廣西南寧市2024屆高三3月第一次適應(yīng)性測試數(shù)學試題含答案解析

南寧市2024屆普通高中畢業(yè)班第一次適應(yīng)性測試數(shù)學注意事項：1．滿分150分，考試時間120分鐘.2．考生作答時，請將答案答在答題卡.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于實軸對稱，若，（i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.2.已知集合，若，則所有的取值構(gòu)成的集合為（）A. B. C. D.3.已知數(shù)列的首項（其中且），當時，，則（）A. B. C. D.無法確定4.展開式中的常數(shù)項為（）A.60 B.4 C. D.5.已知的外接圓圓心為，且，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.6.已知雙曲線的右焦點為，右頂點為，過點的直線與雙曲線的一條漸近線交于點，與其左支交于點，且點與點不在同一象限，直線與直線（為坐標原點）的交點在雙曲線上，若，則文曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.37.在邊長為4的菱形中，．將菱形沿對角線折疊成大小為的二面角．若點為的中點，為三棱錐表面上的動點，且總滿足，則點軌跡的長度為（）A B. C. D.8.已知函數(shù)的定義域為，且當時，，則（）A. B.是偶函數(shù) C.是增函數(shù) D.是周期函數(shù)二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列說法中，正確的是（）A.一組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為12B.若樣本數(shù)據(jù)的方差為8，則數(shù)據(jù)的方差為2C.已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則D.在獨立性檢驗中，零假設(shè)為：分類變量和獨立．基于小概率值的獨立性檢驗規(guī)則是：當時，我們就推斷不成立，即認為和不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；當時，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認為和獨立10.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀機械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．某摩天輪最高點距離地面高度為110米，轉(zhuǎn)盤直徑為100米，摩天輪的圓周上均勻地安裝了36個座艙，游客甲從距離地面最近的位置進艙，開啟后摩天輪按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，開始轉(zhuǎn)動t分鐘后距離地面的高度為H米，當時，游客甲隨艙第一次轉(zhuǎn)至距離地面最遠處．如圖，以摩天輪的軸心O為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標系，則，下列說法中正確的是（）A.關(guān)于的函數(shù)是偶函數(shù)B.若在時刻，游客甲距離地面的高度相等，則的最小值為30C.摩天輪旋轉(zhuǎn)一周的過程中，游客甲距離地面的高度不低于85米的時長為10分鐘D.若甲、乙兩游客分別坐在兩個座艙里，且兩人相隔5個座艙（將座艙視為圓周上的點），則劣弧的弧長米11.已知拋物線的焦點為，過作兩條互相垂直的直線，與交于、Q兩點，與交于、N兩點，的中點為的中點為，則（）A.當時， B.的最小值為18C.直線過定點 D.的面積的最小值為4三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱的表面積之比為________.13.已知，則______．14.已知函數(shù)的最小值為，則實數(shù)的取值范圍為______.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.有兩個盒子，其中1號盒子中有3個紅球，2個白球；2號盒子中有4個紅球，6個白球，這些球除顏色外完全相同.（1）先等可能地選擇一個盒子，再從此盒中摸出2個球．若摸出球的結(jié)果是一紅一白，求這2個球出自1號盒子的概率；（2）如果從兩個盒子中摸出3個球，其中從1號盒子摸1個球，從2號盒子摸兩個球，規(guī)定摸到紅球得2分，摸到白球得1分，用表示這3個球的得分之和，求的分布列及數(shù)學期望.16.如圖，四棱柱的底面是棱長為2的菱形，對角線與交于點為銳角，且四棱錐的體積為2.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.17.已知函數(shù)．（1）若直線與函數(shù)和均相切，試討論直線的條數(shù)；（2）設(shè)，求證：．18.已知點和圓為圓上的一動點，線段的垂直平分線與線段相交于點，記點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）已知點，若曲線與軸的左、右交點分別為，過點的直線與曲線交于兩點，直線相交于點，問：是否存在一點，使得取得最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．19.若無窮數(shù)列滿足，則稱數(shù)列數(shù)列，若數(shù)列同時滿足，則稱數(shù)列為數(shù)列．（1）若數(shù)列為數(shù)列，，證明：當時，數(shù)列為遞增數(shù)列充要條件是；（2）若數(shù)列為數(shù)列，，記，且對任意，都有，求數(shù)列的通項公式．

