廣東增城仙村中學2021-2022學年高三第五次模擬考試數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若表示不超過的最大整數(shù)(如，，)，已知，，，則（）A．2 B．5 C．7 D．82．已知復數(shù)，其中，，是虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．3．若直線與曲線相切，則（）A．3 B． C．2 D．4．函數(shù)在的圖象大致為（）A． B．C． D．5．已知復數(shù)，則對應的點在復平面內位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6．在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛馬羊，要求賠償五斗糧，三畜戶主愿賠償，牛馬羊吃得異樣．馬吃了牛的一半，羊吃了馬的一半．”請問各畜賠多少？它的大意是放牧人放牧時粗心大意，牛、馬、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食（1斗=10升），三畜的主人同意賠償，但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同．馬吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是馬的一半．問羊、馬、牛的主人應該分別向青苗主人賠償多少升糧食？（）A． B． C． D．7．雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．8．已知底面為正方形的四棱錐，其一條側棱垂直于底面，那么該四棱錐的三視圖可能是下列各圖中的（）A． B． C． D．9．使得的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為()A． B． C． D．10．已知數(shù)列中，，()，則等于（）A． B． C． D．211．已知函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．12．雙曲線x2a2A．y=±2x B．y=±3x二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若曲線（其中常數(shù)）在點處的切線的斜率為1，則________.14．在平面直角坐標系xOy中，若圓C1：x2＋（y－1）2＝r2（r>0）上存在點P，且點P關于直線x－y＝0的對稱點Q在圓C2：（x－2）2＋（y－1）2＝1上，則r的取值范圍是________．15．若，且，則的最小值是______.16．記為數(shù)列的前項和，若，則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系；曲線C1的普通方程為(x-1)2+y2=1，曲線C2的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）.（Ⅰ）求曲線C1和C2的極坐標方程：（Ⅱ）設射線θ=(ρ>0)分別與曲線C1和C2相交于A，B兩點，求|AB|的值．18．（12分）改革開放年，我國經(jīng)濟取得飛速發(fā)展，城市汽車保有量在不斷增加，人們的交通安全意識也需要不斷加強.為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識，某小組利用假期進行一次全市駕駛員交通安全意識調查.隨機抽取男女駕駛員各人，進行問卷測評，所得分數(shù)的頻率分布直方圖如圖所示在分以上為交通安全意識強.求的值，并估計該城市駕駛員交通安全意識強的概率；已知交通安全意識強的樣本中男女比例為，完成下列列聯(lián)表，并判斷有多大把握認為交通安全意識與性別有關；安全意識強安全意識不強合計男性女性合計用分層抽樣的方式從得分在分以下的樣本中抽取人，再從人中隨機選取人對未來一年內的交通違章情況進行跟蹤調查，求至少有人得分低于分的概率.附：其中19．（12分）已知為橢圓的左、右焦點，離心率為，點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線分別交橢圓于和，且，問是否存在常數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.20．（12分）已知函數(shù)．⑴當時，求函數(shù)的極值；⑵若存在與函數(shù)，的圖象都相切的直線，求實數(shù)的取值范圍．21．（12分）在平面直角坐標系中，以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為；直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線與曲線分別交于兩點．（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；（2）若點的極坐標為，，求的值．22．（10分）武漢有“九省通衢”之稱，也稱為“江城”，是國家歷史文化名城.其中著名的景點有黃鶴樓、戶部巷、東湖風景區(qū)等等.（1）為了解“五·一”勞動節(jié)當日江城某旅游景點游客年齡的分布情況，從年齡在22歲到52歲的游客中隨機抽取了1000人，制成了如圖的頻率分布直方圖：現(xiàn)從年齡在內的游客中，采用分層抽樣的方法抽取10人，再從抽取的10人中隨機抽取4人，記4人中年齡在內的人數(shù)為，求；（2）為了給游客提供更舒適的旅游體驗，該旅游景點游船中心計劃在2020年勞動節(jié)當日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐觀光.由2010到2019這10年間的數(shù)據(jù)資料顯示每年勞動節(jié)當日客流量（單位：萬人）都大于1.將每年勞動節(jié)當日客流量數(shù)據(jù)分成3個區(qū)間整理得表：勞動節(jié)當日客流量頻數(shù)（年）244以這10年的數(shù)據(jù)資料記錄的3個區(qū)間客流量的頻率作為每年客流量在該區(qū)間段發(fā)生的概率，且每年勞動節(jié)當日客流量相互獨立.該游船中心希望投入的型游船盡可能被充分利用，但每年勞動節(jié)當日型游船最多使用量（單位：艘）要受當日客流量（單位：萬人）的影響，其關聯(lián)關系如下表：勞動節(jié)當日客流量型游船最多使用量123若某艘型游船在勞動節(jié)當日被投入且被使用，則游船中心當日可獲得利潤3萬元；若某艘型游船勞動節(jié)當日被投入?yún)s不被使用，則游船中心當日虧損0.5萬元.記（單位：萬元）表示該游船中心在勞動節(jié)當日獲得的總利潤，的數(shù)學期望越大游船中心在勞動節(jié)當日獲得的總利潤越大，問該游船中心在2020年勞動節(jié)當日應投入多少艘型游船才能使其當日獲得的總利潤最大？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

