廣西柳州市2023屆新高三摸底考試數學（文）試題含答案

柳州市2023屆新高三摸底考試文科數學（考試時間120分鐘滿分150分）注意：1．答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．所有答案請在答題卡上作答，在本試卷和草稿紙上作答無效．答題前請仔細閱讀答題卡上的“注意事項”，按照“注意事項”的規(guī)定答題．3．做選擇題時，如需改動，請用橡皮將原選答案擦干凈，再選涂其他答案．第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一個選項是符合題目要求的）1已知集合，，則（）A. B. C. D.2.設，若復數的虛部與復數的虛部相等，則（）A. B. C. D.3.已知向量，的夾角為，且，，則（）A.－1 B. C.－2 D.14.某學校組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個社團，該校共有2000名同學，每名同學依據自己的興趣愛好最多可參加其中一個，各個社團的人數比例的餅狀圖如圖所示，其中參加朗誦社團的同學有8名，參加太極拳社團的有12名，則（）A.這五個社團的總人數為100B.脫口秀社團的人數占五個社團總人數的20%C.這五個社團總人數占該校學生人數的8%D.從這五個社團中任選一人，其來脫口秀社團或舞蹈社團的概率為50%5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的s值為()A.2 B. C. D.6.若，則（）A. B. C. D.7若，則＝（）A.－ B. C.－ D.8.設變量x，y滿足約束條件，則目標函數的最小值為（）A.2 B.－3 C.－2 D.09.已知直線與圓相交于A，B兩點，則k＝（）A. B. C. D.10.若直線是曲線的一條對稱軸，且函數在區(qū)間[0，]上不單調，則的最小值為（）A.9 B.7 C.11 D.311.已知是定義為R上的奇函數，f(1)＝0，且f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，則不等式的解集為（）A. B. C. D.12.如圖1所示，雙曲線具有光學性質；從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點．若雙曲線E：的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經過圖2中的A，B兩點反射后，分別經過點C和D，且，，則E的離心率為（）A. B. C. D.第II卷（非選擇題，共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題卡上）13.記等差數列的前n項和為，若，則___．14.若函數，則在點處切線方程為___．15.已知是橢圓的左、右焦點，P在橢圓上運動，求的最小值為___．16.在正方體中，點E為線段上的動點，現有下面四個命題：①直線DE與直線AC所成角為定值；②點E到直線AB的距離為定值；③三棱錐的體積為定值；④三棱錐外接球的體積為定值．其中所有真命題的序號是______．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，并將答案寫在答案卡相應題號的空白處）17.在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知．（1）求角A的大小；（2）若，，求△ABC的面積．18.已知數列滿足.（1）證明是等比數列，并求的通項公式；（2）求數列的前項和公式.19.2022年北京冬奧會的申辦成功與“3億人上冰雪”口號的提出，將冰雪這個冷項目迅速炒“熱”．北京某綜合大學計劃在一年級開設冰球課程，為了解學生對冰球運動的興趣，隨機從該校一年級學生中抽取了200人進行調查，其中女生中對冰球運動有興趣的占，而男生有20人表示對冰球運動沒有興趣．（1）完成列聯表，并回答能否有97.5%的把握認為“對冰球是否有興趣與性別有關”？有興趣沒興趣合計男110女合計（2）已知在被調查的女生中有5名數學系的學生，其中3名對冰球有興趣，現在從這5名學生中隨機抽取2人，求至少有1人對冰球有興趣的概率．0.100.050.02500102.7063.8415.0246.635．20.如圖，在三棱錐中，，，O為AC中點．（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點M在棱BC上，且MC＝2MB，求點C到平面POM的距離．21.已知函數．（1）討論當時，f(x)單調性．（2）證明：．22.已知平面上動點Q（x，y）到F（0，1）的距離比Q（x，y）到直線的距離小1，記動點Q（x，y）的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程．（2）設點P的坐標為（0，－1），過點P作曲線C的切線，切點為A，若過點P的直線m與曲線C交于M，N兩點，證明：．柳州市2023屆新高三摸底考試文科數學（考試時間120分鐘滿分150分）注意：1．答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．所有答案請在答題卡上作答，在本試卷和草稿紙上作答無效．答題前請仔細閱讀答題卡上的“注意事項”，按照“注意事項”的規(guī)定答題．3．做選擇題時，如需改動，請用橡皮將原選答案擦干凈，再選涂其他答案．第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一個選項是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化簡集合，再利用交集運算求解.