2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：專題20 隨機變量與分布列（原卷）

專題20隨機變量與分布列1．溫室是以采光覆蓋材料作為全部或部分圍護結(jié)構(gòu)材料，具有透光、避雨、保溫、控溫等功能，可在冬季或其他不適宜露地植物生長的季節(jié)供栽培植物的建筑，而溫室蔬菜種植技術(shù)是一種比較常見的技術(shù)，它具有較好的保溫性能，使人們在任何時間都可吃到反季節(jié)的蔬菜，深受大眾喜愛.溫室蔬菜生長和蔬菜產(chǎn)品衛(wèi)生質(zhì)量要求的溫室內(nèi)土壤、灌溉水、環(huán)境空氣等環(huán)境質(zhì)量指標(biāo)，其溫室蔬菜產(chǎn)地環(huán)境質(zhì)量等級劃定如表所示.環(huán)境質(zhì)量等級土壤各單項或綜合質(zhì)量指數(shù)灌溉水各單項或綜合質(zhì)量指數(shù)環(huán)境空氣各單項或綜合質(zhì)量指數(shù)等級名稱1≤0.7≤0.5≤0.6清潔20.7～1.00.5～1.00.6～1.0尚清潔3>1.0>1.0>1.0超標(biāo)各環(huán)境要素的綜合質(zhì)量指數(shù)超標(biāo)，灌溉水、環(huán)境空氣可認(rèn)為污染，土壤則應(yīng)做進一步調(diào)研，若確對其所影響的植物（生長發(fā)育、可食部分超標(biāo)或用作飲料部分超標(biāo)）或周圍環(huán)境（地下水、地表水、大氣等）有危害，方能確定為污染.某鄉(xiāng)政府計劃對所管轄的甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛，共8個村發(fā)展溫室蔬菜種植，對各村試驗溫室蔬菜壞境產(chǎn)地質(zhì)量監(jiān)測得到的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：

(1)若從這8個村中隨機抽取2個進行調(diào)查，求抽取的2個村應(yīng)對土壤做進一步調(diào)研的概率；(2)現(xiàn)有一技術(shù)人員在這8個村中隨機選取3個進行技術(shù)指導(dǎo)，記ξ為技術(shù)員選中村的環(huán)境空氣等級為尚清潔的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.2．2021年7月18日第30屆全國中學(xué)生生物學(xué)競賽在浙江省蕭山中學(xué)隆重舉行．為做好本次考試的評價工作，將本次成績轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機抽取了50名學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求頻率分布直方圖中m的值，并估計這50名學(xué)生成績的中位數(shù)；(2)在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績在[70,80)，[80,90)，[90,100]的三組中抽取了11人，再從這11人中隨機抽取3人，記ξ為3人中成績在[80,90)的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；3．2023年9月23日至2023年10月8日，第19屆亞運會將在中國杭州舉行.杭州某中學(xué)高一年級舉辦了“亞運在我心”的知識競賽，其中1班，2班，3班，4班報名人數(shù)如下：班號1234人數(shù)30402010該年級在報名的同學(xué)中按分層抽樣的方式抽取10名同學(xué)參加競賽，每位參加競賽的同學(xué)從預(yù)設(shè)的10個題目中隨機抽取4個作答，至少答對3道的同學(xué)獲得一份獎品，假設(shè)每位同學(xué)的作答情況相互獨立.(1)求各班參加競賽的人數(shù)；(2)2班的小張同學(xué)被抽中參加競賽，若該同學(xué)在預(yù)設(shè)的10個題目中恰有3個答不對，記他答對的題目數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.4．“英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實施，到2022年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從武漢市的中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、信息技術(shù)學(xué)科夏令營活動．