山東專升高數復習重點材料

山東省普通高等教育專升本

高等數學考試要求

總要求：考生應了解或理解“高等數學”中函數、極限和連續(xù)、一元函數微分學、一元函數積分學、

向量代數與空間解析幾何、多元函數微積分學、無窮級數、常微分方程的基本概念與基本理論；學會、掌

握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應注意各部分知識的結構及知識的內在聯系；應具有一定的抽象思

維能力、邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力；有運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證

明，準確地計算；能綜合運用所學知識分析并解決簡單的實際問題。

一、函數、極限和連續(xù)

(一)函數

(1)理解函數的概念：函數的定義，函數的表示法，分段函數。

(2)理解和掌握函數的簡單性質：單調性，奇偶性，有界性，周期性。

(3)了解反函數：反函數的定義，反函數的圖象。

(4)掌握函數的四則運算與復合運算。

(5)理解和掌握基本初等函數：基函數，指數函數，對數函數，三角函數，反三角函數。

(6)了解初等函數的概念。

(二)極限

(1)理解數列極限的概念：數列，數列極限的定義，能根據極限概念分析函數的變化趨勢。會求函

數在一點處的左極限與右極限，了解函數在一點處極限存在的充分必要條件。

(2)了解數列極限的性質：唯一性，有界性，四則運算定理，夾逼定理，單調有界數列，極限存在

定理，掌握極限的四則運算法則。

(3)理解函數極限的概念：函數在一點處極限的定義，左、右極限及其與極限的關系，x趨于無窮

(Xf8,Xf+8,X--8)時函數的極限。

(4)掌握函數極限的定理：唯一性定理，夾逼定理，四則運算定理。

(5)理解無窮小量和無窮大量：無窮小量與無窮大量的定義，無窮小量與無窮大量的關系，無窮小

量與無窮大量的性質，兩個無窮小量階的比較。

(6)熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。

(三)連續(xù)

