重慶市云陽縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理含解析

PAGE21-重慶市云陽縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理（含解析）留意事項(xiàng)：1.請在答題紙上作答，在試卷上作答無效.2.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.共150分.考試時間120分鐘.第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.）1.已知向量，,若向量滿意且，則向量可取為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)向量，依據(jù)且，列出方程組，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，設(shè)向量，因?yàn)榍?，則，即，令，可得，所以其中一個向量.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算，其中解答中熟記向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，以及向量垂直的條件，列出方程組是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由橢圓方程得到橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，即可求解橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到答案.【詳解】由題意，橢圓，即，可得橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的幾何性質(zhì)，其中解答中熟記橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及嫻熟應(yīng)用橢圓的幾何性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.3.方程的曲線是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】把方程，化為或，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，方程，可化為或，即或，依據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，即可得選項(xiàng)D為函數(shù)的圖象.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了曲線與方程的應(yīng)用，其中解答中合理化簡曲線的方程，結(jié)合反比例函數(shù)進(jìn)行判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4.已知等比數(shù)列中，，，則的值是（）A. B. C.5 D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，列出方程組，求得，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解的值，得到答案.【詳解】由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，可得，所以，所以，?dāng)時，；當(dāng)時，，所以的值是.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出方程組求得等比數(shù)列的公比，精確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.5.雙曲線的漸近線方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把雙曲線方程化為，得到，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線可化為，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，即.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記雙曲線的漸近線方程的形式，精確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.6.命題p:“，有成立.”則命題p的否定是（）A.，有成立.B.，有成立.C.，有成立.D.，有成立.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)全稱命題與存在性命題互為否定關(guān)系，精確改寫，即可求解.【詳解】由題意，依據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可得命題p:“，有成立.”則命題p的否定是“，有成立”.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了全稱命題與存在性命題的關(guān)系，其中解答中熟記全稱命題與存在性命題互為否定關(guān)系，精確改寫是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.7.不等式成立的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，逐項(xiàng)判定，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，當(dāng)時，可得成立，反之：當(dāng)時，不肯定成立，所以是成立的必要不充分條件；當(dāng)時，可得成立，反之：當(dāng)時，肯定成立，所以是成立的充要條件；當(dāng)時，依據(jù)實(shí)數(shù)性質(zhì)可得，但不肯定成立；反之：當(dāng)成立時，可得且，所以成立，所以是成立的充分不必要條件；當(dāng)時，依據(jù)實(shí)數(shù)性質(zhì)可得，但不肯定成立；反之：當(dāng)成立時，可得且，所以成立，所以是成立的既不充分也不必要條件；故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分條件、必要條件的判定，以及不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記不等式的基本性質(zhì)，嫻熟應(yīng)用充分條件、必要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.8.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，它的準(zhǔn)線與對稱軸交點(diǎn)為A,若C上一點(diǎn)P滿意橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之比為，且的面積為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)為，代入拋物線的方程，求得，得到，依據(jù)的面積，解得，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，拋物線的焦點(diǎn)，它的準(zhǔn)線與對稱軸交點(diǎn)，因?yàn)閽佄锞€C上一點(diǎn)P滿意橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之比為，可設(shè)為，代入拋物線的方程，可得，解得，即，又由的面積為，即，解得，所以點(diǎn).故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，及其簡潔的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，合理應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.9.已知函數(shù),設(shè)，,則數(shù)列滿意：①；②；③數(shù)列是遞增數(shù)列；④數(shù)列是遞減數(shù)列.其中正確的是（）A.①③ B.②③ C.①④ D.②④【答案】B【解析】【分析】先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，化簡為，即可得到，再由，得到，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù),設(shè)，，即，因?yàn)?，因?yàn)椋?，所以，所以②正確；又由，即，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，所以③正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列的單調(diào)性的判定，其中解答中嫻熟應(yīng)用數(shù)列的通項(xiàng)公式，嫻熟數(shù)列的單調(diào)性的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.10.已知實(shí)數(shù)x，y滿意：且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，得出，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，設(shè)，整理得，可得，解得，即，又由且，則，所以，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中得出，再結(jié)合不等式的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔試題.11.若滿意，則關(guān)于的最小值說法正確的是（）A.當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值25.B.當(dāng)且僅當(dāng)，時，取得最小值26.C.當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值20.D.當(dāng)且僅當(dāng)，時，取得最小值19.【答案】A【解析】【分析】由，結(jié)合基本不等式，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，因?yàn)闈M意，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，又由，解得時等號成立，即當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值25.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求解最小值問題，其中解答中合理利用基本不等式的“1”的代換求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.12.如圖，雙曲線C的焦點(diǎn)是，，頂點(diǎn)是，，點(diǎn)P在曲線C上，圓O以線段為直徑.點(diǎn)M是直線與圓O的切點(diǎn)，且點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率是（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】連接，依據(jù)圓的性質(zhì)，可得，又由分別為的中點(diǎn)，得到，且，再由雙曲線的定義，得到，利用勾股定理得到的方程，即可求解.