【詳解】因為，所以，即，所以.故選：B.2.設，若復數的虛部與復數的虛部相等，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據已知條件求得的值，利用復數的乘法化簡可得結果.【詳解】因為復數的虛部與復數的虛部相等，則，則，因此，.故選：D.3.已知向量，的夾角為，且，，則（）A－1 B. C.－2 D.1【答案】A【解析】【分析】根據數量積的運算求解即可【詳解】故選：A4.某學校組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個社團，該校共有2000名同學，每名同學依據自己的興趣愛好最多可參加其中一個，各個社團的人數比例的餅狀圖如圖所示，其中參加朗誦社團的同學有8名，參加太極拳社團的有12名，則（）A.這五個社團的總人數為100B.脫口秀社團的人數占五個社團總人數的20%C.這五個社團總人數占該校學生人數的8%D.從這五個社團中任選一人，其來脫口秀社團或舞蹈社團的概率為50%【答案】B【解析】【分析】根據餅狀圖及有關數據得各個社團比例，計算人數及相應概率判斷各選項．【詳解】這五個社團的總人數為，．A錯誤，C錯誤．因為太極拳社團人數的占比為，所以脫口秀社團人數的占比為，B正確．從這五個社團中任選一人，其來自脫口秀社團或舞蹈社團的概率為，D錯誤．故選：B．5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的s值為()A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：時，成立，第一次進入循環(huán)：；成立，第二次進入循環(huán)：；成立，第三次進入循環(huán)：，不成立，輸出，故選C.【名師點睛】解決此類型問題時要注意：第一，要明確是當型循環(huán)結構，還是直到型循環(huán)結構，并根據各自的特點執(zhí)行循環(huán)體；第二，要明確圖中的累計變量，明確每一次執(zhí)行循環(huán)體前和執(zhí)行循環(huán)體后，變量的值發(fā)生的變化；第三，要明確循環(huán)體終止的條件是什么，會判斷什么時候終止循環(huán)體，爭取寫出每一個循環(huán)，這樣避免出錯.6.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用對數的運算及對數函數的性質進行比較大小.【詳解】因為，所以；因為，所以，，，而，所以，即.故選：A.7.若，則＝（）A.－ B. C.－ D.【答案】C【解析】【分析】根據給定條件，利用誘導公式、二倍角的余弦公式化簡計算作答.【詳解】依題意，，所以.故選：C8.設變量x，y滿足約束條件，則目標函數的最小值為（）A.2 B.－3 C.－2 D.0【答案】C【解析】【分析】作出平面區(qū)域，結合圖像求直線在軸截距的最小值，通過平移直線可得在在點處取到最小值，代入運算求解．【詳解】根據題意可得平面區(qū)域，如圖所示：∵目標函數，即，則求直線在軸截距最小值結合圖像可得在點處取到最小值故選：C．9.已知直線與圓相交于A，B兩點，則k＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】圓心到直線的距離為，則,而，所以，解方程即可求出答案.【詳解】圓的圓心，所以圓心到直線的距離為，則，而，所以，解得：.故選：B.10.若直線是曲線的一條對稱軸，且函數在區(qū)間[0，]上不單調，則的最小值為（）A.9 B.7 C.11 D.3【答案】C【解析】【分析】根據給定條件，求出的關系式，再求出函數含有數0的單調區(qū)間即可判斷作答.【詳解】因直線是曲線的一條對稱軸，則，即，由得，則函數在上單調遞增，而函數在區(qū)間上不單調，則，解得，所以的最小值為11.故選：C11.已知是定義為R上的奇函數，f(1)＝0，且f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由是定義為R上的奇函數可知函數關于點對稱；再結合，即可得出.再結合f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，可知函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減.再分類討論即可你求出答案.【詳解】因為是定義為R上的奇函數,所以;函數關于點對稱.當時：；當時：;所以在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減.所以當時，解得;當時，解得;當時，解得;綜上所述：不等式的解集故選：D.12.如圖1所示，雙曲線具有光學性質；從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點．若雙曲線E：的左、右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經過圖2中的A，B兩點反射后，分別經過點C和D，且，，則E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用雙曲線的光學性質及雙曲線定義，用表示，再在兩個直角三角形中借助勾股定理求解作答.【詳解】依題意，直線都過點，如圖，有，，設，則，顯然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令雙曲線半焦距為c，在中，，即，解得，所以E的離心率為.故選：B【點睛】方法點睛：求雙曲線離心率的三種方法：①定義法，通過已知條件列出方程組，求得得值，根據離心率的定義求解離心率；②齊次式法，由已知條件得出關于的二元齊次方程，然后轉化為關于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.