(1)理解函數連續(xù)的概念：函數在一點連續(xù)的定義，左連續(xù)和右連續(xù)，函數在一點連續(xù)的充分必要

條件，函數的間斷點及其分類。

(2)掌握函數在一點處連續(xù)的性質：連續(xù)函數的四則運算，復合函數的連續(xù)性，反函數的連續(xù)性，

會求函數的間斷點及確定其類型。

(3)掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理(包括零點定理),

會運用介值定理推證一些簡單命題。

(4)理解初等函數在其定義區(qū)間上連續(xù)，并會利用連續(xù)性求極限。

二、一元函數微分學

(一)導數與微分

(1)理解導數的概念及其幾何意義，了解可導性與連續(xù)性的關系，會用定義求函數在一點處的導數。

(2)會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。

(3)熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則以及復合函數的求導方法。

(4)掌握隱函數的求導法、對數求導法以及由參數方程所確定的函數的求導方法，會求分段函數的

導數。

(5)理解高階導數的概念，會求簡單函數的n階導數。

(6)理解函數的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導的關系，會求函數的一階微分。

(~)中值定理及導數的應用

(1)了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義。

(2)熟練掌握洛必達法則求“0/0”、"8/8”、“0?8”、“8-8”、“法”、“0。,,和“8?！毙臀炊?/p>

式的極限方法。

(3)掌握利用導數判定函數的單調性及求函數的單調增、減區(qū)間的方法，會利用函數的增減性證明

簡單的不等式。

(4)理解函數極值的概念，掌握求函數的極值和最大(小)值的方法，并且會解簡單的應用問題。

(5)會判定曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。

(6)會求曲線的水平漸近線與垂直漸近線。

三、一元函數積分學

(-)不定積分

(1)理解原函數與不定積分概念及其關系，掌握不定積分性質，了解原函數存在定理。

(2)熟練掌握不定積分的基本公式。

(3)熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法(限于三角代換與簡單的根式代換)。

(4)熟練掌握不定積分的分部積分法。

(-)定積分

(1)理解定積分的概念與幾何意義，了解可積的條件。

(2)掌握定積分的基本性質。

(3)理解變上限的定積分是變上限的函數，掌握變上限定積分求導數的方法。

(4)掌握牛頓一萊布尼茨公式。

(5)掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

(6)理解無窮區(qū)間廣義積分的概念，掌握其計算方法。

(7)掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積。

四、向量代數與空間解析幾何

(-)向量代數

(1)理解向量的概念，掌握向量的坐標表示法，會求單位向量、方向余弦、向量在坐標軸上的投影。

(2)掌握向量的線性運算、向量的數量積與向量積的計算方法。

(3)掌握二向量平行、垂直的條件。

(二)平面與直線

(1)會求平面的點法式方程、一般式方程。會判定兩平面的垂直、平行。

(2)會求點至1J平面的品巨離。

(3)了解有線的一般式方程，會求直線的標準式方程、參數式方程。會判定兩直線平行、垂直。

(4)會判定直線與平面間的關系(垂直、平行、直線在平面上)。

五、多元函數微積分

(~)多元函數微分學

(1)了解多元函數的概念、二元函數的幾何意義及二元函數的極值與連續(xù)概念(對計算不作要求)。

會求二元函數的定義域。

(2)理解偏導數、全微分概念，知道全微分存在的必要條件與充分條件。

(3)掌握二元函數的一、二階偏導數計算方法。

(4)掌握復合函數一階偏導數的求法。

(5)會求二元函數的全微分。

(6)掌握由方程F(x,y,z)=0所確定的隱函數z=z(x,y)的一階偏導數的計算方法。

(7)會求二元函數的無條件極值。

(二)二重積分

(1)理解二重積分的概念、性質及其幾何意義。

(2)掌握二重積分在直角坐標系及極坐標系下的計算方法。

六、無窮級數

(-)數項級數

(1)理解級數收斂、發(fā)散的概念。掌握級數收斂的必要條件，了解級數的基本性質。

(2)掌握正項級數的比值數別法。會用正項級數的比較判別法。

(3)掌握幾何級數、調和級數與p級數的斂散性。

(4)了解級數絕對收斂與條件收斂的概念，會使用萊布尼茨判別法。

(~)幕級數

(1)了解幕級數的概念，收斂半徑，收斂區(qū)間。

(2)了解塞級數在其收斂區(qū)間內的基本性質(和、差、逐項求導與逐項積分)。

(3)掌握求累級數的收斂半徑、收斂區(qū)間(不要求討論端點)的方法。

七、常微分方程

(一)一階微分方程

(1)理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。

(2)掌握可分離變量方程的解法。

(3)掌握一階線性方程的解法。

(-)二階線性微分方程

(1)了解二階線性微分方程解的結構。

(2)掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法。

第二部分學習內容

第一章函數、極限、連續(xù)

1.1本章知識要點

(-)函數

1.函數的概念

(1)定義設x和y是兩個變量，D是一個給定的數集，如果對于每個數xe。，變量y按照一定法

則“f”總有確定的數值和它對應，則稱y是x的函數，記作y=/(x),x&D

其中x稱為自變量，y也稱為自變量，D稱為這個函數的定義域。

對應于函數的定義域D,因變量y的取值范圍稱為這個函數的值域，記作R。

函數關系的兩要素-------定義域D及對應法則f。

(2)函數的表示法：表格法、圖形法、解析法(公式法)。

(3)分段函數：在自變量的不同變化范圍中，對應法則用不同式子來表示的函數。

2、函數的幾種特性

(1)單調性：若對區(qū)間I上任意兩點X，毛,且不<馬，恒有/(3)</(%2)，則稱函數/(x)在區(qū)間I

上是單調增加的；恒有/(3)>/(々)，則稱函數/(外在區(qū)間I上是單調減少的。單調增加和單調減少的

函數統(tǒng)稱為單調函數。

(2)奇偶性：設函數/(幻的定義域D關于原點對稱，若對任一xe。，有/(t)4?任)，則稱/(幻

為偶函數；若對任一xe。，有/(—x)=—/(x),則稱/(x)為奇函數。

偶函數的圖形關于y軸對稱，奇函數的圖形關于原點對稱。

兩個偶函數的和是偶函數，兩個奇函數的和是奇函數；兩個偶函數的乘積是偶函數，兩個奇函數的乘

積是偶函數，偶函數和奇函數的乘積是奇函數(注以上函數均為非零函數)。

(3)有界性：若存在正數M,對任一xeX,有|/(幻區(qū)〃，則稱函數/*)在X上有界；否則，無

界。有界函數的圖形特點是，函數y=/(x)的圖形在直線y=—〃和y=〃的之間。

(4)周期性：設函數/(幻的定義域為D,如果存在一個整數/,使得對任一有xe。有(x±/)e。，

且/(x+/)=/(x),則稱/(x)為周期函數，/稱為的周期。如三角函數中，sinx和cosx是周期為2萬的

周期函數，tanx和cotx是周期為乃的周期函數。

3.復合運算與復合函數

設函數y=.f("),〃=g(x)，若函數〃=g(x)的值域全部或部分的包含在函數)=/(〃)的定義域之

內，則通過中間變量”，y是x的復合函數，記做y=/[g(x)]。

注意：y=/(N)和〃=g(x)構成復合函數y=/[g(x)]的條件是：函數〃=g(x)的值域R“必須含在

/(〃)的定義域。/內，即&U。,。否則，不能構成復合函數。

4.初等函數

(1)基本初等函數

基函數：y=(〃eR,〃wO)

