初一動點問題

動點問題專題

知識精要

所a"動點型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或

弧線上運動的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜,靈活運用相關(guān)

數(shù)學(xué)知識并滲透數(shù)學(xué)思想解決問題.

解題關(guān)鍵：動中求靜.

數(shù)學(xué)思想：分類討論思想數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化歸一思想

例題精講

1.閱讀下面的材料：

如圖①，若線段AB在數(shù)軸上，A,B點表示的數(shù)分別為a,b（b>a）,則線段AB

的長（點A到點B的距離）可表示為AB=b-a

gg〉11111111111

-2-1*0152r-6-5-4-3-2-1012345

圖①圖②

請用上面材料中的知識解答下面的問題：

如圖②，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動1cm到達A點，再向左移動

2cm到達B點，然后向右移動7cm到達C點，用1個單位長度表示1cm

（1）請你在數(shù)軸上表示出A,B,C三點的位置，并直接寫出線段AC的長度；

（2）若數(shù)軸上有一點D,且AD=4cm,則點D表示的數(shù)是什么？

（3）若將點A向右移動xcm,請用代數(shù)式表示移動后的點表示的數(shù)？

（4）若點B以每秒2cm的速度向左移動至點P,同時點A,點C分別以每秒1cm

和4cm的速度向右移動至點P?,點P3,設(shè)移動時間為t秒，試探索：P3P2-PR的

值是否會隨著t的變化而變化？請說明理由.

2.如圖1,已知數(shù)軸上兩點A、B對應(yīng)的數(shù)分別為-1、3,點P為數(shù)軸上的一

動點，其對應(yīng)的數(shù)為X.

圖1圖2

(1)PA=；PB=(用含x的式子表示)

(2)在數(shù)軸上是否存在點P,使PA+PB=5?若存在，請求出x的值；若不存

在，請說明理由.

(3)如圖2,點P以1個單位/s的速度從點D向右運動，同時點A以5個單位

/s的速度向左運動，點B以20個單位/s的速度向右運動，在運動過程中，M、

N分別是AP、0B的中點，問：竺二星的值是否發(fā)生變化？請說明理由.

MN

3.如圖，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6,B是數(shù)軸上一點，且AB=10.動點P

從點A出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設(shè)運動時間為

t（t>0）秒.

（1）①寫出數(shù)軸上點B表示的數(shù)，點P表示的數(shù)（用

含t的代數(shù)式表示）；

②M為AP的中點，N為PB的中點.點P在運動的過程中，線段MN的長度是否

發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請你畫出圖形，并求出線段MN的

長；

（2）動點Q從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動；動

點R從點B出發(fā)，以每秒W個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若P、Q、R

3

三動點同時出發(fā)，當(dāng)點P遇到點R時，立即返回向點Q運動，遇到點Q后則停

止運動.那么點P從開始運動到停止運動，行駛的路程是多少個單位長度？

B°a

06

4.如圖1,已知數(shù)軸上有三點A、B、C,AB=1AC,點C對應(yīng)的數(shù)是200.

2

（1）若BC=300,求點A對應(yīng)的數(shù)；

（2）如圖2,在（1）的條件下，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)向左運

動，同時動點R從A點出發(fā)向右運動，點P、Q、R的速度分別為10單位長度每

秒、5單位長度每秒、2單位長度每秒，點M為線段PR的中點，點N為線段RQ

的中點，多少秒時恰好滿足MR=4RN（不考慮點R與點Q相遇之后的情形）；

（3）如圖3,在（1）的條件下，若點E、D對應(yīng)的數(shù)分別為-800、0,動點

P、Q分別從E、D兩點同時出發(fā)向左運動，點P、Q的速度分別為10單位長度

每秒、5單位長度每秒，點M為線段PQ的中點，點Q在從是點D運動到點A的

過程中，2QC-AM的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若不變，請說明理

2

由.

丁§C「

圖1

PRQ200

圖2

EAP

-800*Z6200

5.如圖，數(shù)軸上有A、B兩點，AB=12,原點0是線段AB上的一點，0A=20B.

