三國(guó)殺中的數(shù)學(xué)問(wèn)題分析

3/30“三國(guó)殺”中的數(shù)學(xué)問(wèn)題分析MathematicalAnalysesoftheGame”LegendsoftheThreeKingdoms”學(xué)校：廣州市第六中學(xué)成員：楊卓瀟伍思航李思聰指導(dǎo)老師：璩斌

摘要“三國(guó)殺”游戲是當(dāng)前廣泛流行于大中小學(xué)生中的桌面益智游戲，游戲開(kāi)始時(shí)玩家選擇充當(dāng)何種武將是游戲勝負(fù)的關(guān)鍵。在本研究中，我們根據(jù)組合數(shù)學(xué)及概率理論，對(duì)該游戲中一些常用武將使用技能的成功概率進(jìn)行了分析。研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于“周泰”，第四次使用“不屈”技能時(shí)的存活概率最大，存活次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為4.52?！罢缂А痹诨睾蟽?nèi)額外得到手牌數(shù)的數(shù)學(xué)期望為0.98?！瓣戇d“在未裝備“諸葛連弩”和裝備“諸葛連弩”時(shí)得到的手牌數(shù)的數(shù)學(xué)期望分別為0.73和1.47。對(duì)于“張角”，第一回合內(nèi)“雷擊”技能成功的概率為0.27。根據(jù)這些結(jié)果，玩家可以科學(xué)地選擇自己扮演的武將。另外，游戲生產(chǎn)商也可以根據(jù)我們的計(jì)算結(jié)果來(lái)調(diào)整武將技能，改進(jìn)游戲。AbstractThecardgame"LegendsoftheThreeKingdoms"iscurrentlyverypopularinthestudentsfromcolleges,middleandprimaryschools.Actually,theplayer’schoiceforageneralatthebeginningisthekeystepinthegame.Inthisstudy,weusedcombinatoricsandprobabilitytheorytoanalysetheprobabilitiesofsuccesswhenseveralpopulargeneralsperformtheirspecialskillsinthegame.Weshowedthat,asforthegeneral"ZhouTai",ifheusesthe"NeverSurrender"skill,themaximumsurvivalprobabilityoccursinthefourthroundandthemathematicalexpectationofsurvivaltimesis4.52.Asfor"ZhenJi",themathematicalexpectationtogetextracardsinaroundis0.98respectively.Asfor"Luxun",themathematicalexpectationofgettingextracardsis1.47with“zhugeliannu”,whileit’s0.73without“zhugeliannu”.Asfor"Zhangjiao",theprobabilityofthesuccesswhenheusesthe"Thunder"skillinthefirstroundis0.27.Ourresultsareexpectedtobebeneficialtothegameplayersinchoosinggeneralsscientifically.Inaddition,thegamedeveloperscanadjustthegenerals’skillsaccordingtoourcalculation.

目錄TOC\o"1-3"\h\u封面 1摘要 2Abstract 2目錄 3引言 4“三國(guó)殺”游戲規(guī)則 5概率分析 7卡牌數(shù)量介紹 7周泰 8張角 12甄姬 14陸遜 18總結(jié)與感悟 26參考文獻(xiàn) 27附錄 28

