北京市海淀區(qū)北京醫(yī)學(xué)院附屬中學(xué)2021-2022學(xué)年高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.記遞增數(shù)列的前項(xiàng)和為.若,,且對(duì)中的任意兩項(xiàng)與(),其和,或其積,或其商仍是該數(shù)列中的項(xiàng),則()A. B.C. D.2.已知是邊長(zhǎng)為的正三角形,若,則A. B.C. D.3.已知單位向量,的夾角為,若向量,,且,則()A.2 B.2 C.4 D.64.如圖,在平行四邊形中,為對(duì)角線的交點(diǎn),點(diǎn)為平行四邊形外一點(diǎn),且,,則()A. B.C. D.5.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn),若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,且,則拋物線的方程是()A. B. C. D.6.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是且,若為最大邊,則的取值范圍是()A. B. C. D.7.已知,是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn),是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且,橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,若,則的最小值為()A. B. C.8 D.68.集合的子集的個(gè)數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.89.連接雙曲線及的4個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為,連接4個(gè)焦點(diǎn)的四邊形的面積為,則當(dāng)取得最大值時(shí),雙曲線的離心率為()A. B. C. D.10.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A. B.C. D.11.在中,,,,則在方向上的投影是()A.4 B.3 C.-4 D.-312.已知函數(shù),的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于,則的一條對(duì)稱軸是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)在定義域R上的導(dǎo)函數(shù)為,若函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn),且,當(dāng)在上與在R上的單調(diào)性相同時(shí),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.14.雙曲線的焦距為_(kāi)_________,漸近線方程為_(kāi)_______.15.在棱長(zhǎng)為的正方體中,是面對(duì)角線上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn).以下四個(gè)命題:①存在兩點(diǎn),使;②存在兩點(diǎn),使與直線都成的角;③若,則四面體的體積一定是定值;④若,則四面體在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值.其中為真命題的是____.16.“六藝”源于中國(guó)周朝的貴族教育體系,具體包括“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”.某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動(dòng)中開(kāi)展了“六藝”知識(shí)講座,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),則滿足“禮”與“樂(lè)”必須排在前兩節(jié),“射”和“御”兩講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)(1)已知數(shù)列滿足:,且(為非零常數(shù),),求數(shù)列的前項(xiàng)和;(2)已知數(shù)列滿足:(?。?duì)任意的;(ⅱ)對(duì)任意的,,且.①若,求數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件.②求證:數(shù)列是等比數(shù)列,其中.18.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)記函數(shù)的最大值為,若,證明:.19.(12分)已知矩陣的一個(gè)特征值為4,求矩陣A的逆矩陣.20.(12分)如圖,四棱錐的底面ABCD是正方形,為等邊三角形,M,N分別是AB,AD的中點(diǎn),且平面平面ABCD.(1)證明:平面PNB;(2)問(wèn)棱PA上是否存在一點(diǎn)E,使平面DEM,求的值21.(12分)在中,角、、的對(duì)邊分別為、、,且.(1)若,,求的值;(2)若,求的值.22.(10分)在四棱錐中,底面為直角梯形,,面.(1)在線段上是否存在點(diǎn),使面,說(shuō)明理由;(2)求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】

由題意可得,從而得到,再由就可以得出其它各項(xiàng)的值,進(jìn)而判斷出的范圍.【詳解】解:,或其積,或其商仍是該數(shù)列中的項(xiàng),或者或者是該數(shù)列中的項(xiàng),又?jǐn)?shù)列是遞增數(shù)列,,,,只有是該數(shù)列中的項(xiàng),同理可以得到,,,也是該數(shù)列中的項(xiàng),且有,,或(舍,,根據(jù),,,同理易得,,,,,,,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的新定義的理解和運(yùn)用,以及運(yùn)算能力和推理能力,屬于中檔題.2.A【解析】

由可得,因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的正三角形,所以,故選A.3.C【解析】

根據(jù)列方程,由此求得的值,進(jìn)而求得.【詳解】由于,所以,即,解得.所以所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量垂直的表示,考查向量數(shù)量積的運(yùn)算,考查向量模的求法,屬于基礎(chǔ)題.4.D【解析】

連接,根據(jù)題目,證明出四邊形為平行四邊形,然后,利用向量的線性運(yùn)算即可求出答案【詳解】連接,由,知,四邊形為平行四邊形,可得四邊形為平行四邊形,所以.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題5.B【解析】