指數函數：y=ax(a>O,a#1),

定義域為(一8,+8),通過點(0,1),值域為(0,+8),當a〉1時為嚴格單增函數；當()<。<1時

為嚴格單減函數。

對數函數：y=log(a>0,awl),

它是指數函數y="的反函數。它的定義域為(0,+8),值域為(-8,+8)。當a>1時為嚴格單增函

數，當0<a<1時為嚴格單減函數。圖形位于y軸的右方，且通過點(-1,0),自然對數為y=

三角函數：

正弦函數y=sinx-oo<x<4-oo,

余弦函數y=cosx-oo<x<-l-oo,

7t

正切函數y=tanxxw(+1寺(keZ),

余切函數y=cotxx牛krc(kcZ),

正割函數y=secxxw(及+1舌(ZGZ),

余割函數y=cscx(ZwZ)。

反三角函數：

反正弦函數y=arcsixrxe[—1,]

反余弦函數y=arcc8xG[-1,]yG[0,7i\,

反正切函數y=artanXG(-oq+q”(-半9,

反余切函數y=arcotXG(-oq+qye(0,7r)o

累函數，指數函數，對數函數，三角函數，反三角函數統(tǒng)稱為基本初等函數。

(2)初等函數

由常數和基本初等函數記過有限次四則運算和有限次復合所構成的并可用一個式子表示的函數，稱

為初等函數。

分段函數一般不是初等函數。不是初等函數的函數統(tǒng)稱為非初等函數。例如，符號函數sgnx,取整

Xr>0

函數區(qū)都是非初等函數。但也有分段函數卻能用一個解析式來表示，如函數<一可以寫成

-xx<0

f(x)=辰,因而它是一個初等函數。

(二)極限

1.數列的極限

定義：對于V￡>o,3^>0,當〃〉N時，恒有卜'一。|<￡成立，則稱數列｛尤"｝收斂，并且以。為

極限，記作：limx=a(或x-a,(n—>oo))

n->oo

如果數列沒有極限，則稱數列是發(fā)散的。

定理1(唯一性)若數列｛》"｝收斂，則其極限是唯一的。

定理2(有界性)收斂數列一定有界。［注］逆命題不成立，有界數列未必收斂。

定理3(保號性)如果limx“=a,且a〉()(或“<()),那么存在正整數N〉()，當”>N時，都

有>0(或X”<0)。

推論：如果limx“=a,如果數列｛犬｝從某項起有七20(或x,,W0),那么有(或。40)

M—>00

定理4單調有界數列必收斂。

2.函數的極限

(1)函數極限的“￡fX”定義：

對于\/￡〉0,3X>0,當k|>X時，總有|/(幻一4<￡,則稱常數A為函數/(X)當Xf8

時的極限,記作:Hm/(x)=Ao

Xfoo

(2)函數極限的“￡T3”定義：

對于V￡〉()，3^>(),當0<般一天|<5時，總有|/(幻一山<￡,則稱常數A為函數/(X)當

xf與時的極限，記作：limf(x)=Ao

*->而

(3)左(右)極限：

對于V￡>(),3^>0,當0<7)一(0<x—時，總有|/(X)—A|<￡,則稱常數

A為函數/(x)當從x從七左(右)側趨于不時的極限，記作

f(xo-O)=lim/(x)=A(/(xo+O)=lim/(x)=A)

X-^XQ-0%T%+0

定理1limf(x)=A的充要條件為f(x-O)=f(x+0)=A

A->.V°oo

定理2(保號性)若lim/(x)=A,A>0(A<0),則存在S>(),當—時，f(x)>0

(/(x)<0)o

定理3若在X。的某一去心鄰域內，/(x)>0(/(幻<0)且lim/(x)=A,則A20(AW0).