引言“三國(guó)殺”由中國(guó)傳媒大學(xué)動(dòng)畫(huà)學(xué)院04級(jí)游戲?qū)I(yè)學(xué)生設(shè)計(jì)，并于2009年6月底移植至網(wǎng)游平臺(tái)，是一款國(guó)內(nèi)最流行的桌上游戲?！叭龂?guó)殺”游戲牌共分為三大類(lèi)：基本牌、錦囊牌和裝備牌。每類(lèi)牌包含了多種卡牌，每種卡牌具有獨(dú)特的用處。在游戲中，玩家扮演一名三國(guó)時(shí)期的武將，采用回合制的出牌順序，由主公開(kāi)始依次行動(dòng)。每個(gè)武將在自己的回合內(nèi)需要完成摸牌、出牌和棄牌的過(guò)程。由于各武將具有不同的技能，玩家須經(jīng)過(guò)一輪一輪的謀略和動(dòng)作，合縱連橫，爭(zhēng)取最終的勝利，所以在游戲中玩家能得到充分的享受。目前，“三國(guó)殺”在中學(xué)生中廣受歡迎。以我校為例，約有三成男同學(xué)喜歡玩該游戲，幾乎成為了緊張學(xué)習(xí)生活之余放松心情的首選。在本研究中，我們探討了“三國(guó)殺”一些常用武將的概率問(wèn)題。通過(guò)揭示游戲開(kāi)發(fā)者自覺(jué)或不自覺(jué)地隱藏于該游戲中的“潛規(guī)則”，我們對(duì)武將的技能有了更加深入的了解，并能應(yīng)用計(jì)算結(jié)果，得心應(yīng)手地使用手中的卡牌。

“三國(guó)殺”游戲規(guī)則游戲模式“三國(guó)殺”游戲模式包括1V1（單挑），3V3（3人組一隊(duì)，兩隊(duì)對(duì)戰(zhàn)），8人局（8人游戲）等。下面以1V1與8人局模式為主，介紹“三國(guó)殺”游戲通則。挑選角色牌“三國(guó)殺”有61張角色牌，每個(gè)角色為一個(gè)三國(guó)人物，并具有角色技能。在8人局中，由主公玩家先挑選角色牌，如曹操、劉備、孫權(quán)，且只能選擇一個(gè)角色。剩余7人為非主公玩家，每人可拿到3張角色牌，從中挑選擇一個(gè)角色扮演。在8人局中由于玩家較多，所以每張牌都會(huì)有攻擊目標(biāo)。在1V1模式中，兩名玩家選好武將后，每人可拿到3張牌，抽簽決定誰(shuí)先出牌。準(zhǔn)備開(kāi)始每位玩家分發(fā)一張?bào)w力牌，初始的體力值等于武將牌上顯示的體力上限。以后每受一點(diǎn)傷害，扣減一點(diǎn)體力。每出一張【桃】，回復(fù)一點(diǎn)體力。游戲開(kāi)始時(shí)，每個(gè)玩家摸牌4張（在1V1中只能摸3張牌），其后每回合每人摸牌2張。游戲牌詳解游戲牌包括基本牌、錦囊牌和裝備牌。下面給出與本論文中的人物密切相關(guān)的游戲牌介紹，其余見(jiàn)附錄?；九啤練ⅰ浚撼雠齐A段使用，攻擊一名在攻擊距離內(nèi)的玩家。若攻擊成功，被攻擊玩家減1點(diǎn)體力。未裝備武器時(shí)，玩家殺的攻擊距離為1；裝備武器后，攻擊距離為武器的攻擊距離。一名玩家一回合只能用一次【殺】。【閃】：當(dāng)某玩家用【殺】或【萬(wàn)箭齊發(fā)】攻擊時(shí)，被攻擊者可出【閃】，閃避一次攻擊。錦囊牌【無(wú)中生有】：出牌階段使用，從牌堆摸兩張牌?！緹o(wú)懈可擊】：取消一張錦囊牌對(duì)某一位玩家的作用。判定：指從牌堆頂摸一張牌，這張牌的花色和數(shù)字（紅桃、黑桃等）即為判定結(jié)果。從牌堆頂翻開(kāi)的這張牌叫做判定牌。一張牌被作為判定牌使用后，如無(wú)特殊技能聲明，則必須棄到棄牌堆。游戲中很多時(shí)候都需要判定。裝備牌標(biāo)有"裝備"字樣的牌，裝備牌使用后放在自己面前。每名玩家只能同時(shí)裝備一種裝備。如果裝備新的武器必須將原有武器棄掉。例如：不能同時(shí)裝備【諸葛連駑】和【方天畫(huà)戟】。裝備帶有裝備技能。【諸葛連駑】：裝備后，出牌階段可以出任意張【殺】。攻擊距離為1。死亡條件武將每被造成一點(diǎn)傷害扣一滴體力，當(dāng)扣光了體力，武將就死亡，退出游戲。但是如果玩家選擇的武將是周泰，若沒(méi)體力時(shí)，使用“不屈”，可以一張牌，且不死。在后續(xù)輪次中周泰若繼續(xù)遭到攻擊，沒(méi)體力時(shí)仍可使用“不屈”。但如果摸到與前輪次所摸到的牌點(diǎn)數(shù)有一樣的，周泰即死。試舉一例：周泰沒(méi)體力后，第一次使用“不屈”，摸到一張紅桃6，繼續(xù)玩。第二次使用“不屈”，摸到一張梅花2，繼續(xù)玩。若第三次摸到一張方片（梅花、黑桃）6或者2，則死去。除非此時(shí)有人給周泰一張【桃】，周泰可把那張重復(fù)點(diǎn)數(shù)的牌拿走，則可繼續(xù)玩。概率分析卡牌數(shù)量介紹標(biāo)準(zhǔn)包牌型“三國(guó)殺”一共有108張，如表1所示。表1：”三國(guó)殺”卡牌黑殺21基本牌紅殺953張閃15桃8過(guò)河拆橋6樂(lè)不思蜀3順手牽羊5借刀殺人2錦囊牌無(wú)中生有4五谷豐登236張無(wú)懈可擊4閃電2南蠻入侵3桃園結(jié)義1決斗3萬(wàn)箭齊發(fā)1麒麟弓1寒冰劍1方天畫(huà)戟1諸葛連弩2貫石斧1紅+11裝備牌青龍偃月刀1黑+1219張丈八蛇矛1紅-12青鋼劍1黑-11雌雄雙股劍1八卦陣2仁王盾1標(biāo)準(zhǔn)版“三國(guó)殺”中共有108張牌，分為4種花色，每種27張。其中黑牌（黑桃和梅花）54張、紅牌（紅桃和方片）54張。數(shù)字從1-13，每個(gè)數(shù)字有8張牌。另外還有4張擴(kuò)展牌，分別為【寒冰劍】黑桃2、【仁王盾】梅花2、【無(wú)懈可擊】方片Q、【閃電】紅桃Q。

