專題02 一元二次函數(shù)、方程與不等式（原卷版）-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)

專題02一元二次函數(shù)、方程與不等式（思維構(gòu)建+知識(shí)盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧+易混易錯(cuò)）知識(shí)點(diǎn)1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)1、等式性質(zhì)性質(zhì)文字表述性質(zhì)內(nèi)容注意1對(duì)稱性可逆2傳遞性同向3可加、減性可逆4可乘性同向5可除性同向2、不等式性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對(duì)稱性a>b?b<a可逆2傳遞性a>b，b>c?a>c同向3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0?ac>bca>b，c<0?ac<bcc的符號(hào)5同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向6正數(shù)同向可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向7正數(shù)乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正知識(shí)點(diǎn)2一元二次不等式的解集判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1<x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??知識(shí)點(diǎn)3基本不等式1、重要不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取號(hào)）.變形公式：2、基本不等式：（1）基本不等式成立的條件：（2）等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．（3）算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．3、利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，則（1）如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值2eq\r(p).(簡(jiǎn)記：積定和最小)（2）如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值eq\f(p2,4).(簡(jiǎn)記：和定積最大)重難點(diǎn)01利用基本不等式求最值的方法法一、直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系【典例1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．【典例2】（2024·四川成都·三模）若正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．法二、配湊法：湊出“和為定值”或“積為定值”，直接使用基本不等式?！镜淅?】（23-24高三下·河南·開學(xué)考試）已知，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【典例2】（23-24高三上·山西晉中·開學(xué)考試）已知，則的最大值為（

）A．2 B．4 C．5 D．6法三、代換法：代換法適用于條件最值中，出現(xiàn)分式的情況類型1：分母為單項(xiàng)式，利用“1”的代換運(yùn)算，也稱乘“1”法；【典例1】（23-24高三下·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【典例2】（23-24高三上·甘肅武威·期末）若，且，則的最小值為（

）A．6 B．9 C．4 D．8類型2：分母為多項(xiàng)式時(shí)方法1：觀察法適合與簡(jiǎn)單型，可以讓兩個(gè)分母相加看是否與給的分子型成倍數(shù)關(guān)系；方法2：待定系數(shù)法，適用于所有的形式，如分母為與，分子為，設(shè)∴，解得：【典例1】（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）若是正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．法四、消元法：當(dāng)題目中的變?cè)容^多的時(shí)候，可以考慮削減變?cè)?，轉(zhuǎn)化為雙變量或者單變量問題?！镜淅?】（2024·浙江嘉興·二模）若正數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．2【典例2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．法五、構(gòu)造不等式法：尋找條件和問題之間的關(guān)系，通過重新分配，使用基本不等式得到含有問題代數(shù)式的不等式，通過解不等式得出范圍，從而求得最值?！镜淅?】（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）若正數(shù)滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三下·重慶·月考）對(duì)于正數(shù)，有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．重難點(diǎn)02不等式恒成立與能成立問題一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：1、，2、，3、，4、，【典例1】（23-24高一上·遼寧·月考）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．或C． D．或【典例2】（23-24高三上·浙江寧波·期末）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為（

）A．12 B．24 C． D．重難點(diǎn)03求含參數(shù)的一元二次不等式對(duì)求含參的不等式，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，常見的分類有：（1）根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類；（2）根據(jù)判別式與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù)；（3）有兩個(gè)根式，有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論?！镜淅?】（23-24高三上·浙江紹興·期末）（多選）已知，關(guān)于x的一元二次不等式的解集可能是（

）A．或 B．C． D．【典例2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（1）解關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式：．（2）解關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式：．一、比較兩數(shù)（式）的大小1、作差法：（1）原理：設(shè)，則；；；（2）步驟：作差并變形判斷差與0的大小得出結(jié)論。（3）注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判斷差的符號(hào)的方向變形。2、作商法：（1）原理：設(shè)，則；；（2）步驟：作商并變形判斷商與1的大小得出結(jié)論。（3）注意：作商時(shí)各式的符號(hào)應(yīng)相同，如果均小于0，所得結(jié)果與“原理”中的結(jié)論相反，變形方法有分母（分子）有理化，指、對(duì)數(shù)恒等變形?！镜淅?】（22-23高三·全國(guó)·對(duì)口高考）（1）比較與的大小；（2）已知，比較與大小【典例2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知均為正實(shí)數(shù)，且．(1)比較與的大小；(2)比較和的大?。⒗貌坏仁降男再|(zhì)求數(shù)（式）的范圍已知，，求的取值范圍第一步：設(shè)；第二步：經(jīng)過恒等變形，求得待定系數(shù)；第三步：再根據(jù)不等式的同向可加性即可求得的取值范圍?！镜淅?】（23-24高三上·河南洛陽·月考）（多選）已知，，則下列選項(xiàng)中正確的有（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高一上·山西太原·月考）已知，，則的取值范圍（