第II卷（非選擇題，共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題卡上）13.記等差數列的前n項和為，若，則___．【答案】33【解析】【分析】根據給定條件，利用等差數列性質求出首項和公差，再利用前n項公式計算作答.【詳解】等差數列中，，由得，則公差，首項，所以.故答案為：3314.若函數，則在點處的切線方程為___．【答案】【解析】【分析】求導，再根據導數的幾何意義即可得出答案.【詳解】解：由函數，得，，則，故，所以在點處的切線方程為，即.故答案為：.15.已知是橢圓的左、右焦點，P在橢圓上運動，求的最小值為___．【答案】1【解析】【分析】利用橢圓的定義知，利用基本不等式即可求出的最小值.【詳解】因為是橢圓的左、右焦點，P在橢圓上運動，所以.所以，所以（當且僅當時等號成立）.所以.即的最小值為1.故答案為：116.在正方體中，點E為線段上的動點，現有下面四個命題：①直線DE與直線AC所成角為定值；②點E到直線AB的距離為定值；③三棱錐的體積為定值；④三棱錐外接球的體積為定值．其中所有真命題的序號是______．【答案】①③【解析】【分析】由線面垂直的性質定理得線線垂直判斷①，由正方體的性質，可通過到的距離來計算到的距離，從而判斷②，根據棱錐體積公式，判斷③，想象在不同位置時外接球的半徑的變化，判斷④．【詳解】易證平面，平面，所以恒有，直線DE與直線AC所成角為90°，所以①是真命題．點E到直線AB的距離與點E到直線的距離有關，所以②是假命題．因為，由線面平行的判定定理可得平面，故點E到平面的距離d為定值，則為定值，所以③是真命題．平面，在上變化，例如點E在處和在的中點處時，三棱錐的外接球半徑不同，故其外接球的體積不是定值，所以④是假命題．故答案為：①③三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，并將答案寫在答案卡相應題號的空白處）17.在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知．（1）求角A的大小；（2）若，，求△ABC的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據正弦定理結合內角的范圍求解即可；（2）由余弦定理與面積公式求解即可【小問1詳解】由已知及正弦定理知：．因為C為銳角，則，所以．因為A為銳角，則【小問2詳解】由余弦定理，．則，即即，因為，則所以△ABC的面積．18.已知數列滿足.（1）證明是等比數列，并求的通項公式；（2）求數列的前項和公式.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）由已知得an+12（an），，從而能證明{an}是首項為，公比為2的等比數列，并能求出{an}的通項公式．（2）利用分組求和可求解【詳解】(1)由可得,即所以是一個以2為首項，以2為公比的等比數列所以,所以(2)【點睛】本題考查等比數列的證明，考查等比數列的通項公式及前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分組求和的合理運用．19.2022年北京冬奧會的申辦成功與“3億人上冰雪”口號的提出，將冰雪這個冷項目迅速炒“熱”．北京某綜合大學計劃在一年級開設冰球課程，為了解學生對冰球運動的興趣，隨機從該校一年級學生中抽取了200人進行調查，其中女生中對冰球運動有興趣的占，而男生有20人表示對冰球運動沒有興趣．（1）完成列聯表，并回答能否有97.5%的把握認為“對冰球是否有興趣與性別有關”？有興趣沒興趣合計男110女合計（2）已知在被調查的女生中有5名數學系的學生，其中3名對冰球有興趣，現在從這5名學生中隨機抽取2人，求至少有1人對冰球有興趣的概率．0.100.0500250.0102.7063.8415.0246.635．【答案】（1）填表見解析；有97.5%的把握認為“對冰球是否有興趣與性別有關”；（2）.【解析】【分析】（1）根據給定數據，完善列聯表，計算觀測值，再與臨界值表比對作答.（3）對5人編號，利用列舉法結合古典概型概率公式計算作答.【小問1詳解】根據已知數據得到如下列聯表：有興趣沒有興趣臺計男9020110女603090合計15050200根據列聯表中的數據，得，，所以有97.5%的把握認為“對冰球是否有興趣與性別有關”.【小問2詳解】記至少1人對冰球有興趣為事件D記5人中對冰球有興趣的3人為A、B、C，對冰球沒有興趣的2人為m、n，則從這5人中隨機抽取2人，有，共10個結果，其中2人對冰球都有興趣的有，共3個結果，1人對冰球有興趣的有，共6個結果，則至少1人對冰球有興趣的有9個結果，所以所求事件的概率．20.如圖，在三棱錐中，，，O為AC的中點．（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點M在棱BC上，且MC＝2MB，求點C到平面POM的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明，利用線面垂直判定定理求解；（2）利用等體積法求點C到平面POM的距離即可.【小問1詳解】連接OB，如圖，∵，∴，即△ABC是直角三角形，又O為AC的中點，∴，又∵，∴∴．∴，OB、AC平面ABC∴PO⊥平面ABC．【小問2詳解】由（1）得PO⊥平面ABC，在中，，．設點C到平面POM的距離為d，由，解得，∴點C到平面POM的距離為．21.已知函數．（1）討論當時，f(x)單調性．（2）證明：．【答案】（1）見解析；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）對函