任意的x均成立，則有2a2－4a0=0及(n+1)(n+2)an+2－2(n+2)an=0，于是得知識點解析：暫無解析30、求s(x)的表達式。標(biāo)準答案：根據(jù)上題的結(jié)論n=0，1，2，…，且根據(jù)題中條件有a0=s(0)=0，a1=s’(0)=1。所以a2n=0，n=1,2，…。從而知識點解析：暫無解析31、求函數(shù)在指定點x=2處的泰勒展開式。標(biāo)準答案：因為所以知識點解析：暫無解析設(shè)32、將f(x)展開為x的冪級數(shù)；標(biāo)準答案：把f(x)作變形，并利用幾何級數(shù)得f(x)展開成x的冪級數(shù)為知識點解析：暫無解析33、分別判斷級數(shù)和的斂散性。標(biāo)準答案：根據(jù)冪級數(shù)展開式的唯一性得f(x)在x0=0處的高階導(dǎo)數(shù)設(shè)則所需判別的級數(shù)都為正項級數(shù)。取易知收斂，因故由比較判別法的極限形式得級數(shù)收斂，且由知級數(shù)發(fā)散。知識點解析：暫無解析34、將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)。標(biāo)準答案：由已知，則其中|x|＜1。所以，故知識點解析：暫無解析35、求冪級數(shù)的和函數(shù)。標(biāo)準答案：冪級數(shù)的收斂半徑絕對收斂，故該冪級數(shù)收斂域為[－1，1]。令x∈[－1，1]，則s(0)=0，s(1)=1。當(dāng)－1≤x＜1且x≠0時，故知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（無窮級數(shù)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)冪級數(shù)bnxn的收斂半徑分別為的收斂半徑為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：A知識點解析：采用比值判別法，則有。已知bnxn的收斂半徑分別為=3。因此，的收斂半徑為5。因此選A。2、設(shè)級數(shù)un收斂，則必收斂的級數(shù)為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：D知識點解析：令sn=u1，u2，…，un，因為sn存在。設(shè)sn=s，令s’n=(u1+u2)+(u2+u3)+…+(un+un+1)=2sn一u1+un+1。因為(un+un+1)收斂，應(yīng)選D。3、若級數(shù)an收斂，則級數(shù)()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：D知識點解析：令sn=a1，a2，…，an，因為sn存在。4、設(shè)有兩個數(shù)列{an}，{bn}，若an=0，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：C知識點解析：因為an=0，所以存在一實數(shù)M＞0，對一切的n有｜an｜≤M。同理，若｜bn｜=0，取M0=1，存在正整數(shù)N，當(dāng)n＞N時，｜bn｜＜1，于是bn2≤｜bn｜，由正項級數(shù)的比較審斂法得bn2收斂。由an2bn2≤M2bn2及M2bn2收斂，得an2bn2收斂，應(yīng)選(c)。二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)5、冪級數(shù)(x一1)n的收斂區(qū)間為___________。標(biāo)準答案：(一2，4)知識點解析：則收斂半徑R=3，故收斂區(qū)間為(一2，4)。6、冪級數(shù)的收斂域為___________。標(biāo)準答案：2知識點解析：令x一2=t，則轉(zhuǎn)為判別級數(shù)所以收斂半徑為R==2。當(dāng)t=±2時，的收斂域為(—2，2)，于是原級數(shù)的收斂域為(0，4)。7、已知冪級數(shù)an(x+2)n在x=0處收斂，在x=一4處發(fā)散，則冪級數(shù)an(x一3)n的收斂域為___________。