Xf0

3.無窮大與無窮小

(1)無窮小的定義：若lim/(x)=0,則稱/(x)為(x—>00)時的無窮小。

oo)

定理11由/(無)=4的充要條件為/(幻=4+。(幻，其中l(wèi)ima(x)=0

?￥->.%x->.rQ

(2)無窮大的定義：對于VM〉0JX>0(3〉0),當|x]>X(0<|x—/|<3)時，總有|/(x)|>M,

則稱/(X)當為—>8(X->x0)時為無窮大，記作lim/(x)=0C

?(IXfTo8)

定理2如果lim/(x)=oo,則lim」一=O；反之，如果/(x)為無窮小，則」一為無窮大。即,

.f。/(x)/(X)

無窮小和無窮大互為倒數關系。

(3)無窮小的比較：設Iima(x)=O,limp(x)=O,則

(1)若lim2W=0,則稱尸(x)是比a(x)高階的無窮小，記為￡(x)=o(a(x))

(2)若limN也=8,則稱￡(x)是比a(x)低階的無窮小?

(3)若limg?=C,(CVO),則稱￡(x)與“(X)是同階無窮小。

(4)若lim叢?=1,則稱以幻與a(x)是等價無窮小，記為"x)~a(x)。

(5)若lim外3=C,(CHO/>0),則稱"x)是x的k階無窮小。

(4)無窮小的性質：

(1)有限個無窮小的和，差，積是無窮小。

(2)有界函數與無窮小的乘積是無窮小。

定理3a與夕是等價無窮小的充要條件：B=a+o(a)

定理4(等價無窮小代換定理)：若。~。，B~6，且limg-存在，則有Iim2=lim2。

aaa

4.極限運算法則：

定理1(極限四則運算)設lim/(x)及l(fā)img(x)存在，則

⑴lim[/(x)±g(x)]=lim/(x)±limg(x)

<2)lim[/(x)-g(x)]=lim/(x)-limg(x)

/a)

(3)lim(g(x)wO)。

g(x)limg(x)

推論：(1)lim[(7(x)]=Clim/(x),

(2)lim[/(x)]n=[lim/(x)r

定理2(復合函數的極限運算)設函數y=/(g(x))是由函數”=g(x)與函數y=/(“)復合而成，

y=/(g(x))在點天的某去心鄰域有定義，若limg(x)=%，lim/(〃)=A,且存在4>0,當

X->XQM->W0

0

^^。(不，品)時，有g(x)H/，則

limf(g(x))=limf(u)=A

x->x0W-?W0

5.兩個重要極限

定理1(夾逼準則)若數列{七},{%},{Z,J滿足

(1)從某項起，3N,當〃,N時有%<z〃(〃eN)

(2)limyn-limzn=A,

/I—>00"TOO

則數列{x,J極限存在，且limx.=A。

定理2單調有界原理：單調有界數列必有極限。

兩個重要極限：

(1)=(2)lim(l+!)*=e或lim(l+a)*

.r->0%XT8尤a->0

(三)連續(xù)

1.定義：設函數y=/(x)在點x“的某鄰域內有定義，若lim/(%)=/(%?)或

XfXo

limAy=lim[/(x?+Ax)-f(xa)]=0,則稱函數/(x)在點X。連續(xù)。

A.v->0A.v->0

2.間斷點：若函數/(x)在點兒點不連續(xù)，則稱尤為/(x)的間斷點。

3.第一類間斷點：左、右極限都存在的間斷點；

(1)左、右極限存在且相等，稱為可去間斷點；

(2)左、有極限存在但不相等，稱為跳躍間斷點。

4.第二類間斷點：不是第一類間斷點的間斷點稱為第二類間斷點。

常見的第二類間斷點有：無窮間斷點和振蕩間斷點。

5.連續(xù)函數的運算：

定理1：設函數/(x)和g(x)均在％處連續(xù)，則它們的和7+g、差/—g、積由、商工(g?0)均

g

在飛連續(xù)。

定理2：如果函數y=/(x)在區(qū)間I上連續(xù)且單調遞增(遞減)，則其反函數x=/T(y)在其對應的

區(qū)間也是連續(xù)且且單調遞增(遞減)。

定理3：(復合函數的連續(xù)性)設函數y=/(g(x))是由函數M=g(x)與函數y=/(“)復合而成，若

函數"=g(x)在x0處連續(xù)且g(x())=?0,函數y=/(?)在uQ處連續(xù)則函數y=/(g(x))在七處連續(xù)