利用拋物線的定義可得,,把線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,代入可得p值,然后可得出拋物線的方程.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,設(shè)點(diǎn),由拋物線的定義可知,線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,又,,可得,所以拋物線方程為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.6.C【解析】

由,化簡(jiǎn)得到的值,根據(jù)余弦定理和基本不等式,即可求解.【詳解】由,可得,可得,通分得,整理得,所以,因?yàn)闉槿切蔚淖畲蠼?,所以,又由余弦定理,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,所以,即,又由,所以的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式的化簡(jiǎn),余弦定理,以及基本不等式的綜合應(yīng)用,試題難度較大,屬于中檔試題,著重考查了推理與運(yùn)算能力.7.C【解析】

由橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式化簡(jiǎn),結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為,半焦距為,則,,設(shè)由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得:,則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào).故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式,屬于中等題.8.D【解析】

先確定集合中元素的個(gè)數(shù),再得子集個(gè)數(shù).【詳解】由題意,有三個(gè)元素,其子集有8個(gè).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查子集的個(gè)數(shù)問(wèn)題,含有個(gè)元素的集合其子集有個(gè),其中真子集有個(gè).9.D【解析】

先求出四個(gè)頂點(diǎn)、四個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo),四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)菱形,求出菱形的面積,四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正方形,求出其面積,利用重要不等式求得取得最大值時(shí)有,從而求得其離心率.【詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線,四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,四個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,四個(gè)頂點(diǎn)形成的四邊形的面積,四個(gè)焦點(diǎn)連線形成的四邊形的面積,所以,當(dāng)取得最大值時(shí)有,,離心率,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有共軛雙曲線的頂點(diǎn),焦點(diǎn),菱形面積公式,重要不等式求最值,等軸雙曲線的離心率,屬于簡(jiǎn)單題目.10.B【解析】

由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征,然后結(jié)合空間結(jié)構(gòu)特征即可求得其表面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體為邊長(zhǎng)為正方體挖去一個(gè)以為球心以為半徑球體的,如圖,故其表面積為,故選:B.【點(diǎn)睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積,關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?,從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和;組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面,計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算,而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.11.D【解析】分析:根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得,再結(jié)合圖形求出與方向上的投影即可.詳解:如圖所示:,,,又,,在方向上的投影是:,故選D.點(diǎn)睛:本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應(yīng)用問(wèn)題,也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問(wèn)題.12.D【解析】

由題,得,由的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于,可得最小正周期,從而求得,得到函數(shù)的解析式,又因?yàn)楫?dāng)時(shí),,由此即可得到本題答案.【詳解】由題,得,因?yàn)榈膱D象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于,所以函數(shù)的最小正周期,則,所以,當(dāng)時(shí),,所以是函數(shù)的一條對(duì)稱軸,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查利用和差公式恒等變形,以及考查三角函數(shù)的周期性和對(duì)稱性.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由題意可知:為上的單調(diào)函數(shù),則為定值,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知為上的增函數(shù),則在,單調(diào)遞增,求導(dǎo),則恒成立,則,根據(jù)函數(shù)的正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍.【詳解】若方程無(wú)解,則或恒成立,所以為上的單調(diào)函數(shù),都有,則為定值,設(shè),則,易知為上的增函數(shù),,,又與的單調(diào)性相同,在上單調(diào)遞增,則當(dāng),,恒成立,當(dāng),時(shí),,,,,,此時(shí),故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,正弦函數(shù)的性質(zhì),輔助角公式,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.14.6【解析】由題得所以焦距,故第一個(gè)空填6.由題得漸近線方程為.故第二個(gè)空填.15.①③④【解析】

對(duì)于①中,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合,與點(diǎn)重合時(shí),可判斷①正確;當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)重合,與直線所成的角最小為,可判定②不正確;根據(jù)平面將四面體可分成兩個(gè)底面均為平面,高之和為的棱錐,可判定③正確;四面體在上下兩個(gè)底面和在四個(gè)側(cè)面上的投影,均為定值,可判定④正確.【詳解】對(duì)于①中,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合,與點(diǎn)重合時(shí),,所以①正確;對(duì)于②中,當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)重合,與直線所成的角最小,此時(shí)兩異面直線的夾角為,所以②不正確;對(duì)于③中,設(shè)平面兩條對(duì)角線交點(diǎn)為,可得平面,平面將四面體可分成兩個(gè)底面均為平面,高之和為的棱錐,所以四面體的體積一定是定值,所以③正確;對(duì)于④中,四面體在上下兩個(gè)底面上的投影是對(duì)角線互相垂直且對(duì)角線長(zhǎng)度均為1的四邊形,其面積為定義,四面體在四個(gè)側(cè)面上的投影,均為上底為,下底和高均為1的梯形,其面積為定值,故四面體在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值,所以④正確.故答案為:①③④.【點(diǎn)睛】本題主要考查了以空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征為載體的謎題的真假判定及應(yīng)用,其中解答中涉及到棱柱的集合特征,異面直線的關(guān)系和椎體的體積,以及投影的綜合應(yīng)用,著重考查了推理與論證能力,屬于中檔試題.16.【解析】