【詳解】由題意，連接，依據(jù)圓的性質(zhì)，可得，又由分別為的中點(diǎn)，所以，則，且，又由雙曲線的定義，可得，所以，在直角中，，即，整理得，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的定義應(yīng)用，離心率的求解，以及圓的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中合理利用圓的性質(zhì)和雙曲線的定義，利用勾股定理列出關(guān)于的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與計算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.第Ⅱ卷二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在相應(yīng)位置上.）13.拋物線的準(zhǔn)線方程為________．【答案】【解析】【分析】先將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而可得出準(zhǔn)線方程.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，因此其準(zhǔn)線方程為：.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的準(zhǔn)線，熟記拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可，屬于基礎(chǔ)題型.14.空間向量，,若,則x，y的值分別為_______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)，得到，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，向量，，因?yàn)?，則滿意，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)表示，以及共線向量的條件，其中解答中熟記共線向量的坐標(biāo)表示是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.15.關(guān)于函數(shù)，.有下列命題：①對,恒有成立.②,使得成立.③“若,則有且.”的否命題.④“若且,則有.”的逆否命題.其中，真命題有_____________.（只需填序號）【答案】①②③【解析】【分析】設(shè)，可判定①是真命題；令，得到，可判定②是真命題；依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和四種命題的等價關(guān)系，可判定③是真命題，④是假命題.【詳解】由題意，設(shè)，所以，即對,恒有成立，所以①是真命題；令，可得，此時，即,使得成立，所以②是真命題；因?yàn)楫?dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，所以命題“若且,則有”是真命題，所以④是假命題；又由命題“若且,則有”與命題“若,則有且”互為逆否關(guān)系，所以命題“若,則有且”是真命題，所以③是真命題，綜上可得，①②③是真命題.故答案為：①②③.【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的真假判定，其中解答中數(shù)練應(yīng)用一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及四種命題的等價關(guān)系，合理運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.16.下圖1，是某設(shè)計員為一種商品設(shè)計的平面logo樣式.主體是由內(nèi)而外的三個正方形構(gòu)成.該圖的設(shè)計構(gòu)思如圖2,中間正方形的四個頂點(diǎn),分別在最外圍正方形ABCD的邊上,且分所在邊為a，b兩段.設(shè)中間陰影部分的面積為，最內(nèi)正方形的面積為.當(dāng)，且取最大值時，定型該logo的最終樣式，則此時a，b的取值分別為_____________.【答案】或【解析】【分析】設(shè)，其中，求得，依據(jù)圖形求得和的表達(dá)式，得到，利用基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)，其中，又由，聯(lián)立方程組可得，又由陰影部分的三角形為直角邊分別為的直角三角形，所以陰影部分的面積為，最內(nèi)正方形的邊長為，所以面積為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，當(dāng)時，；當(dāng)時，.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，其中解答中仔細(xì)審題，得到的表達(dá)式，合理利用基本不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實(shí)力，屬于中檔試題.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、或演算步驟.）17.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.單位正方體頂點(diǎn)A位于坐標(biāo)原點(diǎn)，其中點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn).(1)若點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)G是側(cè)面的中心，則分別求出向量,，.的坐標(biāo)；(2)在(1)條件下，分別求出；的值.【答案】（1）；；；（2）；.【解析】【分析】(1)依據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示，求得的坐標(biāo)，即可求得向量，，的坐標(biāo)，得到答案；(2)由（1）得到向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式和模的計算公式，即可求解，得到答案.【詳解】(1)因?yàn)辄c(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)G是側(cè)面的中心，可得，所以；；；(2)由（1）可得；又由，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間的坐標(biāo)表示，以及空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及模的求解，其中解答中正確求解向量的坐標(biāo)，嫻熟應(yīng)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式和模的計算公式，精確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.18.已知函數(shù).(1)關(guān)于x的一元二次方程的兩個根是，,當(dāng)時，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求關(guān)于x的不等式的解集.【答案】（1）；（2）當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集；當(dāng)時，解集.【解析】【分析】(1)設(shè)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到，即可求解，得到答案；(2)關(guān)于的不等式可化為，分類探討，即可求解.【詳解】(1)由題意，設(shè),若方程的兩個根滿意，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得只需，即，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.(2)關(guān)于的不等式，可得，即，①當(dāng)時，可得，解得，所以不等式的解集為；②當(dāng)時，解得或，所以不等式的解集；③當(dāng)時，解得或，所以不等式的解集.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以及一元二次不等式的解法，其中解答嫻熟應(yīng)用一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及熟記應(yīng)用一元二次不等式的解法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.19.已知滿意，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若,則求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由，且，得到，即可求解；(2)由，利用裂項(xiàng)法，即可求解.【詳解】(1)由題意，數(shù)列滿意，且，可得，即數(shù)列通項(xiàng)公式為.(2)由，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，以及數(shù)列的“裂項(xiàng)法”求和，其中解答中數(shù)列利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，合理利用“累積法”和“裂項(xiàng)法”求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.20.過拋物線焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上方.(1)當(dāng)線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2時，求拋物線的方程；(2)求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)公式，求得的值，即可得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程組，解方程求得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再由拋物線的定義，化簡即可求解.【詳解】(1)由題意，設(shè)，，直線，則由，整理得，可得，因?yàn)榫€段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，可得，解得，所以拋物線的方程為.（2）由，可得，解得，，由拋物線的方程，可得，由拋物線定義.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義、方程以及簡潔的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中設(shè)出直線的方程，聯(lián)立方程組，合理利用根與系數(shù)的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.21.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和.數(shù)列是等比數(shù)列，且，.(1)分別求出數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若,則求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式，化簡可得，再由是等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解；（2）求得，利用乘公比錯位相減法，即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和，得到答案.【詳解】(1)由題意，數(shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，適合上式