5.初等函數的連續(xù)性一切初等函數在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的。

6.閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質

定理9(有界、最大值、最小值定理)閉區(qū)間上的連續(xù)函數在該區(qū)間上必有界取得最大值和最小

值。

定理10(介值定理)設/5)在[a,b]上連續(xù)，且若c是介于/(a)與/S)之間的任

意數，則至少存在一點3w(a,。)，使得73)=c。

定理H(零點定理)設/(x)在理b]上連續(xù),K/(aW)<0,則至少存在一點加，使得

/⑻=0。

(四)漸近線

1.漸近線定義：

給定函數/(X),若

(1)lim/(x)=a,則稱y=。為/(x)的水平漸近線

X—>00

(2)lim/(x)=8,或時有/(x)=±8,則稱x=占為/(幻的鉛垂?jié)u近線。

XT%

(3)若lim=a(aw0)；進一步lim(/(x)-ax)=Z?,則稱直線y=+〃為函數.f(x)

.￥-><?XX->8

的斜漸近線

第二章導數和微分

2.1本翁知識要點

(-)導數的定義及概念

1.定義：設y=/(x)在點與的某鄰域。(玉))內有定義，玉)+&e。(工0)，對于函數增量

Ay=/(^o+Ax)-/(xo)I

如果極限lim包=lim/(/十―)-存在，稱函數丁=-X)在點可導，并稱極限>=y(x)

ArfOAx&30AX

在x0點的導數，

記作今1*Ie」/'a。)，或丁(/)。

注：導數定義的等價形式((%)=lim』⑴二"圮:

XT%X-Xo

2.左導數：￡(%)=lim絲=lim/(/+8)-/(/)

Ax->0-AxAv-?O-Ax

或f!(x0)=lim"*)—/(%)

xfq-x-xG

右導數：￡(%)=lim包=lim/(/+—)-/Oo)

+°-o+Ax-0+AX

或/'(%)=lim/3一/氫)

*f&-x-x0

3.定理1：函數y=/(x)在玉)點處可導的充分必要條件是飛點左、右導數都存在且相等。

4.導數的幾何意義：函數y=/(x)在/點的導數/'(/)，表示曲線y=/(x)上點(%,/(%))處切線

的斜率。

曲線y=/(x)上點(/,/(公))處

切線方程為：y-f(x0)^f'(x0)(x-xQ),

法線方程為：y-y^--^-(x-xQ)

/Uo)

5.定理2：若函數y=/(x)在后點可導，則必在題點連續(xù)。

注：(1)函數可導一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導；

(2)如果函數在某一點不連續(xù)，則在該點一定不可導：

(3)可導是連續(xù)的充分條件，而連續(xù)則是可導的必要條件。

(-)求導公式與法則

1.基本初等函數的導數公式

常量函數：C'=Q

幕函數：(￡7=辦”

指數函數：(優(yōu))'=a1na,(")'="

對數函數：(log^x)f=一--,((Inx)r=—

x\nax

三角函數：(sinx)'=cosx,(cosx/=-sinx,

(tanX)-sec-x,(cotx/=-csc2x,

(secx)'-secxtanx,，(cscx)r=-cscxcotx

反三角函數：(1

arcsinx)'=/1,(arccosr)'=-

Vl-x2r7

(arctan尤)'=----，(arccotx)'=-------

\+x71+x7

2.函數和、差、積、商的求導法則：設M=M(X),U=V(X)均在點X處可導,則

[M(X)±v(x)]=u'(x)±v(x);

[w(x)?v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x);

r“(x)U(X)V(X)-H(X)V(X)

1=-------T-------，(心)豐0)?

V(x)V2(%)

3.反函數求導法則：

設函數x=/(y)在區(qū)間4內單調、可導且/''(y)。。，則它的反函數y=/(x)在相應的區(qū)間內也可導,

且

r尸(幻］，=^—或包=3

L」f(y)dxdx

dy

4.復合函數的求導法則：

如果函數M=e(〃)在x點可導，函數y=/(“)在相應的u點可導，則復合函數y=/(e(x))在x

點可導，且

以色曲或包=八〃).3

drdi/drdr

5.隱函數求導：

二元函數方程F(x,y)=0,確定隱函數y=y(x),求導數位。

dx

方法：方程兩端對x求導，使y為x的函數，利用復合函數求導法則，得到關于y，的方程，解出即

可。

6.由參數方程確定函數的求導：

y=(p(t)