分步排課,首先將“禮”與“樂(lè)”排在前兩節(jié),然后,“射”和“御”捆綁一一起作為一個(gè)元素與其它兩個(gè)元素合起來(lái)全排列,同時(shí)它們內(nèi)部也全排列.【詳解】第一步:先將“禮”與“樂(lè)”排在前兩節(jié),有種不同的排法;第二步:將“射”和“御”兩節(jié)講座捆綁再和其他兩藝全排有種不同的排法,所以滿足“禮”與“樂(lè)”必須排在前兩節(jié),“射”和“御”兩節(jié)講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查排列的應(yīng)用,排列組合問(wèn)題中,遵循特殊元素特殊位置優(yōu)先考慮的原則,相鄰問(wèn)題用捆綁法,不相鄰問(wèn)題用插入法.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2)①;②證明見(jiàn)解析.【解析】

(1)由條件可得,結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、求和公式,即可得到所求;(2)①若,可令,運(yùn)用已知條件和等比數(shù)列的性質(zhì),即可得到所求充要條件;②當(dāng),,,由等比數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì),化簡(jiǎn)變形,即可得到所求結(jié)論.【詳解】解:(1),,且為非零常數(shù),,,可得,可得數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,可得,前項(xiàng)和為;(2)①若,可令,,且,即,,,,對(duì)任意的,,可得,可得,,數(shù)列是等比數(shù)列,則,,可得,,即,又,即有,即,數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件為;②證明:對(duì)任意的,,,,,當(dāng),,,可得,即以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列;同理可得以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列;對(duì)任意的,,可得,即有,所以對(duì),,,可得,,即且,則,可令,故數(shù)列,,,,,,,,,是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,其中.【點(diǎn)睛】本題考查新定義的理解和運(yùn)用,考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用,考查分類討論思想方法和推理、運(yùn)算能力,屬于難題.18.(1);(2)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)將函數(shù)整理為分段函數(shù)形式可得,進(jìn)而分類討論求解不等式即可;(2)先利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得到的最大值為3,再利用均值定理證明即可.【詳解】(1)①當(dāng)時(shí),恒成立,;②當(dāng)時(shí),,即,;③當(dāng)時(shí),顯然不成立,不合題意;綜上所述,不等式的解集為.(2)由(1)知,于是由基本不等式可得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))上述三式相加可得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),,故得證.【點(diǎn)睛】本題考查解絕對(duì)值不等式和利用均值定理證明不等式,考查絕對(duì)值不等式的最值的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是掌握分類討論解決帶絕對(duì)值不等式的方法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.19..【解析】

根據(jù)特征多項(xiàng)式可得,可得,進(jìn)而可得矩陣A的逆矩陣.【詳解】因?yàn)榫仃嚨奶卣鞫囗?xiàng)式,所以,所以.因?yàn)椋?,所?【點(diǎn)睛】本題考查矩陣的特征多項(xiàng)式以及逆矩陣的求解,是基礎(chǔ)題.20.(1)證明見(jiàn)解析;(2)存在,.【解析】

(1)根據(jù)題意證出,,再由線面垂直的判定定理即可證出.(2)連接AC交DM于點(diǎn)Q,連接EQ,利用線面平行的性質(zhì)定理可得,從而可得,在正方形ABCD中,由即可求解.【詳解】(1)證明:在正方形ABCD中,M,N分別是AB,AD的中點(diǎn),∴,,.∴.∴.又,∴,∴.∵為等邊三角形,N是AD的中點(diǎn),∴.又平面平面ABCD,平面PAD,平面平面,∴平面ABCD.又平面ABCD,∴.∵平面PNB,,∴平面PNB.(2)解:存在.如圖,連接AC交DM于點(diǎn)Q,連接EQ.∵平面DEM,平面PAC,平面平面,∴.∴.在正方形ABCD中,,且.∴,∴.故.所以棱PA上存在點(diǎn)E,使平面DEM,此時(shí),E是棱A的靠近點(diǎn)

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