高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 第1講 平面向量的概念及線性運算配套限時規(guī)范訓(xùn)練 理 蘇教版

第五章平面向量第1講平面向量的概念及線性運算分層訓(xùn)練A級基礎(chǔ)達標演練(時間：30分鐘滿分：60分)一、填空題(每小題5分，共30分)1．(·淮安調(diào)研)設(shè)a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－2a)共線，則λ解析依題意知向量a＋λb與2a－b共線，設(shè)a＋λb＝k(2a－b)，則有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2k＝0,k＋λ＝0))解得k＝eq\f(1,2)，λ＝－eq\f(1,2).答案－eq\f(1,2)2．(·泰安模擬)設(shè)a、b是兩個不共線向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，若A、B、D三點共線，則實數(shù)p的值是________．解析因為eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－b，又A、B、D三點共線，所以存在實數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→)).即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝2λ，,p＝－λ，))∴p＝－1.答案－13．在?ABCD中，點E、F分別是CD和BC的中點，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________.解析如圖，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)(a＋b)＝eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AF,\s\up6(→)).所以λ＝μ＝eq\f(2,3)，λ＋μ＝eq\f(4,3).答案eq\f(4,3)4．在△ABC中，已知點D為BC邊上的中點，點P滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))＝0.eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PD,\s\up6(→))，則實數(shù)λ的值為________．解析如圖所示，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PD,\s\up6(→))，且eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))＝0，則P為以AB、AC為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點，因此eq\o(AP,\s\up6(→))＝－2eq\o(PD,\s\up6(→))，則λ＝－2.答案－25．已知O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線三點，動點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，λ∈[0，＋∞)，則動點P的軌跡一定通過△ABC的________心．解析設(shè)D是BC邊中點，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，于是由條件得eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，即P在中線所在直線AD上，所以P點軌跡必過△ABC的重心．答案重心6.(·青島模擬)如圖所示，設(shè)O是△ABC內(nèi)部一點，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則△ABC和△BOC的面積之比為________．解析以eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))為鄰邊作?OBEC，OE交BC于D，如題圖，由已知條件2eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，則eq\o(AO,\s\up6(→))＝2eq\o(OE,\s\up6(→))＝4eq\o(OD,\s\up6(→))，即eq\o(AD,\s\up6(→))＝5eq\o(OD,\s\up6(→))，因此eq\f(S△ABC,S△BOC)＝eq\f(|\o(AD,\s\up6(→))|,|\o(OD,\s\up6(→))|)＝eq\f(5,1).答案5∶1二、解答題(每小題15分，共30分)7.如圖，在△OAB中，延長BA到C，使AC＝BA，在OB上取點D，使DB＝eq\f(1,3)OB.設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，用a，b表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→)).解eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋2(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝2a－b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2a－b)－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b.8.如圖所示，在△ABC中，點M是BC的中點，點N在邊AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點P，求AP∶PM的值．解設(shè)eq\o(BM,\s\up6(→))＝e1，eq\o(CN,\s\up6(→))＝e2，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－3e2－e1，eq\o(BN,\s\up6(→))＝2e1＋e2，因為A、P、M和B、P、N分別共線，所以存在λ、μ∈R，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＝－λe1－3λe2，eq\o(BP,\s\up6(→))＝μeq\o(BN,\s\up6(→))＝2μe1＋μe2.故eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，而eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝2e1＋3e2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5)，))所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AM,\s\up6(→))，所以eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AM,\s\up6(→))，即AP∶PM＝4∶1.分層訓(xùn)練B級創(chuàng)新能力提升1.(·泰州模擬)如圖所示，在△ABC中，已知點D在AB邊上，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，則λ＝________.解析因為eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)2.(·鎮(zhèn)江調(diào)研)如圖所示，在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝3eq\o(ED,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BE,\s\up6(→))＝________(用a，b表示)．解析eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)×eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b.答案－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b3．若點O是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，則△ABC的形狀為________．解析eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|.故A，B，C為矩形的三個頂點，△ABC為直角三角形．答案直角三角形4．若O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，則點P的軌跡一定通過△ABC的________心．解析如圖，設(shè)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)，以eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))為鄰邊構(gòu)作?AMDN，則?AMDN是邊長為1的菱形，所以AD平分∠BAC，于是由eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))知動點P必過△ABC的內(nèi)心．答案內(nèi)5．已知點G是△ABO的重心，M是AB邊的中點．(1)求eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GO,\s\up6(→))；(2)若PQ過△ABO的重心G，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OP,\s\up6(→))＝ma，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝nb，求證：eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝3.(1)解因為eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＝2eq\o(GM,\s\up6(→))，又2eq\o(GM,\s\up6(→))＝－eq\o(GO,\s\up6(→))，所以eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GO,\s\up6(→))＝－eq\o(GO,\s\up6(→))＋eq\o(GO,\s\up6(→))＝0.(2)證明因為eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，且G是△ABO的重心，所以eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)．由P，G，Q三點共線，得eq\o(PG,\s\up6(→))∥eq\o(GQ,\s\up6(→))，所以有且只有一個實數(shù)λ，使eq\o(PG,\s\up6(→))＝λeq\o(GQ,\s\up6(→)).又eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\o(OG,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－ma＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))a＋eq\f(1,3)b，eq\o(GQ,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＝nb－eq\f(1,3)(a＋b)＝－eq\f(1,3)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,3)))b，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))a＋eq\f(1,3)b＝λeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)a＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,3)))b)).又因為a、b不共線，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m＝－\f(1,3)λ，,\f(1,3)