設參數方程均可導，且y=eQ)嚴格單調，“⑺#0,則有：

y=〃⑺

dy,ddy

曳-二e或包二-巫.dy山dx

dr(p\t)dxdx，dr2dx

dtdt

7.對數求導法則：

對數求導法主要用于幕指函數、多因子乘塞型函數求導。

幕指函數y="(x)F⑴的導數：

兩邊取對數：lny=°(x)ln/(x),

兩端關于x求導Ly'="(X)?Inu(x)+叭玲?.所以,

y/(x)

y'=+=―⑶“'(x)ln/(x)+以二”,

/Wf(x)

(三)高階導數

定義：函數y=/(x)在點x的鄰域內一階導數/'(x)存在，如果極限lim/'。+泡一/兔存在,

^->oAx

稱函數y=/(x)在點x二階可導，并稱極限值為y=/(x)在點x的二階導數，記作：夕，/"*)或y"。

dx

類似的，二階導數的導數稱為三階導數，n-1階導數的導數稱為n階導數。

二階以上的導數統(tǒng)稱為高階導數。

(四)微分

1.定義：設函數y=/(x)在點x0的某鄰域。(與)內有定義，-x0+AxeU(x0),如果函數增量

可表示為：Aj=A-Ax+o(Ar),且A只與x0有關，與心無關，。(8)是比Ax高階的無窮小，則稱函

數y=/(x)在點x()的微分。記作：力=或的'(x)=A-Ax

2.定理：函數y=/(x)在點x可微的充分必要條件是函數y=/(x)在點x可導，且小=/意)公

注：(1)函數可微一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可微；

(2)如果函數在某一點不連續(xù)，則在該點一定不可微；

(3)可微是連續(xù)的充分條件，而連續(xù)則是可微的必要條件。

3.微分的四則運算：

(1)d(u±v)=du+dv；(2)d(uv)=udv+vdu；

⑶,、七/“卜、udv-vdu

第三章微分中值定理及導數的應用

3.1本章知識要點

(-)中值定理

1.羅爾中值定理

如果函數/(x)在區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間(。力)內可導，且/(。)=/3)，那么至少存在一點

e^{a,b),使得了'(￡)=0。

2.拉格朗日中值定理

如果函數/(x)在區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間①,與內可導，且./?(?)=./?(/?),那么至少存在一點

￡e(a,b),使得f(b)~/(a)=f'(e)(b-a)或=/'(￡).

b-a

推論I若/(x)在(。/)內可微，且f(x)=0,則/(x)為常數。

推論2若/(x)與g(x)在(a,切內可微，且f(x)=g(x),則在(a,加內有/(x)=g(x)+C,其中

C為常數。

3.了解柯西中值定理。

(-)洛必達法則

1.定理(,型)設函數/(x)及/(x)滿足：①當xfa時，函數/(九)及尸(x)都趨于零：②在點a

的某去心領域內，/'*)及尸(x)都存在且產(x)w0③lim/3存在(或為無窮大)；則

?iF(x)

XfaF(x)XT"F"(x)

00

2.定理(一型)設設函數/(x)及尸(x)滿足：①當工—。時，函數“X)及尸(x)都趨于無窮；②

00

在點a的某去心領域內，/'(X)及尸(x)都存在且尸(x)HO;③lim"?存在(或為無窮大)；則

3F(x)

limzw=limz^)

fF(x)XT"F'(x)

注：以上兩個定理在Xf8時仍適用。

(三)函數的性態(tài)

1函數單調性的判別法

設函數y=/(x)在上伍，們連續(xù)，在(。/)內可導,若(。6)在內f(x)>0(f(x)<0),則函數

y=/(x)在上出力］單調增加(減少)。

定理1(極值的必要條件)設函數/(x)在點/處可導，且在受處取得極值，則/(%)=0。

注：(1)導數為零的點不一定是極值點；

(2)導數不為零的點一定不是極值點；

(3)極值點處未必導數存在。

定理2(極值的第一充分條件)設函數/(x)在廝的某一領域內連續(xù)，去心鄰域可導，如果在該領

域內：

①當無</時，/U)<0；當》>拓時，f'(x)>0,則/(尤)在/在處取得極小值。

②當時，/(x)>0；當x>x()時，/'(x)<0,則/0)在/在處取得極大值。

③當X<X°或X>X°時，/(X)不改變符號，則/(X)在不處不取得極值。

定理3(極值的第二充分條件)設函數/(X)在天的某一領域內二價可導，且/(不)=0,而

/(不)。0,則

①當/(不)>0時，/(x)在％處取得極小值。

②當/(%)<0時，/(幻在七處取得極大值。

注：若/"(/)=0,則可能存在極值，也可能不存在極值。

2.函數最值的求法

設/(x)在［a,b］上連續(xù)，瓦2%是/(%)的駐點或使/(X)不存在的點，則

/(x,),/S)中最大(小)者為/(x)在［a,b］上的最大(小)值。

3.凹凸性的判定方法

定理設/(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內二階可導，

①若在(a,b)內/(小)>0,則曲線y=f(x)在［a,b］上是凹的.