南寧市2024屆普通高中畢業(yè)班第一次適應(yīng)性測試數(shù)學注意事項：1．滿分150分，考試時間120分鐘.2．考生作答時，請將答案答在答題卡.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于實軸對稱，若，（i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算即可求解.【詳解】由可得，結(jié)合故，故選：D2.已知集合，若，則所有的取值構(gòu)成的集合為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)子集的概念求得參數(shù)的值可得．【詳解】時，滿足題意，時，得，所以或，或，所求集合為．故選：D．3.已知數(shù)列的首項（其中且），當時，，則（）A. B. C. D.無法確定【答案】B【解析】【分析】逐項計算得出數(shù)列的周期進而可得.【詳解】，，，，故數(shù)列的周期為3.故.故選：B4.展開式中的常數(shù)項為（）A.60 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分配律，結(jié)合二項式展開式的通項特征即可求解.【詳解】二項式的展開式的通項公式為，令，求得，令，求得，由于，故其展開式中的常數(shù)項為故選：C5.已知的外接圓圓心為，且，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，得到點為線段的中點，得出為直角三角形，且為等邊三角形，進而求得向量在向量上的投影向量.【詳解】由，可得，所以，即點為線段的中點，又因為的外接圓圓心為，所以為直角三角形，所以因為，可得，所以為等邊三角形，故點作，可得，所以，因為向量在向量同向，所以向量在向量上的投影向量為.故選；A.6.已知雙曲線的右焦點為，右頂點為，過點的直線與雙曲線的一條漸近線交于點，與其左支交于點，且點與點不在同一象限，直線與直線（為坐標原點）的交點在雙曲線上，若，則文曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對稱性可判斷四邊形為平行四邊形，即可利用相似求解.【詳解】設(shè)為雙曲線的左焦點，由于直線與直線（為坐標原點）的交點在雙曲線上，所以與關(guān)于坐標原點對稱,又是的中點，故四邊形為平行四邊形，故故，，故，故選：B7.在邊長為4的菱形中，．將菱形沿對角線折疊成大小為的二面角．若點為的中點，為三棱錐表面上的動點，且總滿足，則點軌跡的長度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二面角的平面角可結(jié)合余弦定理求解求，進而利用線面垂直可判斷點軌跡為，求解周長即可．【詳解】連接、，交于點，連接，為菱形，，所以，，，所以為二面角的平面角，于是，又因，所以，取中點，取中點，連接、、，所以、，所以、，，相交，所以平面，所以在三棱錐表面上，滿足的點軌跡為，因為，，，所以的周長為，所以點軌跡的長度為．故選：A．8.已知函數(shù)的定義域為，且當時，，則（）A. B.是偶函數(shù) C.是增函數(shù) D.是周期函數(shù)【答案】C【解析】【分析】對A，令求解即可；對B，令化簡可得即可；對C，設(shè)，結(jié)合題意判斷判斷即可；對D，根據(jù)是增函數(shù)判斷即可.【詳解】對A，令，則，得，故A錯誤；對B，令，得，由整理可得，將變換為，則，故，故，故是奇函數(shù)，故B錯誤；對C，設(shè)，則，且，故，則.又，是奇函數(shù)，故是增函數(shù)，故C正確；對D，由是增函數(shù)可得不是周期函數(shù)，故D錯誤.故選：C二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列說法中，正確的是（）A.一組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為12B.若樣本數(shù)據(jù)的方差為8，則數(shù)據(jù)的方差為2C.已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則D.在獨立性檢驗中，零假設(shè)為：分類變量和獨立．基于小概率值的獨立性檢驗規(guī)則是：當時，我們就推斷不成立，即認為和不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；當時，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認為和獨立【答案】BC【解析】【分析】對A，根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可；對B，根據(jù)方差的公式推導(dǎo)數(shù)據(jù)的方差與的方差關(guān)系求解即可；對C，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性推導(dǎo)即可；對D，由獨立性檢驗的性質(zhì)判斷即可.