由于“三國(guó)殺”的數(shù)學(xué)問(wèn)題主要體現(xiàn)在武將的技能上面，所以我們將對(duì)一些依靠“概率”的武將進(jìn)行數(shù)學(xué)分析。周泰圖1：周泰武將技能：【不屈】——當(dāng)周泰的體力值被扣減到0或更低時(shí)，每當(dāng)扣減1點(diǎn)體力后，可以從牌堆亮出一張牌置于武將牌上。若此牌的點(diǎn)數(shù)與武將牌上已有的任何一張牌都不同，周泰不會(huì)死亡。舉例：周泰瀕死時(shí)候發(fā)動(dòng)【不屈】技能。假設(shè)摸出一張點(diǎn)數(shù)為3，此時(shí)周泰只有一張“不屈牌”，點(diǎn)數(shù)不與任何重復(fù)，第1次不死。若后續(xù)再被殺一次，第2次發(fā)動(dòng)技能從牌堆頂摸出一張牌，假設(shè)為5，不與3重復(fù)，則第2次不死。若第3次摸出點(diǎn)數(shù)為3或5，與第1次的3或第二次的5重復(fù)，周泰死亡。為了計(jì)算方便，此處忽略4張擴(kuò)展牌的影響，即每種點(diǎn)數(shù)有8張。周泰存活回合數(shù)的期望值計(jì)算如下:A：第n次存活下來(lái)的概率計(jì)算方法第1第1次存活概率：第1次一定存活第2次存活概率：即1減去從剩下107張摸到與第1,次牌相同（7張）的概率第2次存活概率：即1減去從剩下107張摸到與第1即1減去從剩下106張摸到與第1、第3次存活概率：2次牌相同（7+7即1減去從剩下106張摸到與第1、第3次存活概率：…………第n次存活概率：第n次存活概率：第14次存活概率：第14次存活概率：B：存活次數(shù)計(jì)算方法設(shè)存活次數(shù)為n,n=1,2,…13,則:即第即第1次存活概率*第2次死的概率（1-第2次存活概率）即第1次存活概率*第2次存活概率*第3次死的概率即第1次存活概率*第2次存活概率*第3次死的概率,1≤k≤13,k∈N+下面是PASCAL算法程序，及得出的相關(guān)結(jié)果:programzhangjiao;vark,n,m:longint;i,j:extended;s:extended;beginassign(output,'output.txt');//輸出txt文本文件rewrite(output);i:=1;//分母j:=1;//分子k:=0;//計(jì)數(shù)變量s:=0;//期望值whilek<13dobegininc(k);forn:=1tok-1dobegini:=i*(108-n);j:=j*(108-n-7*n);end;i:=i*(108-k);j:=j*(7*k);writeln(k,'',j:0:0,'/',i:0:0,'=',j/i:0:5);//輸出回合數(shù)、存活概率s:=s+j/i*k;//此回合數(shù)期望值i:=1;//重置分母j:=1;//重置分子end;writeln(‘EX=’,s:0:5);//輸出期望值close(output);//關(guān)閉文本文件End.輸出結(jié)果：回合分子/分母=17/107=0.0654221400/11342=0.123443193200/1190910=0.16223421638400/123854640=0.1747152055648000/12757027920=0.161146167740876800/1301216847840=0.12891711741861376000/131422901631840=0.089348697802047488000/13142290163184000=0.05310934541201350656000/1301086726155216000=0.02655101381648054026240000/127506499163211170000=0.010841142554760064008192000/12368130418831483000000=0.0034412928467492305633280000/1187340520207822400000000=0.0007813132638213186519040000/1187340520207822400000000=0.00011EX=4.52312存活次數(shù)n的分布如表2所示。表2：存活次數(shù)n的分布n12345678p0.065420.123440.162230.174710.161140.128910.089340.05310n910111213p0.026550.010840.003440.000780.00011由此得存活回合數(shù)的期望值為:圖2：周泰存活次數(shù)分布圖由圖2我們可以直觀(guān)地看出，周泰存活到第4次的概率最大，在這之前概率上升，之后概率下降，類(lèi)似于波松分布。