標(biāo)準答案：(1，5]知識點解析：冪級數(shù)an(x+2)n的收斂區(qū)間以x=一2為中心，因為該級數(shù)在x=0處收斂，在x=一4處發(fā)散，所以其收斂半徑為2，收斂域為(一4，0]，即一2＜x+2≤2時級數(shù)收斂，亦即antn的收斂半徑為2，收斂域為(一2，2]。則an(x一3)n的收斂半徑也為2，且由一2＜x一3≤2得，1＜x≤5，即冪級數(shù)an(x一3)n的收斂域為(1，5]。8、設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，它在區(qū)間(一1，1]上定義為則f(x)的傅里葉級數(shù)在x=1處收斂于___________。標(biāo)準答案：知識點解析：根據(jù)收斂定理，f(x)的傅里葉級數(shù)在x=1處收斂于三、解答題(本題共24題，每題1.0分，共24分。)9、判別下列級數(shù)的斂散性(Ⅰ)；(Ⅱ)，其中{xn}是單調(diào)遞增且有界的正數(shù)列。標(biāo)準答案：(Ⅰ)由于為幾何級數(shù)且收斂，由比較判別法的極限形式知原級數(shù)收斂。(Ⅱ)由于{xn}是單調(diào)遞增且有界的正項數(shù)列，由單調(diào)有界準則，xn存在。由于極限vn收斂，由比較判別法知原級數(shù)收斂。知識點解析：暫無解析10、設(shè)an是絕對收斂的級數(shù)，證明由an的一切正項組成的級數(shù)pn是收斂的；由an的一切負項組成的級數(shù)(一qn)也是收斂的。標(biāo)準答案：令pn=an的一切正項組成的級數(shù)；an的一切負項組成的級數(shù)，且｜an｜=pn+qn。故有｜an｜≥pn=｜pn｜，｜an｜≥qn=｜qn｜，由正項級數(shù)的比較判別法知，(一qn)均收斂，命題得證。知識點解析：暫無解析11、判別下列級數(shù)的斂散性標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析12、判斷級數(shù)(p＞0為常數(shù))的斂散性。標(biāo)準答案：利用比值判別法，由于所以，當(dāng)p＜e，即ρ＜1時，該級數(shù)收斂；當(dāng)p＞e，即ρ＞1時，該級數(shù)發(fā)散。當(dāng)p=e時，比值判別法失效，但是數(shù)列{an}={(1+)n}是單調(diào)遞增且趨于e的，故p=e時，＞1，即{un}單調(diào)遞增但不是無窮小量，所以該級數(shù)是發(fā)散的。綜上，級數(shù)在p＜e時收斂，p≥e時發(fā)散。知識點解析：暫無解析13、判斷級數(shù)(a＞0)的斂散性。標(biāo)準答案：當(dāng)0＜a≤1時，≠0，故此時原級數(shù)發(fā)散。當(dāng)a＞1時，，從而由夾逼準則知＜1。由根值判別法可知原級數(shù)收斂。知識點解析：暫無解析14、判斷級數(shù)的斂散性。標(biāo)準答案：根據(jù)正項級數(shù)通項特點，可用根值判別法判定。知識點解析：暫無解析15、設(shè)an＞0(n=1，2，…)且數(shù)列{an}是單調(diào)減少數(shù)列，又級數(shù)(一1)nan發(fā)散，判斷的斂散性。標(biāo)準答案：因為數(shù)列{an}單調(diào)減少且an＞0(n=1，2，…)，根據(jù)單調(diào)遞減數(shù)列有下界，所以(一1)nan發(fā)散，并結(jié)合萊布尼茨判別法可得A＞0。根據(jù)正項級數(shù)的根值判別法，由收斂。知識點解析：暫無解析16、判別級數(shù)的斂散性。標(biāo)準答案：直接利用定義進行判別。由于該級數(shù)的部分和=一2∫1+∞tde-t=一2te-t｜1+∞+2∫1+∞e-tdt=2e-1+2e-1=4e-1，所以原級數(shù)收斂，且其和為4e-1。知識點解析：暫無解析17、設(shè)bn為兩個正項級數(shù)。證明：若an收斂。標(biāo)準答案：取ε0=1，由=0，根據(jù)極限的定義，存在N＞0，當(dāng)n＞N時，bn收斂(收斂級數(shù)去掉有限項不改變斂散性)，由比較審斂法得an收斂(收斂級數(shù)添加有限項不改變斂散性)。知識點解析：暫無解析18、設(shè)an＞0，數(shù)列{an}單調(diào)減小且趨于零，證明：級數(shù)收斂。