第六章-6.3-6.3.1-二項(xiàng)式定理-課件

第六章二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.2.掌握二項(xiàng)式定理及其展開式的通項(xiàng)公式.3.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題.內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE知識(shí)點(diǎn)一二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝

(n∈N*).(1)這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理.(2)展開式：等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，展開式中一共有

項(xiàng).(3)二項(xiàng)式系數(shù)：各項(xiàng)的系數(shù)(k∈{0,1,2，…，n})叫做二項(xiàng)式系數(shù).n＋1知識(shí)點(diǎn)二二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)(a＋b)n展開式的第

項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，記作Tk＋1＝

.思考二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)相同嗎？k＋1答案一般不同.前者僅為

，而后者是字母前的系數(shù)，故可能不同.1.(a＋b)n展開式中共有n項(xiàng).(

)2.在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜?xiàng)沒有影響.(

)3.an－kbk是(a＋b)n展開式中的第k項(xiàng).(

)4.(a－b)n與(a＋b)n的二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)相同.(

)5.二項(xiàng)式(a＋b)n與(b＋a)n的展開式中第k＋1項(xiàng)相同.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√×××2題型探究PARTTWO一、二項(xiàng)式定理的正用、逆用44∴a＝28，b＝16，∴a＋b＝28＋16＝44.反思感悟(1)(a＋b)n的二項(xiàng)展開式有n＋1項(xiàng)，是和的形式，各項(xiàng)的冪指數(shù)規(guī)律是：①各項(xiàng)的次數(shù)和等于n；②字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到n.(2)逆用二項(xiàng)式定理可以化簡多項(xiàng)式，體現(xiàn)的是整體思想.注意分析已知多項(xiàng)式的特點(diǎn)，向二項(xiàng)展開式的形式靠攏.跟蹤訓(xùn)練1

化簡：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).二、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)的應(yīng)用(1)展開式中含x的一次項(xiàng)；即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去).(2)展開式中所有的有理項(xiàng).反思感悟求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)的常用方法(1)對(duì)于常數(shù)項(xiàng)，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項(xiàng)).(2)對(duì)于有理項(xiàng)，一般是先寫出通項(xiàng)公式，求其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng).解這類問題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)集，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解.(3)對(duì)于二項(xiàng)展開式中的整式項(xiàng)，其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項(xiàng)一致.所以第3項(xiàng)的系數(shù)為240.(1)第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及系數(shù)；(2)含x2的項(xiàng).令3－k＝2，解得k＝1，所以含x2的項(xiàng)為第2項(xiàng)，且T2＝－192x2.三、求兩個(gè)多項(xiàng)式積的特定項(xiàng)例3

(1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中，含x2的項(xiàng)的系數(shù)為5，則a等于A.－4 B.－3 C.－2 D.－1√所以a＝－1，故選D.(2)(1＋2x)3(1－x)4的展開式中，含x項(xiàng)的系數(shù)為A.10 B.－10 C.2 D.－2√解析(1＋2x)3(1－x)4的展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)是由兩個(gè)因式相乘而得到的，反思感悟跟蹤訓(xùn)練3

(x－y)(x＋y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為_____.(用數(shù)字作答)－20四、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用例4

(1)試求201910除以8的余數(shù)；解201910＝(8×252＋3)10.∵其展開式中除末項(xiàng)為310外，其余的各項(xiàng)均含有8這個(gè)因數(shù)，∴201910除以8的余數(shù)與310除以8的余數(shù)相同.又∵310＝95＝(8＋1)5，其展開式中除末項(xiàng)為1外，其余的各項(xiàng)均含有8這個(gè)因數(shù)，∴310除以8的余數(shù)為1，即201910除以8的余數(shù)也為1.(2)求證：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除.證明32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9①式中的每一項(xiàng)都含有82這個(gè)因數(shù)，故原式能被64整除.反思感悟利用二項(xiàng)式定理可以解決求余數(shù)和整除的問題，通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式，且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練4

(1)已知n∈N*，求證：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除.顯然括號(hào)內(nèi)的數(shù)為正整數(shù)，故原式能被31整除.(2)求6的近似值，使誤差小于0.001.且第3項(xiàng)以后(包括第3項(xiàng))的項(xiàng)的絕對(duì)值都遠(yuǎn)小于，故6＝(1－0.002)6≈1－6×＝0.988.3隨堂演練PARTTHREE123451.

的展開式中含x3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為A.－10 B.10 C.－5√123452.

的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為A.80 B.－80 C.40D.－40√123453.設(shè)S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，則S等于A.x3

B.－x3

C.(1－x)3

D.(x－1)3√4.若(x＋2)n的展開式共有12項(xiàng)，則n＝_____.123451112345解析原式＝(2＋1)n＝3n.3n課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE1.知識(shí)清單：(1)二項(xiàng)式定理.(2)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸.4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR解析原式＝(1－2)n＝(－1)n.基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√12345678910111213141516√12345678910111213141516√12345678910111213141516√123456789101112131415165.在(1－x)5－(1－x)6的展開式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是A.－5 B.5 C.－10√123456789101112131415166.若(x＋a)10的展開式中，x7的系數(shù)為15，則a＝___.(用數(shù)字填寫答案)1234567891011121314151682812345678910111213141516912345678910111213141516所以n2＝81，又n∈N*，故n＝9.12345678910111213141516(2)求展開式中含x3的項(xiàng)，并指出該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).解設(shè)第k＋1項(xiàng)含x3項(xiàng)，1234567891011121314151610.已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展開式中x的系數(shù)為19，求x2的系數(shù)的最小值及此時(shí)展開式中x7的系數(shù).解由題設(shè)知，m＋n＝19，又m，n∈N*，∴1≤m≤18.＝m2－19m＋171.∴當(dāng)m＝9或10時(shí)，x2的系數(shù)有最小值為81，綜合運(yùn)用1234567891011121314151611.(多選)對(duì)于二項(xiàng)式

(n∈N*)，下列判斷正確的有A.存在n∈N*，展開式中有常數(shù)項(xiàng)B.對(duì)任意n∈N*，展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)C.對(duì)任意n∈N*，展開式中沒有x的一次項(xiàng)D.存在n∈N*，展開式中有一次項(xiàng)√√12345678910111213141516由通項(xiàng)公式可知，當(dāng)n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)時(shí)，展開式中分別存在常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)，故選AD.1234567891011121314151612.已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，則實(shí)數(shù)a的值為A.7√解析由于2×1010＋a＝2×(11－1)10＋a,2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，又根據(jù)二項(xiàng)展開式可知，2×(11－1)10被11除的余數(shù)為2，從而可知2＋a能被11整除，可知a＝9.1234567891011121314151613.(x2＋2)

的展開式的常數(shù)項(xiàng)是A.－3 B.－2√令10－2k＝2或10－2k＝0，解得k＝4或k＝5.1234567891011121314151614.已知在

的展開式中，第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則：(1)n的值為____；10解得n＝10.12345678910111213141516(2)含x的整數(shù)次冪的項(xiàng)有____個(gè).6由于k＝0，1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6項(xiàng)，分別為展開式的第1,3,5,7,9,11項(xiàng).拓廣探究1234567891011121314151615.(a＋b＋c)n(n∈N*)的展開式中的項(xiàng)數(shù)為____________.123456789