專題02 一元二次函數(shù)、方程與不等式（解析版）-2025高考數(shù)學一輪復習知識

專題02一元二次函數(shù)、方程與不等式（思維構建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）知識點1等式性質與不等式性質1、等式性質性質文字表述性質內容注意1對稱性可逆2傳遞性同向3可加、減性可逆4可乘性同向5可除性同向2、不等式性質性質別名性質內容注意1對稱性a>b?b<a可逆2傳遞性a>b，b>c?a>c同向3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0?ac>bca>b，c<0?ac<bcc的符號5同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向6正數(shù)同向可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向7正數(shù)乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正知識點2一元二次不等式的解集判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實根x1，x2(x1<x2)有兩相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??知識點3基本不等式1、重要不等式：,（當且僅當時取號）.變形公式：2、基本不等式：（1）基本不等式成立的條件：（2）等號成立的條件：當且僅當時取等號．（3）算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)設a>0，b>0，則a，b的算術平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．3、利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，則（1）如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2eq\r(p).(簡記：積定和最小)（2）如果和x＋y是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值eq\f(p2,4).(簡記：和定積最大)重難點01利用基本不等式求最值的方法法一、直接法：條件和問題間存在基本不等式的關系【典例1】（2024·重慶·模擬預測）若實數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D【解析】，當且僅當時，等號成立.故選：D.【典例2】（2024·四川成都·三模）若正實數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，所以，即，當且僅當時等號成立，所以的最大值為.故選：A.法二、配湊法：湊出“和為定值”或“積為定值”，直接使用基本不等式?！镜淅?】（23-24高三下·河南·開學考試）已知，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【解析】由于，所以，由,（當且僅當時取等號），可得的最小值為3，故選：D．【典例2】（23-24高三上·山西晉中·開學考試）已知，則的最大值為（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】因為，所以，當且僅當時取等號，因為，解得，故選：B法三、代換法：代換法適用于條件最值中，出現(xiàn)分式的情況類型1：分母為單項式，利用“1”的代換運算，也稱乘“1”法；【典例1】（23-24高三下·江蘇鎮(zhèn)江·開學考試）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】因為正數(shù)滿足，所以，當且僅當，即、時取等號.故選：D【典例2】（23-24高三上·甘肅武威·期末）若，且，則的最小值為（

）A．6 B．9 C．4 D．8【答案】B【解析】因為，所以，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為9，故選：B.類型2：分母為多項式時方法1：觀察法適合與簡單型，可以讓兩個分母相加看是否與給的分子型成倍數(shù)關系；方法2：待定系數(shù)法，適用于所有的形式，如分母為與，分子為，設∴，解得：【典例1】（23-24高三下·江蘇揚州·開學考試）已知實數(shù)，，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】實數(shù)，，由，得，因此，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.故選：B【典例2】（2024·四川成都·模擬預測）若是正實數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，當且僅當時取等號，所以的最小值為.故選：A法四、消元法：當題目中的變元比較多的時候，可以考慮削減變元，轉化為雙變量或者單變量問題。【典例1】（2024·浙江嘉興·二模）若正數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】由可得，，當且僅當，即時，等號成立，此時符合題意.所以的最小值為.故選：A.【典例2】（2024高三·全國·專題練習）已知實數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為實數(shù)滿足，所以，則，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值是的最小值是，故選：B法五、構造不等式法：尋找條件和問題之間的關系，通過重新分配，使用基本不等式得到含有問題代數(shù)式的不等式，通過解不等式得出范圍，從而求得最值?！镜淅?】（2023·山東濰坊·模擬預測）若正數(shù)滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知為正數(shù)，且，所以，化簡得，解得，當且僅當時取等號，所以，故A正確.故選：A.【典例2】（23-24高三下·重慶·月考）對于正數(shù)，有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題可知：，因為都是正數(shù)，所以（當且僅當時取等），所以（當且僅當時取等），化簡可得，解得，故C正確.故選：C.重難點02不等式恒成立與能成立問題一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：1、，2、，3、，4、，【典例1】（23-24高一上·遼寧·月考）若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．或C． D．或【答案】A【解析】由題意知，，當且僅當，即時取等，又不等式恒成立，則不等式，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為.故選：A.【典例2】（23-24高三上·浙江寧波·期末）設實數(shù)x，y滿足，，不等式恒成立，則實數(shù)k的最大值為（

