新高考數(shù)學一輪復習精講精練7.4 幾何法求空間角（基礎版）（解析版）

7.4幾何法求空間角（精講）（基礎版）思維導圖思維導圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一線線角【例1】（2022·全國·模擬預測）已知正方體中SKIPIF1<0，E，G分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，則直線SKIPIF1<0，CE所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如圖所示：取AB的中點F，連接EF，CF，易知SKIPIF1<0，則∠ECF（或其補角）為直線SKIPIF1<0與CE所成角．不妨設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0與CE所成角的余弦值為SKIPIF1<0．故選：C．【一隅三反】1．（2022·吉林·長春市第二實驗中學高三階段練習）如圖，在棱長為2的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正方體的性質可知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角的平面角為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：C．2．（2022·全國·模擬預測）在如圖所示的圓錐中，底面直徑為SKIPIF1<0，母線長為4，點C是底面直徑AB所對弧的中點，點D是母線PB的中點，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設底面圓心為O，連接PO，OC，取PO的中點E，連接DE，CE，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為AB與CD所成的角（或其補角）.由題意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由題意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AB，SKIPIF1<0平面POB，所以SKIPIF1<0平面POB.又SKIPIF1<0平面POC，所以平面SKIPIF1<0平面POB，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面POB且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面POC，因為SKIPIF1<0平面POC，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選:B.3．（2022·黑龍江）如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分別是BB1和B1C1的中點，則直線AM與CN所成角的余弦值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】作SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0為異面直線AM與CN所成的角，由已知條件得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由余弦定理得SKIPIF1<0,在△SKIPIF1<0中，有余弦定理可知SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0，故選：D.考點二線面角【例2-1】（2022·全國·高三專題練習（文））如圖，已知正四棱錐SKIPIF1<0底面邊長為2，側棱長為4，SKIPIF1<0為側棱SKIPIF1<0中點，則直線SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0所成角的正弦值為（

）A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0

C．SKIPIF1<0

D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】作SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0與于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0.因為正四棱錐SKIPIF1<0底面邊長為2，故SKIPIF1<0，又側棱長為4，故SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0為側棱SKIPIF1<0中點，故SKIPIF1<0到底面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0,由余弦定理有SKIPIF1<0,故直線SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0故選：D【例2-2】（2022·全國·模擬預測（理））如圖，在三棱臺SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】將棱臺補全為如下棱錐SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距離為h，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：A【一隅三反】1．（2022·寧夏·石嘴山市第三中學模擬預測（文））如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BCD＝90°，PA＝PD＝DC＝CB＝SKIPIF1<0AB，E是BP的中點．(1)求證：EC∥平面APD；(2)求BP與平面ABCD所成角的正切值；【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】(1)如圖，取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，故SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0(2)取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)的投影.所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角.因為四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是直角梯形，又SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，易得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，故在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<02．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0，M為PC的中點.(1)求證：SKIPIF1<0平面PAD；(2)設點N在平面PAD內(nèi)，且SKIPIF1<0平面PBD，求直線BN與平面ABCD所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0.【解析】(1)取PD的中點E，連接EM，AE，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而四邊形ABME是平行四邊形，故SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0平面PAD，SKIPIF1<0平面PAD，所以SKIPIF1<0平面PAD.(2)當N為AE的中點時，SKIPIF1<0面PBD，理由如下：（法一）SKIPIF1<0面ABCD，SKIPIF1<0面ABCD，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面PAD，所以SKIPIF1<0面PAD，而SKIPIF1<0面PAD，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，E是PD的中點，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面ABME，所以SKIPIF1<0面ABME，在面ABME中作SKIPIF1<0交AE于點N，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面PBD，所以SKIPIF1<0面PBD，易知：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0N為AE的中點時，SKIPIF1<0面PBD.作SKIPIF1<0于G，則SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是BN與平面ABCD所成角，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.即直線BN與平面AD所成角的正弦值為SKIPIF1<0.（法二）易得AP，AB，AD兩兩垂直，故以A為原點，直線AB為x軸，直線AD為y軸，直線AP為z軸，建立空間直角坐標系，則B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1).設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0平面PBD，故SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，設BN與平面ABCD所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.即直線BN與平面ABCD所成角的正弦值為SKIPIF1<0.3．（2022·浙江省江山中學模擬預測）如圖，已知三棱臺SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)的射影D在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點．(1)證明：直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的大小．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】(1)證明：連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)由（1）知，只需要求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的大小，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以四點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0共面，因為在三棱臺SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)的射影D在SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0延長線于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，同樣可證SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離等于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0即為所求，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的大小為SKIPIF1<0，從而直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的大小SKIPIF1<0.考點三二面角【例3-1】（2022·浙江·杭師大附中模擬預測）四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則二面角SKIPIF1<0的平面角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】過點A作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點M，過點M作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點N，如圖，則SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，由余弦定理，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：C【例3-2】．（2022·云南師大附中高三階段練習）如圖，SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的等邊三角形，E，F(xiàn)分別是SKIPIF1<0的中點，G是SKIPIF1<0的重心，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使點A到達點P的位置，點P在平面SKIPIF1<0的射影為點G．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0【解析】(1)連接SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，又點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0的射影為點SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別交于點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線.由SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，知點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0分別是線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點.SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成二面角的平面角.由等邊三角形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理，得SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022·廣東廣州·三模）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的大小.【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0【解析】(1)作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即為二面角SKIPIF1<0的平面角.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，不妨設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由（1）知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即二面角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0.2．（2022·湖南）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的平面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0．取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由（1）知平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.作SKIPIF1<0，垂足為點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角．設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴二面角SKIPIF1<0的平面角的正弦值為SKIPIF1<0.3．（2022·江蘇·如皋市第一中學）已知矩形SKIPIF1<0，E，F(xiàn)分別是線段SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0．(1)若棱SKIPIF1<0上一點G滿足SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正切值．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）證明：作SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，在SKIPIF1<0上取SKIPIF1<0點，使點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0；SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0．（2）解：因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為矩形，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，所以SKIPIF1<0，即二面角SKIPIF1<0的正切值為SKIPIF1<0.7.4幾何法求空間角（精練）（基礎版）題組一題組一線線角1．（2022·全國·模擬預測）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的大小為（