(1)若化學(xué)組的12名學(xué)員中恰有5人來自同一中學(xué)，從這12名學(xué)員中選取3人，ξ表示選取的人中來自該中學(xué)的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學(xué)科知識競答活動．規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答兩題，若小組答對題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利，假設(shè)每輪答題結(jié)果互不影響．已知甲、乙兩位同學(xué)組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為p1，p2，且5．在一個不透明袋子中放入除顏色外完全相同的2個白色球和2個黑色球，從中任意取出一個球，若是黑色球，則用2個同樣的白色球替換黑色球放入袋子中，若取到的是白色球，則把該白色球放回袋子中．(1)求第4次恰好取完兩個黑色球的概率；(2)若取到兩個黑色球或者取球數(shù)達(dá)到5次就停止取球，設(shè)停止取球時取球次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．6．某地乒乓球協(xié)會在年55歲～65歲的乒乓球運動愛好者中，進行一次“快樂兵兵”比賽，3人一組先進行預(yù)賽，選出1名參賽人員進入正式比賽.已知甲、乙、丙在同一組，抽簽確定第一輪比賽次序為：甲對乙、甲對丙、乙對丙，先累計獲勝2場的選手，進入正式比賽.若前三場比賽甲、乙、丙各勝負(fù)一場，則根據(jù)抽簽確定由甲、乙加賽一場、勝者參加正式比賽.已知甲勝乙、甲勝丙、乙勝丙的概率分別為35(1)求甲進入正式比賽的概率；(2)若比賽進行了四場結(jié)束，記甲獲勝的場數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.7．為了“讓廣大青少年充分認(rèn)識到毒品的危害性，切實提升青少年識毒防毒拒毒意識”，我市組織開展青少年禁毒知識競賽，團員小明每天自覺登錄“禁毒知識競賽APP”，參加各種學(xué)習(xí)活動，同時熱衷于參與四人賽.每局四人賽是由網(wǎng)絡(luò)隨機匹配四人進行比賽，每題回答正確得20分，第1個達(dá)到100分的比賽者獲得第1名，贏得該局比賽，該局比賽結(jié)束.每天的四人賽共有20局，前2局是有效局，根據(jù)得分情況獲得相應(yīng)名次，從而得到相應(yīng)的學(xué)習(xí)積分，第1局獲得第1名的得3分，獲得第2?3名的得2分，獲得第4名的得1分；第2局獲得第1名的得2分，獲得第2?3?4名的得1分；后18局是無效局，無論獲得什么名次，均不能獲得學(xué)習(xí)積分.經(jīng)統(tǒng)計，小明每天在第1局四人賽中獲得3分?2分?1分的概率分別為14，12，14，在第2局四人賽中獲得2分?1分的概率分別為1(1)設(shè)小明每天獲得的得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若小明每天賽完20局，設(shè)小明在每局四人賽中獲得第1名從而贏得該局比賽的概率為148．食品安全問題越來越受到人們的重視．某超市在購進某種水果之前，要求食品安檢部門對每箱水果進行三輪各項指標(biāo)的綜合檢測，只有三輪檢測都合格，這種水果才能在該超市銷售．已知每箱這種水果第一輪檢測不合格的概率為14，第二輪檢測不合格的概率為15，第三輪檢測不合格的概率為(1)求每箱這種水果能在該超市銷售的概率；(2)若這種水果能在該超市銷售，則每箱可獲利300元，若不能在該超市銷售，則每箱虧損100元，現(xiàn)有4箱這種水果，求這4箱水果總收益X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX9．飛行棋是一種競技游戲，玩家用棋子在圖紙上按線路行棋，通過擲骰子決定行棋步數(shù)．為增加游戲樂趣，往往在線路格子中設(shè)置一些“前進”“后退”等獎懲環(huán)節(jié)，當(dāng)骰子點數(shù)大于或等于到達(dá)終點的格數(shù)時，玩家順利通關(guān)．已知甲、乙兩名玩家的棋子已經(jīng)接近終點，其位置如圖所示：