標(biāo)準答案：因為an＞0，且{an}單調(diào)減小，所以也單調(diào)減小。又因為0＜=0。由萊布尼茨定理可知，級數(shù)收斂。知識點解析：暫無解析19、判別級數(shù)的斂散性。標(biāo)準答案：由于，由比較判別法可知級數(shù)是交錯級數(shù)，且由萊布尼茨判別法知是收斂的。因為收斂級數(shù)與發(fā)散級數(shù)的代數(shù)和是發(fā)散級數(shù)，故原級數(shù)發(fā)散。知識點解析：暫無解析20、設(shè)級數(shù)(un+1一2un+un—1)的和等于___________。標(biāo)準答案：級數(shù)(un+1一2un+un—1)可以寫成[(un+1一un)一(un一un—1)]，其部分和sn=[(ui+1一ui)一(ui—ui—1)]=(un+1一un)一(u1—u0)=un+1一un一u1+u0，所以，級數(shù)∑(un+1一2un+un—1)的和s=(un+1—un—u1+u0)。因為級數(shù)un收斂，由級數(shù)收斂的必要條件知un=0，所以s=(un+1—un)+u0—u1=u0一u1。知識點解析：暫無解析21、設(shè)冪級數(shù)anxn在(一∞，+∞)內(nèi)收斂，其和函數(shù)s(x)滿足s"一2xs’一4s=0，s(0)=0，s’(0)=1。(Ⅰ)證明：an+2=an，n=1，2，…；(Ⅱ)求s(x)的表達式。標(biāo)準答案：(Ⅰ)對冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)=∑anxn求一、二階導(dǎo)數(shù)，得s’=n(n一1)anxn—2，分別將其代入已知方程，整理得(n+1)(n+2)anxn一4anxn=0，即(2a2—4a0)x0+[(n+1)(n+2)an+2一2nan一4an]xn=0。由于上式對任意的x均成立，則有2a2—4a0=0及(n+1)(n+2)an+2一2(n+2)an=0，于是得an+2=an，n=1，2，…。(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的結(jié)論an+2=an，n=0，1，2，…，且根據(jù)題中條件有a0=s(0)=0．a(chǎn)1=s’(0)=1。知識點解析：暫無解析22、求函數(shù)f(x)=在指定點x=2處的泰勒展開式。標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析23、設(shè)f(x)=。(Ⅰ)將f(x)展開為x的冪級數(shù)；(Ⅱ)分別判斷級數(shù)的斂散性。標(biāo)準答案：(Ⅰ)把f(x)作變形，并利用幾何級數(shù)，｜x｜＜1，得f(x)展開成x的冪級數(shù)為(Ⅱ)根據(jù)冪級數(shù)展開式的唯一性得f(x)在x0=0處的高階導(dǎo)數(shù)故由比較判別法的極限形式得級數(shù)發(fā)散。知識點解析：暫無解析24、將函數(shù)f(x)=arctanx一x展開成x的冪級數(shù)。標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析25、求冪級數(shù)的和函數(shù)。標(biāo)準答案：冪級數(shù)絕對收斂，故該冪級數(shù)收斂域為[一1，1]。令s(x)=，x∈[一1，1]，則s(0)=0，s(1)=1。當(dāng)一1≤x＜1且x≠0時，知識點解析：暫無解析26、已知fn(x)滿足f’n(x)=fn(x)+xn—1ex(n為正整數(shù))且fn(1)=fn(x)的和。標(biāo)準答案：由已知條件可得，f’n(x)一fn(x)=xn—1ex，這是以fn(x)為未知函數(shù)的一階線性非齊次微分方程，其中p(x)=一1，q(x)=xn—1ex，代入通解公式f(x)=e<-∫p(x)dx(∫q(x)e∫p(x)dxdx+C)，得其通解為f(x)=e∫dx(∫xn—1exe-∫dxdx+C)=ex(+C)，知識點解析：暫無解析27、設(shè)數(shù)列{an}滿足條件：a0=3，a1=1，an—2一n(n一1)an=0(n≥2)，s(x)是冪級數(shù)anx的和函數(shù)，(Ⅰ)證明：s"(x)一s(x)=0；(Ⅱ)求s(x)的表達式。標(biāo)準答案：(Ⅰ)設(shè)s(x)=ann(n一1)x。