詳解】對A，由于共10個數(shù)據(jù)，且，故第40百分位數(shù)為第4，5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故A錯誤；對B，設(shè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，所以，故B正確；對C，則，即，由正態(tài)分布的性質(zhì)可得，故C正確；對D，在獨立性檢驗中，零假設(shè)為：分類變量和獨立．基于小概率值的獨立性檢驗規(guī)則是：當時，我們就推斷不成立，即認為和不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；當時，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認為和獨立.故D錯誤.故選：BC10.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．某摩天輪最高點距離地面高度為110米，轉(zhuǎn)盤直徑為100米，摩天輪的圓周上均勻地安裝了36個座艙，游客甲從距離地面最近的位置進艙，開啟后摩天輪按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，開始轉(zhuǎn)動t分鐘后距離地面的高度為H米，當時，游客甲隨艙第一次轉(zhuǎn)至距離地面最遠處．如圖，以摩天輪的軸心O為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標系，則，下列說法中正確的是（）A.關(guān)于的函數(shù)是偶函數(shù)B.若在時刻，游客甲距離地面的高度相等，則的最小值為30C.摩天輪旋轉(zhuǎn)一周的過程中，游客甲距離地面的高度不低于85米的時長為10分鐘D.若甲、乙兩游客分別坐在兩個座艙里，且兩人相隔5個座艙（將座艙視為圓周上的點），則劣弧的弧長米【答案】BCD【解析】【分析】對A，先根據(jù)題意確定各參數(shù)的值，再根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性判斷即可；對B，根據(jù)代入解析式可得，或，進而可判斷；對C，求解即可；對D，由題意每個座艙與中心連線所成的扇形的圓心角為，進而可得劣弧的弧長.【詳解】對A，由題意，，所以，當時，可得，所以，故，所以是非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；對B，由題意，即，即，所以，或，，即或，，故B正確；對C，由題意，即，即，所以，，解得.所以摩天輪旋轉(zhuǎn)一周的過程中，游客甲距離地面的高度不低于85米的時長為10分鐘，故C正確；對D，因為摩天輪的圓周上均勻地安裝著36個座艙，故每個座艙與中心連線所成的扇形的圓心角為，因為兩個座艙相隔5個座艙，所以劣弧對應(yīng)的圓心角是，故（m）.故D正確.故選：BCD11.已知拋物線的焦點為，過作兩條互相垂直的直線，與交于、Q兩點，與交于、N兩點，的中點為的中點為，則（）A.當時， B.的最小值為18C.直線過定點 D.的面積的最小值為4【答案】AD【解析】【分析】設(shè)直線和的方程，與拋物線方程聯(lián)立，再利用焦半徑公式求解弦長，結(jié)合基本不等式判斷AB，利用兩點求出直線方程，求解直線恒過定點判斷C，將面積分割，結(jié)合韋達定理，再利用基本不等式求解最值判斷D.【詳解】對于A，由題意得，設(shè)直線方程為，則方程為，，，，，聯(lián)立直線方程與拋物線方程得.則，，同理，，又，所以，所以，所以，故A正確；對于B，由A知，，，所以，當且僅當，即時，等號成立.故B錯誤；對于C，由A知，，所以直線GH：，令得，所以直線GH恒過定點，故C錯誤；對于D，由C知直線GH恒過定點，所以，當且僅當時，等號成立.故D正確；故選：AD【點睛】思路點睛：1.直線與圓錐曲線相交問題時，有時需要考查斜率不存在和存在兩種情況，斜率存在的情況經(jīng)常和曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系解決幾何問題；2.一般涉及三角形面積問題時，采用面積分割法，結(jié)合韋達定理，利用基本不等式法求解范圍或最值.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱的表面積之比為________.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式，求出圓柱的表面積，再由球的表面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R.∴，，∴.故答案為:.【點睛】本題考查圓柱和球的表面積，屬于基礎(chǔ)題.13.已知，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系結(jié)合兩角差的正弦值可得，進而可得.【詳解】由題意，，且，故.故.故，.故答案為：14.已知函數(shù)最小值為，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)a的符號分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性研究函數(shù)最值即可求解.