2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章函數(shù)2.4函數(shù)的奇偶性與簡單的冪函數(shù)2.4.1函數(shù)的奇偶性一課一練含解析北師大版必修第一冊

PAGEPAGE6其次章函數(shù)§4函數(shù)的奇偶性與簡潔的冪函數(shù)課時1函數(shù)的奇偶性學(xué)問點1函數(shù)奇偶性概念的理解1.☉%***03#75%☉(2024·陜西寶雞金臺區(qū)月考)下列說法中錯誤的個數(shù)為()。①圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的函數(shù)是奇函數(shù);②圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)是偶函數(shù);③奇函數(shù)的圖像肯定過坐標(biāo)原點;④偶函數(shù)的圖像肯定與y軸相交。A.4 B.3 C.2 D.1答案：C解析：由奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì),知①②說法正確;對于③,如f(x)=1x,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),它是奇函數(shù),但它的圖像不過原點,所以③說法錯誤;對于④,如f(x)=1x2,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),它是偶函數(shù),但它的圖像不與y軸相交,所以④2.☉%*#￥2556￥%☉(2024·廣安二中月考)下列函數(shù)不具備奇偶性的是()。A.y=-x B.y=-1C.y=x-1x+1 D.y答案：C解析：y=-x與y=-1x都是奇函數(shù),y=x2+2是偶函數(shù),y=x-1x+1的定義域為{x∈R|x≠-1},不關(guān)于原點對稱,故y=x3.☉%1#*0#*19%☉(2024·吉林長春十一中高一檢測)如圖2-4-1-1是一個由集合A到集合B的映射,這個映射表示的()。圖2-4-1-1A.是奇函數(shù)而非偶函數(shù)B.是偶函數(shù)而非奇函數(shù)C.是奇函數(shù)且是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)答案：C解析：因為f(x)=0,x∈{-2,2},滿意f(-x)=±f(x)。所以該映射表示的既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。故選C。4.☉%544#7￥￥*%☉(2024·上海崇明區(qū)測試)奇函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖像必定經(jīng)過點()。A.(a,f(-a)) B.(-a,f(a))C.(-a,-f(a)) D.a答案：C解析：由f(-x)=-f(x),知當(dāng)x=-a時,f(-a)=-f(a)。故選C。5.☉%551##8@￥%☉(2024·樂山一中月考)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),則f(0)的值為()。A.-1 B.0 C.1 D.無法確定答案：B解析：因為f(-x)=-f(x)。所以f(0)=-f(0),即f(0)=0。故選B。6.☉%3*@03*2#%☉(2024·北京19中月考)函數(shù)f(x)=ax2+bx+2a-b是定義在[a-1,2a]上的偶函數(shù),則a+b=()。A.-13 B.13 C.0答案：B解析：由偶函數(shù)的定義,知[a-1,2a]關(guān)于原點對稱,所以2a=1-a,解得a=13。又f(x)為偶函數(shù),所以b=0,所以a+b=13。故選學(xué)問點2函數(shù)奇偶性的推斷7.☉%24#0#2#￥%☉(2024·桂林高一檢測)若函數(shù)f(x)滿意f(-x)f(x)=1,則f(A.x軸 B.y軸C.直線y=x D.不能確定答案：B解析：由題意得f(-x)=f(x),則f(x)是偶函數(shù),其圖像關(guān)于y軸對稱。故選B。8.☉%9#6￥6#8@%☉(2024·云南民族高校附屬中學(xué)高一檢測)已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),則F(x)()。A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.是非奇非偶函數(shù)答案：B解析：F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)。又因為x∈(-a,a)關(guān)于原點對稱,所以F(x)是偶函數(shù)。故選B。9.☉%￥###5701%☉(原創(chuàng)題)函數(shù)f(x)=1x+x3的圖像關(guān)于()A.坐標(biāo)原點對稱 B.x軸對稱C.y軸對稱 D.直線y=x對稱答案：A解析：函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱,又因為f(-x)=1-x-x3=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù),故其圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱。故選10.☉%*#689*@8%☉(多選)(2024·河北衡水中學(xué)高一月考)已知f(x),g(x)都是定義域為R的不恒為零的函數(shù),其中f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù),則下列說法中正確的是()。A.函數(shù)|f(x)|為偶函數(shù)B.函數(shù)-g(x)為奇函數(shù)C.函數(shù)f(|x|)+g(x)為偶函數(shù)D.函數(shù)f(x)+g(x)為非奇非偶函數(shù)答案：ACD解析：由題意可知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),逐一分析所給的函數(shù):選項A中,|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,該函數(shù)為偶函數(shù),說法正確;選項B中,-g(-x)=-g(x),該函數(shù)為偶函數(shù),說法不正確;選項C中,f(|-x|)+g(-x)=f(|x|)+g(-x)=f(|x|)+g(x),該函數(shù)為偶函數(shù),說法正確;選項D中f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠f(x)+g(x)且f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠-[f(x)+g(x)],該函數(shù)為非奇非偶函數(shù),說法正確。故選ACD。11.☉%4##**722%☉(2024·甘肅南裕固族自治縣一中高一檢測)函數(shù)f(x)=4-x2|xA.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù) D.既奇且偶函數(shù)答案：A解析：因為4-x2≥0,|x+2|-2≠0,所以f(x)的定義域為[-2,0)∪(0,2],關(guān)于原點對稱,此時f(x)=4-x2|x+2|-2=412.☉%##35￥*47%☉(2024·山東濟(jì)寧任城高一期中)已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函數(shù),則函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx()。A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)C.