）A． B． C． D．三、解一元二次不等式的步驟第一步：先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；第二步：寫出相應(yīng)的方程，計(jì)算判別式：①時(shí)，求出兩根，且（注意靈活運(yùn)用因式分解和配方法）；②時(shí)，求根；③時(shí)，方程無解第三步：根據(jù)不等式，寫出解集.【典例1】（23-24高三下·河北滄州·月考）已知集合，則（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解為，那么的解集為（

）A． B．C． D．四、一元二次不等式恒成立問題恒成立問題求參數(shù)的范圍的解題策略：（1）弄清楚自變量、參數(shù)。一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數(shù)；（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式，一般分離參數(shù)求最值或分類討論。【典例1】（23-24高三下·上海浦東新·月考）若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【典例2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．五、基本不等式的實(shí)際應(yīng)用解實(shí)際應(yīng)用題的三個(gè)注意點(diǎn)：1、設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；2、根據(jù)實(shí)際問題抽象很出有關(guān)式關(guān)系式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值；3、在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域（使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍）內(nèi)求解?！镜淅?】（2024·廣東韶關(guān)·二模）在工程中估算平整一塊矩形場(chǎng)地的工程量W（單位：平方米）的計(jì)算公式是，在不測(cè)量長(zhǎng)和寬的情況下，若只知道這塊矩形場(chǎng)地的面積是10000平方米，每平方米收費(fèi)1元，請(qǐng)估算平整完這塊場(chǎng)地所需的最少費(fèi)用（單位：元）是（

）A．10000 B．10480 C．10816 D．10818【典例2】（2024·黑龍江·二模）“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長(zhǎng)短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來測(cè)量、畫圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板，按圖中數(shù)據(jù)，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個(gè)內(nèi)角滿足，則這塊四邊形木板周長(zhǎng)的最大值為（

）A． B．C． D．六、利用不等的性質(zhì)及基本不等式證明不等式1、無附加條件的不等式證明：證明時(shí)要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，合理地構(gòu)造并正確選用基本不等式或其變形形式，這也是證明輪換對(duì)稱結(jié)構(gòu)的不等式（把b換a，a換c，c換b后，代數(shù)式不變的式子叫做輪換對(duì)稱性，其特征是a，b，c的地位一樣）的常用思路。2、有附加條件的不等式的證明：應(yīng)先觀察已知條件和所證不得呢公式之間的聯(lián)系，當(dāng)已知條件中含有“1”時(shí)，要注意“1”的代換。另外，解題時(shí)要時(shí)刻注意等號(hào)能否取到?！镜淅?】（23-24高三下·陜西西安·月考）設(shè)為正數(shù)，且.證明：(1)；(2).【典例2】（2024·青?！ひ荒＃┮阎龜?shù)滿足．求證：(1)；(2)．易錯(cuò)點(diǎn)1忽視不等式性質(zhì)成立的條件點(diǎn)撥：在使用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行推理論證時(shí)一定要注意前提條件，如不等式兩端同時(shí)乘以或同時(shí)除以一個(gè)數(shù)、式，兩個(gè)不等式相乘、一個(gè)不等式兩端同時(shí)n次方時(shí)，一定要注意使其能夠這樣做的條件．【典例1】（2024·北京豐臺(tái)·二模）若，且，則（

）A． B．C． D．【典例2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）若滿足，則（

）A． B．C． D．易錯(cuò)點(diǎn)2忽視基本不等式應(yīng)用的條件點(diǎn)撥：（1）利用基本不等式a＋b≥2ab以及變式ab≤a+b22等求函數(shù)的最值時(shí)，務(wù)必注意a，b為正數(shù)(或a，b非負(fù)（2）對(duì)形如y＝ax＋bx(a，b>0)的函數(shù)，在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，一定要注意ax，b【典例1】（2022·黑龍江哈爾濱·三模）已知x，y都是正數(shù)，且，則下列選項(xiàng)不恒成立的是（

）A． B．C． D．【典例2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列不等式證明過程正確的是（

）A．若，則B．若x＞0，y＞0，則C．若x＜0，則D．若x＜0，則易錯(cuò)點(diǎn)3連續(xù)使用均值不等式忽略等號(hào)能否同時(shí)成立點(diǎn)撥：連續(xù)使用均值不等式求最值或范圍,要注意判斷每個(gè)等號(hào)成立的條件，檢驗(yàn)等號(hào)能否同時(shí)成立.