張角圖3:張角武將技能：【雷擊】——每當(dāng)張角打出一張【閃】時(shí)，可令一名其他角色進(jìn)行判定，若判定結(jié)果為黑桃，張角對(duì)該角色造成2點(diǎn)雷電傷害。【鬼道】——在一名角色的判定牌生效前，張角可以打出一張黑色牌替換之?！军S天】——主公技，群雄角色可以在他們各自的出牌階段交給張角一張【閃】或【閃電】，每階段限一次。舉例：如果張角手上有【閃】，當(dāng)別人殺他一刀時(shí)，它可以打出【閃】，并指定對(duì)方進(jìn)行一次判定。如果判定結(jié)果不為黑桃，張角手上沒(méi)有黑桃，則【雷擊】失??；如果張角手上有黑桃，那么張角可以發(fā)動(dòng)【鬼道】技能替換判定牌，那么雷擊【成功】；如果打出【閃】后判定結(jié)果直接為黑桃，張角【雷擊】依然成功。現(xiàn)主要討論張角【雷擊】技能成功在新版1V1（上手三張牌）中對(duì)方第一回合對(duì)張角出【殺】，張角反用【雷擊】對(duì)對(duì)方造成傷害的概率。事件A：張角有【閃】無(wú)黑桃張角上手3張牌中，先從15張【閃】中選出一張，則共有選法為，剩下兩張牌應(yīng)在除去黑桃和手上一張【閃】的108-28-1=79張牌中選兩張，共有種選法?？偟幕臼录?shù)中共有種。打出【閃】后，從牌堆頂摸出一張判定牌，為黑桃的概率約。所以事件B：手牌有【閃】有黑桃，此時(shí)一定可以雷擊成功。先從15張【閃】中選出一張作為手牌,有種選法，再?gòu)?8張黑桃中選出一張作為手牌，有種選法，最后從106張剩余的牌中選出一張作為手牌，有種選法?？偟幕臼录?shù)中共有種。所以此時(shí)因而,張角被殺后發(fā)動(dòng)技能【雷擊】成功的概率為

甄姬圖4:甄姬武將技能：【傾國(guó)】甄姬可以將一張黑色牌當(dāng)【閃】打出?！韭迳瘛炕睾祥_(kāi)始階段，甄姬可以進(jìn)行判定。若為黑色牌，甄姬獲得它。若為紅色牌，停止判定。舉例:在回合開(kāi)始時(shí)，甄姬發(fā)動(dòng)【洛神】，第一張判定牌為黑色，甄姬獲得它；第二張判定牌為黑色，甄姬獲得它；第三張判定牌為紅色，甄姬就不能獲得了，并停止判定。從上面可以看出，甄姬具有“爆發(fā)”屬性，根據(jù)【洛神】可以獲得大量黑牌?？傻降啄塬@得多少黑牌呢？獲得這些牌的概率又是多少？知道了獲得牌數(shù)的概率，我們就可以算出甄姬摸牌數(shù)的期望值了。玩家可以發(fā)現(xiàn)，甄姬有一個(gè)缺點(diǎn)，就是很容易“洛到桃”（即洛神最后一張判定牌為紅色的【桃】），這樣的概率又是多少？綜上所述，我們對(duì)甄姬會(huì)對(duì)其兩個(gè)有研究?jī)r(jià)值的事件進(jìn)行數(shù)學(xué)分析。事件一：甄姬用技能【洛神】得到的牌數(shù)的概率事件二：甄姬用技能【洛神】最后一張判定牌是“桃”的概率事件一：設(shè)甄姬通過(guò)【洛神】可以得到k張牌，則應(yīng)滿(mǎn)足的條件是前k張牌為黑牌，第k+1張牌為紅牌。因?yàn)榭偟暮谂茢?shù)為54張，紅牌數(shù)為54張，所以對(duì)于前k張牌，共有種排列方式，對(duì)于第k+1張牌，則有種排列方式。而總基本事件數(shù)共有個(gè)。所以,甄姬洛神得到k張牌的概率為：，得到的牌數(shù)下面是PASCAL算法程序，及得出的相關(guān)結(jié)果:programzhenji;vark:longint;x,y,p,w:extended;functionpailie(a,b:longint):extended;//計(jì)算排列vari:longint;g:extended;beging:=1;fori:=bdowntob-a+1dog:=g*i;pailie:=g;end;beginassign(output,'output.txt');//輸出為文本文件rewrite(output);w:=0;fork:=1to17do//洛神發(fā)動(dòng)16次以后概率近似為0beginx:=pailie(k,54)*pailie(1,54);//分子y:=pailie(k+1,108);//分母p:=x/y;w:=w+k*p;//計(jì)算期望值writeln('P',k,'=',x:0:0,'/',y:0:0,'=',p:0:5);writeln;end;writeln(‘Ew=’,W:0:5);//輸出close(output);end.P1=2916/11556=0.25234P2=154548