）A．12 B．24 C． D．【答案】B【解析】，，變形為，令，則轉化為，即，其中當且僅當，即時取等號，可知.故選：B重難點03求含參數(shù)的一元二次不等式對求含參的不等式，應對參數(shù)進行分類討論，常見的分類有：（1）根據(jù)二次項系數(shù)為正、負及零進行分類；（2）根據(jù)判別式與0的關系判斷根的個數(shù)；（3）有兩個根式，有時還需根據(jù)兩根的大小進行討論?！镜淅?】（23-24高三上·浙江紹興·期末）（多選）已知，關于x的一元二次不等式的解集可能是（

）A．或 B．C． D．【答案】ACD【解析】當時，；當時，或，故A正確；當時，，若，則解集為空集；若，則不等式的解為：，故D正確；若，則不等式的解為：，故C正確.故選：ACD【典例2】（2024高三·全國·專題練習）（1）解關于實數(shù)的不等式：．（2）解關于實數(shù)的不等式：．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；【解析】（1）易知方程的，由得，解得，當時，的解集為，當時，的解集為，當時，的解集為．（2）對方程，當時，即時,不等式的解集為當時，即或時,的根為，不等式的解集為；綜上可得，時,不等式的解集為，或時，不等式的解集為.一、比較兩數(shù)（式）的大小1、作差法：（1）原理：設，則；；；（2）步驟：作差并變形判斷差與0的大小得出結論。（3）注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判斷差的符號的方向變形。2、作商法：（1）原理：設，則；；（2）步驟：作商并變形判斷商與1的大小得出結論。（3）注意：作商時各式的符號應相同，如果均小于0，所得結果與“原理”中的結論相反，變形方法有分母（分子）有理化，指、對數(shù)恒等變形。【典例1】（22-23高三·全國·對口高考）（1）比較與的大??；（2）已知，比較與大小【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，所以，所以①當時，，所以，②當時，，即，所以，③當時，，即，所以，綜上所述：當，.（2），因為，所以，所以，由，所以，所以，即，故.【典例2】（2024高三·全國·專題練習）已知均為正實數(shù)，且．(1)比較與的大?。?2)比較和的大?。敬鸢浮?1)；(2)答案見解析【解析】（1），均為正實數(shù)，，；（2）當時，函數(shù)為增函數(shù)；當時，函數(shù)為減函數(shù)．①當時，，則，若，則；若，則；②當時，；③當時，，則，若，則；若，則．綜上所述，當或時，；當時，；當或時，.二、利用不等式的性質求數(shù)（式）的范圍已知，，求的取值范圍第一步：設；第二步：經過恒等變形，求得待定系數(shù)；第三步：再根據(jù)不等式的同向可加性即可求得的取值范圍?！镜淅?】（23-24高三上·河南洛陽·月考）（多選）已知，，則下列選項中正確的有（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】由，可得，又，所以，故A正確；由，可得，又，所以，故B正確；由，可得，又，所以，因為，所以，故C錯誤；由，，得，，所以，所以，故D錯誤.故選：AB【典例2】（23-24高一上·山西太原·月考）已知，，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，，故，即.故選：D三、解一元二次不等式的步驟第一步：先看二次項系數(shù)是否為正，若為負，則將二次項系數(shù)化為正數(shù)；第二步：寫出相應的方程，計算判別式：①時，求出兩根，且（注意靈活運用因式分解和配方法）；②時，求根；③時，方程無解第三步：根據(jù)不等式，寫出解集.【典例1】（23-24高三下·河北滄州·月考）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，所以，故選：B【典例2】（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解為，那么的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】一元二次不等式的解為，所以的解為，且，由韋達定理得，代入得，故選：D.四、一元二次不等式恒成立問題恒成立問題求參數(shù)的范圍的解題策略：（1）弄清楚自變量、參數(shù)。一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數(shù)；（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式，一般分離參數(shù)求最值或分類討論?！镜淅?】（23-24高三下·上海浦東新·月考）若關于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】當時，不等式為，顯然不符合題意；當時，因為關于的不等式的解集為，所以有，所以實數(shù)的取值范圍是.【典例2】（2024·陜西西安·模擬預測）當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】.【解析】當時，不等式恒成立，所以當時，恒成立，則，令，則在單調遞增，所以，所以.五、基本不等式的實際應用解實際應用題的三個注意點：1、設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；2、根據(jù)實際問題抽象很出有關式關系式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值；3、在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域（使實際問題有意義的自變量的取值范圍）內求解?！镜淅?】（2024·廣東韶關·二模）在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量W（單位：平方米）的計算公式是，在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是10000平方米，每平方米收費1元，請估算平整完這塊場地所需的最少費用（單位：元）是（