又已知an—2一n(n一1)an=0，即an—2=n(n一1)an，因此s"(x)=anx=s(x)。故有s"(x)一s(x)=0。(Ⅱ)微分方程s"(x)一s(x)=0的特征方程為λ2一1=0，解得λ1=一1，λ2=1，所以s(x)=c1e-x+c2ex，其中c1，c2為常數(shù)。又a0=s(0)=3→c1+c2=3，a1=s’(0)=1→c2一c1=1，解得c1=1，C2=2，所以s(x)=e-x+2ex。知識點解析：暫無解析28、求冪級數(shù)x+x2n+1的和函數(shù)。標(biāo)準答案：由于=｜x｜2，令｜x｜n＜1，即｜x｜＜1，于是有x∈(—1，1)。令x=一1，原級數(shù)變?yōu)橐?+，收斂；令x=1，原級數(shù)變?yōu)?+，收斂。故收斂域為[一1，1]。令故f(x)=(1+x2)arctanx，x∈[一1，1]。知識點解析：暫無解析29、求級數(shù)的和。標(biāo)準答案：其中s2為幾何級數(shù)，根據(jù)公式其和s2=；而s1可看作冪級數(shù)知識點解析：暫無解析30、求數(shù)項級數(shù)的和。標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析31、將函數(shù)f(x)=2+｜x｜(一1≤x≤1)展開成以2為周期的傅里葉級數(shù)，并求級數(shù)的和。標(biāo)準答案：f(x)為偶函數(shù)，由傅里葉級數(shù)的系數(shù)公式，得a0=2∫01(2+x)dx=5，an=2∫01(2+x)cos(nπx)dx=(n=1，2，3’…)，bn=0(n=1，2，3，…)。因為f(x)=2+｜x｜在區(qū)間[一1，1]上滿足狄利克雷收斂定理條件，所以知識點解析：暫無解析32、設(shè)函數(shù)f(x)是以2π為周期的周期函數(shù)，且f(x)=eax(0≤x≤2π)，其中a≠0，試將f(x)展開成傅里葉級數(shù)，并求級數(shù)的和。標(biāo)準答案：根據(jù)傅里葉級數(shù)的定義，傅里葉級數(shù)表達式中的系數(shù)由狄利克雷收斂定理知令a=1，x=0，由狄利克雷收斂定理知知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（無窮級數(shù)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設(shè)an＞0(n=1，2，3，…)且a2n()A、絕對收斂。B、條件收斂。C、發(fā)散。D、斂散性與A有關(guān)。標(biāo)準答案：A知識點解析：由于an為正項級數(shù)且收斂，則級數(shù)a2n收斂，而則由比較判別法知a2n絕對收斂。故選A。2、設(shè)an為正項級數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()A、若an收斂。B、若存在非零常數(shù)λ，使得an發(fā)散。C、若級數(shù)n2an=0。D、若級數(shù)an發(fā)散，則存在非零常數(shù)λ，使nan=λ。標(biāo)準答案：B知識點解析：取an=發(fā)散，(A)不對；取an==+∞，(c)不對；取an=nan=+∞，(D)不對。故應(yīng)選B。3、級數(shù)(α＞0，β＞0)的斂散性()A、僅與β取值有關(guān)。B、僅與α取值有關(guān)。C、與α和β的取值有關(guān)。D、與α和β的取值無關(guān)標(biāo)準答案：C知識點解析：由于。(1)當(dāng)0＜β＜1時，級數(shù)發(fā)散。(2)當(dāng)β＞1時，級數(shù)收斂。(3)當(dāng)＞=1時，原級數(shù)為，此時，當(dāng)α＞1時收斂，當(dāng)α≤1時發(fā)散，故應(yīng)選C。4、下列級數(shù)中屬于條件收斂的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：D知識點解析：由排除法，因此應(yīng)選D。5、設(shè)a＞0為常數(shù)，則()A、絕對收斂。B、條件發(fā)散。C、發(fā)散。D、收斂性與a有關(guān)。標(biāo)準答案：A知識點解析：由于1一cos收斂，根據(jù)絕對收斂的定義知絕對收斂。