/1224936=0.12617P3=8036496/128618280=0.06248P4=4098612960.03064P5=20493064800/1377759015360=0.01487P6=1004160175200/140531419566720=0.00715P7=48199688409600/14193673376238720=0.00340P8=2265385355251200/1419367337623872000=0.00160P9=104207726341555200/140517366424763330000=0.00074P10=4689347685369984000/13770701909626806000000=0.00034P11=206331298156279300000/1335758085233800200000000=0.00015P12=8872245820720009700000/128232776182444820000000000=0.00007P13=372634324470240410000000/12182113737332258000000000000=0.00003P14=15278007303279857000000000/1145118691309232200000000000000=0.00001P15=611120292131194270000000000/106496038291758600000000000000000=0.00001P16=23833691393116577000000000000/9797635522841791000000000000000000=0.00000P17=905680272938429910000000000000/891584832578602980000000000000000000=0.00000Ew=0.98181甄姬【洛神】得到手牌數(shù)w的分布（部分）見(jiàn)表3和圖5。表3:甄姬【洛神】得到手牌數(shù)的分布w123456789P0.252340.126170.062480.030640.014870.007150.003400.001600.00074w1011121314151617P0.000340.000150.000070.000030.000010.000010.000000.00000圖5:甄姬【洛神】得到手牌數(shù)的分布從圖5可以看出，甄姬在第17次以及以后的判定后概率已經(jīng)非常趨向于0了，這里為了方便，就取前17次的判定結(jié)果來(lái)計(jì)算甄姬【洛神】得到手牌數(shù)的數(shù)學(xué)期望。通過(guò)以上程序可以看出，甄姬在回合開(kāi)始內(nèi)通過(guò)【洛神】得到的手牌數(shù)期望為Ew=0.98181（張）。事件二：設(shè)甄姬通過(guò)【洛神】可以得到k張牌，對(duì)于前k張牌，共有種排列方式，對(duì)于第k+1張牌，因?yàn)榭偣灿?張【桃】，所以有種排列方式。而總基本事件數(shù)共有個(gè)。所以甄姬洛神得到k張牌且洛神結(jié)束時(shí)判定結(jié)果為【桃】的概率為：

陸遜圖6:陸遜武將技能:【謙遜】——鎖定技，陸遜不能成為【順手牽羊】和【樂(lè)不思蜀】的目標(biāo)。【連營(yíng)】——每當(dāng)陸遜失去最后的手牌時(shí)，可立即摸一張牌。舉例：比如陸遜現(xiàn)在手上有一張【過(guò)河拆橋】，則他可以對(duì)場(chǎng)上一名角色使用。他這時(shí)失去了最后一張手牌，于是發(fā)動(dòng)【連營(yíng)】，從牌堆里再摸一張牌。如果摸到的是【樂(lè)不思蜀】，那么它可以繼續(xù)使用，又失去最后一張手牌，發(fā)動(dòng)【連營(yíng)】。如果這次摸到的是【閃】，無(wú)法使用，則連營(yíng)結(jié)束。此處我們討論【連營(yíng)】技能:他一開(kāi)始有一張牌，并開(kāi)始出牌，使用【連營(yíng)】技能，并且通過(guò)【連營(yíng)】次數(shù)為K。在標(biāo)準(zhǔn)版卡包里面，對(duì)于使用【無(wú)中生有】，陸遜可以摸到3張牌（【連營(yíng)】一張，【無(wú)中生有】牌技兩張），所以因?yàn)槊祟~外的三張牌，陸遜已經(jīng)很難再發(fā)動(dòng)【連營(yíng)】技能，所以他使用【無(wú)中生有】時(shí)即可視為【連營(yíng)】結(jié)束。而對(duì)于陸遜，【諸葛連弩】無(wú)非是一個(gè)神器，因?yàn)榭梢詿o(wú)限輸出【殺】。因此，我們這里就分兩種情況討論陸遜【連營(yíng)】時(shí)的平均摸牌數(shù)（摸牌數(shù)的數(shù)學(xué)期望）:事件A:陸遜沒(méi)有裝備【諸葛連弩】事件B：陸遜裝備了【諸葛連弩】事件A：1.在k次【連營(yíng)】中，陸遜既摸不到【無(wú)中生有】，也摸不到【諸葛連弩】，同時(shí)自身未裝備【諸葛連弩】因?yàn)殛戇d的前k-1張牌是可以用的，而在這k-1張牌中，只有除【諸葛連弩】以外的裝備牌17張加上除去【無(wú)中生有】，【無(wú)懈可擊】的28張錦囊牌。對(duì)于最后一張牌，就會(huì)摸到53張基本牌和4張【無(wú)懈可擊】。所以【連營(yíng)】獲得的前k張牌中，共有種排列方式，最后一張牌有種排列方式，總的排列方式就有種。摸到的牌數(shù)為k這種情況下，，摸到的牌數(shù)為k