②若在(a,b)內f"(x)<0,則曲線y=f(x)在［a,b］上是凸的.

4.拐點的判定方法

設函數y=/(x)在玉)的某一領域內二階可導，且_f(x0)=。(或不存在)，若在該領域內：

①尸(幻在X。點的左右兩側異號,則(X。/(%))是曲線y=f(x)的拐點.

②/(X)在七點的左右兩側異號,則(％/(%))不是曲線)=/(x)的拐點.

注：(1)二階導數為零的點不一定取得拐點；

(2)二階導數不為零的點一定不能取得拐點；

(3)拐點處未必二階導數存在。

第四章不定積分

4.1本章知識要點

(~)原函數與不定積分的概念

1.原函數：如果在區(qū)間I上，/(x)=/(x)或"(x)=f(x)av,則稱F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個

函數。

2.原函數存在定理：區(qū)間I上的連續(xù)函數一定有原函數。

3.不定積分：f(x)在區(qū)間I上的原函數的全體，稱為f(x)在區(qū)間I上的不定積分，即若F(x)是f(x)

在區(qū)間上的任一原函數，則]7(X)0C=F(X)+C

4.不定積分的性質

(1)積分與微分互為逆運算：

%[f{x}dx\=/(x),或f(x)dx]=f(x)dx,

jF'(x)dx=F(x)+C,或JdF(x)=尸(x)+C。

(2)線性性質^(cif(x)+bg(x))dx=a^f(x)dx+b^g(x)dx

(二)求不定積分的基本方法

1、基本積分表

2、第一換元法(湊微分法)

設f(u)具有原函數，且〃=e(x)可導，貝!]3'(x)公dJ/OOdu]或)

一般：Jg(乂世=J/[e(x)M(e(x))=F[(p(x)]+c

3、第二換元法(變量代換法)

設x=￥Q)是單調、可導的函數，且沙?)。0,函數/(〃?))〃?)具有原函數,

則有：:J"匕⑺]〃⑺M

一般：Jf(x)dx=J/(“?))“⑴df=F(t)+c=F[y/~'(x)]+c

4、分部積分法：judv=MV-jvdu

第五章定積分及其應用

5.1本章知識要點

(-)定積分概念與性質

I.定積分jf{x}dx=lim/(<5；)Ax,

注：(1)定積分的積分'值只與被積函數、積分區(qū)間有關。與積分變量的符號無關，即:

(*bfb

ff(x)dx=ff(t)dt=ff(u)du

JaJaJa

rb(*a「a

(2)規(guī)定：Jf^x)dx=-J/f(u)duJf(x)d井(

2.可積的條件：

定理1函數閉區(qū)間上連續(xù)一定可積

定理2有界函數且只有有限個間斷點的函數一定可積。

或函數在區(qū)間上存在有限個第一類間斷點一定可積。

定理3函數可積在區(qū)間上一定有界。

注：(1)函數在區(qū)間有界不一定可積。(2)函數在區(qū)間上無界一定不可積。

3.定積分的幾何意義

(1)若/(x)N0,Jj(x)公的幾何意義是位于x軸上方的曲邊梯形的面積；

rb

(2)若/(x)<0,[/(幻心:是位于X軸下方的曲邊梯形面積的相反值；

Ja

一般，公表示曲邊梯形面積的代數和，位于X軸上方取正，下方取負。

4.定積分的總質

ebfbfib

(1)線性性質：[[nif(x)±ng(x)]dx=m\f{x)dx±n\g{x}dx

JaJt?

pbpcrb

(2)可加性：對于任意a,c都有1f(x)dx=[f(x)dx+\f(x)dx

JaJaJc

(3)jdx=b-a

(4)不等式性質：若在［a,b］±,恒有/(x)Wg(x),則，/(%)公W/g(x)公

JaJa

(5)保號性：若在［a,b］上，恒有/(x)〈O(/(x)NO)則公40(20)

(6)絕對值性質：J：/(x)小公

(7)定積分的估值定理若在［a,b］上/(x)的最大值和最小值分別M,m,則

m(h—a)<f(x)dx<M(h-a)