因此應(yīng)選A。6、若an(x一1)n在x=一1處收斂，則此級數(shù)在x=2處()A、條件收斂。B、絕對收斂。C、發(fā)散。D、收斂性不確定。標(biāo)準答案：B知識點解析：因x=一1為級數(shù)的收斂點，知級數(shù)在｜x一1｜＜｜一1—1｜=2內(nèi)收斂，即當(dāng)一1＜x＜3時絕對收斂，x=2在區(qū)間(一1，3)內(nèi)，故應(yīng)選B。7、下列四個級數(shù)中發(fā)散的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：B知識點解析：對于(A)，因為而級數(shù)發(fā)散，由比較審斂法的極限形式知級數(shù)發(fā)散。應(yīng)選B。對于(C)，這是一個交錯級數(shù)，而且令f(x)=，因此當(dāng)x＞e2時，f’(x)＜0，f(x)單調(diào)減少，所以當(dāng)n＞[e2]([e2]表示不大于e2的最大整數(shù))時，，由交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法知，級數(shù)收斂。對于(D)，因為8、若級數(shù)bn發(fā)散，則()A、anbn必發(fā)散。B、an必收斂。C、bn必發(fā)散。D、(an+｜bn｜)必發(fā)散。標(biāo)準答案：D知識點解析：由(an+｜bn｜)一定發(fā)散，故應(yīng)選D。9、級數(shù)(a為常數(shù))()A、絕對收斂。B、條件收斂。C、發(fā)散。D、斂散性與a有關(guān)。標(biāo)準答案：D知識點解析：當(dāng)a=0時，為交錯級數(shù)，且當(dāng)n≥3時滿足萊布尼茨定理，所以收斂。當(dāng)a=1時，不趨于零，發(fā)散。所以，斂散性與a有關(guān)。故選D。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)10、若級數(shù)(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n—1+a2n)+…發(fā)散，則級數(shù)an=___________。標(biāo)準答案：發(fā)散知識點解析：如果an收斂，由級數(shù)性質(zhì)知，收斂級數(shù)加括號仍收斂，則級數(shù)(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n—1一a2n)+…收斂，與題設(shè)矛盾。11、級數(shù)=___________。標(biāo)準答案：e2一1知識點解析：由于ex==e2一1。12、設(shè)f(x)=則其以2π為周期的傅里葉級數(shù)在點x=π處收斂于___________。標(biāo)準答案：知識點解析：由狄利克雷收斂定理知，f(x)在x=π處收斂于。13、冪級數(shù)的收斂半徑為___________。標(biāo)準答案：知識點解析：該冪級數(shù)的收斂半徑14、設(shè)函數(shù)f(x)=x2，0≤x＜1，而s(x)=bnsinnπx，一∞＜x＜+∞，其中bn=2∫01f(x)sinnπxdx，n=1，2，3，…，則s(一)=___________。標(biāo)準答案：知識點解析：正弦級數(shù)s(x)是對f(x)在(一1，0)上作奇延拓后函數(shù)的傅里葉級數(shù)，故15、設(shè)f(x)=πx+x2，一π≤x≤π，且f(x)在[一π，π]上的傅里葉級數(shù)為(ancosnx+bnsinnx)，bn=___________。標(biāo)準答案：知識點解析：根據(jù)傅里葉系數(shù)的計算公式可得16、設(shè)f(x)=f(n)(1)=___________。標(biāo)準答案：e-1知識點解析：由于函數(shù)在x=1處的泰勒級數(shù)展開式唯一，所以f(x)=(x一1)n，對照比較已知表達式得=e-1。17、冪級數(shù)的和函數(shù)為___________。標(biāo)準答案：ln2一ln(3一x)，x∈[一1，3)知識點解析：令s(x)=，則s(1)=0，對等式兩邊求導(dǎo)得再在等式兩邊從1到x積分，得s(x)一s(1)==ln2一ln(3一x)，x∈(一1，3)，所以s(x)=ln2一ln(3一x)，x∈(一1，3)。