）A．30° B．90° C．45° D．60°【答案】C【解析】如圖，在正方體中，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角，易知SKIPIF1<0．故選C．2．（2023·全國·高三專題練習）在長方體SKIPIF1<0中，點E為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0或其補角即為異面直線AE與BC所成角，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：C.3．（2023·全國·高三專題練習（文））如圖，在四面體ABCD中，SKIPIF1<0平面BCD，SKIPIF1<0，P為AC的中點，則直線BP與AD所成的角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】在四面體ABCD中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，因P為AC的中點，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而得SKIPIF1<0，所以直線BP與AD所成的角為SKIPIF1<0.故選：D4．（2022·河南?。┤鐖D，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】把三棱柱補成如圖所示長方體，連接SKIPIF1<0，CD，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即為異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角（或補角）．由題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：B．5．（2022·青海西寧·二模（理））如圖是一個正方體的平面展開圖，則在正方體中，異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】把展開圖還原成正方體如圖所示，由于SKIPIF1<0且相等，故異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角就是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角，故SKIPIF1<0(或其補角)為所求，再由SKIPIF1<0是等邊三角形，可得SKIPIF1<0.故選：C.題組二題組二線面角1．（2022·浙江·模擬預測）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M是SKIPIF1<0的中點，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】(1)連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，M是SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在矩形SKIPIF1<0中，M是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．(2)由（1）知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角即為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角，而平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，過B點作直線SKIPIF1<0于H，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角即為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0個，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0．2．（2022·安徽師范大學附屬中學模擬預測（文））如圖，菱形ABCD中SKIPIF1<0，把△BDC沿BD折起，使得點C至P處.(1)證明：平面PAC⊥平面ABCD；(2)若SKIPIF1<0與平面ABD所成角的余弦值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求三棱錐P—ABD的體積.【答案】(1)證明見解析(2)1【解析】(1)如圖所示，取AC與BD的交點為O，連接PO，∵四邊形ABCD為菱形，現(xiàn)把△BDC沿BD折起，使得點C至P處，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵ACSKIPIF1<0平面PAC，POSKIPIF1<0平面PAC，SKIPIF1<0,∴BD⊥平面PAC，又BDSKIPIF1<0平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD．(2)作SKIPIF1<0于H點，∵SKIPIF1<0，∴△PAC為直角三角形，因為平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面SKIPIF1<0，所以PH⊥平面ABCD，所以SKIPIF1<0，∵PA與平面ABD所成角的余弦值為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴△PAC為等腰直角三角形，∴H與O重合，∵SKIPIF1<0，菱形ABCD中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.3．（2022·黑龍江·哈爾濱德強學校高一期末）四棱錐SKIPIF1<0，底面ABCD是平行四邊形，SKIPIF1<0，且平面SCDSKIPIF1<0平面ABCD，點E在棱SC上，直線SKIPIF1<0平面BDE.(1)求證：E為棱SC的中點；(2)設二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.求直線BE與平面ABCD所成的角的正切值.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）連AC交BD于F，連EF．∵ABCD是平行四邊形，∴SKIPIF1<0∵直線SKIPIF1<0平面BDE，SKIPIF1<0面PAC，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點，∴E為棱SC的中點；（2）取DC中點O，OC中點G，連SO，OF，GE，BG∵側面SCD滿足SKIPIF1<0，不妨設SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵平面SKIPIF1<0平面ABCD，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0平面ABCD，又SKIPIF1<0平面ABCD，故SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0

，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面ABCD∴SKIPIF1<0為直線EB與平面ABCD所成的角SKIPIF1<0，即直線EB與平面ABCD所成的角的正切值為SKIPIF1<04．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，三角形SKIPIF1<0是邊長為2的正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若二面角SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）證明：取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因為正三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0中點，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0