）A．10000 B．10480 C．10816 D．10818【答案】C【解析】設矩形場地的長為米，則寬為米，，當且僅當，即時，等號成立.所以平整這塊場地所需的最少費用為元.故選：C【典例2】（2024·黑龍江·二模）“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構成的方尺，是古人用來測量、畫圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板，按圖中數(shù)據(jù)，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個內角滿足，則這塊四邊形木板周長的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為四邊形木板的一個內角滿足，如圖，設，由題設可得圓的直徑為，故，因，為三角形內角，故，故，故，故，故，當且僅當時等號成立，同理，當且僅當?shù)忍柍闪?，故四邊形周長的最大值為，故選：A.六、利用不等的性質及基本不等式證明不等式1、無附加條件的不等式證明：證明時要根據(jù)其結構特征，合理地構造并正確選用基本不等式或其變形形式，這也是證明輪換對稱結構的不等式（把b換a，a換c，c換b后，代數(shù)式不變的式子叫做輪換對稱性，其特征是a，b，c的地位一樣）的常用思路。2、有附加條件的不等式的證明：應先觀察已知條件和所證不得呢公式之間的聯(lián)系，當已知條件中含有“1”時，要注意“1”的代換。另外，解題時要時刻注意等號能否取到。【典例1】（23-24高三下·陜西西安·月考）設為正數(shù)，且.證明：(1)；(2).【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【解析】（1）由已知有，從而，故，當且僅當時等號成立.（2）方法一：由已知條件，結合基本不等式即可得到.方法二：等價于，根據(jù)題設有，當且僅當時等號成立.【典例2】（2024·青?！ひ荒＃┮阎龜?shù)滿足．求證：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【解析】（1）證明：因為正數(shù)滿足，由，當且僅當時，等號成立，可得，即，所以，當且僅當時，等號成立.（2）證明：由，當且僅當，即，等號成立.所以.易錯點1忽視不等式性質成立的條件點撥：在使用不等式的基本性質進行推理論證時一定要注意前提條件，如不等式兩端同時乘以或同時除以一個數(shù)、式，兩個不等式相乘、一個不等式兩端同時n次方時，一定要注意使其能夠這樣做的條件．【典例1】（2024·北京豐臺·二模）若，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于，取，，，無法得到，，故AB錯誤，取,則，無法得到，C錯誤，由于，則，所以，故選：D【典例2】（2024·陜西安康·模擬預測）若滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，得，所以，所以，所以錯誤；令，此時與無意義，所以錯誤；因為，所以由不等式的性質可得，所以正確；令，則，所以錯誤.故選：.易錯點2忽視基本不等式應用的條件點撥：（1）利用基本不等式a＋b≥2ab以及變式ab≤a+b22等求函數(shù)的最值時，務必注意a，b為正數(shù)(或a，b非負（2）對形如y＝ax＋bx(a，b>0)的函數(shù)，在應用基本不等式求函數(shù)最值時，一定要注意ax，b【典例1】（2022·黑龍江哈爾濱·三模）已知x，y都是正數(shù)，且，則下列選項不恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】x，y都是正數(shù)，由基本不等式，，，，這三個不等式都是當且僅當時等號成立，而題中，因此等號都取不到，所以ABC三個不等式恒成立；中當且僅當時取等號，如即可取等號，D中不等式不恒成立．故選：D．