（1）寫出A,B兩點所表示的實數(shù)；

（2）若點C是線段AB上一點，且滿足AC=CO+CB,求C點所表示的實數(shù)；

（3）若動點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，向右運動，點P的速度為每秒2個單

位長度，點Q的速度為每秒1個單位長度，設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)點P與點Q重

合時，P、Q兩點停止運動.

①當(dāng)t為何值時,20P-0Q=4；

②當(dāng)點P到達點0時，動點M從點0出發(fā)，以每秒3個單位長的速度也向右運

動，當(dāng)點M追上點Q后立即返回，以同樣的速度向點P運動，遇到點P后再立即

返回，以同樣的速度向點Q運動，如此往返，直到點P、Q停止時，點M也停止

運動，求在此過程中，點M行駛的總路程和點M最后位置在數(shù)軸上對應(yīng)的實數(shù).

—?--------??>

AOB

6.如圖，P是定長線段AB上一點，C、D兩點分別從P、B出發(fā)以lcm/s、2cm/s

的速度沿直線AB向左運動（C在線段AP上，D在線段BP上）

（1）若C、D運動到任一時刻時，總有PD=2AC,請說明P點在線段AB上的位置：

IIIII

ACPDR

（2）在（1）的條件下，Q是直線AB上一點，且AQ-BQ二PQ,求絲的值.

AB

?1?

APR

（3）在（1）的條件下，若C、D運動5秒后，恰好有CD=-AB,此時C點停

2

止運動，D點繼續(xù)運動（D點在線段PB上），M、N分別是CD、PD的中點，下列結(jié)

論：①PM-PN的值不變；②“乂的值不變，可以說明，只有一個結(jié)論是正確的，

AB

請你找出正確的結(jié)論并求值.

IIIII

ACPDR

7.在長方形ABCD中，AB=CD二10cm、BC=AD=8cm,動點P從A點出發(fā)，沿AnBnCnD

路線運動到D停止；動點Q從D出發(fā)，沿DnCnBnA路線運動到A停止；若P、

Q同時出發(fā)，點P速度為1cm/s,點Q速度為2cm/s,6s后P、Q同時改變速

度，點P速度變?yōu)?cm/s,點Q速度變?yōu)?cm/s.

(1)問P點出發(fā)幾秒后，P、Q兩點相遇？

(2)當(dāng)Q點出發(fā)幾秒時，點P點Q在運動路線上相距的路程為25cm?

8.思考下列問題并在橫線上填上答案.

(1)數(shù)軸上表示-3的點與表示4的點相距個單位.

(2)數(shù)軸上表示2的點先向右移動2個單位，再向左移動5個單位，最后到達

的點表示的數(shù)是.

(3)數(shù)軸上若點A表示的數(shù)是2,點B與點A的距離為3,則點B表示的數(shù)是

(4)若|a-3|=2,|b+2|=l,且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點A、點B,則

A、B兩點間的最大距離是,最小距離是.

(5)數(shù)軸上點A表示8,點B表示-8,點C在點A與點B之間，A點以每秒0.5

個單位的速度向左運動，點B以每秒1.5個單位的速度向右運動，點C以每秒3

個單位的速度先向右運動碰到點A后立即返回向左運動，碰到點B后又立即返回

向右運動，碰到點A后又立即返回向左運動…，三個點同時開始運動，經(jīng)過

秒三個點聚于一點，這一點表示的數(shù)是，點C在整個運動過程

中，移動了個單位.

9.已知點A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為a,點B對應(yīng)的數(shù)為b,且|2b-6|+(a+1)

J。，A、B之間的距離記作AB,定義:AB=|a-b|.

(1)求線段AB的長.

(2)設(shè)點P在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)x,當(dāng)PA-PB=2時，求x的值.

(3)M、N分別是PA、PB的中點，當(dāng)P移動時，指出當(dāng)下列結(jié)論分別成立時,

x的取值范圍，并說明理由：①叫的值不變，②|PM-PN|的值不變.