求出，，，，，，判斷出是一個以周期為6的周期數(shù)列，求出即可．【詳解】解：.，∴，，，同理可得：；；.；，，…….∴.故是一個以周期為6的周期數(shù)列，則.故選：B.【點睛】本題考查周期數(shù)列的判斷和取整函數(shù)的應用．2．D【解析】試題分析：由,得,則，故選D.考點：1、復數(shù)的運算；2、復數(shù)的模.3．A【解析】

設切點為，對求導，得到，從而得到切線的斜率，結合直線方程的點斜式化簡得切線方程，聯(lián)立方程組，求得結果.【詳解】設切點為，∵，∴由①得，代入②得，則，，故選A.【點睛】該題考查的是有關直線與曲線相切求參數(shù)的問題，涉及到的知識點有導數(shù)的幾何意義，直線方程的點斜式，屬于簡單題目.4．B【解析】

先考慮奇偶性，再考慮特殊值，用排除法即可得到正確答案.【詳解】是奇函數(shù)，排除C，D；，排除A.故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)圖象的判斷，屬于常考題.5．A【解析】

利用復數(shù)除法運算化簡，由此求得對應點所在象限.【詳解】依題意，對應點為，在第一象限.故選A.【點睛】本小題主要考查復數(shù)除法運算，考查復數(shù)對應點的坐標所在象限，屬于基礎題.6．D【解析】

設羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,易知成等比數(shù)列,,結合等比數(shù)列的性質可求出答案.【詳解】設羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,則成等比數(shù)列,且公比,則,故,,.故選:D.【點睛】本題考查數(shù)列與數(shù)學文化,考查了等比數(shù)列的性質,考查了學生的運算求解能力,屬于基礎題.7．C【解析】

根據(jù)雙曲線的標準方程即可得出該雙曲線的漸近線方程.【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程是.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意雙曲線的簡單性質的合理運用．8．C【解析】試題分析：通過對以下四個四棱錐的三視圖對照可知，只有選項C是符合要求的.考點：三視圖9．B【解析】二項式展開式的通項公式為，若展開式中有常數(shù)項，則，解得，當r取2時，n的最小值為5，故選B【考點定位】本題考查二項式定理的應用．10．A【解析】

分別代值計算可得，觀察可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，問題得以解決.【詳解】解：∵，()，

，

，

，

，

…，

∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，

，

，

故選：A.【點睛】本題考查數(shù)列的周期性和運用：求數(shù)列中的項，考查運算能力，屬于基礎題.11．A【解析】

先求出函數(shù)在處的切線方程，在同一直角坐標系內畫出函數(shù)和的圖象，利用數(shù)形結合進行求解即可.【詳解】當時，，所以函數(shù)在處的切線方程為：，令，它與橫軸的交點坐標為.在同一直角坐標系內畫出函數(shù)和的圖象如下圖的所示：利用數(shù)形結合思想可知：不等式對任意的恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是.故選：A【點睛】本題考查了利用數(shù)形結合思想解決不等式恒成立問題，考查了導數(shù)的應用，屬于中檔題.12．A【解析】分析：根據(jù)離心率得a,c關系，進而得a,b關系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結果.詳解：∵e=因為漸近線方程為y=±bax點睛：已知雙曲線方程x2a2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用導數(shù)的幾何意義，由解方程即可.【詳解】由已知，，所以，解得.故答案為：.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查學生的基本運算能力，是一道基礎題.14．【解析】

設圓C1上存在點P（x0，y0），則Q（y0，x0），分別滿足兩個圓的方程，列出方程組，轉化成兩個新圓有公共點求參數(shù)范圍.【詳解】設圓C1上存在點P（x0，y0）滿足題意，點P關于直線x－y＝0的對稱點Q（y0，x0），則，故只需圓x2＋（y－1）2＝r2與圓（x－1）2＋（y－2）2＝1有交點即可，所以|r－1|≤≤r＋1，解得.故答案為：【點睛】此題考查圓與圓的位置關系，其中涉及點關于直線對稱點問題，兩個圓有公共點的判定方式.15．8【解析】

