第六章-6.3-6.3.1-二項式定理-課件

第六章二項式定理二項式定理學習目標XUEXIMUBIAO1.能用計數(shù)原理證明二項式定理.2.掌握二項式定理及其展開式的通項公式.3.會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題.內(nèi)容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時對點練1知識梳理PARTONE知識點一二項式定理(a＋b)n＝

(n∈N*).(1)這個公式叫做二項式定理.(2)展開式：等號右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，展開式中一共有

項.(3)二項式系數(shù)：各項的系數(shù)(k∈{0,1,2，…，n})叫做二項式系數(shù).n＋1知識點二二項展開式的通項(a＋b)n展開式的第

項叫做二項展開式的通項，記作Tk＋1＝

.思考二項式系數(shù)與二項展開式中項的系數(shù)相同嗎？k＋1答案一般不同.前者僅為

，而后者是字母前的系數(shù)，故可能不同.1.(a＋b)n展開式中共有n項.(

)2.在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜棝]有影響.(

)3.an－kbk是(a＋b)n展開式中的第k項.(

)4.(a－b)n與(a＋b)n的二項展開式的二項式系數(shù)相同.(

)5.二項式(a＋b)n與(b＋a)n的展開式中第k＋1項相同.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√×××2題型探究PARTTWO一、二項式定理的正用、逆用44∴a＝28，b＝16，∴a＋b＝28＋16＝44.反思感悟(1)(a＋b)n的二項展開式有n＋1項，是和的形式，各項的冪指數(shù)規(guī)律是：①各項的次數(shù)和等于n；②字母a按降冪排列，從第一項起，次數(shù)由n逐項減1直到0；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由0逐項加1直到n.(2)逆用二項式定理可以化簡多項式，體現(xiàn)的是整體思想.注意分析已知多項式的特點，向二項展開式的形式靠攏.跟蹤訓練1

化簡：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).二、二項展開式的通項的應用(1)展開式中含x的一次項；即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去).(2)展開式中所有的有理項.反思感悟求二項展開式的特定項的常用方法(1)對于常數(shù)項，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項).(2)對于有理項，一般是先寫出通項公式，求其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項.解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)集，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解.(3)對于二項展開式中的整式項，其通項公式中同一字母的指數(shù)應是非負整數(shù)，求解方式與求有理項一致.所以第3項的系數(shù)為240.(1)第3項的二項式系數(shù)及系數(shù)；(2)含x2的項.令3－k＝2，解得k＝1，所以含x2的項為第2項，且T2＝－192x2.三、求兩個多項式積的特定項例3

(1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中，含x2的項的系數(shù)為5，則a等于A.－4 B.－3 C.－2 D.－1√所以a＝－1，故選D.(2)(1＋2x)3(1－x)4的展開式中，含x項的系數(shù)為A.10 B.－10 C.2 D.－2√解析(1＋2x)3(1－x)4的展開式中含x項的系數(shù)是由兩個因式相乘而得到的，反思感悟跟蹤訓練3

(x－y)(x＋y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為_____.(用數(shù)字作答)－20四、二項式定理的應用例4

(1)試求201910除以8的余數(shù)；解201910＝(8×252＋3)10.∵其展開式中除末項為310外，其余的各項均含有8這個因數(shù)，∴201910除以8的余數(shù)與310除以8的余數(shù)相同.又∵310＝95＝(8＋1)5，其展開式中除末項為1外，其余的各項均含有8這個因數(shù)，∴310除以8的余數(shù)為1，即201910除以8的余數(shù)也為1.(2)求證：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除.證明32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9①式中的每一項都含有82這個因數(shù)，故原式能被64整除.反思感悟利用二項式定理可以解決求余數(shù)和整除的問題，通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式，且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系.跟蹤訓練4

(1)已知n∈N*，求證：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除.顯然括號內(nèi)的數(shù)為正整數(shù)，故原式能被31整除.(2)求6的近似值，使誤差小于0.001.且第3項以后(包括第3項)的項的絕對值都遠小于，故6＝(1－0.002)6≈1－6×＝0.988.3隨堂演練PARTTHREE123451.

的展開式中含x3項的二項式系數(shù)為A.－10 B.10 C.－5√123452.

的展開式中的常數(shù)項為A.80 B.－80 C.40D.－40√123453.設S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，則S等于A.x3

B.－x3

C.(1－x)3

D.(x－1)3√4.若(x＋2)n的展開式共有12項，則n＝_____.123451112345解析原式＝(2＋1)n＝3n.3n課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE1.知識清單：(1)二項式定理.(2)二項展開式的通項公式.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸.4課時對點練PARTFOUR解析原式＝(1－2)n＝(－1)n.基礎鞏固12345678910111213141516√12345678910111213141516√12345678910111213141516√12345678910111213141516√123456789101112131415165.在(1－x)5－(1－x)6的展開式中，含x3的項的系數(shù)是A.－5 B.5 C.－10√123456789101112131415166.若(x＋a)10的展開式中，x7的系數(shù)為15，則a＝___.(用數(shù)字填寫答案)1234567891011121314151682812345678910111213141516912345678910111213141516所以n2＝81，又n∈N*，故n＝9.12345678910111213141516(2)求展開式中含x3的項，并指出該項的二項式系數(shù).解設第k＋1項含x3項，1234567891011121314151610.已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展開式中x的系數(shù)為19，求x2的系數(shù)的最小值及此時展開式中x7的系數(shù).解由題設知，m＋n＝19，又m，n∈N*，∴1≤m≤18.＝m2－19m＋171.∴當m＝9或10時，x2的系數(shù)有最小值為81，綜合運用1234567891011121314151611.(多選)對于二項式

(n∈N*)，下列判斷正確的有A.存在n∈N*，展開式中有常數(shù)項B.對任意n∈N*，展開式中沒有常數(shù)項C.對任意n∈N*，展開式中沒有x的一次項D.存在n∈N*，展開式中有一次項√√12345678910111213141516由通項公式可知，當n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)時，展開式中分別存在常數(shù)項和一次項，故選AD.1234567891011121314151612.已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，則實數(shù)a的值為A.7√解析由于2×1010＋a＝2×(11－1)10＋a,2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，又根據(jù)二項展開式可知，2×(11－1)10被11除的余數(shù)為2，從而可知2＋a能被11整除，可知a＝9.1234567891011121314151613.(x2＋2)

的展開式的常數(shù)項是A.－3 B.－2√令10－2k＝2或10－2k＝0，解得k＝4或k＝5.1234567891011121314151614.已知在

的展開式中，第9項為常數(shù)項，則：(1)n的值為____；10解得n＝10.12345678910111213141516(2)含x的整數(shù)次冪的項有____個.6由于k＝0，1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6項，分別為展開式的第1,3,5,7,9,11項.拓廣探究1234567891011121314151615.(a＋b＋c)n(n∈N*)的展開式中的項數(shù)為____________.123456789