PN

10.已知數(shù)軸上兩點A、B對應(yīng)的數(shù)分別為-1、3,點P為數(shù)軸上一動點，其對應(yīng)

的數(shù)為X.

（1）若點P到點A,點B的距離相等，求點P對應(yīng)的數(shù)；

AOpB

______III1.11.

-2-103

（2）數(shù)軸上是否存在點P,使點P到點A、點B的距離之和為6?若存在，請求

出x的值；若不存在，說明理由；

（3）點A、點B分別以2個單位長度/分、1個單位長度/分的速度向右運動，同

時點P以6個單位長度/分的速度從0點向左運動.當(dāng)遇到A時，點P立即以同

樣的速度向右運動，并不停地往返于點A與點B之間，求當(dāng)點A與點B重合時，

點P所經(jīng)過的總路程是多少？

H.數(shù)軸上兩個質(zhì)點A、B所對應(yīng)的數(shù)為-8、4,A、B兩點各自以一定的速度在上

AB

運動，且A點的運動速度為2個單位/秒.-8C4~

（1）點A、B兩點同時出發(fā)相向而行，在原點處相遇，求B點的運動速度；

（2）A、B兩點以（1）中的速度同時出發(fā)，向數(shù)軸正方向運動，幾秒鐘時兩者相

距6個單位長度；

（3）A、B兩點以（1）中的速度同時出發(fā)，向數(shù)軸負方向運動，與此同時，C點

從原點出發(fā)作同方向的運動，且在運動過程中，始終有CB：CA=1：2,若干秒鐘

后，C停留在-10處，求此時B點的位置？

12.如圖,在射線0M上有三點A、B、C,滿足0A=20cm,AB=60cm,BC=10cm（如

圖所示），點P從點0出發(fā)，沿0M方向以lcm/s的速度勻速運動，點Q從點C出

發(fā)在線段CO上向點0勻速運動（點Q運動到點0時停止運動），兩點同時出發(fā).

（1）當(dāng)PA=2PB時，點Q運動到的位置恰好是線段AB的三等分點，求點Q的運

動速度.

（2）若點Q運動速度為3cm/s,經(jīng)過多長時間P、Q兩點相距70cm.

（3）當(dāng)點P運動到線段AB上時，分別取0P和AB的中點E、F,求竺二竺的

EF

值.

aARCM

13.已知線段AB=m,CD=n,線段CD在直線AB上運動（A在B左側(cè)，C在D左側(cè)）,

若帆-24=(6-〃)~.ARCD

(1)求線段AB、CD的長；

(2)M、N分別為線段AC、BD的中點，若BC=4,求MN；

(3)當(dāng)CD運動到某一時刻時，D點與B點重合，P是線段AB延長線上任意一

點，下列兩個結(jié)論：①”二登是定值；②且土”是定值，請選擇正確的一

PCPC

個并加以證明.

14.在數(shù)軸上，點A表示的數(shù)是-30,點B表示的數(shù)是170.

（1）求A、B中點所表示的數(shù).

（2）一只電子青蛙m,從點B出發(fā)，以4個單位每秒的速度向左運動，同時另

一只電子青蛙n,從A點出發(fā)以6個單位每秒的速度向右運動，假設(shè)它們在C點

處相遇，求C點所表示的數(shù).

（3）兩只電子青蛙在C點處相遇后，繼續(xù)向原來運動的方向運動，當(dāng)電子青蛙

m處在A點處時，問電子青蛙n處在什么位置？

（4）如果電子青蛙m從B點處出發(fā)向右運動的同時，電子青蛙n也向右運動，

假設(shè)它們在D點處相遇，求D點所表示的數(shù)