2.在k次連營(yíng)中，陸遜摸到【無(wú)中生有】，但摸不到【諸葛連弩】，同時(shí)自身未裝備【諸葛連弩】。因?yàn)樵谇発張牌中，陸遜只有除【諸葛連弩】以外的裝備牌17張加上除去【無(wú)中生有】，【無(wú)懈可擊】的28張錦囊牌。對(duì)于最后一張牌，就會(huì)摸到【無(wú)中生有】,所以與“1”同理，由于最后一次的【無(wú)中生有】能多獲得2張牌，此時(shí)由于最后一次的【無(wú)中生有】能多獲得2張牌，此時(shí)共得到k+2張牌所以，當(dāng)陸遜沒(méi)有裝備【諸葛連弩】時(shí)，平均摸牌數(shù)為事件B：3.在k次連營(yíng)中，陸遜摸不到【無(wú)中生有】，但自身裝備【諸葛連弩】因?yàn)樵谇発張牌中，只有除【諸葛連弩】以外的非武器裝備牌8張、除去【無(wú)中生有】，【無(wú)懈可擊】以及【借刀殺人】的26張錦囊牌和30張【殺】可以用。最后一張牌則應(yīng)該是非【諸葛連弩】的武器牌8張，【無(wú)懈可擊】4張，【借刀殺人】2張以及非【殺】的基本牌23張。所以與“1”同理，此時(shí)能摸k此時(shí)能摸k張牌4.在k張牌中，陸遜摸到【無(wú)中生有】，同時(shí)自身裝備【諸葛連弩】因?yàn)樵谇発張牌中，只有除【諸葛連弩】以外的非武器裝備牌8張、除去【無(wú)中生有】，【無(wú)懈可擊】以及【借刀殺人】的26張錦囊牌和30張【殺】可以用。最后一張牌則應(yīng)該是【無(wú)中生有】。所以同理，由于最后一次的【無(wú)中生有】能多獲得2張牌，所以其中共得到k+2張牌。由于最后一次的【無(wú)中生有】能多獲得2張牌，所以所以，陸遜在裝備【諸葛連弩】時(shí)，平均摸牌數(shù)為下面是PASCAL算法程序,及計(jì)算的k從1到10，WA（k）WB（k）的值programluxun;varj,k:longint;WA,WB,SUMWA,SUMWB,x,y,n,m,w,e:extended;p1,p2,p3,p4,p:extended;functionpailie(a,b:longint):extended;//計(jì)算排列A（a,b）=b*(b-1)*...(b-a+1);vari:longint;g:extended;beging:=1;fori:=bdowntob-a+1dog:=g*i;pailie:=g;end;beginassign(output,'output.txt');//將運(yùn)行結(jié)果輸出為txt文本文件rewrite(output);e:=0;//期望值變量初始值為0WA:=0;WB:=0;SUMWA:=0;SUMWB:=0;fork:=1to10dobeginwriteln('K=',k);x:=pailie(k,45);//分子y:=pailie(k+1,108);//分母p1:=57*(x/y);//P1的值writeln('P1=57',x:0:0,'/',y:0:0,'=',p1:0:5);x:=pailie(k,45);//計(jì)算P2y:=pailie(k+1,108);p2:=4*(x/y);writeln('P2=4',x:0:0,'/',y:0:0,'=',p2:0:5);x:=pailie(k,64);//計(jì)算P3y:=pailie(k+1,107);p3:=37*(x/y);writeln('P3=37',x:0:0,'/',y:0:0,'=',p3:0:5);x:=pailie(k,64);//計(jì)算P4y:=pailie(k+1,107);p4:=4*(x/y);writeln('P4=37',x:0:0,'/',y:0:0,'=',p4:0:5);p:=p1+p2+p3+p4;writeln('p=',p:0:5);WA:=k*p1+(k+2)*p2;//計(jì)算W（A）WB:=k*p3+(k+2)*p4;//計(jì)算W（B）writeln('WA',k,'=',wA:0:5);writeln('WB',k,'=',wB:0:5);SUMWA:=SUMWA+WA;//計(jì)算W（A）總和SUMWB:=SUMWB+WB;//計(jì)算W（B）總和writeln;//空兩行，為了輸出美觀(guān)writeln;end;writeln('SUMWA',k,'=',SUMWA:0:5);writeln('SUMWB',k,'=',SUMWB:0:5);close(output);//關(guān)文件End.