Ja

(8)定積分的中值定理設/(外在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則存在Se［a,勿使

￡rbf(x)dx=f(6\b-a)

(二)定積分的*算

1.微積分基本定理

(1)變上限的積分函數及其導數定理：

定理1.如果函數/(幻在區(qū)間［a,以連續(xù)，則積分上限函數e(x)=J；/??)辦在［a,句可導，

并且“(x)=(［/?)〃)'=/(x)。

進一步有公式：=/(e(x))“(x)-/(o(x))“(x)

定理2：如果函數/(%)在區(qū)間連續(xù)，則函數(p(x)=J：f⑺力

就是/(x)在區(qū)間［a,3的一個原函數。

(2)牛頓―萊布尼茨公式：

定理3：如果函數F。)是連續(xù)函數/(x)在區(qū)間用的原函數，則jf(x)dx-F(b)-F(a)?

2.定積分的計算方法

(1)換元法

定理：設函數/(%)在區(qū)間［a,b］連續(xù)，函數％=0⑺滿足⑴在區(qū)間&間上可導，且夕'⑺

連續(xù)；(2)a=(p(a),b=(p9),當，￡(a,0時，x￡(〃,〃)，則

f(x)dx=1

JaJa

(2)分部積分法fudv=wv|/?-Cvdu

JaI"Ja

3.反常積分

(1)無窮限的反常積分：

/(X)在區(qū)間［a,”)連續(xù)J：/(X)公=lim\"f(x)dx,若極限存在則收斂，否則發(fā)散。

(2)無界函數的反常積分

函數/(x)在區(qū)間［a,。)連續(xù)，在b處無界J：f(xMx=lim￡/(x)〃，若極限存在

則收斂，否則發(fā)散。

4.定積分的應用

(1)平面圖形的面積

(a)曲線y=/(x),y=g(x)及直線x=a,x=b(a<b)且/(x)Ng(x)所圍圖形的面積：

A=jjf(x)-g(x)］dx

(b)x=(p(y),x=0(y)及直線〉=c,y-d(c<J),且夕(丁)2。()，)

所圍圖形的面積：A=J：［e(y)—0(y)］辦

(2)旋轉體的體積

(a)由曲線y=/(x),直線x=a,x=b(a<b)及x軸所圍曲邊梯形繞x軸旋轉一周所成旋轉

體的體積：匕=41/2(幻公

(b)由曲線x=e(y),直線丁=。,丁=4(。<。)及丫軸所圍曲邊梯形繞丫軸旋轉一周所成旋轉體

的體積：匕=可(P2(y)dy

第六章空間解析幾何與向量代數

6.1本章知識要點

(一)向量及其線性運算

1、向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量，例如位移、速度等，記做

2、向量的線性運算

(1)向量的加減法：三角法則和平行四邊形法則以及加減法的交換律和結合律、數乘運算。

(2)空間直角坐標系及向量表示法。

(3)向量的線性運算：

設。=玉，+yj+z/,b=x2i+y2j+z2k,4,〃為常數，則

A.a±pb=(石±fix^i+(/ly±4%)/+(義4±fizjk

3、向量的模、單位向量，方向角"____________

⑴模：。向量的長度稱為模，記為同。設4=*+0+2%，則同=.2+y2+Z?

(2)單位向量：e=g且同=1

(3)非零向量。與三條坐標軸的夾角稱為向量〃的方向角，記做。其中cosa,cos/?,cosy

rVZ

稱為向量〃的方向余弦，且cosa=「，cos/?=7^7,cos/=7-7o

同Pl同

注：cos2a4-cos2(3+cos2/=1

(二)數量積和向量積

1、數量積

⑴定義：設。=取+x/+z/,h=x2i+y2j+z2k,它們的夾角為。，則稱同例cos。為

。力的數量積，記作。?人=同網cos。，進一步有a?Z?=%/+y%+2仔2。

(2)運算規(guī)律：

(a)交換律a-b=b-

(b)分配律(a+O)?c=a?b+Z??c

(c)結合律(丸7?Z?)=X(ab

(3)投影(a1=|a|cos，

n?h

(4)應用：(D會求兩個向量的夾角；cos^=^

同網

(2)會求向量在另外一個向量上的投影(a%=|a|cose=/g

H

(3)兩個向量平行的充要條件：=0

2、向量積

(1)定義：設a=^i+y"+z/,b=x2i+y2j+z2k,它們的夾角為。，則稱c為的