15.動點A從原點出發(fā)向數(shù)軸負方向運動，同時，動點B也從原點出發(fā)向數(shù)軸正

方向運動，3秒后，兩點相距15個單位長度.已知動點A、B的速度比是1：4.（速

度單位：單位長度/秒）

（1）求出兩個動點運動的速度，并在數(shù)軸上標(biāo)出A、B兩點從原點出發(fā)運動3秒

時的位置；

（2）若A、B兩點從（1）中的位置同時向數(shù)軸負方向運動，幾秒后原點恰好處

在兩個動點正中間；

（3）在（2）中A、B兩點繼續(xù)同時向數(shù)軸負方向運動時，另一動點C同時從B

點位置出發(fā)向A運動，當(dāng)遇到A后，立即返回向B點運動，遇到B點后立即返回

向A點運動，如此往返，直到B追上A時，C立即停止運動.若點C一直以20單

位長度/秒的速度勻速運動，那么點C從開始到停止運動，運動的路程是多少單

位長度.

-8-6-4-2024681012

16.已知數(shù)軸上有A、B、C三點，分別代表一24,—10,10,兩只電子螞蟻甲、

乙分別從A、C兩點同時相向而行，甲的速度為4個單位/秒。

⑴問多少秒后，甲到A、B、C的距離和為40個單位？

⑵若乙的速度為6個單位/秒，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點同時相向而

行，問甲、乙在數(shù)軸上的哪個點相遇？

⑶在⑴⑵的條件下，當(dāng)甲到A、B、C的距離和為40個單位時，甲調(diào)頭返回。問

甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎？若能，求出相遇點；若不能，請說明理由。

17.已知：如圖1,M是定長線段AB上一定點,C、D兩點分別從M、B出發(fā)以lcm/s、

3cm/s的速度沿直線BA向左運動，運動方向如箭頭所示(C在線段AM上，D在

線段BM上)

(1)若AB=10cm,當(dāng)點C、D運動了2s,求AC+MD的值.

(2)若點C、D運動時，總有MD=3AC,直接填空：AM=AB.

(3)在(2)的條件下，N是直線AB上一點，且AN-BN=MN,求"乜的值.

AB

MDB

圖1

MB

圖2

18.如圖，點C是線段AB的中點，點D、E分別是線段AC、CB的中點.

（1）若線段AB=10cm,求線段AC和線段DE的長度；

（2）若線段AB=a,求線段DE的長度.

（3）若甲、乙兩點分別從點A、D同時出發(fā)，沿AB方向向右運動，若甲、乙兩

點同時到達B點，請你寫出一組符合條件的甲、乙兩點運動的速度.

ADCFR

19.如圖，在數(shù)軸上點A、B、C表示的數(shù)分別為-2、1、6,點A與點B之間的距

離表示為AB,點B與點C之間的距離表示為BC,點A與點C之間的距離表示為

AC

一4「0一一」

-4-3-2-101234567

(1)請直接寫出AB、BC、AC的長度；

(2)若點D從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向左運動，點E從B點出

發(fā)以每秒2個單位長度的速度向右運動，點F從C點出發(fā)以每秒5個單位長度

的速度向右運動.設(shè)點D、E、F同時出發(fā)，運動時間為t秒，試探索：EF-DE的

值是否隨著時間t的變化而變化？請說明理由.

(3)若點M以每秒4個單位的速度從A點出發(fā)，點N以每秒3個單位的速度運

動從C點出發(fā)，設(shè)點M、N同時出發(fā)，運動時間為t秒，試探究：經(jīng)過多少秒后，

點M、N兩點間的距離為14個單位.

20.如圖1,點A,B都在線段EF上(點A在點E和點B之間)，點M,N分別是

線段EA,BF的中點.

(1)若EA：AB：BF=1：2：3,且EF=12cm,求線段MN的長；

(2)若MN=a,AB=b,求線段EF的長(用含a,b的代數(shù)式表示)；

(3)如圖2,延長線段EF至點4,使FA尸EA,請?zhí)骄烤€段BA1與EM+NF應(yīng)滿足

的數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)論)

EMABNF

圖1

EMABNFA.

圖2

21.如圖，數(shù)軸上A,B