是非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)答案：A解析：若f(x)=ax2+bx+c是偶函數(shù),則有f(-x)=f(x),即ax2+bx+c=ax2-bx+c,所以b=0。故g(x)=ax3+bx2+cx=ax3+cx,故有g(shù)(-x)=a(-x)3+c(-x)=-(ax3+cx)=-g(x),故函數(shù)g(x)為奇函數(shù)。故選A。13.☉%*2￥*851￥%☉(多選)(2024·南京調(diào)考)對于定義在R上的函數(shù)f(x),有如下四個命題,其中正確的是()。A.若f(0)=0,則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)B.若f(-4)≠f(4),則函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)C.若f(0)<f(4),則函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)D.若f(0)<f(4),則函數(shù)f(x)不是R上的減函數(shù)答案：BD解析：對于函數(shù)f(x)=x2,滿意f(0)=0,f(0)<f(4),但f(x)是偶函數(shù),在定義域R內(nèi)不具有單調(diào)性,所以AC錯誤,易知BD正確。題型函數(shù)奇偶性的應(yīng)用14.☉%*2*￥455￥%☉(2024·河南濮陽高一(上)期末考試)對于定義域為R的奇函數(shù)f(x),下列結(jié)論肯定成立的是()。A.f(x)-f(-x)>0 B.f(x)-f(-x)≤0C.f(x)·f(-x)≤0 D.f(x)·f(-x)>0答案：C解析：因為f(x)是定義域為R的奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),所以f(x)-f(-x)=2f(x),其值與f(x)的取值有關(guān),f(x)·f(-x)=-f2(x)≤0,故選C。15.☉%49￥#39*￥%☉(2024·荊州統(tǒng)考)已知f(x)=x5+ax3+bx-8(a,b是常數(shù)),且f(-3)=5,則f(3)=()。A.21 B.-21 C.26 D.-26答案：B解析：設(shè)g(x)=x5+ax3+bx,則g(x)為奇函數(shù),由題設(shè)可得f(-3)=g(-3)-8=5,求得g(-3)=13。又g(x)為奇函數(shù),所以g(3)=-g(-3)=-13,于是f(3)=g(3)-8=-13-8=-21。故選B。16.☉%2656#￥￥*%☉(2024·黃岡中學(xué)月考)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿意f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),則()。A.f(-1)<f(3)<f(4)B.f(4)<f(3)<f(-1)C.f(3)<f(4)<f(-1)D.f(-1)<f(4)<f(3)答案：D解析：因為f(x)是R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,又f(x)滿意f(x-4)=-f(x),則f(4)=-f(0)=0。又f(x)=-f(-x)且f(x-4)=-f(x),所以f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1)。又f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),所以f(1)>f(0),即f(1)>0,所以f(-1)=-f(1)<0,f(3)=f(1)>0,于是f(-1)<f(4)<f(3)。故選D。17.☉%0**513@￥%☉(2024·九江一中月考)若奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),且f(3)=0,則不等式f(x)-f(-xA.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)答案：A解析：因為f(x)為奇函數(shù),f(3)=0,所以f(-3)=0。因為f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),所以f(x)在(-∞,0)上為增函數(shù),所以f(x)-f(-x)2=f(x)>0。當(dāng)x>0時,f(x)>f(3),所以x>3;當(dāng)x<0時,易得f(x)>f(-3),所以-3<x<0。所以原不等式的解集為18.☉%8**35#2￥%☉(2024·昆明調(diào)考)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,則滿意f(2x-1)<f13的x的取值范圍為()A.13,2C.12,2答案：A解析：由于f(x)為偶函數(shù),且在[0,+∞)上單調(diào)遞增,則由不等式f(2x-1)<f13,可得-13<2x-1<13,解得13<x<19.☉%@467@##3%☉(2024·安徽安慶一中高三(上)月考)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿意:對隨意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,則下列說法正確的是()。A.f(x)為奇函數(shù)B.f(x)為偶函數(shù)C.g(x)=f(x)+1為奇函數(shù)D.g(x)=f(x)+1為偶函數(shù)答案：C解析：因為對隨意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,所以令x1=x2=0,得f(0)=-1;令x1=x,x2=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)+1,所以g(x)=f(x)+1=-f(-x)-1=-[f(-x)+1]=-g(-x),所以g(x)=f(x)+1為奇函數(shù)。故選C。20.☉%*9#15@6#%☉(2024·長春十一中月考)已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),其圖像與x軸有四個交點,則方程f(x)=0的全部實根之和是。

答案：0解析：由題意,知函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱,所以其圖像與x軸的四個交點也兩兩成對關(guān)于y軸對稱,即方程f(x)=0的實根兩兩互為相反數(shù),故其全部實根之和是0。21.☉%6@##2@97%☉(2024·吉林試驗中學(xué)月考)若f(x)為偶函數(shù),則f(1+2)-f11-2=答案：0解析：11-2=1+2(1-2)(1+2)=-(1+2)。因為f(x)為偶函數(shù),所以f11-2=f(-(1+2))=f(1+2),故f22.☉%7@#66@*4%☉(2024·上海七寶中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(x)=x2-mx,且f(-2)=3,則m=。答案：14解析：因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù),所以f(-2)=-f(2)=-22-m2=m223.☉%@#7#05#2%☉(2024·甘肅天水一中高一檢測)若函數(shù)f(x)=-x2+x,x>0,0,答案：解:若f(x)是奇函數(shù),則有f(-x)=-f(x)。當(dāng)x>0時,-x<0,則f(-x)=a(-x)2+(-x)=ax2-x,又當(dāng)x>0時,f(x)=-x2+x,所以-f(x)=x2-x。由f(-x)=-f(x),得ax2-x=x2-x,所以a=1。故當(dāng)a=1時,f(x)是奇函數(shù)。24.☉%#08*@#49%☉(2