(1)求甲還需拋擲2次骰子才順利通關(guān)的概率；(2)若甲、乙兩名玩家每人最多再投擲3次，且第3次無論是否通關(guān)，該玩家游戲結(jié)束．設(shè)甲、乙兩玩家再投擲骰子的次數(shù)為X,?Y，分別求出10．如圖，經(jīng)典的推箱子是一個古老的游戲，在一個狹小的倉庫中，該游戲要求把木箱放到指定的位置，稍不小心就會出現(xiàn)箱子無法移動或者通道被堵住的情況，所以需要巧妙地利用有限的空間和通道，合理安排移動的次序和位置，才能順利地完成任務(wù)，某學(xué)習(xí)小組在課外活動中為了培養(yǎng)組員的邏輯思維能力，開展了推箱子的小游戲，已知組員小明在前四關(guān)中，每關(guān)通過的概率都是34，失敗的概率都是14，且每關(guān)通過與否互不影響.假定小明只有在失敗或四關(guān)全部通過時游戲才結(jié)束，(1)求小明游戲結(jié)束時至少通過三關(guān)的概率；(2)求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX11．部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點工作（強基計劃）的?？加稍圏c高校自主命題，?？歼^程中達(dá)到筆試優(yōu)秀才能進入面試環(huán)節(jié).已知A,B兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否達(dá)到優(yōu)秀相互獨立.若某考生報考A大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率均為25，若該考生報考B大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率依次為14，25，n(1)若n=13，分別求出該考生報考(2)強基計劃規(guī)定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中達(dá)到優(yōu)秀科目個數(shù)的期望為依據(jù)作出決策，該考生更有希望進入A大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，求n的范圍.12．在某個周末，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)相約打臺球．四人約定游戲規(guī)則：①每輪游戲均將四人分成兩組，進行組內(nèi)一對一對打；②第一輪甲乙對打、丙丁對打；③每輪游戲結(jié)束后，兩名優(yōu)勝者組成優(yōu)勝組在下一輪游戲中對打，同樣的，兩名失敗者組成敗者組在下一輪游戲中對打；④每輪比賽均無平局出現(xiàn)．已知甲勝乙、乙勝丙、丙勝丁的概率均為12，甲勝丙、乙勝丁的概率均為35，甲勝丁的概率為(1)設(shè)在前三輪比賽中，甲乙對打的次數(shù)為隨機變量X，求X的數(shù)學(xué)期望；(2)求在第10輪比賽中，甲丙對打的概率．13．電視劇《狂飆》顯示了以安欣為代表的政法人員與黑惡勢力進行斗爭的決心和信心，自播出便引起巨大反響.為了了解觀眾對其的評價，某機構(gòu)隨機抽取了10位觀眾對其打分（滿分為10分），得到如下表格：觀眾序號12345678910評分7.88.98.67.48.58.59.59.98.39.1(1)求這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)；(2)將頻率視為概率，現(xiàn)從觀眾中隨機抽取3人對《狂飆》進行評價，記抽取的3人中評分超過9.0的人數(shù)為X，求X的分布列?數(shù)學(xué)期望與方差.14．某工藝品加工廠加工某工藝品需要經(jīng)過a，b，c三道工序，且每道工序的加工都相互獨立，三道工序加工合格率分別為34，12，(1)求加工一件工藝品不是廢品的概率；(2)若每個工藝品為特等品可獲利300元，一等品可獲利100元，二等品將使工廠虧損20元，廢品將使工廠虧損100元，記一件工藝品經(jīng)過三道工序后最終獲利X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．15．大連市是國內(nèi)知名足球城市，足球氛圍濃厚.在2022年第22屆卡塔爾足球世界杯階段，大連二十四中的同學(xué)們對世界杯某一分組內(nèi)的四支球隊進行出線情況分析.已知世界杯小組賽規(guī)則如下：小組內(nèi)四支球隊之間進行單循環(huán)（每只球隊均與另外三只球隊進行一場比賽）；每場比賽勝者積3分，負(fù)者0分；若出現(xiàn)平局，則比賽雙方各積1分.現(xiàn)假設(shè)組內(nèi)四支球隊?wèi)?zhàn)勝或者負(fù)于對手的概率均為0.25，出現(xiàn)平局的概率為0.5．(1)求某一只球隊在參加兩場比賽后積分X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)小組賽結(jié)束后，求四支球隊積分相同的概率．16．在全國碩士研究生統(tǒng)一招生考試中，甲，乙，丙三名應(yīng)屆本科畢業(yè)生都以優(yōu)秀的成績通過了某重點大學(xué)的初試，即將參加該重點大學(xué)組織的復(fù)試．