下面是輸出內(nèi)容：K=1P1=5745/11556=0.22196P2=445/11556=0.01558P3=3764/11342=0.20878P4=3764/11342=0.02257p=0.46889WA1=0.26869WB1=0.27649K=2P1=571980/1224936=0.09214P2=41980/1224936=0.00647P3=374032/1190910=0.12527P4=374032/1190910=0.01354p=0.23741WA2=0.21013WB2=0.30471K=3P1=5785140/128618280=0.03773P2=485140/128618280=0.00265P3=37249984/123854640=0.07468P4=37249984/123854640=0.00807p=0.12313WA3=0.12643WB3=0.26441K=4P1=5735758800.01524P2=435758800.00107P3=3715249024/12757027920=0.04423P4=3715249024/12757027920=0.00478p=0.06532WA4=0.06737WB4=0.20560K=5P1=57146611080/1377759015360=0.00607P2=4146611080/1377759015360=0.00043P3=37914941440/1301216847840=0.02602P4=37914941440/1301216847840=0.00281p=0.03532WA5=0.03331WB5=0.14977K=6P1=575864443200/140531419566720=0.00238P2=45864443200/140531419566720=0.00017P3=3753981544960/131422901631840=0.01520P4=3753981544960/131422901631840=0.00164p=0.01939WA6=0.01561WB6=0.10433K=7P1=57228713284800/14193673376238720=0.00092P2=4228713284800/14193673376238720=0.00006P3=373130929607680/13142290163184000=0.00881P4=373130929607680/13142290163184000=0.00095p=0.01075WA7=0.00701WB7=0.07028K=8P1=578691104822400/1419367337623872000=0.00035P2=48691104822400/1419367337623872000=0.00002P3=37178462987637760/1301086726155216000=0.00508P4=37178462987637760/1301086726155216000=0.00055p=0.00600WA8=0.00304WB8=0.04609K=9P1=57321570878428800/140517366424763330000=0.00013P2=4321570878428800/140517366424763330000=0.00001P3=379993927307714560/127506499163211170000=0.00290P4=379993927307714560/127506499163211170000=0.00031p=0.00335WA9=0.00127WB9=0.02955K=10P1=5711576551623436800/13770701909626806000000=0.00005P2=411576551623436800/13770701909626806000000=0.00000P3=37549666001924300800/12368130418831483000000=0.00164P4=37549666001924300800/12368130418831483000000=0.00018p=0.00187WA10=0.00052WB10=0.01858SUMWA10=0.73338SUMWB10=1.46980以上數(shù)據(jù)整理為表4和圖7。