當(dāng)x=一1時，s(x)連續(xù)，收斂；當(dāng)x=3時，s(x)無意義，的和函數(shù)為s(x)=ln2一ln(3一x)，x∈[一1．3)。18、設(shè)有以下命題則以上命題正確的序號是___________。標(biāo)準答案：②③知識點解析：級數(shù)加括號(u2n—1+u2n)收斂，原級數(shù)(一1)n—1，則①不正確；un去掉了前100項，則由un+100收斂，則②正確；則當(dāng)n充分大時｜un+1｜＞｜un｜＞0，從而19、已知冪級數(shù)(x一a)n在x＞0時發(fā)散，且在x=0時收斂，則a的取值是___________。標(biāo)準答案：一1知識點解析：由=1，則該冪級數(shù)的收斂半徑為1，從而得其收斂區(qū)間為｜x一a｜＜1，即a一1＜x＜a+1。當(dāng)x一a=1，即x=a+1時，原函數(shù)為收斂；當(dāng)x一a=一1，即x=a一1時，原級數(shù)為，發(fā)散。因此，原級數(shù)的收斂域為a一1＜x≤a+1。由題設(shè)，x=0時級數(shù)收斂，x＞0時級數(shù)發(fā)散，可知x=0是其收斂區(qū)間的一個端點，且位于收斂域內(nèi)。因此只有a+1=0．即得a=一1。三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)20、判別級數(shù)的斂散性。標(biāo)準答案：設(shè)un=＞1的p級數(shù)，收斂，所以由比較判別法，原級數(shù)收斂。知識點解析：暫無解析21、判別下列級數(shù)的斂散性：標(biāo)準答案：利用根值判別法知識點解析：暫無解析22、求級數(shù)的和。標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析23、求常數(shù)項級數(shù)的和。標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析24、求級數(shù)的和函數(shù)。標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析25、求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)。標(biāo)準答案：由于=1，所以級數(shù)的收斂半徑R=1，且在x=±1處級數(shù)發(fā)散，故收斂域為(一1，1)。其中0＜｜x｜＜1，且s(0)=3。知識點解析：暫無解析26、證明級數(shù)條件收斂。標(biāo)準答案：令an=發(fā)散，所以由比較判別法可知，級數(shù)an不絕對收斂。注意到原級數(shù)并沒有單調(diào)性，所以不能用萊布尼茨判別法判斷其斂散性。轉(zhuǎn)而考慮其部分和數(shù)列{s2n}和{s2n+1}。因為(注意部分和數(shù)列從k=2開始)即數(shù)列{s2n}單調(diào)遞減有下界，所以由單調(diào)有界原理司知數(shù)列{s2n}收斂。再由s2n+1=s2n+a2n+2，且=0，可知數(shù)列{s2n+1}也收斂，且s2n+1。所以部分和數(shù)列{sn}收斂。由級數(shù)收斂的定義可知，級數(shù)條件收斂。知識點解析：暫無解析27、判斷級數(shù)的斂散性。標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析28、求級數(shù)的和。標(biāo)準答案：原級數(shù)nx2n—1，其收斂區(qū)間為(一∞，+∞)，并記其和函數(shù)s(x)=，則有知識點解析：暫無解析29、在x=1處將函數(shù)f(x)=展成冪級數(shù)。標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析30、將函數(shù)f(x)=展開成x一1的冪級數(shù)，并求數(shù)項級數(shù)的和。標(biāo)準答案：知識點解析：暫無解析31、將函數(shù)f(x)=展開為正弦級數(shù)和余弦級數(shù)。