已知甲，乙，丙三名同學(xué)通過復(fù)試的概率分別為12，12，p，復(fù)試是否通過互不影響，且甲，乙，丙三名同學(xué)都沒有通過復(fù)試的概率為(1)求p的值；(2)設(shè)甲，乙，丙三名同學(xué)中通過復(fù)試的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列．17．根據(jù)社會人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一個家庭有X個孩子的概率模型為：X1230Paaaa（其中a>0,0<p<1）每個孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為12，且相互獨立，事件Ai表示一個家庭有i個孩子(i=0,1,2,3)，事件(1)若p=12，求a，并根據(jù)全概率公式P(B)=i=1(2)是否存在p值，使得EX18．在二十大報告中，體育?健康等關(guān)鍵詞被多次提及，促進群眾體育和競技體育全面發(fā)展，加快建設(shè)體育強國是全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家的一個重要目標(biāo).某校為豐富學(xué)生的課外活動，加強學(xué)生體質(zhì)健康，擬舉行羽毛球團體賽，賽制采取3局2勝制，每局都是單打模式，每隊有5名隊員，比賽中每個隊員至多上場一次且是否上場是隨機的，每局比賽結(jié)果互不影響.經(jīng)過小組賽后，最終甲、乙兩隊進入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲隊種子選手M對乙隊每名隊員的勝率均為34，甲隊其余4名隊員對乙隊每名隊員的勝率均為1(1)求甲隊最終2:1獲勝且種子選手M上場的概率；(2)已知甲隊2:1獲得最終勝利，求種子選手M上場的概率.19．某水果店的草莓每盒進價20元，售價30元，草莓保鮮度為兩天，若兩天之內(nèi)未售出，以每盒10元的價格全部處理完.店長為了決策每兩天的進貨量，統(tǒng)計了本店過去40天草莓的日銷售量（單位：十盒），獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量/十盒78910天數(shù)812164假設(shè)草莓每日銷量相互獨立，且銷售量的分布規(guī)律保持不變，將頻率視為概率.(1)記每兩天中銷售草莓的總盒數(shù)為X（單位：十盒），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)以兩天內(nèi)銷售草莓獲得利潤較大為決策依據(jù)，在每兩天進16十盒，17十盒兩種方案中應(yīng)選擇哪種？20．袋中放有形狀、大小完全相同的4個黑球和4個白球．(1)從中依次摸3個球，摸后不放回，求在前兩次摸球有黑球的條件下，第三次摸到白球的概率；(2)若每次摸一個球后，觀察其顏色，再放回袋中．①求某人摸球5次，摸中3個黑球，且三個黑球不是連續(xù)摸中的概率；②若摸到黑球加1分，摸到白球減1分，求摸球多少次時，得分為4分的概率最大．21．設(shè)X,Y是一個二維離散型隨機變量，它們的一切可能取的值為ai,bj，其中i,j∈N?，令X,Ybbb???appp???appp???appp??????????????????現(xiàn)有nn∈N?個球等可能的放入編號為1,2,3的三個盒子中，記落入第1號盒子中的球的個數(shù)為X(1)當(dāng)n=2時，求X,Y的聯(lián)合分布列，并寫成分布表的形式；(2)設(shè)pk=m=0nP（參考公式：若X~Bn,p，則k=022．隨著人們收入水平的提高，特色化?差異化農(nóng)產(chǎn)品的消費需求快速增長，精品農(nóng)產(chǎn)品獲得廣大消費者的認(rèn)可.某精品水果種植大戶在水果采摘后，一般先分揀出單個重量不達(dá)標(biāo)的水果，再按重量進行分類裝箱.現(xiàn)從同批采摘?分揀后堆積的水果堆中隨機抽取了30個水果進行稱重（為方便稱重，按5克為一級進行分級），統(tǒng)計對應(yīng)的水果重量，得柱狀圖如下.

(1)估計該批采摘的水果的單個水果的平均重量（精確到整數(shù)位）；(2)在樣本內(nèi)，從重量不低于80克的水果中，隨機選取2個，記其中選取到水果重量不低于90克的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率.從采摘的水果堆中隨機選取n個水果，若要求其中至少有一個水果的重量不低于80克的概率不低于90%，求n23．某校高三1000名學(xué)生的一?？荚嚁?shù)學(xué)成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是30,50，50,70，70,90，90,110，110,130，130,150.