【詳解】因為，所以，若，則時，，故在上單調(diào)遞減，時，，故在上單調(diào)遞增，所以當時，有最小值，滿足題意；若，則當無限趨近于負無窮大時，無限趨向于負無窮大，沒有最小值，不符合題意；綜上，，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.有兩個盒子，其中1號盒子中有3個紅球，2個白球；2號盒子中有4個紅球，6個白球，這些球除顏色外完全相同.（1）先等可能地選擇一個盒子，再從此盒中摸出2個球．若摸出球的結(jié)果是一紅一白，求這2個球出自1號盒子的概率；（2）如果從兩個盒子中摸出3個球，其中從1號盒子摸1個球，從2號盒子摸兩個球，規(guī)定摸到紅球得2分，摸到白球得1分，用表示這3個球的得分之和，求的分布列及數(shù)學期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，數(shù)學期望是【解析】【分析】（1）應(yīng)用條件概率公式及貝葉斯概率公式求解即可；（2）由題設(shè)的可能值為3，4，5，6，并計算出對應(yīng)概率即得分布列，進而求數(shù)學期望.【小問1詳解】記“摸出球的結(jié)果是一紅一白”為事件A，“選擇1號盒子”為事件，“選擇2號盒子”為事件，則，，，由貝葉斯公式，若摸球的結(jié)果是一紅一白，出自1號盒子的概率為.【小問2詳解】由題意，的可能值為3，4，5，6.，，，.所以的分布列為3456所以.16.如圖，四棱柱的底面是棱長為2的菱形，對角線與交于點為銳角，且四棱錐的體積為2.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先利用體積分割及等體積法求得四棱柱的高為，過點作平面的垂線，垂足為，利用三角形全等證明點與重合，即可證明線面垂直；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解線面角的正弦值.【小問1詳解】設(shè)四棱柱的高為，因為四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以，所以，且，所以，即四棱柱的高為.因為為正三角形，所以，因為，所以，于是，過點作平面的垂線，垂足為，所以，所以，從而，故，所以點在對角線上.因為，所以，故點為對角線與交點，即點與重合，所以平面.【小問2詳解】因為底面是棱長為2的菱形，所以，因為平面，平面，平面，所以，，即兩兩垂直，以為坐標原點，以方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，由得，由得，所以，設(shè)平面的一個法向量為，，所以，令，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.已知函數(shù)．（1）若直線與函數(shù)和均相切，試討論直線的條數(shù)；（2）設(shè)，求證：．【答案】（1）2條（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，分別求解和的切線方程，進而可得，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，進而結(jié)合零點存在性定理判斷根的個數(shù)即可求解，（2）通過換元以及指對互化，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求證.【小問1詳解】設(shè)直線與函數(shù)和分別相切于，由可得，直線方程為以及，故，進而，令，記，當單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，又，故存在唯一的，故當單調(diào)遞增，當單調(diào)遞減，，又，因此存在兩個零點，故直線的條數(shù)為2條.【小問2詳解】令則，由，由于故，令，則，故，故記，記，所以在單調(diào)遞減，故，故，在單調(diào)遞減，故，所以即，【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3．適當放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).18.已知點和圓為圓上的一動點，線段的垂直平分線與線段相交于點，記點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）已知點，若曲線與軸的左、右交點分別為，過點的直線與曲線交于兩點，直線相交于點，問：是否存在一點，使得取得最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在點使得取得最小值,且最小值為，【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義即可求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程可得韋達定理，進而可得，求解的直線方程，聯(lián)立可得點在定直線上，進而根據(jù)對稱性即可求解.【小問1詳解】由題意可得,所以點的軌跡是以為焦點的橢圓，故，故軌跡方程為【小問2詳解】存在點使得取得最小值,且最小值為，由題意可知直線的斜率不為0，故設(shè)直線方