利用的代換，將寫成，然后根據(jù)基本不等式求解最小值.【詳解】因為（即取等號），所以最小值為.【點睛】已知，求解（）的最小值的處理方法：利用，得到，展開后利用基本不等式求解，注意取等號的條件.16．-254【解析】

利用代入即可得到，即是等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式計算即可.【詳解】由已知，得，即，所以又，即，，所以是以-4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，即，所以。故答案為：【點睛】本題考查已知與的關系求，考查學生的數(shù)學運算求解能力，是一道中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ），;（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根據(jù)，可得曲線C1的極坐標方程，然后先計算曲線C2的普通方程，最后根據(jù)極坐標與直角坐標的轉化公式，可得結果.（Ⅱ）將射線θ=分別與曲線C1和C2極坐標方程聯(lián)立，可得A，B的極坐標，然后簡單計算，可得結果.【詳解】（Ⅰ）由所以曲線的極坐標方程為，曲線的普通方程為則曲線的極坐標方程為（Ⅱ）令，則，，則，即，所以，，故．【點睛】本題考查極坐標方程和參數(shù)方程與直角坐標方程的轉化，以及極坐標方程中的幾何意義，屬基礎題.18．，概率為；列聯(lián)表詳見解析，有的把握認為交通安全意識與性別有關；.【解析】

根據(jù)頻率和為列方程求得的值，計算得分在分以上的頻率即可；根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計算的值，對照臨界值得出結論；用分層抽樣法求得抽取各分數(shù)段人數(shù)，用列舉法求出基本事件數(shù)，計算所求的概率值.【詳解】解：解得.所以，該城市駕駛員交通安全意識強的概率根據(jù)題意可知，安全意識強的人數(shù)有，其中男性為人，女性為人，填寫列聯(lián)表如下：安全意識強安全意識不強合計男性女性合計所以有的把握認為交通安全意識與性別有關.由題意可知分數(shù)在，的分別為名和名，所以分層抽取的人數(shù)分別為名和名，設的為，，的為，，，，則基本事件空間為，，，，，，，，，，，，，，共種，設至少有人得分低于分的事件為，則事件包含的基本事件有，，，，，，，，共種所以.【點睛】本題考查獨立性檢驗應用問題，也考查了列舉法求古典概型的概率問題，屬于中檔題.19．（1）；（2）存在，.【解析】

（1）由條件建立關于的方程組，可求得，得出橢圓的方程；（2）①當直線的斜率不存在時，可求得，求得，②當直線的斜率存在且不為0時，設聯(lián)立直線與橢圓的方程，求出線段，再由得出線段，根據(jù)等差中項可求得，得出結論.【詳解】（1）由條件得，所以橢圓的方程為：；（2），①當直線的斜率不存在時，，此時,②當直線的斜率存在且不為0時，設,聯(lián)立消元得，設，，直線的斜率為，同理可得，所以，綜合①②，存在常數(shù)，使得成等差數(shù)列.【點睛】本題考查利用橢圓的離心率求橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系中的弦長公式的相關問題，當兩直線的斜率具有關系時，可能通過斜率的代換得出另一條線段的弦長，屬于中檔題.20．（1）當時，函數(shù)取得極小值為，無極大值；（2）【解析】試題分析：（1），通過求導分析，得函數(shù)取得極小值為，無極大值；（2），所以，通過求導討論，得到的取值范圍是．試題解析：（1）函數(shù)的定義域為當時，，所以所以當時，，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間單調遞減，在區(qū)間單調遞增，所以當時，函數(shù)取得極小值為，無極大值；（2）設函數(shù)上點與函數(shù)上點處切線相同，則所以所以，代入得：設，則不妨設則當時，，當時，所以在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，代入可得：設，則對恒成立，所以在區(qū)間上單調遞增，又所以當時，即當時,又當時因此當時，函數(shù)必有零點；即當時，必存在使得成立；即存在使得函數(shù)上點與函數(shù)上點處切線相同．又由得：所以單調遞減，因此所以實數(shù)的取值范圍是．21．(1)曲線的直角坐標方程為即，直線的普通方程為；（2）.【解析】

（1）利用代入法消去參數(shù)方程中的參數(shù)，可得直線的普通方程，極坐標方程兩邊同乘以利用即可得曲線的直角坐標方程；（2）直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，利用韋達定理可得結果.【詳解】（1）由，得，所以曲線的直角坐標方程為，即，直線的普通方