表4:陸遜連營(yíng)中k從1到10,W（k）的值K12345W(A)0.268690.210130.126430.067370.03331W(B)0.276490.30471 0.264410.205600.14977K678910W(A)0.015610.007010.003040.001270.00052W(B)0.104330.070280.046090.029550.01858圖7:陸遜連營(yíng)次數(shù)及概率分布由上面可以看出，當(dāng)k=10時(shí)，P與W（A）、W（B）已經(jīng)非常小了，而陸遜的連營(yíng)是無(wú)限的，所以期望不可能算出精確數(shù)。所以這里不妨把陸遜摸牌的期望值用和來(lái)表示，得到，。即陸遜在未裝備【諸葛連弩】時(shí)通過(guò)【連營(yíng)】獲得的手牌數(shù)期望為0.73338（張），在裝備【諸葛連弩】時(shí)通過(guò)【連營(yíng)】獲得的手牌數(shù)期望為1.46980（張）。

總結(jié)與感悟我們?nèi)似匠＞蛺?ài)打“三國(guó)殺”，被其中的奧秘深深地打動(dòng)，進(jìn)而思考游戲設(shè)計(jì)中蘊(yùn)含的原理，并試圖“破譯”它。于是我們苦心探索，付諸實(shí)踐，從而造就了這篇小論文。在玩游戲的時(shí)候,我們通常只會(huì)考慮下一張牌可能出現(xiàn)的概率是多少，而不會(huì)考慮下面一堆牌排列的概率。我們苦思冥想，終于將周泰，甄姬，張角，陸遜四個(gè)“三國(guó)殺”里依靠概率的主要角色的數(shù)學(xué)原理分析透徹了，可以說(shuō)給了我們的愛(ài)好一個(gè)交代。如甄姬在文中算得洛神期望值約為0.98，即每回合額外摸得的牌非常接近1張，而周瑜，另一個(gè)武將，其擁有一個(gè)技能為每回合額外摸多一張牌，顯然其期望值為1。兩個(gè)人物比較，從實(shí)際上得出經(jīng)驗(yàn)，玩家傾向于選甄姬多，因?yàn)檎缂沁\(yùn)氣爆發(fā)型武將，運(yùn)氣好可以成為一夜暴發(fā)戶(hù)，擁有數(shù)十張牌。但是從理論上分析，周瑜有穩(wěn)定的1張收入，期望值為1，而甄姬為0.98的期望值。一般地說(shuō)，在期望值幾乎相等時(shí)，方差（摸牌收入不穩(wěn)定度）較小的較為穩(wěn)定，但“爆發(fā)”潛力不高；而方差較大的雖不穩(wěn)定，但可以“爆發(fā)”，在游戲中就會(huì)有優(yōu)勢(shì)。這與人教版數(shù)學(xué)必修3中甲乙兩人打靶環(huán)數(shù)的問(wèn)題類(lèi)似（在兩人都處于劣勢(shì)的情況下，平均數(shù)一樣但方差大的沖擊高分）。而實(shí)戰(zhàn)中，往往需要較高的運(yùn)氣，甄姬經(jīng)常是一翻出就是紅牌，洛神得到牌數(shù)為0，所以面對(duì)周瑜與甄姬的抉擇，玩家可要三思而后行。起初，我們以為算出游戲中武將的相關(guān)概率問(wèn)題很容易，僅僅是單純的排列組合，與課本的習(xí)題類(lèi)似。但真正做了后才發(fā)現(xiàn)，用排列組合來(lái)分析現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題還是比較困難的。我們有時(shí)列出了算式，但帶入數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)不合常理。如在編寫(xiě)完“陸遜”的程序運(yùn)行結(jié)果時(shí)，發(fā)現(xiàn)不符實(shí)際，回頭檢驗(yàn)才發(fā)現(xiàn)中間漏了一步或者重復(fù)了一步。我們的思維就在一次一次的思考中逐漸變得靈活、縝密，這是做多少道高考題都無(wú)法比擬的！通過(guò)我們對(duì)“三國(guó)殺”中武將技能的概率分析，一方面可以為該游戲愛(ài)好者提供理論指導(dǎo)，讓大家能更加客觀(guān)科學(xué)地選將或評(píng)論，而不只是憑借玩游戲時(shí)的主觀(guān)感受；另一方面，可以對(duì)廣大學(xué)生乃至科研工作者有所啟迪，即有時(shí)科研可以來(lái)自生活中，來(lái)自玩樂(lè)中。從身邊小事，從自己的興趣愛(ài)好中發(fā)現(xiàn)科學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用科學(xué)方法予以分析，這樣研究才會(huì)有價(jià)值，才會(huì)有樂(lè)趣，這就是老師所說(shuō)的“做數(shù)學(xué)”，而恰恰也是從理論數(shù)學(xué)到應(yīng)用數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。

參考文獻(xiàn)[1]/subview/1147207/5