(1)求圖中a的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這1000名學(xué)生的一?？荚嚁?shù)學(xué)成績的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；(3)從一模數(shù)學(xué)成績位于90,110，110,130的學(xué)生中采用分層抽樣抽取8人，再從這8人中隨機抽取2人，該2人中一模數(shù)學(xué)成績在區(qū)間90,110的人數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.24．某知識測試的題目均為多項選擇題，每道多項選擇題有A，B，C，D這4個選項，4個選項中僅有兩個或三個為正確選項.題目得分規(guī)則為：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.已知測試過程中隨機地從四個選項中作選擇，每個選項是否為正確選項相互獨立.若第一題正確選項為兩個的概率為13，并且規(guī)定若第ii=1,2,?,n?1題正確選項為兩個，則第i+1題正確選項為兩個的概率為13；第ii=1,2,?,n?1題正確選項為三個，則第(1)若第二題只選了“C”一個選項，求第二題得分的分布列及期望；(2)求第n題正確選項為兩個的概率；(3)若第n題只選擇B、C兩個選項，設(shè)Y表示第n題得分，求證：EY25．某疫苗生產(chǎn)單位通過驗血的方式檢驗?zāi)撤N疫苗產(chǎn)生抗體情況，現(xiàn)有nn∈方式一：逐份檢驗，需要檢驗n次；方式二：混合檢驗，將其中k（k∈N*且k≥2）份血液樣本混合檢驗，若混合血樣無抗體，說明這k份血液樣本全無抗體，只需檢驗1次；若混合血樣有抗體，為了明確具體哪份血液樣本有抗體，需要對每份血液樣本再分別化驗一次，檢驗總次數(shù)為假設(shè)每份樣本的檢驗結(jié)果相互獨立，每份樣本有抗體的概率均為p(0<p<1)．(1)現(xiàn)有7份不同的血液樣本，其中只有3份血液樣本有抗體，采用逐份檢驗方式，求恰好經(jīng)過4次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來的概率；(2)現(xiàn)取其中k（k∈N*且k≥2）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為ξ1①若Eξ1=Eξ2，求P②已知p=1?e參考數(shù)據(jù)：ln2=0.693,26．某地區(qū)由于農(nóng)產(chǎn)品出現(xiàn)了滯銷的情況，從而農(nóng)民的收入減少，很多人開始在某直播平臺銷售農(nóng)產(chǎn)品并取得了不錯的銷售量.有統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示2022年該地利用網(wǎng)絡(luò)直播形式銷售農(nóng)產(chǎn)品的銷售主播年齡等級分布如圖1所示，一周內(nèi)使用直播銷售的頻率分布扇形圖如圖2所示，若將銷售主播按照年齡分為“年輕人”（20歲~39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或者40歲及以上）兩類，將一周內(nèi)使用的次數(shù)為6次或6次以上的稱為“經(jīng)常使用直播銷售用戶”，使用次數(shù)為5次或不足5次的稱為“不常使用直播銷售用戶”，且“經(jīng)常使用直播銷售用戶”中有34

(1)現(xiàn)對該地相關(guān)居民進行“經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡關(guān)系”的調(diào)查，采用隨機抽樣的方法，抽取一個容量為200的樣本，請你根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α=0.05的χ2使用直播銷售情況與年齡列聯(lián)表年輕人非年輕人合計經(jīng)常使用直播銷售用戶不常使用直播銷售用戶合計(2)某投資公司在2023年年初準(zhǔn)備將1000萬元投資到“銷售該地區(qū)農(nóng)產(chǎn)品”的項目上，現(xiàn)有兩種銷售方案供選擇：方案一：線下銷售、根據(jù)市場調(diào)研，利用傳統(tǒng)的線下銷售，到年底可能獲利30%，可能虧損15%，也可能不是不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為35，15，方案二：線上直播銷售，根據(jù)市場調(diào)研，利用線上直播銷售，到年底可能獲利50%，可能虧損30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為12，310，針對以上兩種銷售方案，請你從期望和方差的角度為投資公司選擇一個合理的方案，并說明理由.參考數(shù)據(jù)：獨立性檢驗臨界值表α0.150.100.050.0250.0100.0050.001x2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828其中χ2=n27．小王去自動取款機取款，發(fā)現(xiàn)自己忘記了6位密碼的最后一位數(shù)字，他決定從0~9中不重復(fù)地隨機選擇1個進行嘗試，直到輸對密碼，或者輸錯三次銀行卡被鎖定為止．(1)求小王的該銀行卡被鎖定的概率；(2)設(shè)小王嘗試輸入該銀行卡密碼的次數(shù)為X，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差．28．為了宣傳航空科普知識，某校組織了航空