標(biāo)準答案：將函數(shù)展開為正弦級數(shù)：先將函數(shù)作奇延拓，再作周期延拓，由已知，l=2，T=2l=4，an=0(n=0，1，2，…)。故f(x)的正弦級數(shù)展開式為在端點x=0，1，2處級數(shù)收斂到零。將函數(shù)展開為余弦級數(shù)：先將函數(shù)作偶延拓，再作周期延拓，由已知，l=2，T=2l=4，bn=0(n=1，2，…)，故f(x)的余弦級數(shù)展開式為f(x)=(0≤x≤2且x≠1)，在點x=1處級數(shù)收斂到零。知識點解析：暫無解析32、設(shè)函數(shù)f(x)=x2，x∈[0，π]，將f(x)展開為以2π為周期的傅里葉級數(shù)，并證明。標(biāo)準答案：將f(x)作奇延拓，展開為正弦級數(shù)，令g1(x)=則an=0，n=0，1，2，…，而當(dāng)x=π時，該級數(shù)收斂于零。知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（無窮級數(shù)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設(shè)級數(shù)收斂，則下列必收斂的級數(shù)為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：D知識點解析：因為級數(shù)收斂，再由收斂級數(shù)的和仍收斂可知，級數(shù)收斂，故選D。2、設(shè)正項級數(shù)收斂，常數(shù)λ∈，則級數(shù)()A、絕對收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性與λ有關(guān)標(biāo)準答案：A知識點解析：因為而由正項級數(shù)收斂，再由比較審斂法極限形式知，原級數(shù)絕對收斂，故選A。3、設(shè)(n=1，2，…)，則下列級數(shù)中一定收斂的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：D知識點解析：由收斂及正項級數(shù)的比較判別法知，級數(shù)收斂，從而絕對收斂，故選D。4、設(shè)un=，則級數(shù)()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：C知識點解析：是一個交錯級數(shù)，而單調(diào)遞減趨于零，由萊布尼茨定理知，級數(shù)收斂。發(fā)散，則發(fā)散，故選C。5、設(shè)pn=，n=1，2，…，則下列命題正確的是()A、若條件收斂，則都收斂。B、若絕對收斂，則都收斂。C、若條件收斂，則斂散性都不定。D、若絕對收斂，則斂散性都不定。標(biāo)準答案：B知識點解析：若絕對收斂，即收斂，則由級數(shù)絕對收斂的性質(zhì)知收斂。而pn=，再由收斂級數(shù)的運算性質(zhì)知，都收斂，故選B。6、若級數(shù)發(fā)散，則()A、必發(fā)散。B、必收斂。C、必發(fā)散。D、必發(fā)散。標(biāo)準答案：D知識點解析：由必發(fā)散，故選D。7、設(shè)a是常數(shù)，則級數(shù)()A、絕對收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性與a有關(guān)標(biāo)準答案：C知識點解析：8、已知等于()A、3B、7C、8D、9標(biāo)準答案：C知識點解析：=2×5—2=8，故選C。9、設(shè)函數(shù)f(x)=x2，0≤x＜1，而s(x)=，—∞＜x＜+∞，其中bn=2∫01f(x)sinnπxdx，n=1，2，3，…，則等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準答案：B知識點解析：因為s(x)是正弦級數(shù)，所以此傅里葉級數(shù)是對f(x)在(—1，0)內(nèi)作奇延拓后展開的，于是和函數(shù)s(x)在一個周期內(nèi)的表達式為二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)10、冪級數(shù)的收斂半徑R=________。標(biāo)準答案：知識點解析：首先設(shè)an=，則當(dāng)滿足條件，該冪級數(shù)是收斂的。因此，此